Auszug aus: Mechanik der Kontinua

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1 Auszug aus: Mechanik der Kontinua J. L. van Hemmen Ein Vorlesungs-Skriptum ausgearbeitet von C. Reisinger und J.-M. P. Franosch J. L. van Hemmen 2006

2 Kapitel 1 Komplexe Geschwindigkeitsfelder 1.1 Einführung Sei v = (v 1, v 2 ) ein C 1 Geschwindigkeitsfeld im R 2 mit v i = v i (x 1, x 2 ), das eine inkompressible Flüssigkeit divv = 1 v v 2 = 0 (1.1) ohne Wirbel beschreibt, so dass gilt. Definition 1 (Komplexe Geschwindigkeit) rot v = 0 1 v 2 2 v 1 = 0 (1.2) Die komplexe Geschwindigkeit F ist definiert als F := v 1 iv 2 (1.3) Definition 2 (Analytische Funktion) Eine Funktion f(z) heißt analytisch (oder auch holomorph) an der Stelle z 0, falls f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 existiert und unabhängig vom Weg z z 0 ist. Wenn wir für z = x 1 + ix 2 und somit schreiben und zwei Wege (siehe Abb. 1.1) f(z) = u 1 (x 1, x 2 ) iu 2 (x 1, x 2 ) z = x 1 + ix 20 z 0 = x 10 + ix 20 1

3 sowie z = x 10 + ix 2 z 0 = x 10 + ix 20 betrachten, so ergibt sich durch Einsetzen in den Differentialquotienten f (z 0 ) = ( 1 u 1 i 1 u 2 ) (x10,x 20 ) = ( 2 u 2 i 2 u 1 ) (x10,x 20 ) Im x 2 x 10 + ix 2 x 20 z 0 = x 10 + ix 20 x 1 + ix 20 x 10 x 1 Re Abbildung 1.1: Zur Herleitung der Cauchy-Riemann-Gleichungen: Der Differentialquotient ist unabhängig vom Weg x 10 + ix 2 z 0 bzw. x 1 + ix 20 z 0. Und schon haben wir die Cauchy-Riemann-Gleichungen für die C 1 -Funktionen u 1 und u 2 hergeleitet. Satz 3 (Cauchy-Riemann-Gleichungen) Für eine analytische Funktion f(z) = f(x 1 + ix 2 ) = u 1 (x 1, x 2 ) + iu 2 (x 1, x 2 ) mit dem Realteil Re(f(z)) = u 1 und dem Imaginärteil Im(f(z)) = u 2 gilt 1 u u 2 = 0 und 1 u 2 2 u 1 = 0. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind die notwendige (klar) und die hinreichende Bedingung für die Analytizität von f. Umgekehrt, gegeben sei eine analytische Funktion F. Deren Real- und Imaginärteil, nämlich v 1 := Re(F ) und v 2 := Im(F ), definieren im Hinblick auf (1.1) und (1.2) einen inkompressiblen, stationären und wirbelfreien Potentialfluss v. Falls es ein W gibt, dessen Ableitung das Geschwindigkeitsfeld F = dw /dz ist, so nennt man aufgrund von Satz 3 und den Gleichungen (1.1), (1.2) und (1.3) W das zugehörige komplexe Potential und schreibt W := ϕ + iψ. Daraus folgt mit (1.3) v 1 = 1 ϕ = 2 ψ und v 2 = 1 ψ = 2 ϕ 2

4 Damit ist ϕ das Geschwindigkeitspotential mit v = ϕ und ψ die Strom-Funktion (stream function) mit ψ = const. Falls das komplexe Potential W stetig differenzierbar ist, so ist es auch analytisch. Betrachten wir nun einen umströmten Körper B c (siehe Abb. 1.3) und das dazugehörige Geschwindigkeitsfeld v in B. Wie wir schon bei der Herleitung der Eulergleichung gesehen haben, ist das Integral F = pnds (1.4) die Kraft auf den Körper mit dem Rand im idealen Fluss. Das Wegelement nds kann in komplexen Variablen wegen der Beziehung idz = dy idx auch als idz geschrieben werden (siehe Abb. 1.2): ds n dz idz Abbildung 1.2: Zur Veranschaulichung von nds = idz, wobei im positiven Sinn durchlaufen wird. U n c U Abbildung 1.3: Ein umströmter Körper, der durch B dargestellt wird. Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt im Unendlichen den konstanten Wert U an. 3

