Klausur Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E

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Rüdiger Morgenstern
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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik I Fragenteil, Biot-Savart, konforme Abbildung

2 . Aufgabe: Fragenteil (7 Punkte). Inwiefern findet der dritte Helmholtzsche Wirbelsatz Anwendung, wenn ein Tragflügel mit endlicher Spannweite aus der Ruhe beschleunigt wird? 2. In welche zwei grundsätzlichen Bauarten lassen sich kontinuierliche Windkanäle einteilen? Nennen Sie jeweils einen Vor- und einen Nachteil jeder Bauart. 3. Wenden Sie die Prandtl-Glauert-Ackeret Regel auf den Auftriebsanstieg ca α einer ebenen Platte an und stellen Sie diesen Verlauf graphisch dar. Geben Sie die Werte für ca α bei entsprechenden Vergleichsmachzahlen an und markieren Sie die Gültigkeitsbereiche der Regel. 4. (a) Geben Sie die geometrischen Parameter des Profils NACA-242 mit epliziter Angabe der Bedeutung der Ziffern an. (b) Skizzieren Sie für dieses Profil den zu erwartenden Verlauf des Druckbeiwertes c p (X) für α = 0, Ma = 0.4 und Re l = 50000, der sich aus dem unten dargestellten Verlauf des Reibungsbeiwertes c f ergibt. Nennen Sie eplizit die auftretenden Strömungsphänomene. Oberseite Unterseite Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 2

3 2. Aufgabe: Biot-Savart (7 Punkte). Leiten Sie aus dem Biot-Savart schen Gesetz dv i = Γ r d s 4π r 3 die Gleichung für die von einer geraden Wirbellinie induzierte Geschwindigkeit her. Bilden Sie zudem den Grenzwert für einen halbunendlichen sowie unendlichen Wirbel. 2. Im Folgenden werden zwei koaiale Ringwirbel in der yz-ebene mit entgegengesetzten Zirkulationsrichtungen Γ und Γ 2 betrachtet (siehe Skizze). y Γ 2 Γ R R 2 z (a) Bestimmen Sie zuächst alle Komponenten der vom äußeren Ringwirbel induzierten Geschwindigkeit v () entlang der -Achse. (b) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der aialen Geschwindigkeitskomponente u () entlang der -Achse mit Angabe der Grenzwerte, die vom äußeren Rignwirbel induziert werden. (c) Bestimmen nun alle Komponenten der von beiden Ringwirbeln induzierten Geschwindigkeit V als Funktion von Γ, Γ 2, R, R 2. (d) Bestimmen Sie das Verhältnis Γ /Γ 2 als Funktion von R /R 2, so dass die Geschwindigkeit u an den Stellen = R 2 sowie = R 2 zu Null wird. Gegeben: R, R 2, Γ, Γ 2 3

4 3. Aufgabe: Konforme Abbildung (6 Punkte) Gegeben sei die Zhukhovski Abbildungsfunktion: ζ = z + a2 z (). Was sind die Voraussetzungen der Methode der konformen Abbildung? Nennen Sie ferner einen Vorsowie einen Nachteil der Methode. 2. Stellen Sie eine komplee Potentialfunktion F (z) auf, die die Umströmung eines vom Ursprung des Koordinatensystems um y = y 0 vertikal verschobenen Zylinders mit dem Radius R unter dem Winkel α beschreibt (siehe Skizze). U Γ α y y 0 y R φ φ β α 3. Welche Strömung ergibt sich in der ζ-ebene bei der Anwendung der Zhukhovski Abbildungsfunktion auf die in Aufgabenteil 2 hergeleitete komplee Potentialfuktion F (z) und was bewirkt die Verschiebung des Kreises um y = y 0? 4. Wie lautet die Kutta sche Abflussbedingung in der ζ-ebene und wie lautet diese in der z-ebene? Geben Sie eplizit die Position der Hinterkante in der z-ebene an. 5. Bestimmen Sie die Zirkulation Γ als Funktion der gegebenen Größen, so dass die Kuttasche Bedingung erfüllt wird. Gegeben: U, α, β, R Parallelströmung: F (z ) = U z ; Dipol: F 2 (z ) = M 2πz mit M = 2πU R 2 ; Potentialwirbel: F 3 (z ) = iγ 2π ln(z ); Hinweis: Beachten Sie die unterschiedlichen Koordinatensysteme. 4

