Klausur Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E

Transkript

1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik I Fragenteil, Biot-Savart, Tropfentheorie

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sin(x±y) = sin(x) cos(y)±sin(y) cos(x) cos(x±y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin (x)+cos (x) = sin(x) = sin(x) cos(x) sin(x) = sin(x/) cos(x/) sin (x) = ( cos(x)) cos (x) = (+cos(x)) cos(x) = cos (x) sin (x) tan( x ) = cosx +cosx tan( x ) sin(x) = cos(x) sin(x) sin(nx) = (cos[(n+)x] cos[(n )x]) sin[(n+)x] sin[(n )x] = cos(nx) sin(x) n sin(nϕ p) sin(nϕ) = ( 4 ln cos(ϕp +ϕ) ) cos(ϕ p ϕ) n= Integrale ax+b dx = a ln(ax+b) x ax+b dx = x a b a ln(ax+b) x X dx = [ ] a 3 (X) b(x)+b ln(x) mit X = ax+b sin(ax)dx = cos(ax) a cos(ax)dx = + sin(ax) a sin (ax)dx = x 4a sin(ax) cos (ax)dx = x + 4a sin(ax) sin 3 (ax)dx = cos3 (ax) cos(ax) 3a a cos 3 (ax)dx = sin3 (ax) 3a + sin(ax) a cos 4 (ax)dx = 3 sin(ax) x+ + sin(4ax) 8 4a 3a sin(ax)cos(ax)dx = sin (ax) a sin(n ϕ) cos(p ϕ)dϕ = cos(n ϕ) cos(p ϕ)dϕ = sin(n ϕ) sin(p ϕ)dϕ = Glauert-Integral { / n = p n p { / n = p n p { / n = p n p cos(n ϕ ) cos(ϕ) cos(ϕ ) dϕ = sin(n ϕ) sin(ϕ) cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] (a b) + sin[(a+b)x] (a+b) a b } } }

3 . Aufgabe: Fragenteil (7 Punkte). Sie wollen die Aerodynamik eines Formel- Boliden bei maximaler Fahrgeschwindigkeit in einem Windkanal untersuchen. Erläutern Sie, wie sich dabei der Bodeneffekt modellieren lässt. Begründen Sie kurz Ihre Antwort.. Nennen Sie zwei Methoden zur Messung des statischen Druckes an einem Flügel im Windkanal. Geben Sie jeweils einen Vorteil der jeweiligen Methode an. 3. (a) Wie ist die Grundgeometrie in der komplexen z-ebene zu wählen, um durch die Transformation mittels der konformen Zhukhovski-Abbildungsfunktion ζ = z+ a z in der komplexen ζ-ebene ein Parabelskelett zu bekommen? (b) Wie lautet die Bedingung in der kompexen z-ebene, damit die Kuttasche Abflussbedingung in der ζ-ebene erfüllt ist? 4. (a) SiewollendieDruckverteilunganeinemsymmetrischangeströmtenNACA5ProfilbeiMa =. mit Hilfe der Göthertschen Formulierung des Kompressibilitätsgesetzes bestimmen. Wählen Sie für ein Wasserschleppversuch aus der NACA 4er-Reihe ein geeignetes Vergleichsprofil und begründen Sie Ihre Antwort. (b) Zur Bestimmung des Auftriebsbeiwertes können Sie für den Wasserschleppversuch auch das Originalprofil NACA 5 nehmen. Wie groß ist der Auftriebsbeiwert des NACA 5 Profils bei Ma =., wenn es im Wasser einen Auftriebsbeiwert von c l =. besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort. 5. (a) Skizzieren Sie in einem Diagramm den Verlauf des Widerstandbeiwertes über der Machzahl der freien Anströmung für ein konventionelles Profil und ein superkritisches Profil. (b) Stellen Sie den maßgebenden Unterschied zwischen diesen zwei Profilarten mittels einer Skizze der Druckbeiwertverteilung entlang der Saugseite dar. Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 3