5 1.2 Das Lemma von Blasius Lemma 4 (Lemma von Blasius 1910) Die Kraft auf einen Körper mit festem Rand R 2 = C in einer stationären, inkompressiblen, rotationsfreien und idealen (µ = 0) Flüssigkeit mit komplexer Geschwindigkeit F wird von F = iρ 2 F 2 (z)dz C gegeben, wobei der Stern eine komplexe Konjugation bedeutet. Beweis: Laut Definition von F haben wir F = pnds = i Damit ergibt sich sofort mit p = p ρv2, vgl. Satz??, wie es für den stationären Zustand gilt: F = iρ ( ) v v2 2 dz i p 0 dz (1.5) }{{} =0 Nach der Definition von F ist p dz F 2 = (v 1 iv 2 ) 2 = v 2 1 v 2 2 2iv 1 v 2 und in einer idealen Strömung gilt am Rand wegen ( ) ( ) v dy v1! n v = = 0, dx so dass für ideale Strömungen gilt: Damit ist v 2 v 1 dy = v 2 dx (1.6) F 2 dz = ( ) ( ( v1 2 v2 2 2iv 1 v 2 (dx+idy) = v 2 1 v2) 2 dx+i v 2 1 v2) 2 dy 2iv1 v 2 dx + 2v }{{} 1 v 2 dy = }{{} = 2iv1 2dy =2v2 2dx = ( ( ( ) v1 2 + v2) 2 dx i v v2) 2 dy = v 2 1 v2 2 }{{} reell dz dx idy ( F 2 dz ) = ( v v 2 2) dz (1.7) Und die Kombination von (1.5) und (1.7) liefert das Lemma von Blasius. 4

6 1.3 Das Kutta-Joukowski-Theorem Satz 5 (Kutta-Joukowski-Theorem 1902/06) Ein Objekt mit festem Rand R 2 in einer stationären inkompressiblen Potential-Strömung, die im Unendlichen die Geschwindigkeit U hat, empfindet die Kraft: F = ργ C Un mit n U und der Zirkulation Γ C um. Beweis: Die komplexe Geschwindigkeit F = v 1 iv 2 ist analytisch auf B und kann da in eine Laurent-Reihe entwickelt werden, F (z) = a 0 + a n z n da im Hinblick auf n 1 F (z) z F = U 1 iu 2 =: a 0 die positiven Potenzen n 1 a nz n verschwinden. Wegen der Analytizität bietet es sich des Weiteren an, das Geschwindigkeitsfeld F (z) über die geschlossene Kurve C := zu integrieren: F (z)dz = (v 1 iv 2 )(dx + idy) = Außerdem gilt dank Cauchy und damit = (v 1 dx + v 2 dy) +i }{{} v ds (v 1 dy v 2 dx) }{{} =0, (1.6) 1 F (z)dz = a 1 2πi = Def. Γ C. a 1 = Γ C /2πi. (1.8) Wir schreiben die ersten Terme von der Laurent-Reihe von F 2 (z) hin: F 2 (z) = a a 0a 1 z + a 0a 2 + a 2 1 z 2 + so dass dank des Lemmas von Blasius und dem Integralsatz von Cauchy (unser neues a 1 ist jetzt natürlich 2a 0 a 1 ) F = iρ F 2 (z)dz = iρ 2 2 (2πi 2a 0a 1 ) = iργ C (U 1 + iu 2 ) = iργ C U 5

