Aufgaben und Lösungen zur Klausur. Aerodynamik II M U S T E R L Ö S U N G E I N S I C H T N A H M E

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik II, Bachelor Fragenteil, kompressible Strömung, Skelett-Theorie Aufgaben und Lösungen zur Klausur Aerodynamik II M U S T E R L Ö S U N G E I N S I C H T N A H M E

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sinx±y = sinx cosy±siny cosx cosx±y = cosx cosy sinx siny sin x+cos x = sinx = sinx cosx sinx = sinx/ cosx/ sin x = cosx cos x = +cosx cosx = cos x sin x tan x = cosx +cosx tan x sinx = cosx sinx sinnx = cos[n+x] cos[n x] sin[n+x] sin[n x] = cosnx sinx n sinnϕ p sinnϕ = 4 ln cosϕp +ϕ cosϕ p ϕ n= Integrale ax+b dx = a lnax+b x ax+b dx = x a b a lnax+b x X dx = [ ] a 3 X bx+b lnx mit X = ax+b sinaxdx = cosax a cosaxdx = + sinax a sin axdx = x 4a sinax cos axdx = x + 4a sinax sin 3 axdx = cos3 ax cosax 3a a cos 3 axdx = sin3 ax 3a + sinax a cos 4 axdx = 3 sinax x+ + sin4ax 8 4a 3a sinaxcosaxdx = sin ax a sinn ϕ cosp ϕdϕ = cosn ϕ cosp ϕdϕ = sinn ϕ sinp ϕdϕ = Glauert-Integral { π/ n = p n p { π/ n = p n p { π/ n = p n p cosn ϕ cosϕ cosϕ dϕ = π sinn ϕ sinϕ cosax cosbxdx = sin[a bx] a b + sin[a+bx] a+b a b } } }

3 . Aufgabe: Fragenteil 7 Punkte. Erläutern Sie die Ausbreitung der Charakteristiken am Ein- und Austritt eines numerischen Rechengebietes anhand einer Skizze und gehen Sie genauer auf die Unterschiede zwischen Über- und Unterschallströmung am Ein- und Austritt ein.. Welche Größen sind für die Widerstands- und Auftriebsbestimmung eines Profils relevant, dessen supersonische Umströmung mit Hilfe der linearisierten Störpotentialgleichung berechnet wird? 3. Erläutern Sie den Effekt der Pfeilung anhand einer Skizze. Zeichnen Sie den Verlauf des Druckbeiwerts auf der Ober- und Unterseite eines Profilschnitts NACA, α > eines Rechteckflügels und eines gepfeilten Flügels bei inkompressibler Strömung. 4. In nachstehender Abbildung ist die Verteilung des Druckbeiwerts einer inkompressiblen Strömung mit freier Transition und glatter Oberfläche bei einem Anstellwinkel von α = 5 um ein NACA- Profil gegeben..5 c p x/c a Zu welcher Reynoldszahl a Re = 5 oder b Re = 7 gehört die Verteilung. Begründen Sie Ihre Antwort. b Welches Ablöseverhalten auf der Ober- und Unterseite erwarten Sie bei einer der Reynoldszahl von Re = 4 und α = 5? Zeichnen Sie qualitativ die Verteilung des Druckbeiwerts auf der Ober- und Unterseite. 5. Erläutern Sie stichpunktartig den Transitionsvorgang in einer laminaren Grenzschicht hin zu einer vollturbulenten Strömung. In welchem Reynoldszahlbereich ist der laminar-turbulente Umschlag bei einer ebenen Plattenströmung zu erwarten? Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 3

