Aufgaben zur. Klausur Aerodynamik I

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Aufgaben zur Klausur Aerodynamik I Matr.-Nr. :... Name :... Unterschrift :... Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik I Fragenteil, Konforme Abbildungen, Skelett-Theorie 1

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sin(x ± y = sin(x cos(y ± sin(y cos(x cos(x ± y = cos(x cos(y sin(x sin(y sin (x + cos (x = 1 sin(x = sin(x cos(x sin(x = sin(x/ cos(x/ sin (x = 1 (1 cos(x cos (x = 1 (1 + cos(x cos(x = cos (x sin (x tan( x = 1 cos x 1 + cos x tan( x sin(x = 1 cos(x sin(x sin(nx = 1 (cos[(n+1x] cos[(n 1x] sin[(n + 1x] sin[(n 1x] = cos(nx sin(x 1 n sin(nϕ p sin(nϕ = 1 ( 1 4 ln cos(ϕp + ϕ 1 cos(ϕ p ϕ n=1 Integrale 1 ax + b dx = 1 ln(ax + b a x ax + b dx = x a b ln(ax + b a x X dx = 1 [ 1 ] a 3 (X b(x + b ln(x mit X = ax + b sin(axdx = cos(ax a cos(axdx = + sin(ax a sin (axdx = x 1 4a sin(ax cos (axdx = x + 1 4a sin(ax sin 3 (axdx = cos3 (ax cos(ax 3a a cos 3 (axdx = sin3 (ax 3a + sin(ax a cos 4 (axdx = 3 8 x + sin(ax 4a sin(ax cos(axdx = sin (ax a π sin(n ϕ cos(p ϕdϕ = π cos(n ϕ cos(p ϕdϕ = π sin(n ϕ sin(p ϕdϕ = Glauert-Integral π + sin(4ax 3a { π/ n = p n p { π/ n = p n p { π/ n = p n p cos(n ϕ sin(n ϕ cos(ϕ cos(ϕ dϕ = π sin(ϕ cos(ax cos(bxdx = sin[(a bx] (a b + sin[(a + bx] (a + b a b } } }

3 1. Aufgabe: Fragenteil (16 Punkte 1. Unter welchen Voraussetzungen ist der Satz von Thomson gültig und wie lautet dieser?. Gegeben ist die Kontinuitätsgleichung als Bestimmungsgleichung für das Geschwindigkeitspotential in folgender Form: Leiten Sie mit Hilfe der Euler-Gleichung (ρu sowie der Definition der Schallgeschwindigkeit + (ρv ρ vd v = dp c = dp dρ die Potentialgleichung für zweidimensionale, kompressible, stationäre, isentrope Strömungen her. 3. Wie unterscheiden sich Eiffel-Windkanal und Göttinger Windkanal? Nennen Sie je einen Vor- und Nachteil beider Typen. 4. Welche sind die drei wesentlichen geometrischen Grundelemente, die die Form eines Tragflügels bestimmen? 5. Welche wesentlichen Ähnlichkeitsparameter der Strömungsmechanik müssen bei der Untersuchung der aerodynamischen Eigenschaften eines Flugzeugmodells im Windkanalversuch im Hinblick auf die Übertragbarkeit der Messergebnisse auf ein reales Modell eingehalten werden? =. 3