7 ist. Wenn wir von der komplexen Darstellung wieder in den R 2 wechseln, sieht die Kraft folgendermaßen aus: ( ) U2 F = ργ C U 1 und damit senkrecht zu U, wie behauptet. Bemerkung: ˆ Es gibt in einer idealen Flüssigkeit keine Widerstandskraft (parallel zu u), entgegen der Praxis. ˆ Falls B c eine Symmetrie-Achse ê hat und U ê, so ist wegen der Symmetrie Γ C = 0 und es wirkt überhaupt keine Kraft. Dies ist das d Alembertsche Paradoxon in zwei Dimensionen. ˆ Wirbel an Flügelenden (trailing vortices): Laut Kutta-Joukowski muss es eine Zirkulation Γ C 0 geben, damit es überhaupt eine Auftriebskraft (lift) gibt. 0 Γ C = v ds = rot v da C Stokes Σ Also muss rot v 0 sein, wir haben sozusagen z.b. bei einem Flugzeug einen Wirbelfluss durch die das Flügelende umschließende Fläche Σ. Das sieht in der Praxis wie ein konzentrierter Wirbel am Flügelende aus. ˆ Wichtige Frage: Wieso haben die obigen Betrachtungen wie Kutta-Joukowski denn überhaupt Relevanz, wenn es Viskosität gibt? Die Viskosität µ mag zwar niedrig sein; in Grenzschichten ist der Geschwindigkeitsgradient im Großen und Ganzen groß, so dass sich µ v auch beachtlich auswirkt. Intuitiv: µ klein, also ist Re groß. Deshalb ist der Übergang wie angegeben und die Sache hat sich damit. Falsch! Die Grenzschicht kann sich von der Oberfläche trennen (Prandtl 1904). In Abb.1.4 hat der Druck ein Maximum p A = p C in den Stagnationspunkten A und C und ein Minimum dazwischen (in B). Also reißt sich die Flüssigkeit zwischen B und C los. Wenn µ groß genug ist (und Re klein), gibt es keine Trennung, sondern eine Grenzschicht und die Lage wird außerhalb von der nichtviskosen Theorie ziemlich gut beschrieben. Wir werden später zeigen, dass für einen unendlich langen symmetrischen Flügel, der einen Winkel α mit der horizontalen Ebene einschließt Γ C = 4πUL sin α gilt. Dazu sind die Funktionentheorie und die Prandtl sche Grenzschichttheorie, die das Ganze auf Euler reduziert, ganz nützlich. 6

8 B A C Abbildung 1.4: Losreißen der Grenzschicht: Zwischen dem Punkt B, wo der geringste Druck herrscht und dem Stagnationspunkt C reißt die Grenzschicht sich los. 1.4 Beispiele ˆ Konstante Geschwindigkeit α := U 1 i U 2 mit Potential W (z) := αz und damit F (z) = W (z) = α = v 1 iv 2 so dass die Geschwindigkeit ist. v = ( U1 U 2 ) = U = const ˆ Sei B c eine Kreisscheibe mit Radius a und Mittelpunkt (0, 0) und sei U > 0 (siehe Abb. 1.5): ) W (z) := U (z + a2 = ϕ + iψ z Def. ) F (z) = W (z) = U (1 a2 U z Wir müssen noch prüfen, ob unser Potential überhaupt die Randbedingungen auf = { z = a} erfüllt. Das heißt, dass die sich aus der komplexen Geschwindigkeit F ergebende Geschwindigkeit v parallel zum Rand sein muss. Dazu reicht es zu zeigen, dass ψ = const, äquivalent dazu, dass eine Stromlinie ist. Also, sei z während z = a e iθ F (z) = U ( 1 e 2iθ) = v 1 iv 2 Def. W (z) = Ua ( e iθ + e iθ) = 2Ua cos θ R }{{} U(z+z ) R z 2 7

