Klausur Aerodynamik (DPO) M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E

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1 1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik DPO) M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik DPO) Fragenteil, Biot-Savart, Tropfentheorie, Traglinientheorie

2 2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sinx±y) = sinx) cosy)±siny) cosx) cosx±y) = cosx) cosy) sinx) siny) sin 2 x)+cos 2 x) = 1 sin2x) = 2 sinx) cosx) sinx) = 2 sinx/2) cosx/2) sin 2 x) = cos2x)) cos 2 x) = cos2x)) cos2x) = cos 2 x) sin 2 x) tan x 2 ) = 1 cosx 1+cosx tan x ) sinx) = 1 cosx) 2 sinx) sinnx) = 1 2 cos[n+1)x] cos[n 1)x]) sin[n+1)x] sin[n 1)x] = 2 cosnx) sinx) 1 n sinnϕ p) sinnϕ) = 1 4 ln 1 cosϕp +ϕ) ) 1 cosϕ p ϕ) n=1 Integrale 1 ax+b dx = 1 a lnax+b) x ax+b dx = x a b a 2 lnax+b) x 2 X dx = 1 [ 1 ] a 3 2 X) 2bX)+b2 lnx) mit X = ax+b sinax)dx = cosax) a cosax)dx = + sinax) a sin 2 ax)dx = x 2 1 4a sin2ax) cos 2 ax)dx = x a sin2ax) sin 3 ax)dx = cos3 ax) cosax) 3a a cos 3 ax)dx = sin3 ax) 3a + sinax) a cos 4 ax)dx = 3 sin2ax) x+ + sin4ax) 8 4a 32a sinax)cosax)dx = sin2 ax) 2a π sinn ϕ) cosp ϕ)dϕ = π cosn ϕ) cosp ϕ)dϕ = π sinn ϕ) sinp ϕ)dϕ = Glauert-Integral π { π/2 n = p n p { π/2 n = p n p { π/2 n = p n p cosn ϕ ) cosϕ) cosϕ ) dϕ = π sinn ϕ) sinϕ) cosax) cosbx)dx = sin[a b)x] 2a b) + sin[a+b)x] 2a+b) a b } } }

3 3 1. Aufgabe: Fragenteil 15 Punkte) 1. Erklären Sie stichpunktartig, wie eine stationäre zweidimensionale isoenergete drehungs- und reibungsfreie Anströmunglokal in Rotation rot V) ) versetzt werdenkann. Begründen Sie, warumdas Feld danach lokal rotationsbehaftet ist. 2. Nennen Sie ein Beispiel für einen kontinuierlich arbeitenden Windkanal und ein Beispiel für einen intermittierend arbeitenden Windkanal. Nennen Sie jeweils einen Vorteil für eine offene und eine geschlossene Windkanalmessstrecke. 3. Wie macht sich eine laminare Ablöseblase im Verlauf des Druckbeiwertes c p und des Wandschubspannungsbeiwertes c f eines Profils bemerkbar? evtl. mit Skizze) 4. Welchen Vorteil besitzt die Methode der konformen Abbildung im Vergleich zu Singularitätenverfahren. Welchen Vorteil besitzen die Letzteren im Vergleich zur Ersteren? 5. Erklären Sie stichpunktartig das Phänomen des Buffetts. 6. Zeichnen Sie sorgfältig in einem einzelnen Diagramm 2 Druckbeiwertverlaufe c p X)) für ein NACA 12 Profil für eine reibungslose Anströmung bei: a) einen Anstellwinkel von α = und Ma =.4 b) einen Anstellwinkel von α = 3 und Ma =.4 Beachten Sie die Relation der Verläufe zueinander und markieren Sie eindeutig die Zugehörigkeit der Linien zum Anstellwinkel! Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!

