Institut für Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit. Übung zur Vorlesung Schiffspropeller SS Prof. Dr.-Ing.

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1 Institut für Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit Übung zur Vorlesung SS 14 Prof. Dr.-Ing. Stefan Krüger Dipl.-Ing. Christoph Steinbach Dipl.-Ing. Übung 1: Geschwindigkeitsverteilung auf D-Tragflügelprofilen

2 Übung SS14 Grundsätzliches Im Rahmen der Übung soll von den Teilnehmern der Lehrveranstaltung zu verschiedenen Fragestellungen ein Programm geschrieben werden. Hierzu werden drei Aufgaben ausgegeben.termine und Ablauf der Übung ist dem auf der Homepage vorhandenen Ablaufplan zu entnehemen. Die Aufgaben soll in einer höheren Programmiersprache durchgeführt werden. Generell wird jedoch dringend empfohlen die Übungen in Fortran zu bearbeiten, da wir nur hierzu Programmierhilfe leisten können. Fortran Compiler werden in allen gängigen Linux Distributionen (z.b. g95, gfortran) zur Verfügung gestellt. Unter Windows kann der Fortran Compiler von Silverfrost empfohlen werden ( der für akademische Zwecke kostenlos ist. Die Lösungen der Aufgaben sollen in vernünftiger schriftlicher Form (ca. ein bis zwei DIN A4 Seite) ausgearbeitet werden, wobei die wesentlichen Ergebnisse wenn möglich graphisch aufbereitet werden sollen. Für die graphische Aufarbeitung der Lösungen wird das Programm gnuplot empfohlen, welches sowohl unter Linux als auch unter Windows zur Verfügung steht. Die Teilnahme an der Übung ist nicht verpflichtend, jedoch werden die abgegebenen Lösungen bewertet und als Teil der Prüfungsleistung berücksichtigt. Die Erfahrung zeigt auch, dass Programmierübungen wesentlich zum Verständnis der Vorlesungsinhaltes beiträgen. Die Aufgaben können in Gruppen von Personen bearbeitet werden. Aufgabenstellung Die Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung um ein D-Tragflügelprofil kann unter anderem mit Hilfe der linearen Profiltheorie durchgeführt werden. Hierzu wird das Umströmungsproblem in zwei Teile aufgespalten, die Umströmung des Profiltropfen für die Verdrängungswirkung des Profils und die Umströmung der Skelettlinie des Profils für die Bestimmung des Auftriebs. Die beiden Anteilen werden anschließend zu der Gesamtlösung superpositioniert. Eine verbreitete Profilserie ist die vierziffrige NACA-Serie deren Tropfenform bzw. Skelettlinie durch analytische Funktionen beschrieben werden. Die Gleichung der Dickenlinie Y D (x) der vierziffrigen NACA Profiltropfen lautet: Y D (x) = Y Dmax (a x + a1 x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 ) (1) während die Gleichung der Skelettlinie Y S (x) gegeben ist durch: ( ( ) ) xf x Y S (x) = ɛ 1, x x f () x f ( ( ) ) x xf Y S (x) = ɛ 1, x x f (3) 1 x f Die Profilform setzt sich aus Skelettlinie und Tropfenform durch Überlagerung der beiden Anteile zusammen. 1/4

3 Übung SS14 Y Saugseite (x) = Y S (x) + Y D (x) (4) Y Druckseite (x) = Y S (x) Y D (x) (5) Es soll ein Programm geschrieben werden mit dem die normierte Geschwindigkeitsverteilung U ( x C ) auf der Profilkontur bestimmt werden kann. Mit Hilfe dieses Programms sollen folgende Darstellungen erzeugt werden: Normierte Geschwindigkeitsverteilung (-5,,5,1, deg - jeweils alle Profile in einem Plot für einen Anstellwinkel gegenübergestellt - Größe des Plots DIN A4-quer) Verläufe des Druckbeiwertes (-5,,5,1, deg - jeweils alle Profile in einem Plot für einen Anstellwinkel gegenübergestellt - Größe des Plots DIN A4-quer) Für einen Anstellwinkel von deg und 5 deg den Plot der ersten 4 Birnbaumkoeffizienten Verlauf des Auftriebsbeiwertes und des Momentenbeiwertes um die Vorkante für den Bereich -1 deg bis +1 deg Bestimmen sie außerdem für eines der Profile die Ergebnisse für eine Anströmgeschwindigkeit von 1 m s und eine Sehnenlänge von 3m Die zu verwenden Profile sind: NACA 6 NACA NACA 41 NACA 441 Variieren Sie für sich die Anzahl der unterschiedlichen Koeffizienten und die Anzahl der Stützstellen und wählen Sie begründet ein letztendliches Setup für Ihre Berechnungen. Einige wichtige Gleichungen Die normierte Geschwindigkeit um ein Profil ist gegeben durch: U = 1 + U q ± U γ 1 + q (6) Für den Tropfenanteil der Geschwindigkeit U q gilt: U q (x) = 1 π 1 q(ξ) dξ (7) x ξ /4