4 . Aufgabe: Biot-Savart (5 Punkte) Zur Vorauslegung eines Flugzeuges mit einem Channel Wing (siehe linkes Bild) soll das entstehende Wirbelsystem eines Halbflügels in einem Windkanalversuch untersucht werden. Dafür ist der Halbflügel einseitig bei y = an der Windkanalwand eingespannt. Das vereinfachte System der gebundenen Wirbel des Flügels sei idealerweise gegeben (siehe rechtes Bild). V R=b/ 3Γ Γ Γ b/3 b/3 3Γ Windkanalwand. Erläutern Sie den dritten Helmholtzschen Wirbelsatz und für welche Strömungen er gültig ist.. Übertragen Sie die Skizze des gebundenen Wirbelsystems des Channel-Flügels in ihren Lösungsbogen und vervollständigen Sie diese durch alle freien Wirbel entsprechend dem dritten Helmholtzschen Wirbelsatz. Geben Sie dabei den Wert und die Drehrichtung der Zirkulation jedes freien Wirbels explizit an. Zur Vereinfachung wird im folgenden Aufgabenteil nur das untere Halbkreissegment des Flügels betrachtet (siehe Skizze weiter unten) V z x y 3Γ P 3. Leiten Sie allgemein aus dem Biot-Savartschen Gesetz, die durch den gebundenen Wirbel des Halbkreissegments induzierte Geschwindigkeit im Punkt P(L, b,) her und geben Sie explizit ihre x, y und z-komponenten an. Gegeben: Γ,b,L d v i = Γ f 4 a d s f a 3 Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 4

5 3. Aufgabe: Tropfentheorie (8 Punkte) Die Bedeutung der Korrektur nach Riegels im Rahmen der Tropfentheorie soll am Beispiel der Umströmung eines schlanken elliptischen Profils mit dem Achsenverhältnis δ = d/l und der zugehörigen Konturgeometrie für die Oberseite Z (t) (X) = δ X( X) demonstriert werden. (t) Z =z/l δ=d/l U.5. X=x/l. Leiten Sie die Bestimmungsgleichung für die Quellendichte q(x) = U dz dx her.. Zeigen Sie, dass der elliptische Profiltropfen durch den Reihenansatz nach Riegels mit b = δ und b n = (n ) beschrieben wird. 3. Bestimmen Sie die Quellendichteverteilung q(ϕ) des elliptischen Profils. Skizzieren Sie ohne weitere Rechnung sorgfältig den Verlauf von q(x) entlang der Profilsehne. 4. Bestimmen Sie die axiale Störgeschwindigkeit u s (ϕ). 5. Bestimmen Sie die nach Riegels korrigierte Geschwindigkeitsverteilung V k (ϕ) auf der Kontur des Profiltropfens.. Zeigen Sie, dass die Verwendung des Korrekturfaktors nach Riegels für Profile mit einer abgerundeten Nase notwendig ist, indem Sie den Wert der Geschwindigkeit an der Nase des gegebenen elliptischen Profiltropfens diskutieren. Gegeben: δ, U Hinweise: Reihenansatz nach Riegels: Z t (ϕ) = N b n sin(n ϕ) n= axiale Störgeschwindigkeit: u s (X) = q(x ) X X dx vertikale Störgeschwindigkeit: v s (X) = ± q(x) Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels: V k (X) = (U +u s (X)) +( dz dx ) Trigonometrische Substitution: X = (+cos(ϕ)) Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 5