4 . Aufgabe: Konforme Abbildungen (17 Punkte Gegeben sei die Zhukhovski Abbildungsfunktion: ζ = z + a z. 1. Nennen Sie jeweils einen Vor- und Nachteil sowie die Voraussetzungen zur Anwendung der Methode der konformen Abbildungen.. Stellen Sie eine komplexe Potentialfunktion F (z auf, die die Umströmung eines rotierenden Zylinders mit dem Radius R, dessen Mittepunkt bei x auf der x-achste liegt, unter dem Winkel α beschreibt (siehe Skizze. Hierbei ist w der Betrag der Anströmgeschwindigkeit. y z-ebene Γ R x o φ x w8 α a 3. Welche Strömung ergibt sich in der ζ-ebene bei der Anwendung der Zhukhovski Abbildungsfunktion auf die in Aufgabenteil hergeleitete komplexe Potentialfuktion F (z und was bewirkt die Verschiebung des Kreises entland ger x-achse? Bestimmen Sie explizit die Profilkontur in der ζ-ebene, d.h. ξ(ϕ, R, x und η(ϕ, R, x sowie die Schnittpunkte des Profils mit der ξ-achse als Funktion von ϕ und der gegebenen Größen. Skizzieren Sie anschließend die Profilkontur in der ζ-ebene qualitativ. Wie würde sich die Profilkontur bei einer zusätzlichen Verschiebung des Kreises in y Richtung verändern? 4. Wie lautet die Kutta sche Abflussbedingung in der ζ-ebene bzw. in der z-ebene? Bestimmen Sie anschließsend die Zirkulation Γ als Funktion der gegebenen Größen, so dass die Kutta sche Bedingung erfüllt wird. Gegeben: w, α, R, x < Anströmung: F 1 (z = ( iv z; Dipol: F (z = M πz mit M = π( + iv R ; Potentialwirbel: F 3 (z = iγ π ln(z; 4

5 3. Aufgabe: Skelett-Theorie (17 Punkte Die Umströmung einer unter dem Anstellwinkel α angestellten ebenen Platte mit der Länge l soll mit Hilfe der Skelett-Theorie näher untersucht werden. 1. Nennen Sie die Voraussetzungen der Skelett-Theorie.. Formulieren Sie die Kernaussage der kinematischen Strömungsbedingung in eigenen Worten und leiten Sie die allgemeine Strömungsbedingung für ein unter einem Anstellwinkel angeströmtes Skelettprofil her. Skizzieren Sie hierzu die Geschwindigkeiten an der Skelettlinie. 3. Transformieren Sie das Integral zur Bestimmung der Vertikalstörgeschwindigkeit w(x = 1 π in Polarkoordinaten und bestimmen Sie w(ϕ. 1 γ(x dx X X 4. Bestimmen Sie mit Hilfe des Fourierschen Reihenansatzes von Birnbaum-Ackermann für die Zirkulationsverteilung die Koeffizienten A bis A n. 5. Bestimmen Sie den Nickmomentenbeiwert c m,nase. 6. Bestimmen Sie den Druckbeiwert als Funktion von ϕ auf der Oberseite für eine Machzahl Ma =.6 mit Hilfe der Prandtl-Glauert Regel. Gegeben: α,, l Fourierscher Reihenansatz von Birnbaum-Ackermann für die Zirkulationsverteilung: Druckbeiwert: c p γ ( γ(ϕ = A tan( ϕ N + A n sin(nϕ n=1 5

6 Lösung 1. Aufgabe: Fragenteil (16 Punkte (LÖSUNG 1. Satz von Thomson: Die Zirkulation entlang einer sich mit dem Fluid bewegenden geschlossenen Kurve ist zeitlich konstant: dγ dt =, sofern es sich um reibungsfreie, barotrope Strömungen mit konservativen Volumenkräften handelt. Daraus folgt, dass Strömungen, die anfänglich in Drehung waren, diese Drehung beibehalten, während drehungsfreie Strömungen drehungsfrei bleiben.. Herleitung der Potentialgleichung: und mit folgt: (ρu u = Φ + (ρv = ρ u + u ρ + ρ v + v ρ = u = Φ ( Φ ρ + Φ v = Φ + Φ ρ v = Φ + Φ ρ = Elimination der Dichte mit Hilfe der Euler-Gleichung: dp = ρ vd v = ρ d( v = ρ d(u + v = ρ ( d ( Φ + ( Φ Gleichzeitig gilt dp = c dρ, sodass folgt: dρ = ρ ( c d ( Φ + ( Φ In Komponenten: ρ = ρ c ( Φ Φ + Φ Φ Einsetzen in die Kontinuitätsglechung ergibt: Umsortieren: ( Φ ρ + Φ Φ ρ c ( Φ Φ + Φ ρ = ρ c Φ Φ ( 1 1 ( c ( Φ Φ c ( Φ Φ ( Φ Φ ρ c c Φ + Φ Φ ( Φ Φ + Φ Φ Φ =. Φ = Grundriss (Zuspitzung, Pfeilung. Profil (Dicken und Wölbungsverteilung 3. Verwindung und Neigung (V-Stellung 5. Ähnlichkeitsparameter: Reynoldssche Ähnlichkeit: Re = ρul η Machsche Ähnlichkeit: Ma = u a Außerdem sind die Randbedingungen für Modelle im Windkanal mit denen der umströmten Körper in Originalgröße gleich zu halten. 6