5 . Aufgabe: (LÖSUNG) Fragenteil (7 Punkte). Der 3. Helmholtzsche Wirbelsatz besagt, dass die Zirkulation bzw. Wirbelfluss einer Wirbelröhre konstant ist. Daraus folgt, dass die Wirbelröhre auf einem festen Rand bzw. im Unendlichen endet oder in sich geschlossen ist. Der gebundene Wirbel entlang der Tragfläche endlicher Spannweite kann an deren Enden nicht aufhören, sondern geht in zwei freie Wirbel über, welche sich parallel zur Anströmung vom Profil entfernen. Wird ein zuerst ruhendes Profil bewegt, so bildet sich ein sog. Anfahrwirbel aus. Der III. Helmholtz sche Wirbelsatz bedingt, dass sich die freien Wirbel mit dem Anfahrwirbel verbinden und somit mit dem gebundenen Wirbel eine geschlossene Wirbellinie bilden. 2. Eiffel-Windkanal (offen): Vorteile: geringe Baukosten, große Abmessungen für Modelle möglich. Nachteile: hoher Energiebedarf, Abhängigkeit von Umgebungsbedingungen. Göttinger-Windkanal (geschlossen): Vorteile: unabhängig von Ansaugbedingungen, geringer Energiebedarf. Nachteile: größerer Platzbedarf, Selbstverschmutzung, Aufheizung etc. 3. Nach der Prandtl-Glauert-Ackeret Regel wird der Auftriebsanstieg für eine kompressible Strömung aus der Skalierung der Steigung des Auftriebsbeiwertes bei Vergleichsmachzahlen bestimmt. Vergleichsmachzahlen: Ma v = 0 für Ma 0.8 mit ca α Ma v=0 = 2π Ma v = 2 für.2 Ma 5 mt ca α Ma v= 2 = 4. Der Skalierungsfaktor ist. Ma 2 c lα Transschall Hyperschall 2π 4 2π 2 (-Ma ) 4 2 ( Ma -) 0 2 Ma 5

6 4. (a) NACA-242 ist ein Profil der NACA 4er Reihe mit den folgenden Parametern, wobei die Prozentangaben auf die Sehnenlänge bezogen werden:. Die relative Profildicke beträgt 2 Prozent (3. und 4. Ziffern). 2. Die relative Profilwölbung beträgt 2 Prozent (. Ziffer). 3. Die Wölbungsrücklage ist bei 40 Prozent (2. Ziffer multipliziert mit 0). (b) (i) eingeschlossene Fläche etwas größer 0 (schwach gewölbtes Profil bei α = 0 erzeugt Auftrieb) (ii) Maimum im Verlauf von c p auf der Druckseite (Beschleunigung/Verzögerung) (iii) Hinterkantenablösung (negativer Verlauf von c f und näherungsweise konstanter c p ) (iv) Beschleunigung der Grenzschicht an der Druckseite in der Nähe der Hinterkante - Abfall in c p (II) (I) (III) (IV) 6

7 2. Aufgabe: Biot-Savart (7 Punkte) (LÖSUNG). Herleitung der Wirbellinie: Kreuzprodukt und Geometrie: r d s = a ds (Fläche des Parallelogramms) sin(ϕ) = a r = rdϕ ds ds r 2 = dϕ und a = rsin(ϕ) a Der Absolutbetrag der induzierten Geschwindigkeit ergibt sich somit zu: w i = dv i = Γ r d s 4π r 3 = Γ a ds 4π S r 3 = Γ 4π Γ sinϕds 4π S r 2 = Γ ϕ2 sinϕdϕ = Γ ϕ2 4π a 4πa Halbunendlicher Wirbel: Unendlicher Wirbel: w i = ϕ Γ 4πa (cosϕ cosϕ 2 ) ϕ = π/2 und ϕ 2 = π w i = Γ 4πa ϕ = 0 und ϕ 2 = π w i = Γ 2πa ϕ S sinϕdϕ rsinϕds r 3 7