4 l 4 2. Aufgabe: Biot-Savart 14 Punkte) Es wird ein Wirbelsystem bestehend aus zwei unterschiedlich großen r und R) koaxialen Kreiswirblen mit Zirkulation Γ 1 und Γ 2 s. Skizze) betrachtet. z Γ 2 Γ 1 y P x l 1. Erläutern Sie anhand der Aufgabe den 3. Helmholtz schen Wirbelsatz. 2. Leiten Sie allgemein aus dem Biot-Savart schen Gesetz die induzierten Geschwindigkeiten für den Wirbel 1 Γ 1 ) im Punkt P her: d v i = Γ a d s 4π a 3 1) 3. Der momentane axiale Abstand zwischen den Ringen beträgt l = r 3. Bestimmen Sie das Verhältnis 8r+R der Zirkulationen Γ 1 /Γ 2 so, dass die induzierte Geschwindigkeitskomponenteim Punkt P v x = Γ 2 16Rr beträgt. Wie groß sind die Geschwindigkeitskomponenten v y,v z. Begründen Sie Ihre Antwort. Die Abhängigkeit des Abstandes l vom Radius r sei nun unbekannt. Der Einfluss des Wirbels 1 auf sein Zentrum sowie der Einfluß des Wirbels 1 auf den Wirbel 2 kann dabei vernachlässigt werden. 4. Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf der Geschwindigkeit des Zentrums des ersten Wirbels über der x-achse [ < x < 2l] bei festgehaltenem, konstantem Wirbel 2. Gegeben: r,r,l Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!

5 5 3. Aufgabe: Tropfentheorie 18 Punkte) Im Rahmen eines Flügelvorentwurfs soll die Umströmung eines einfachen symmetrischen Profils mittels der Tropfentheorie untersucht werden. Z=z/l Z t+ X) Ma 1. X=x/l Z t- X) Das Profiltropfen soll dabei mittels der ersten beiden Koeffizienten des Reihenansatzes nach Riegels mit b 1 = 2C und b 2 = C angenähert werden. 1. Bestimmen Sie die relative Dickenrücklage X d sowie die Konstante C, wenn die relative Dicke des Profils δ = d max /l =.2 betragen soll. 2. Leiten Sie die Bestimmungsgleichung für die Quellendichte qx) = 2U dz dx her. 3. Bestimmen Sie die axiale Störgeschwindigkeit uϕ) in Abhängigkeit von C. 4. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung der vertikalen Störgeschwindigkeit die Verteilung des Druckbeiwertes c p X) dieses Profils bei der Machzahl Ma =.6. Gegeben: b 1 = 2C, b 2 = C, δ = d max /l =.2, Ma =.6. Hinweise: Reihenansatz nach Riegels: Z t ϕ) = ± 1 2 N b n sinn ϕ) n=1 axiale Störgeschwindigkeit: ux) = 1 1 qx ) 2π X X dx X = cosϕ)) qx) = 2U dz dx Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!

6 6 4. Aufgabe: Traglinientheorie 13 Punkte) ω R r r u = x b Eine Windenergieanlage soll bei windstille auf ihre axialen Lasten F x am Getriebekopf getestet werden. Der Rotor hat drei Blätter mit konstanter Breite b, bei denen nur der Anteil r r R aerodynamisch als relevant angesehen wird. In erster Näherung können die Dreidimensionalität des Strömungsfeldes vernachlässigt und von einer stationären Anströmung jedes Rotorblattes ausgegangen werden. 1. Ein Generator lässt nun die Blätter mit ω rotieren. Geben Sie die Gleichung für die lokale Anströmgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Radius r eines Rotorblattes an und skizzieren Sie diese für den tragenden Teil des Blattes. Tragen Sie in Ihre Skizze die Randwerte der Geschwindigkeitsverteilung ein. 2. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Kutta-Zhukovski die Auftriebsverteilung l Blatt r) entlang eines Rotorblattes. 3. Welche maximale Rotationsgeschwindigkeit ω max ist erlaubt, wenn eine Kraft F x,max am Getriebekopf nicht überschritten werden darf? Welche Aussage lässt sich über den Einfluss von r /R auf errechnete Rotationsgeschwindigkeit ω treffen? 4. Bestimmen Sie die Verteilung des Auftriebsbeiwertes c L r), die sich für diesen Fall ergibt. Geben Sie die verwendeten Referenzgrößen explizit an! Gegeben: Maximalkraft am Getriebekopf F x,max, Anzahl der Rotorblätter s, Sehne der Rotorblätter b, Radius R, Radius r =.1 R, Zirkulation Γ, Freie Anströmung u = Hinweis: Zirkulationsverteilung: Γr) = Γ [3 1 r ) r ) r ) ] R R R