7 Unterschied Vorteile Nachteile Unterschied Vorteile Nachteile Eiffel-Windkanal keine Rückführung des Dtrömungsmediums geringe Baukosten, große Abmessungen für Modelle möglich Geschwindigkeit niedrig, hoher Energiebedarf, begrenzte Messzeiten Göttinger Windkanal Strömungsmedium wird über Diffusoren und Umlenkecken zurückgeführt (Kreislauf unabhängig von Ansaugbedingung (Umgebung, höhere Geschwindigkeiten, geringer Energiebedarf, große Messzeiten hohe Baukosten, großer Platzbedarf, Selbstverschmutzung 7

8 Lösung. Aufgabe: Konforme Abbildungen (17 Punkte (LÖSUNG 1. Vor- und Nachteil: exaktes Verfahren, aber nur zweidimensional anwendbar. Anwendbarkeit: inkompressible, stationäre, rotationsfreie und reibungsfreie Strömung.. Potentialfunktion in der z-ebene: F (z = w e iα (z x + w e iα R z x + iγ π ln(z x 3. Es ergibt sich die Umströmung eines symmetrischen Profils. Durch eine Verschiebung des Kreises enlang der x-achse wird die Dickenverteilung variiert. z = x + Re iϕ ζ = z + a a = x + R z ζ = x + Re iϕ + (x + R x + Re iϕ = x (x + R + Rcosϕ + irsinϕ + x + Rcosϕ + irsinϕ ξ = x + Rcosϕ + η = irsinϕ ζ = x + Rcosϕ + irsinϕ + (x + R (x + Rcosϕ irsinϕ (x + Rcosϕ + R sin ϕ ( 1 + (x + R (x + Rcosϕ (x + Rcosϕ + R sin ϕ = (x + Rcosϕ (x + R (x + x Rcosϕ + R (x + R ( irsinϕ (x + Rcosϕ + R sin ϕ = irsinϕ (x + R 1 (x + x Rcosϕ + R Snittpunkte mit der ξ-achse: ξ HK (ϕ = = (x + R = a ξ V K (ϕ = π = (x R (1 + (x + R (x R = x + R x R = + x ar R x < a η ζ Ebene I -a I a ξ Eine zusätzliche Verschiebung entlang der y-achse würde die Wölbung des Profils verändern. 8

9 η ζ Ebene -a I I a ξ 4. Die Kutta Bedingung besagt, dass es an einer unendlich dünnen Hinterkante nicht zur Umströmmung kommt und das Fluid glatt abfließt. In der ζ-ebene muss somit die Geschwindigkeit an der Hinterkante w ζ (z = a endlich sein. Betrachtet man jedoch den Kreiszylinder in der z-ebene, so befindet sich an der Stelle z=a ein Staupunkt, womit die Bedingung w z (z = a = erfüllt sein muss. mit z = x + Re iϕ w z = df (w dz = e iα w e iα R (z x + iγ 1 π (z x w z = ( w e iα w e iα e iϕ + iγ πr e iϕ Für die Hinterkante gilt: ϕ HK =, somit gilt für den Staupunkt: ( w z (ϕ = = w e iα w e iα + iγ πr =. Somit ergibt sich für Γ iw sinα + iγ πr =. Γ = 4πRw sinα. 9