4 Übung SS14 Die in der Darstellung enthaltenen normierte Quellbelegung q(x) folgt direkt aus der Strömungsrandbedingung am Profiltropfen: q(x) = q(x) U = dy D(x) (8) Wechselt man auf die trigonometrische Variable x = 1 (1 cos τ), τ π bzw. ξ = 1 (1 cos θ), τ π und entwickelt die Dickenlinie in eine Fourierreihe gilt Y D (τ) = 1 Für die Ableitung der Dickenlinie ergibt sich dann mit der Kettenregel dy D (x) b j sin(jτ). (9) = dy D(τ) dτ dτ = 1 Die Ableitung der Variablentransformation ergibt j b j cos(jτ) dτ. (1) dτ = sin(τ) bzw. dτ =. (11) sin(τ) Setzt man diese Ergebnisse in die oben gegebene Integralgleichung für die quellinduzierte Geschwindigkeit ein und kürzt die Terme folgt U q (τ) = 1 π 1 dy D (θ) dθ dθ cos τ cos θ = 1 1 N j b j cos(jτ)dθ. (1) π cos τ cos θ Dies ist das s.g. Glauertsche Integral dessen Summenglieder die Lösung besitzen U q (τ) = j b j sin(jτ) sin(τ). (13) Für die durch die Wirbelbelegung der Skelettlinie induzierte Geschwindigkeit gilt U γ (τ) = γ (τ) = A cot( τ N U ) + A j sin(jτ). (14) Die Glieder dieser unter dem Namen Birnbaumreihe bekannten Reihe lassen sich einfach durch numerische Differentiation der Skelettlinie nach x und numerischer Integration folgender Integrale berechnen. und für die anderen Terme A = β 1 π A n = π π π dy s (x) dy s (x) dθ, (15) cos(nθ)dθ. (16) Eingesetzt in die Gleichung für die Wirbel induzierte Geschwindigkeit kann U γ (x) bestimmt werden. 3/4

5 Übung SS14 Ausgezeichnete Werte Für zwei Punkte lassen sich nun ausgezeichnete Werte bestimmen nämlich die Lage des Staupunktes und die Geschwindigkeit an der Vorkante (das Cotangensglied der Birnbaum-Reihe wird hier singulär). Leiten Sie analytisch die Formel für die Lage des Staupunktes her. Dort muss gelten So dass die Gleichung nach θ umgestellt werden kann: U =. (17) = 1 + U q ± U γ. (18) 1 + q Gegebenenfalls sind die Sinus und Cosinus Funktionen durch ihre Reihendarstellung zu ersetzen und Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden. Leiten sie außerdem eine Formel für den exakten Wert der Geschwindigkeit an der Vorkante (τ = ) her. (τ = ) = 1 + U q(τ = ) ± U γ (τ = ). (19) U 1 + q(τ = ) Hier ist gegebenenfalls die Regel von L Hospital anzuwenden. Verwenden sie diese Herleitung in der Programmierübung. Hinweise Es ist sinnvoll alle Berechnungen normiert auf die Sehnenlänge C = 1 und die Anströmgeschwindigkeit U = 1 durchzuführen Erzeugen Sie sich ein Gitter mit n Stützstellen und konstantem τ Bleiben Sie im τ-system und ordnen Sie jedem τ-wert ein x-wert zu. Hinweise Gängiger und in der Vorlesung angesprochenen Literatur: Dietrich Hummel - Aerodynamik I/II (ISBN / ) Abbot/Doenhoff - Theory of Wing Sections Isay - Propellertheorie 4/4