9 so dass der Imaginärteil von W, nämlich ψ, null am Rand ψ = 0 ist. Außerdem v 1 = U(1 cos 2θ), v 2 = U sin 2θ und folglich sind A und C Stagnationspunkte mit da v(θ }{{ = 0} ) = v(θ }{{ = π} ) = 0. C A U 2 v 2 = (1 cos 2θ) 2 + sin 2 2θ = 2 2 cos 2θ = 4 sin 2 θ Dieser Ausdruck verschwindet für θ = 0 sowie θ = π und ist maximal für θ = ± π, 2 also in B und D (vgl. Abb. 1.5). Da p = p 0 ρ 2 v2 ist, ist der Druck maximal in A und C und minimal in B und D, während Γ = 0, da W eindeutig auf (und analytisch in offener Umgebung) ist und F = W gilt, woraus folgt Γ = F (z)dz = W (z)dz = 0. U B C A θ a C D Abbildung 1.5: Strömung um eine Kreisscheibe: Im Unendlichen sei die Strömung U. Die Stagnationspunkte liegen bei A und C. Wir hatten schon ψ (r) 0 als Beispiel einer inkompressiblen Strömung betrachtet, wo ψ = ξ die Wirbelstärke ξ liefert. Falls ψ = Im(W ) und W analytisch, so ist der Fluss auch wirbelfrei, wie z.b. W (z) := Γ 2πi ln z = Γ (ln z + i argz) 2πi Bedauerlicherweise ist W nicht eindeutig, aber die komplexe Geschwindigkeit F (z) = W (z) = Γ F (z)dz = Γ 2πiz 8 C

10 ist analytisch in C\{0} und lim F (z) = 0, d.h. die Geschwindigkeit im Unendlichen ist null. z Außerdem sind alle Kreise { z = r > 0} Stromlinien, da W (z) = Γ 2π (argz i ln z ) = ϕ + iψ ψ(z) = Γ ln z 2π Def. und damit ψ z =r = Γ ln r auf dem Kreis konstant ist. 2π Bemerkung: W (z) = Γ 2πi ln(z z 0) tut das Gleiche um z 0 verschoben, auf Englisch nennt sich dies potential vortex at z 0. Eine Kombination des zweiten und des dritten Beispiels liefert ) W (z) = U (z + a2 + Γ z 2πi ln z Auf dem Bereich B = { z > a} ist ψ = const und für a = 1 ist ψ = 0. Damit ergibt sich eine inkompressible stationäre Potentialströmung in B mit der asymptotischen Geschwindigkeit v( ) = (U, 0), so dass wir Kutta-Joukowski anwenden können. Dazu gehen wir in Polarkoordinaten (r, θ) über und mit der wohlbekannten Darstellung komplexer Zahlen in Polarkoordinaten z = r e iθ können wir das Potential W so schreiben: ) W (z) = U (r e iθ + a2 r e iθ + Γ (θ i ln r) 2π Also haben wir für den Realteil von W ) ϕ(r, θ) = ReW = U cos θ (r + a2 + Γθ r 2π ( ) Damit können wir F (z) = v 1 iv 2 = W (z) = U 1 a2 + Γ folgendermaßen umformen: z 2 2πiz ] F (z) = U [1 a2 = (cos 2θ i sin 2θ) r2 ] [U Ua2 r 2 cos 2θ Γ 2πr sin θ + Γ (cos θ i sin θ) = 2πir ] 2πr cos θ + i [U a2 sin 2θ Γ r2 Wenn wir den Kreis { z = r = a} einsetzen und v 1 sowie v 2 gleich null setzen, erhalten wir die Stagnationspunkte: v 1 = U(1 cos 2θ) Wir lösen die Gleichungen, zuerst für v 1 Γ 2πa sin θ =! 0, v 2 = U sin 2θ + Γ 2πa cos θ =! 0 2U sin 2 θ = 9 Γ 2πa sin θ

11 sin θ = 0 oder sin θ = Γ 4πaU nun für v 2 2U sin θ cos θ = Γ 2πa cos θ cos θ = 0 oder sin θ = Γ 4πaU so dass wir für Γ 4πaU 1 zwei Stagnationspunkte mit θ0 = arcsin Γ und π θ 4πaU 0 haben, sonst keine. Bemerkung: Eine 3-dimensionale Sphäre in einer idealen Flüssigkeit, die aymptotisch (also auf ) die Geschwindigkeit U hat, hat das Potential (mit Normalenvektor n = x/ x ) ) ϕ(x) = (x + a3 2r n U 2 so dass v(x) = U ( a r ) 3 [3n(n u ) U] und wie man zeigen kann, ist in drei Dimensionen F = 0. 10