7 7 1. Aufgabe: LÖSUNG) Fragenteil 15 Punkte) 1. Eine stationäre zweidimensionale drehungs- und reibungsfreie Anstr romung kann durch einen gekrümmten Verdichtungstoß lokal in Rotation rot V) ) versetzt werden. Nach einem gekrümmten Verdichtungsstoß besitzt das Feld nun einen Entropiegradient normal zu den Stromlinien. Aus dem Crocco schen Wirbelsatz, der auf dem Impulssatz, dem 2. Satzes der Thermodynamik sowie dem Energiesatzes beruht, folgt, dass in diesem Fall das Strömungsfeld auch drehungsbehaftet ist rot V) ). 2. Kontinuierlich arbeitende Windkanäle: z.b. Windkanäle Göttinger und Eiffel Bauart. Intermittierend arbeitende Windkanäle: z.b. Stoßrohr, Druck- oder Vakuumspeicher-Windkanäle. Vorteile der offenen Messstrecken: einfacher und kostengünstiger Aufbau, Umgebungsdruck, kleinere Verblockung. Vorteile der geschlossenen Messtrecken: höherer Gütegrad, einfachere u. umweltfreundliche Verwendung anderer Media zur Sichtbarmachung der Strömung. 3. Eine laminare Ablöseblase macht sich durch eine Abflachung im Verlauf des Druckbeiwertes c p und durch negative Werte des Wandschubspannungsbeiwertes c f bemerkbar. -c p c f A B X A B A B 4. Die Methode der konformen Abbildung liefert exakte Lösungen der Umströmung eines Profils, während die Singularitätenverfahren z.b. Skelett- und Tropfentheorie, Panelverfahren) Näherungsverfahren sind. Der Vorteil der Letzteren ist, dass sie für beliebige Körperformen anwendbar sind, für die sich keine konforme Abbildung finden lässt. Außerdem ist die Methode der konformen Abbildung nur zweidimensional, während Panelverfahren auch dreidimensional verwendet werden können. 5. Als Buffet bezeichnet man sich selbsterhaltende Stoßschwingungen bei transsonischer Strömung, die durch die Wechselwirkung zwischen Stoß und Grenzschicht hervorgerufen werden. 6. NACA 12 ist ein symmetrisches Profil mit 12 % relativer Dicke. Bei einem Anstellwinkel von α = und Ma =.4 fallen die Linien für den Druckbeiwert auf der Saug- und Druckseite zusammen kein Auftrieb). Bei einem Anstellwinkel von α = 3 und Ma =.4 ist der folgende Druckbeiwertverlauf zu erwarten keine Verdichtungsstöße aufgrund niedriger Machzahl sowie keine Ablösungen wg. Reibungsfreiheit).