4 . Aufgabe: Kompressible Strömungen 7 Punkte Zur Grundauslegung eines Überschalljets wird ein Doppelkeil mit einem Öffnungswinkel ǫ = und der Länge l unter dem Anstellwinkel α = 5 und einer Machzahl M = 5. angeströmt. M = 5.,p y x α 3 ǫ 4 6 l 5. Zeichnen Sie qualitativ das System aus Verdichtungsstößen, Expansionsfächern und Machschen Linien auf der Ober- und Unterseite des Keils ein.. Zeichnen Sie qualtitativ den Druckverlauf über der Oberseite des Keils für den Bereich, und Ermitteln Sie mit der Stoßpolaren und den angegebenen Isentropenbeziehungen die Machzahl M 3 und das Druckverhältnis p 3 /p. 4. Wie lautet das Verhältnis der Totaldrücke p 4 zu p? Geben Sie den Grund dafür an. 5. Leiten Sie den Widerstandsbeiwert c D aus dem Druckbeiwert c p = ±β als Funktion von α und ǫ M her. Hinweise: β bezeichnet den Umlenkwinkel der Strömung, bezeichnet die Unterseite, + die Oberseite. Die Kraft in x Richtung pro Keilsegment kann allgemein mit berechnet werden. F x = l l c p ±βdx q 6. Zeichnen Sie qualitativ den Hodographen in einem u/c v/c -System für die Strömung entlang einer Stromlinie S durch die Bereiche, 3, und 5 auf der Keiloberfläche, ohne Berücksichtigung des abschließenden Schrägstoßes in Bereich Die Anströmmachzahl wird auf M =.3 gesenkt. Erklären Sie kurz, ob sich charakteristische Veränderungen in der Strömung in den Bereichen und 3 im Vergleich zum Strömungsfeld von M = 5. ergeben. Gegeben: M = 5.,p, q = ρ u, α = 5, ǫ =, Isentropenkoeffizient κ =.4; Hinweis: Grad Bogenmaß

5 ν [ ] Prandtl Meyer Winkel Machzahl M Abbildung : Prandtl-Meyer-Winkel ν über Machzahl M Machzahlverhältnis über senkrechten Verdichtungsstoß.9 Machzahl, M Machzahl, M Abbildung : Machzahlverhältnis M zu M über einen senkrechten Verdichtungsstoß Druckverhältnisse Druckverhältnis p /p, isentr. Beziehung p /p, Druckverh. senkr. Stoß Machzahl, M Abbildung 3: Druckverhältnisse über senkrechten Verdichtungsstoß und isentropes Druckverhältnis über der Machzahl M 5

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7 3. Aufgabe: Skelett-Theorie 6 Punkte Gegeben ist der allgemeine Fourier sche Reihenansatz nach Birnbaum-Ackermann und Glauert für die Zirkulationsverteilung eines Skelettprofils in einer Parallelströmung mit der Anströmgeschwindigkeit u. γϕ = u A tan ϕ N + A n sinnϕ. Leiten Sie explizit den Auftriebsbeiwert für ein Profil unter Berücksichtigung der Koeffizienten A und A der Birnbaum-Ackerman schen Normalverteilungen her. Lösung: c a = π A + A Beim einem Modellwettbewerb für Schnellboote wollen Sie mit einem Tragflügelboot gewinnen. Dabei erzeugt ein Flügel im Wasser soviel Auftrieb, dass der vordere Rumpf des Boots aus dem Wasser gedrückt wird. Die Flügelsehne wird parallel zur Anströmung festgestellt. Gegeben sei der Nullauftriebswinkel α und der Momentenbeiwert um die Nase c mn =. n=. Ermitteln Sie unter Verwendung der kinematischen und geometrischen Randbedingungen die Koeffizienten A, A und A der induzierten Abwärtsgeschwindigkeit w a siehe Hinweis in Abhängigkeit der gegebenen Größen für die oben genannte Konfiguration. 3. Erläutern Sie die geometrischen Eigenschaften von A, A und A. Gegeben: u, α, c mn = Hinweis: w a = w = A + u X = +cosϕ,mit X = x l N A n cosnϕ n= = πu c m = c a 4 π 4 A +A γx dx X X 7