12 Kapitel 2 Die konforme Abbildung in der 2d-Flüssigkeitsdynamik und Auftrieb von Tragflächen Wir sind dem komplexen Potential W = ϕ + iψ schon öfter begegnet, und zwar für eine wirbelfreie zweidimensionale Strömung in der z-ebene. Wir taufen W in w um, so dass wir w = ϕ + iψ haben und betrachten nun die analytische Funktion Z = f(z) und deren ebenfalls analytische Umkehrfunktion z = F (Z), für Z = X + iy. Außerdem ist W (Z) = w(f (Z)) }{{} =z W (Z) = φ(x, Y ) + iψ(x, Y ) wobei φ und Ψ wieder Cauchy-Riemann gehorchen und deshalb sind u (X, Y ) = X φ = Y Ψ v (X, Y ) = Y φ = X Ψ die Geschwindigkeitskomponenten einer wirbelfreien inkompressiblen Stömung in der Z- Ebene. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir nun zwei komplexe Ebenen betrachten, wobei die eine mit der Variablen z, die andere mit Z beschrieben wird; dieselbe Konvention gilt ebenso für die Potentiale. Von der einen komplexen Ebene zur anderen gelangen wir über die analytischen (und wie wir gleich sehen werden, konformen) Abbildungen z = F (Z) und Z = f(z). Die Geschwindigkeitskomponenten in der Z-Ebene werden mit einem Stern gekennzeichnet. 11

13 2.1 Konforme Abbildungen Weil W (Z) = w(z) ist, nehmen sie in korespondierenden Punkten gleiche Werte an, die Real- und Imaginärteile stimmen auch überein, weshalb die Stromlinien eins zu eins aufeinander abgebildet werden. Die Frage ist nun, ob wir statt des runden Zylinders mit der analytischen (!) Funktion f eine flügelähnliche Form bekommen können. Dabei muss wohl dank des Kutta-Joukowski-Theorems Γ C 0 sein. Was im Unendlichen passiert, ist ebenfalls wichtig, wie wir in extenso gesehen haben. Also u iv = dw (z) dz =z = dw( {}}{ F (Z)) dz = dw/dz dz/dz = u iv f (z) Wenn wir z.b. einen gleichmäßigen Fluss um ein Objekt herum auf einen anderen ebenfalls gleichmäßigen Fluss um ein anderes Objekt herum abbilden möchten, sollte f (z) 1 z Warum heißt die obige Abbildung konform? Sei z 0 Z 0 = f(z 0 ) und es existiere eine natürliche Zahl n, so dass für die n-te Ableitung gelte f (n) (z) z=z0 0 In der Regel ist n = 1, aber auch n 2 kann vorkommen. Damit ergibt sich mit einer Reihenentwicklung δz = (δz)n f (n) (z 0 ) + O(δz) n+1 n! arg(δz) = n arg(δz) + arg [ f (n) (z 0 ) ] Dann folgt für die beiden Funktionen Z 1 und Z 2 arg(δz 2 ) arg(δz 1 ) = n[arg(δz 2 ) arg(δz 1 )] Für n = 1 sind die Differenzen der Argumente gleich und die Abbildung ist somit winkeltreu, mit anderen Worten, konform. 2.2 Die Joukowski-Transformation Die Joukowski-Transformation sieht folgendermaßen aus Z = z + c2 z =: f(z), 12

