Wie man Flügel endlicher Länge berechnet

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1 3. Flügel endlicher Länge Reduzierte Frequenz: Beim Flügel endlicher Länge wird als Referenzlänge c ref zur Definition der reduzierten Frequenz in der Regel die Profiltiefe an der Flügelwurzel gewählt. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-1

2 3. Flügel endlicher Länge 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-2

3 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Methode: Wie im stationären Fall lässt sich die Methode der diskreten Wirbel zu einem Wirbelgitterverfahren für die Berechnung von Flügeln endlicher Länge erweitern. Zusätzlich zu den gebundenen Hufeisenwirbeln müssen im Nachlauf Hufeisenwirbel angeordnet werden. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-3

4 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren n Wirbelreihe y A m C B ξ m x Hufeisenwirbel im Nachlauf Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-4

5 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Für die Stärke der Wirbel im Nachlauf gilt: M ^Γ Wmn = 2 i k ^Γ n e 2 i k ξ m/c ref Δ ξm /c ref, ^Γ n = m=1 ^Γ mn Der erste Index der Zirkulation läuft in x-richtung und der zweite in y-richtung. M ist die Anzahl der gebundenen Wirbel in einer Wirbelreihe. ξ m ist der Abstand des m-ten Hufeisenwirbels im Nachlauf von der Flügelhinterkante. Für den Druckbeiwert gilt: Δ ^c Pmn = 2 v ( 1 ^Γ x m+1 x mn + 2 i k m c ref m 1 ^Γ l=1 ln), 1 m M Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-5

6 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Beispiel: Drehschwingung eines Rechteckflügels Der Flügel führt eine Drehschwingung um die Viertelpunktlinie durch. Daten: Spannweite: 15 m Wirbel in x-richtung: 20 Wirbel in y-richtung: 45 Der Druckbeiwert in der Mitte des Flügels sollte gut mit dem des unendlichen Flügels übereinstimmen. Flügeltiefe: 1 m Reduzierte Frequenz: 0,6 Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-6

7 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Druckverteilung in der Mitte: Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-7

8 3.1 Instationäres Wirbelgitterverfahren Druckverteilung über den Flügel: Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-8

9 Beim instationären Wirbelgitterverfahren muss über den gesamten Nachlauf integriert werden. Dadurch kann die Berechnung recht aufwändig werden. Günstiger ist das Dipolgitterverfahren, das auf einer Integralgleichung für die Druckdifferenz beruht. Da die Druckdifferenz außerhalb der tragenden Fläche null ist, erstreckt sich die Integration nur über die tragende Fläche. Im Englischen wird diese Methode als Doublet-Lattice Method bezeichnet. Sie gilt als Standard-Methode der klassischen instationären Aeroelastik. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik 6.3-9

10 Die Doublet-Lattice Method wurde von Albano und Rodden (1969) für kompressible Strömungen entwickelt. Im Folgenden wird das Grundprinzip der Methode anhand einer inkompressiblen Strömung um eine tragende Fläche in der xy-ebene erläutert. Differenzialgleichung für den Druck: Aus der Kelvin-Gleichung folgt: p p ρ = Φ t (v2 v 2 ) Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

11 Für eine kleine Störung einer stationären Parallelströmung folgt daraus durch Linearisierung: p p ρ = ϕ t +v ϕ x Anwenden des Laplace-Operators auf beide Seiten der Gleichung ergibt 1 ρ 2 ( p p )= 2 ( ϕ t +v ϕ ) x = ( t +v ) x 2 ϕ=0 d. h. der Druck erfüllt die Potentialgleichung 2 ( p p )=0 Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

12 Lösung der Potentialgleichung: Die gesuchte Lösung muss auf der tragenden Fläche eine Unstetigkeit Δp = p u - p o haben. Die Ableitung in Richtung der Flächennormalen muss stetig sein. In der Potentialtheorie wird gezeigt, dass das Doppelschichtpotential p p ( x, y, z, t )= 1 4 π S Δ p ( x 1, y 1, t ) z 1 ( 1 r 1 ) dx 1 dy 1 mit r 1 = (x x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2 diese Bedingungen erfüllt. Die Integration erstreckt sich über die tragende Fläche. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

13 Für eine harmonische Schwingung gilt: p p ( x, y, z, t )=R ( ^p ( x, y, z)e i ω t ) Δ p( x 1, y 1, t )=R (Δ ^p (x 1, y 1 )e i ω t ) ^p (x, y, z)= 1 4 π S Δ ^p ( x 1, y 1 ) z 1 ( 1 r 1 ) dx 1 dy 1 Integralgleichung für die Druckdifferenz: Die Randbedingung für eine harmonische Schwingung lautet: 1 ^ϕ v z =W z =2 i k Z v c + Z x Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

14 Aus der linearisierten Kelvin-Gleichung ^p=ρ ( i ω ^ϕ+v ^ϕ x ) =ρv ( 2 i k ^ϕ c + ^ϕ x ) folgt mit der Methode der Variation der Konstanten: ^ϕ( x, y, z)= x ^p (λ, y, z) ρv e 2 i k (λ x )/ c d λ Einsetzen der Lösung für die Druckamplitude ergibt ^ϕ( x, y, z)= 1 4 π x ( e2 i k (λ x)/c S Δ ^p( x 1, y 1 ) ρv ( z 1 1 r (λ) ) dx 1 dy 1) d λ mit r (λ)= (λ x 1 ) 2 +(y y 1 ) 2 +(z z 1 ) 2. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

15 Ableiten nach z und Berücksichtigung der Randbedingung führt nach einiger Rechnung auf die Integralgleichung mit dem Kern W z v = S Δ ^p( x 1, y 1 ) K ( x x 1, y y 1 )= e 2 i k ( x x 1)/ c ρv 2 K (x x 1,y y 1 )dx 1 dy 1 Die Lösung dieser Integralgleichung wird eindeutig festgelegt durch die zusätzliche Forderung, dass der Druck unterschied an der Hinterkante null sein muss (Kutta-Bedingung). x x 1 4 π e 2 i k ξ /c d ξ (ξ 2 +(y y 1 ) 2 ) 3/ 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

16 Berechnungsverfahren: Die tragende Fläche wird wie beim Wirbelgitterverfahren in Trapeze zerlegt, deren parallele Kanten parallel zur x-achse sind. Entlang der Viertelpunktlinie eines jeden Trapezes wird eine konstante Dipolverteilung unbekannter Stärke aufgebracht. x Kontrollpunkt y Dipol Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik

17 Die Dipolstärken werden so bestimmt, dass die Randbedingung in den Kontrollpunkten erfüllt ist, die sich in den Dreiviertelpunkten in der Mitte jedes Trapezes befinden. Numerische Experimente zeigen, dass auf diese Weise auch die Kutta-Bedingung erfüllt ist. Prof. Dr. Wandinger 6. Instationäre Aerodynamik Aeroelastik