8 . Aufgabe: Fragenteil 7 Punkte. Die Betrachtung der Charakteristiken an Ein- und Ausströmrändern zeigt: Mögliche Randbedingungen an Ein- und Austritt bei Unterschall: Entritt: ρ = ρ =, u = u, v = v vorgeben; p = p extrapol aus dem Feld extrapoliert. Austritt: p = p vorgeben; ρ = ρ extrapol =, u = u extrapol, v = v extrapol aus dem Feld extrapolieren. Mögliche Randbedingungen an Ein- und Austritt bei Überschallschall: Entritt: ρ = ρ =, u = u, v = v und p = p vorgeben; Austritt: ρ = ρ extrapol =, u = u extrapol, v = v extrapol und p = p extrapol aus dem Feld extrapolieren.. In einer supersonischen Strömung über dünne Profile sind für die Widerstandsberechnung folgende Parameter relevant: Dickenverteilung, Anstellwinkel, Wölbung Zur Auftriebsberechnung ist lediglich der Anstellwinkel relevant. 3. Die schematische Darstellung der Geschwindigkeitsverteilung inkompressibler Strömung an einem gepfeilten Flügel ist in folgender Abbildung gegeben. V T = V sinϕ ϕ V ϕ V N = V cosϕ l l l N = lcosϕ Die Verläufe der Druckbeiwerte im Profilschnitt für einen Recheckflügel und einen Pfeilflügel sind unter Berücksichtigung von c p,ϕ,ik = cosϕc p,ϕ=,ik in der nachstehenden Abbildung gezeigt. 4. Die Verteilung gehört zu der höheren Reynoldszahl Re = 7, da bei diesem Anstellwinkel eine ausgeprägte Saugspitze auftritt und weiter stromabwärts kein Ablösegebiet ersichtlich ist. 8

9 Rechteckflügel Pfeilflügel.5 c p x/c In folgender Abbildung ist der Verlauf des Druckbeiwerts für Re = 4 dargestellt. Es tritt auf der Oberseite ein großes Ablösegebiet auf, wobei die Strömung nicht wiederanlegt. Auf der Unterseite tritt bei einer Reynoldszahl von Re = 4 und α = 5 kein Ablösegebiet auf. Der Verlauf des Druckbeiwerts auf der Unterseite zeigt keine Ablösung. Der Verlauf ist einer verschwindenden Krümmung der Stromlinien nahe der Kontur geschuldet..5 Massive Ablösung auf der Oberseite, kein Wiederanlegen der Strömung c p x/c Transitionsvorgang in einer Grenzschicht: In einer anfangs laminaren Strömung existiert abhängig von äußeren Bedingungen z.b. Turbulenzgrad in der Anströmung ein breites Spektrum an instationären Störungen in v i und p. Ein schmales Frequenzband, in welchem die relevanten Wellenzahlen und Wellenlängen u. a. von der Verdrängungsdicke und der Reynoldszahl abhängen, führt zu einer Anfachung der zwei-dimensionalen Instablität der Strömung, den sog. Tollmien-Schlichting Wellen. Stromab davon bilden sich sog. Λ-Strukturen bzw. deren Untergattungen, die im weiteren Verlauf auseinanderbrechen. Es bilden sich darauf turbulente Flecken, die weiter stromab eine voll ausgebildete turbulente Strömung ergeben. Der Umschlag ist bei beiner Reynoldszahl bezogen auf die Lauflänge von Re x = zu erwarten. Der genaue Wert hängt maßgeblich von den vorhandenen initialen Störungen in der Grenzschicht ab. 9

10 . Aufgabe: Kompressible Strömungen 7 Punkte. Stoßsystem am Keil: Machsche Linie Expansion Schräger Stoß Schräger Stoß Expansion Machsche Linie. Druckverteilung im Bereich, und 4: y p p p 4 x 3. Mit der Anströmmachzahl M = 5. und einem Umlenkwinkel von = ǫ/+α gibt mit Hilfe der Schrägstoßpolaren einen Stoßwinkel θ. Die normalen Machzahl ermittelt sich aus: M,n = M sinθ }{{}.3 M,n.5 aus Abb.. wird M 3,n.7 ermittelt. Die Strömungsmachzahl M 3 errechnet sich aus: M 3,n M 3 = sinθ ǫ/ α }{{}. M 3 3.5