14 mit f (±c) = 0, aber f (±c) 0, so dass der Winkel α zwischen zwei Liniensegmenten nur bei ±c auf den Winkel 2α abgebildet wird. Die inverse Transformation ist z = 1 2 Z + ( 1 4 Z2 c 2 ) 1/2 =: F (Z) (2.1) Für Z wird aus der (positiven) Wurzel ( ) 1/2 1 4 Z2 c Z so dass im Undendlichen Z z gilt. Wir betrachten nun den Effekt der Joukowski- Transformation auf den Kreis {z; z = a} bzw. {z = a e iθ ; 0 θ 2π}, mit 0 c a. Die Abbildung des Kreises ist X + iy = (a + c2 a Daraus folgt cos θ = X Mit cos 2 θ + sin 2 θ = 1 folgt ) cos θ + i ) (a c2 sin θ a ) 1 (a + c2 und sin θ = Y a ) 1 (a c2 a X 2 (a + c 2 /a) 2 + Y 2 (a c 2 /a) 2 = 1 (2.2) Wir haben nun also eine Ellipse in der Z-Ebene. Diese sieht schon etwas mehr nach einem Flügel aus... Entscheidend sind die verschiedenen Vorzeichen der beiden Halbachsen. Kehren wir nun zum Strom zurück, der mit der x-achse den Winkel α bilde. Damit haben wir das Potential Uz e iα. Wir addieren einen Wirbel der Stärke Γ dazu und wenden das Kreis-Theorem von Milne-Thomson an und erhalten eine Strömung um den Zylinder {z; z = a} ) w(z) = U (z e iα + a2 z eiα iγ 2π ln z Wir setzen (2.1) in diese Gleichung ein und erhalten [ ( ) ] 1/2 W (Z) = w(f (Z)) = U Z + 4 Z2 c 2 e iα + a 2 [ 1 Z + ( Z2 c 2) ] 1/2 eiα 13

15 [ iγ ( ) ] 1/2 2π ln Z + 4 Z2 c 2 Wir betrachten nun den Fall, dass c gegen a geht, so dass die zweite Hauptachse (a c 2 /a) der Ellipse (2.2) gegen null und die erste (a + c 2 /a) gegen 2a konvergiert und eine dünne Platte übrig bleibt. Außerdem u iv = dw dz = dw/dz dz/dz = (U e iα iα a2 U e z iγ 2 2πz ) / ) (1 a2 z 2 (2.3) Diesen Ausdruck kann man auch in Z umschreiben, was aber recht aufwendig und meist nicht nötig ist. An den Punkten z = ±a bzw. Z = ±2a bekommen wir eine Singularität, da die Geschwindigkeit wegen (1 a 2 /z 2 ) 1 divergiert. Diese lässt sich in Z = a nur dann beheben, wenn Γ so gewählt wird, dass ist, d.h. U ( e iα e iα) iγ 2πa = 0 Γ = 4πUa sin α Dies ist die berühmte Joukowski-Bedingung. Wenn man z = a + ε schreibt, in (2.3) substituiert und den Limes ε 0 nimmt, erhält man für z 2a u U cos α und v 0 Bemerkung: Die Singularität bei z = a bzw. Z = 2a bleibt. Durch Verschiebung des Kreises um eine Kleinigkeit λ a nach links lässt sich dies beheben und die Joukowski- Bedingung wird zu Γ = 4πU(a + λ) sin α Beweis: Wir wenden die Joukowski-Transformation Z = z + a2 z jetzt auf den verschobenen Kreis {z = λ + (a + λ) e iθ ; 0 θ 2π} an und erhalten a 2 Z = λ + (a + λ) e iθ + λ + (a + λ) e iθ Das zum obigen Kreis gehörige w(z) lautet ] w(z) = U [(z + λ) e iα (a + λ)2 + z + λ eiα 14 + iγ ln(z + λ) 2π

16 Hier substituieren wir z = 1 2 Z + ( 1 4 Z2 a 2 ) 1/2 und erhalten u iv = dw dz = { [ ( ) ] } / 2 ( ) a + λ U e iα e iα iγ 1 a2 z + λ 2π(z + λ z 2 Die Singularität bei z = a kann es nicht mehr geben, es bleibt also nur eine Singuarität bei z = a und somit schreiben wir die Joukowski-Bedingung wie folgt um, U ( e iα e iα) iγ 2π(a + λ) = 0. Dies ist nichts anderes als unsere Behauptung Γ = 4πU(a + λ) sin α. Nach dem Kutta-Joukowski-Theorem gibt es somit einen Auftrieb pro Längeneinheit in drei Dimensionen. F = 4πρU 2 (a + λ) sin α n (2.4) Beispiele: Boeing 747: Take-off-Geschwindigkeit ist 300 km/h, α = 10, Flügelbreite l = 4a = 9 m, die totale Flügellänge L = 60 m, somit F = N. Cessna: Take-off-Geschwindigkeit ist 100 km/h, α = 13, l = 1.7 m, L = 9 m, somit F = 10 4 N. 15

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