6 . Aufgabe: (LÖSUNG) Fragenteil (7 Punkte). Der Bodeneffekt wird durch eine mit der Fahrzeuggeschwindigkeit bewegte untere Windkanalwand modelliert (sog. moving belt ). Ohne die Wandbewegung würde sich nicht nur auf dem Fahrzeugboden, sondern auch auf der unteren Kanalwand eine Grenzschicht ausbilden (Anströmen eines auf der Ebene feststehenden Fahrzeugs), was nicht dem realen Fall entspricht.. Manometer (U-Rohr). Vorteil: Einfachheit. Piezzo-Element. Vorteil: hohe zeitliche Auflösung. Drucksensitive Farbe (PSP). Vorteile: Nicht invasiv, hohe räumliche Auflösung. 3. (a) In der komplexen z-ebene ist ein Zylinder mit dem Zentrum im Punkt (;iy ) (vertikale Verschiebung um y ) und dem Radius R = a +y (Durchgang durch den Punkt x = ±a) zu definieren. (b) w(x = a) = (Staupunkt am Zylinder in der komplexen z-ebene) 4. (a) Göthertsche Formulierung des Kompressibilitätsgesetzes erfordert eine Geometrietransformation in y-richtung mit dem Faktor t = Ma =. =.4 =.8. Das NACA 5 Profil besitzt die relative Dicke von 5%. Die relative Dicke des transformierten Profils für den Wasserschleppversuch soll deshalb (d/l) ink =.8.5 =. betragen. Es soll somit ein NACA Profil genommen werden. (b) Mit Hilfe der Prandtl-Glauert-Ackeret-Regel kann die Kompressibilitätskorrektur direkt ohne Geometrietransformation durchgeführt werden. Der Auftriebsbeiwert bei Ma =. ergibt sich somit zu c l Ma=. = c link =. Ma.8 =.5

7 5. (a) Beachten: Näherungsweise konstanter Verlauf von c d bis hin zur kritischen Machzahl und eine Verschiebung der Divergenzmachzahl zu höheren Werten. c d konventionelles Profil Überkritisches Profil M (b) Beachten: Kleinere Druckspitzen durch moderate Strömungsbeschleunigung. Als Folge wird eine isentrope Rückkehr vom lokalen Überschallbereich in die subsonische Strömung, d.h. ohne Verdichtungsstoß, erreicht). -c p -c p c p,krit c p,krit 7

8 . Aufgabe: (LÖSUNG) Biot-Savart (5 Punkte). Der 3. Helmholtzwsche Wirbelsatz : In einer reibungsfreien barotropen Strömung mit konservativen Volumenkräften und einem nichtrotierenden Koordinatensystem ist die Zirkulation bzw. Der Wirbelfluß einer Wirbelröhre konstant. Die Wirbelröhre endet auf fester Wand oder ist geschlossen.. Skizze mit Wirbelsystem 3Γ Γ Γ 3Γ Windkanalwand 5Γ 5Γ Γ 3. Lösungsvariante : Die allgemeine Gleichung für die durch eine Wirbelröhre im Raum induzierte Geschwindigkeit lautet: z z Γ y ds f r a P-r a P x r a y l d v i = Γ f a d s 4 a 3 () l P =, r a = rcos(ϕ), d s f = r sin(ϕ)dϕ () rsin(ϕ) rcos(ϕ)dϕ Das Kreuzprodukt a d s f = ( P r a ) d s f ergibt somit: l {}}{ r cos(ϕ) r sin(ϕ)dϕ = r ( cos (ϕ)+sin (ϕ))dϕ rl cos(ϕ)dϕ (3) r sin(ϕ) rcos(ϕ)dϕ rl sin(ϕ)dϕ 8

9 l Der Betrag a = P r a ist: l r cos(ϕ) r sin(ϕ) = l +r (4) Mit Γ f = 3Γ, r = b und l = L ergeben sich die induzierten Geschwindigkeitskomponenten zu: r dϕ v x V = v y Γ f = v z 4 lr cos(ϕ)dϕ = l +r 3 lr sin(ϕ)dϕ Γ b 48 (( b ) +L ) 3 Γ bl 4 (( b ) +L ) 3 (5) Lösungsvariante : Die allgemeine Gleichung für einen Wirbel im Raum lautet: d v i = Γ f a d s f 4 a 3 ( a d s f = a d s f sin ) a d s f = a b dϕ (b ) a = +L d v ind = 3Γ ( b )dϕ 4 a Aufgrund der Symmetrie entlang der (x, y = b/, z = )-Achse ist die induzierte Geschwindigkeit v y,ind = Für die restlichen Komponenten der Geschwindigkeit gilt: dv x,ind = d v ind sinβ dv z,ind = d v ind cosβsinϕ z z y ll r a 3Γ a dv i P x r a ds f y 9