11 aus Abb..3 und der Machzahl normal zum Stoß M,n ergibt sich ein Druckverhältnis p 3 /p Der Verhältnis der Totaldrücke ist. Grund: Die Strömung durchläuft auf der Oberseite bis im Bereich 4 lediglich isentrope Zustandsänderungen, die keine Änderung des Totaldrucks bewirken. 5. Unter Berücksichtigung der Hinweise und c D = D q l l = l 4 = l/ und l 3 = l 5 = l/ integral schreiben: lässt sich für die 4 Seiten des Keils mit den Längen c D,oben = l c D,unten = l l/ l l/ c p,oben, β oben, dx+ l c p,unten, β unten, dx+ l l/ l c p,oben, β oben, dx l/ c p,unten, β unten, dx Die Umlenkwinkel β auf der Ober- und Unterseite setzen sich wie folgt zusammen: β oben, = α+ǫ/ und β oben, = α ǫ/ β unten, = α ǫ/ und β unten, = α+ǫ/ Daraus folgt für c D = c D,oben +c D,unten : l c D = [ α+ǫ/ +α+ǫ/ ] dx l M c D = l [ α +ǫ / ] dx l M 4 α + ǫ 4 c D = M 6. Hodograph entlang der Stromlinie S v c M = M 3 M 5 Expansionscharakteristik M = u/c M = κ+ κ u c Stoßcharakteristik Umlenkwinkel ǫ/ + α 7. Bei einer Absenkung der Anströmmachzahl auf M =.3 ergibt sich bei α = 5 und ǫ = auf der Unterseite des Keils ein starker Verdichtungsstoß siehe Stoßpolare.

12 3. Aufgabe: Skelett-Theorie 6 Punkte. Nach Kutta-Zhukowski gilt für den Auftrieb: A = ρu bγ mit Γ = l γxdx = l γx l d x l = l γxdx c a = A ρu lb = Γ U l c a = Γ U l = U und mit der Transformationsvorschrift cosϕ = X folgt: γxdx c a = U X = cosϕ+ dx = sinϕdϕ γϕ sinϕdϕ Die Zirkulationsverteilung für die ersten drei Birnbaum-Ackermann schen Normalverteilungen lautet: ϕ γϕ = U A tan +A sinϕ Zu Integral I: c a = = [ mit Hinweis tan ϕ sinϕ = cosϕ: Zu Integral II: II = I = = ϕ A tan ϕ A tan +A sinϕ sinϕdϕ+ } {{ } I ϕ A tan sinϕdϕ A cosϕ sinϕ sinϕdϕ = = A π [sinϕ] π = A π sinϕdϕ sin ϕdϕ] } {{ } II A cosϕdϕ [ ϕ sin ϕdϕ = A ] π π 4 sinϕ = A 4 sinπ Somit lautet der Auftriebsbeiwert: π c a = I +II = A π +A = π A + A = A π

13 . Die induzierte Abwärtsgeschwindigkeit für die ersten drei Normalverteilungen lautet: mit der Transformationsvorschrift: w a ϕ = w U = A A cosϕ A cosϕ = A A cosϕ A cos ϕ sin ϕ = A A cosϕ A cos ϕ ergibt sich für die induzierte Abwärtsgeschwindigkeit: X = cosϕ+ cosϕ = X w a X = w U = A A X A X +A = A A X A 8X 8X + +A = A A X A 8X 8X + einsetzen in die kinematische Stömungsbedingung mit α = aus Aufgabenstellung: α= Z s X X = α+w {}}{ ax = A A X A 8X 8X + Integration ergibt für die Skelettlinie: Einsetzen der Randbedingungen: Z s X = A X A X X 8 A 3 X3 4X +X +C 3 ZX = = C = ZX = = = A + A 3 Mit der Formel für den Auftriebsbeiwert ergibt sich: A = A 3 c a = π A + A ca A = π A 4 5 Der Momentenbeiwert ist gegeben als: c m = = c a 4 π 4 A +A 6 einsetzen von 5 in 6 und Auflösen nach A ergibt A = c a π ca π A einsetzen von 4 in 7 und unter Verwendung von c a = πα α = πα : 7 3

14 A = c a π ca π A = c a π ca π A 3 = c a π + 3 A = 6c a π = α einsetzen in 4 ergibt: A = c a π A = 4α Damit ergibt sich schließlich A zu: ca A = π A ca = π + 4c a π = 5c a π = α 3. Der Koeffizient A beschreibt die Anstellung des Profils, A die Wölbung des Profils und A den S-Schlag. 4