8 8 α = α = 3 X

9 9 2. Aufgabe: LÖSUNG) Biot-Savart 14 Punkte) 1. Der 3. Helmholtz sche Wirbelsatz besagt, dass die Zirkulation einer Wirbelröhre konstant ist und die Wirbelröhre entweder geschlossen ist oder auf einer festen Wand endet. Dies ist auch der Fall bei dieser Aufgabe, denn die Zirkulation jedes Ringwirbels ist konstant entlang des Umfangs und die Wirbel sind geschlossen. 2. Die allgemeine Gleichung für die durch eine Wirbelröhre im Raum induzierte Geschwindigkeit lautet: l P =, r a = d v i = Γ a d s 4π a 3 2) v i = Γ a d s 4π a 3 3) rcosϕ), d s f1 = rsinϕ) r sinϕ)dϕ rcosϕ)dϕ 4) z z Γ 1 y ds f φ r a φ P-r a P x r a φ y l Das Kreuzprodukt P r a ) d s f1 ergibt somit: 1 l {}}{ r cosϕ) r sinϕ)dϕ = r2 cos 2 ϕ)+sin 2 ϕ))dϕ rl cosϕ)dϕ 5) r sinϕ) rcosϕ)dϕ rl sinϕ)dϕ Der Betrag P r a ist: l r cosϕ) r sinϕ) = l 2 +r 2 6) Damit ergeben sich die induzierten Geschwindigkeitskomponenten vom Wirbel 1 im Punkt P zu: r 2 dϕ v 1x V 1 = v 1y Γ 2π 1 = v 1z 4π lr cosϕ)dϕ = l 2 +r 23 2π lr sinϕ)dϕ 2π Γ 1 r 2 2 l 2 +r 23 7)

10 1 3. Die induzierte Gesamtgeschwindigkeit im Punkt P setzt sich zusammen aus den induzierten Geschwindigkeitskomponten des 1. und des 2 Wirbels. Die Komponenten des ersten Wirbels sind aus a) schon bekannt. Für Wirbel 2 ergibt sich aus 8) analog mit l =, Radius R und Zirkulation Γ 2 : v 2x Γ 2 r 2 Γ 2 V 2 = v 2y 2 = 2 +r 23 2R = 8) v 2z Somit lautet die gesamte induzierte Geschwindigkeit im Punkt P: v x v x1 +v x2 v y = v y1 +v y2 = v z v z1 +v z2 Für die x-komponente der Geschwindigkeit soll gelten: Γ 1 r 2 + Γ 2 l 2 +r 23 2R Γ 1 16r + Γ 2 2R = Γ 8r +R 2 16Rr Γ 1 + 8rΓ 2 R = Γ 8r +R 2 R Γ 1 = Γ 2 8r R Γ 2 = Γ 1 16r + Γ 2 2R 9) 1) 11) 8r R +Γ 2 12) Γ 1 Γ 2 = 1 13) 4. Für die Geschwindigkeitsverteilung über der x-achse für das Zentrum des 1. Wirbels gilt:.5 v x.4.3 vx x

11 11 3. Aufgabe: LÖSUNG) Tropfentheorie 18 Punkte) 1. Mit der Verwendung der ersten beiden Koeffizienten des Ansatzes nach Riegels und b 1 = 2C, b 2 = C folgt für die Oberseite des Profils: Z t+ ϕ) = 1 2 b n sinn ϕ) = Csinϕ+Csin2ϕ) n=1 = Csinϕ+ C sin2ϕ = Csinϕ+Csinϕcosϕ = Csinϕ1+cosϕ) 2 Mit X = cosϕ)): 1+cosϕ = 2X und sinϕ = 1 cos 2 ϕ = 1 2X 1) 2 Z t+ X) = 4C X 3 X 4 2. Aus der Kontinuitätsbeziehung: Z=z/l dz dx = 4C3X2 4X 3 ) 2 X 3 X 4 = X d = 3 4 Dickenrücklage) ZX d ) = 3 4 C 3 ˆ= δ 2 =.1 C = U +u)z U +u+du)z+dz) Z t+ X) U 1/2qX)dX 1. X=x/l U +u) Z qx)dx = U +u+du)z +dz) folgt für die Quellstärke qx) = 2U +u) dz dx 2U dz dx 3. Mit dem Hinweis für ux) und X = cosϕ) sowie dx = 1 2sinϕdϕ folgt für uϕ): uϕ) = 1 π qϕ )sinϕ ) 2π cosϕ) cosϕ ) dϕ