10 Mit sinβ = b (b ) +L und cosβ = (b L ) +L Es ergibt sich somit: v z,ind = v x,ind = 3Γ 4 ( ( b 3Γ 4 b ( ( b ) +L ) b ) +L ) (b b (b ) dϕ = Γ +L 48 L ) sinϕdϕ = Γ +L 4 b ( ( b ) +L ) 3 bl ( ( b ) +L ) 3

11 3. Aufgabe: (LÖSUNG) Tropfentheorie (8 Punkte). Alternative : Aus der kinematischen Randbedingung: w k U u k (t) dz /dx Z (t) folgt: dz (t) dx = w k U +u k Für dünne Profille gilt: w k w s = q(x) und u k << U (nicht im Staupunkt!!!). Somit ergibt sich für die Quellendichte q(x): Alternative : Aus der Kontinuitätsbeziehung: Z=z/l q(x) = U dz dx. (U +u)z (U +u+du)(z+dz) Z t+ (X) U X=x/l /q(x)dx. (U +u) Z + qdx = (U +u+du)(z +dz) U Z +uz + qdx = U Z +uz +Zdu+U dz +udz +dudz Nach der Linearisierung (keine Terme. Ordnung) ergibt sich: q = Z du dx +U dz dx +udz dx = d(u +u) Z +(U +u) dz dx dx = q = d dx [(U +u)z] (Produktregel) Mit U >> u (nicht im Staupunkt) folgt: q = d[u Z] dx = U dz dx q(x) = U dz dx.. Mit der trigonometrischen Substitution X = (+cos(ϕ)) folgt: Z (t) (X) = δ X( X) Z (t) (ϕ) = δ (+cosϕ)( (+cosϕ)) = δ δ (+cosϕ)( cosϕ)) = ( cos ϕ) = δ sinϕ

12 Der Koeffizientenvergleich mit dem Reihenansatz nach Riegels Z t (ϕ) = N n= b n sin(n ϕ) liefert: b = δ und b n =, n 3. Quellendichtenverteilung q(ϕ): dz q(ϕ) = U dx = U dz dϕ dϕ dx Mit dz dϕ = δ δ dx cosϕ und dϕ = sinϕ folgt: q(ϕ) = U cosϕ sinϕ = U δcotϕ Skizze (Schließungsbedingung beachten): q(x).5. X=x/l / 4. Axiale Störgeschwindigkeit: u s (ϕ) = = U q(x ) X X dx = U δ dϕ cosϕ (cosϕ cosϕ ) = U δ 5. Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels V k (ϕ) = (U +u s (X)) = +( dz dx ) = dz dx dx X X = U dz dϕ dx dϕ dx X X cosϕ dϕ cosϕ cosϕ = U δ (U +u s (ϕ)) +( dz dϕ dϕ dx ) (U +δ +U δ) = U +( δcotϕ) +δ cot ϕ. Bei Profilen mit abgerundeter Nase besitzt die Strömung bei X = einen Staupunkt, d.h.: (Ohne den Korrekturfaktor) V(X = ) = U +u s! = Mit dem unter 4. erhaltenen Ergebnis (u s = U δ) kann diese Bedingung (u s = U δ! = U ) für kein physikalisch sinnvolles δ erfüllt werden, was zu einem Fehler in der Nähe des Staupunktes führt. Mit dem Riegelsfaktor κ = erfüllt die Konturgeschwindigkeit die Bedingung V k(x = ) +( dz dx ) für gerundete Nasenformen automatisch, da der Faktor für dz dx selbst zu wird. In weiterer Entfernung vom Staupunkt ist dz dx verschwindet (κ = +( dz dx ) ). für schmale Profile klein, so dass der Riegelsfaktor dort effektiv