10 Lösung 3. Aufgabe: Skeletttheorie (17 Punkte (LÖSUNG 1. Die Skelett-Theorie geht von dünnen Profilen, kleinen Anstellwinkeln und inkompressibler, stationärer, rotationsfreier und reibungsfreier Strömung aus.. Die kinematische Strömungbedingung besagt, dass die Skelettlinie, auf der Profiloberseite und Profilunterseite näherungsweise zusammenfallen, eine Stromlinie ist. Das heißt, dass kein Massentransport normal zur Skelettlinie stattfindet. Der resultierende Geschwindigkeitsvektor an der Skelettlinie ist tangential zu dieser, die Geschwindigkeitskomponente normal zur Skelettlinie muss verschwinden. Unter Berücksichtigung der Anströmung und der Störgeschwindigkeiten u und w sowie des Anstellwinkels α ergibt sich: sin(α γ u sin(γ + w cos(γ = [sin(α cos(γ sin(γ cos(α] u sin(γ + w cos(γ = [sin(α tan(γ cos(α] u tan(γ + w = Linearisierung (schlankes Profil: sin(α α, cos(α 1, u tan(γ Daraus ergibt sich: (α tan(γ + w = tan(γ = α + w tan(γ = dz(s dx dz(s dx = α + w 1

11 3. Transformation: x = l (1+cos(ϕ X = x l = 1+cos(ϕ Ableitung: dx = 1 sin(ϕ dϕ Grenzen: X = ϕ = π X = 1 ϕ = w(x = 1 π w(ϕ = 1 π 1 π γ(x dx X X γ(ϕ 1 sin(ϕ dϕ 1 (1 + cos(ϕ 1 (1 + cos(ϕ = 1 π π γ(ϕ sin(ϕ dϕ cos(ϕ cos(ϕ 4. Bestimmung der Koeffizient A bis A n Es handelt sich laut Aufgabenstellung um eine angestellte ebene Platte. Daraus folgt, dass A n = mit n 1. Für A : Mit der Beziehung: tan( ϕ = 1 cos(ϕ sin(ϕ und dem Ansatz von Ackermann und Birnbaum für die Zirkulationsverteilung (A n =, n 1, folgt für die vertikale Störgeschwindigkeit: w(ϕ = 1 π π Mit Hilfe des Glauertschen Integrals folgt somit γ(ϕ sin(ϕ dϕ cos(ϕ cos(ϕ = A π w(ϕ = A Einsetzen in die kinematische Randbedingung ergibt: π 1 cos(ϕ cos(ϕ cos(ϕ dϕ dz (s dx = α + w = α A Da es sich um eine ebene Platte handelt ist dz(s dx 5. Bestimmung des Nickmomentebeiwerts Für den Nickomentenbeiweirt gilt: = und somit: A = α 11

12 c m,nase = = = l l c p XdX = π π γ(x XdX γ(ϕ (1 + cos(ϕ ( 1 sin(ϕdϕ γ(ϕ (1 + cos(ϕ ( 1 sin(ϕdϕ mit der Zirkulationsverteilung nach Birnbaum-Ackermann für die ebene Platte (alle Glieder A n =, n 1und mit der Beziehung: ergibt sich für den Nickmomentenbeiwert: tan( ϕ = 1 cos(ϕ sin(ϕ π 1 cos(ϕ (1 + cos(ϕ c m,nase = 4A ( 1 sin(ϕ sin(ϕdϕ π π = A (1 cos(ϕ(1 + cos(ϕdϕ = A (1 cos(ϕ dϕ = A (π [ ϕ sin(ϕ]π ( = A π π (1 Der Momentenbeiwert ergibt sich zu: c m,nase = π α 6. Bestimmung des Durckbeiwerts auf der Oberseite für eine Machzahl Ma=.6: Der Druckbeiwert im inkompressiblen auf der Oberseite ergibt sich nach der Skeletttheorie zu: Damit gilt für den Druckbeiwert für die Oberseite: c p = γ. c p = α tan( ϕ Mit der Prandl-Glauert-Regel lässt sich der Wert auf den kompressiblen Wert korregieren: c p,komp. = c p,inkomp. = α tan( ϕ =.5α tan( ϕ (1 Ma