12 12 Die Quellstärke in Abhängigkeit von ϕ ergibt sich zu: dz dϕ qϕ) = 2U dϕ dx = 4 U dz sinϕdϕ = 4 U C sinϕ cosϕ+cos2ϕ) Eingesetzt in die Integralbeziehung für uϕ) ergibt sich: Mit Hilfe des Glauert Integrals uϕ) = 1 π 2π π 4U Ccosϕ +cos2ϕ ) cosϕ) cosϕ dϕ ) cosn ϕ ) cosϕ) cosϕ ) dϕ = π sinn ϕ) sinϕ) bestimmt sich die axiale Störgeschwindigkeit uϕ) zu: uϕ) = 2U C1+ sin2ϕ sinϕ ) = 2U C1+2cosϕ) 4. Die Verteilung desdruckbeiwertesc p X) bei dermachzahl Ma =.6 wirdnachderprandtl-glauert- Regel aus dem Druckbeiwert im inkompressiblen Fall bestimmt c p X) Ma=. Unter Vernachlässigung der vertikalen Störgeschwindigkeit gilt für den inkompressiblen Fall M a = ) die Bernoulli-Gleichung: p + 2 U2 = px)+ 2 U +ux)) 2 c p X) Ma= = px) p 2 U2 = 2U ux)+u 2 X) U 2 2uX) U Mit der Rücksubstitution cosϕ = 2X 1 folgt aus uϕ) für ux): ux) = 2U C4X 1) c p X) Ma= = 4C4X 1) c p X) Ma=.6 = 1 4C4X 1) c p X) Ma= = 1 Ma

13 13 4. Aufgabe: LÖSUNG) Traglinientheorie 15 Punkte) 1. ωr u Geschwindigkeit : ur) = ω r Steigung : dur) dr = ω ωr r R r 2. Bestimmung der Auftriebskraft bezogen auf einen Schnitt in radialer Richtung Kutta-Zhukovski: l = ρ ur) Γr) dl dr = l Blattr) = ρ ur) Γr) = ρ ωr Γ [4 1 r R = ρωγ r 1 R) r [ 4 = 4ρωΓ r 1 r ) r 2 R R) ) r R 1 2 r r ) 2 ) 8+8 R + r ] R R +4 ) r ) ] R

14 14 3. Integrale Auftriebskraft eines Blattes: L Blatt = = R ρ ur) Γr)dr r [ 3 R r ρ ωr Γ = ρωγ R r r = ρωγ R r r = ρωγ R r r 1 r ) r ) r R R R) ] dr 1 R) r [ r r ) 2 ) 8+8 R + r ] R R +4 dr ] 1 r ) [ 4 8 r R R +4r 2 r 8+8 R 1 R) r ) r 2 4 dr R) 5R 4r) r 4 R = 4ρωΓ 2 R 3 r [ 5R 4R) R 4 = 4ρωΓ 2 R 3 5R 4r ) r 4 2 R 3 = 4ρωΓ 1 2 R2 }{{} K1 =,2 ρωγ R 2 4,6R 1 4 R 4 2 R 3 } {{ } K2 ] R +4 dr F x,max = L ges = s L Blatt = s,2 ρω max Γ R 2 ω max = F x,max s,2 ργ R 2 Da K2/K1 O 3, folgt daraus, dass das Verhältnis r /R einen vernachlässigbaren Einfluss auf die zu ermittelnde Rotationsgeschwindigkeit besitzt. 4. Referenzgrößen: Fläche eines Rotorblattes: A = b R r ) Staudruck, z.b bei r=r: qr = R) = 1 2 ρ u2 r = R) = 1 2 ρ ω2 R 2 Allgemeine Definition des Auftriebsbeiwert: c L r) = lr) A q = ρ ur) Γr) b R r ) 1 2 ρ ω2 R 2 2 r Γ [3 1 r ) r ) r ) ] R R R = br r ) ω R 2