8 2. Berechnung der Geschwindigkeitskomponenten: Herleitung Ringwirbel y R φ Γ r ds z 3. Geschwindigkeitsverlauf: 0 R 2 r = R cos(ϕ) d s = R sin(ϕ) dϕ r d s = R cos(ϕ) dϕ R sin(ϕ) R cos(ϕ) R sin(ϕ) Γ u = 4π ( 2 + R 2)3 Γ 2π u y = 4π ( 2 + R 2)3 Γ u z = 4π ( 2 + R 2)3 0 2π Rdϕ 2 Γ R 2 = 2 ( 2 + R 2)3 0 2π 0 R cos(ϕ)dϕ = 0 R sin(ϕ)dϕ = 0 u 4. Induzierte Geschwindigkeit bei Überlagerung: u ( ) 0 und u ( ) 0 u = Γ R 2 2 ( 2 + R 2 )3 Γ 2 R2 2 2 ( 2 + R 2 2 )3 u y = 0 u z = 0 5. Verhältnis von Γ /Γ 2 als Funktion von R /R 2 für = R 2 und = R 2 mit u = 0: Γ R 2 2 (R R2 )3 = Γ 2 R2 2 2 (R R2 2 )3 Γ Γ 2 = ( R 2 R ) 2 [ (R R 2 ) 2 ] 3/2 8

9 3. Aufgabe: Konforme Abbildung (6 Punkte) (LÖSUNG). Voraussetzungen: inkompressibel, reibungsfrei, zweidimensional. Vorteil: eaktes Verfahren. Nachteile: die Abbildungsfunktion ist für eine allgemeinere Geometrie schwierig zu bestimmen. 2. Potenzialfunktion in der z -Ebene: F (z ) = U z + U R 2 z + iγ 2π ln(z ) Transformation: z = Re iϕ + iy 0 = Re i(ϕ +α) + iy 0 = Re iϕ e iα + iy 0 = z e iα + iy 0 z = (z iy 0 )e iα Potenzialfunktion in der z-ebene: F (z) = U e iα (z iy 0 ) + U e iα R 2 z iy 0 + iγ 2π ln(z iy 0) + Γα 2π 3. In der ζ-ebene wird eine gekrümmte Platte umströmt, wobei eine Verschiebung der Kreises in y- Richtung die Krümmung der Platte erhöht. 4. Die Kutta sche Bedingung besagt, dass es an einer unendlich dünnen Hinterkante nicht zur Umströmmung kommt und das Fluid glatt abfließt. In der ζ-ebene bedeutet dies, dass an der Hinterkante die Strömung glatt mit einer endlichen Geschwindigkeit abfließt. In der z-ebene entspricht dies einem Staupunkt an der Position z = a. 5. Komple konjugierte Geschwindigkeit: mit flogt: w ζ = ( a2 z 2 ) An der Hinterkante gilt: z = a, womit a2 z 2 w ζ = df dζ = df dz dz dζ dz dζ = a2 z 2 (U e iα U e iα R 2 (z iy 0 ) 2 + iγ 2π zu Null wird. Damit die Geschwindigkeit endlich bleibt, muss (U e iα U e iα R 2 (z iy 0 ) 2 + iγ 2π gelten. ) (z iy 0 ) ) = 0 (z iy 0 ) Mit z iy 0 = Re iβ an der Hinterkante folgt: ( U e iα U e iα e i2β + iγ ) 2πR eiβ = 0 9

10 iγ = 2πRU e iα e iβ + 2πRU e iα e iβ iγ = 2πRU ( e i(α+β) + e i(α+β) ) Γ = 4πRU sin(α + β) 0

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