Übung 2: Lösungen. Technische Universität München SS 2004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner

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Friederike Ritter
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1 Technische Universität München SS 004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner Dr. W. Aschbacher Analysis II Übung : Lösungen Aufgabe T 4 Implizite Funktionen Die Funktion f : R R, fx, y := e sinxy + x y, ist stetig differenzierbar, f C R, R. Deshalb besitzt sie auf ihrem Definitionsbereich R alle partiellen Ableitungen, und diese sind stetig: x = y cosxyesinxy + x, y = x cosxyesinxy Am Ursprung 0, 0 verschwindet f, d.h. f0, 0 = 0. Ausserdem ist im Ursprung die Bedingung für die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen erfüllt: 0, 0 = y Dieser Satz garantiert nun die Existenz einer eindeutigen Auflösung g in der Umgebung des Ursprungs. Ausserdem ist g stetig differnzierbar in dieser Umgebung. Studieren Sie die präzise Aussage des Satzes, cf. Vorlesung. Aufgabe T 5 Partielles Differenzieren a Sei für ein x R 3 die euklidsche Länge von x definiert durch x := x + x + x 3 und die Funktion φ : R 3 \ {0} R bezeichne das Coulomb-Potential: φx = x Der Laplace-Operator in R n in orthonormierten Basen, g ik = δ ik lautet wir betrachten den Fall n = 3 hier: n = x j Anstatt φ direkt zu berechnen, können wir die etwas allgemeinere Formel aus Aufgabe H 6 benutzen indem wir sie auf den hier auftretenden Fall k = j spezialisieren: φx = φ,jj x = 3x j δ jj x = 3 x j δ jj x = 3 x 3 x = 0 b Betrachten wir nun die Funktion ψ : [0, ] m R m R, definiert durch ψx,..., x m := m sinn j π x j

2 wobei n j Z beliebige aber feste ganze Zahlen seien für alle j =,..., n. ψ verschwindet offenbar auf dem Rand des Hyper- Einheitswürfels, z.bsp. in der ersten Koordinate: ψ0,..., x m = ψ,..., x m = 0 Der Laplace-Operator in R m ist gegeben in Aufagabe T 5 a. Die partiellen Ableitungen / x j liefern x j sinn j π x j = π n j sinn j π x j sodass die Wirkung des Laplace-Operators auf ψ wie folgt aussieht: ψx,..., x m = π m n j ψx,..., x m Aus dieser Gleichung können wir nun also den gesuchten Eigenwert E ablesen: E = π m n j Damit ψ verschieden ist von Null, müssen alle n j 0 sein. Für ein ψ dieser Form gibt es deshalb einen grössten Eigenwert, nämlich für n = n =... = n m =. Aufgabe T 6 Taylorsche Entwicklung Wir wollen den Satz von Taylor mit Restglied erster Ordnung auf die Funktion f : G :=]0, [ R R, fx, y = x y anwenden. Dies ist möglich, weil f C G, R und weil G konvex ist. Die partiellen Ableitungen lauten wie folgt: f,x x, y = x ey log x = x y y x = y xy, f,y x, y = x y log x Die nullte Ordnung von f bei x 0, y 0 :=, ist eben gerade = fx 0, y 0. Der Zuwachs sei also x, y := 0 3, 0 4. Der Restterm erster Ordnung im Satz von Taylor lautet ϑ ]0, [: Der Satz von Taylor liefert also: wobei wir f,x x 0, y 0 + ϑ x, y = + ϑ y + ϑ x ϑ y f,y x 0, y 0 + ϑ x, y = + ϑ x +ϑ y log + ϑ x = x + ϑ y + ϑ x ϑ y + y + ϑ x +ϑ y log + ϑ x benutzt haben ϑ ]0, [. x + y + x + y + x x = log + x = x x + ϑ x x

3 Aufgabe H 4 Van der Waals-Gas Die Zustandsgleichung für ein reales Gas schreibt sich als fp, T, V = 0 für die Funktion f : G := R + R + R + R wobei R + := ]0, [, fp, T, V := P + a V b RT V Wir berechnen die partiellen Ableitungen f C G, R: P = V b, T = R, Sei nun P 0, T 0, V 0 G, sodass fp 0, T 0, V 0 = 0, V = av b + P + a = P a V 3 V V + ab V 3 V P 0, T 0, V 0 0. Gemäss des Satzes über implizite Funktionen existiert also eine Auflösung g, deren Ableitung ohne Kenntnis der Funktion g selbst aus der Funktion f wie folgt berechnet werden kann Kettenregel, cf. Vorlesung: g P, g = T V P, T = V b, R P a + ab V V 3 Sei nun z. Bsp. P 0, T 0, V 0 =, /R, /. Für das ideale Gas sind die Bedingungen erfüllt. Damit die erste Gleichung in auch für das van der Waals-Gas zutrifft, muss also a b 4ab = 0 b = a/ + 4a gelten. Dann ist aber V P 0, T 0, V 0 = + 4a + 4a 0 für alle a 0. Die isotherme Kompressibilität κ T und der thermische Expansionskoeffizient α werden also: κ T = V = V P T + 4a, α = V = R + 4a V T P + 4a Für den Fall des idealen Gases a = b = 0 gilt: P V RT = 0. Diese Gleichung kann aber natürlich direkt nach V aufgelöst werden: Die Koeffizienten lauten deshalb was mit für a = 0 übereinstimmt. V P = RT P = V P, V T = R P κ T =, α = R, Aufgabe H 5 Schrödingergleichung a Die ebene Welle in R 3 ist definiert durch ψ : R 3 R C, ψx, t := c e i p x Et

4 Dabei ist c C eine Konstante, die Energie E R und der Impuls p R 3. ist eine Naturkonstante, die man Plancksches Wirkungsquantum nennt eigentlich ist h das Wirkungsquantum und := h/π; = Js. Ausserdem ist für x, y R 3 das Standardskalaprodukt x y in R 3 definiert durch x y := 3 i= x iy i. Wir berechnen nun die partiellen Ableitungen. Es ergibt sich: i ψx, t = Eψ, t p ψx, t = ψx, t m m Somit ist E = p /m, was der klassischen kinetischen Energie entspricht. b Betrachten wir nun die Funktion ψ : R R, ψx := e αx für ein α > 0. Unter Anwendung der Kettenregel finden wir dann die folgenden partiellen Ableitungen: ψx = α + 4α x ψx, m + α m x ψx = α m ψx Wir identifizieren also α wie folgt: α = mω = mω = x 0 Aufgabe H 6 Multipolentwicklung einer lokalisierten Ladungsverteilung Um diese Entwicklung für grosse Abstände durchzuführen, benutzen wir den Satz von Taylor für die Funktion f : G := R 3 \ {0} R, fx = / x cf. Aufgabe T 5 unter anderem für die Definition von x. Der Satz von Taylor bis zur dritten Ordnung lautet f C 3 G, R und G ist konvex, ϑ ]0, [: fx y = fx f,j x y j + f,jk x y j y k 6 f,jkl x ϑy y j y k y l Die partiellen Ableitungen sind von folgender Form f,j := / x j, etc.: f,j x = x j x 3 f,jk x = 3xj x k δ jk x f,jkl x = 3 Es sei die erste genauer erläutert: f,j x = x j x = x j δ jk x l + δ jl x k + δ kl x j 5 x jx k x l x m= x m = m= x m 3 x j = x j x 3 Ebenso für die höheren partiellen Ableitungen. Die Integration ergibt schliesslich: φx = q x + p x x 3 + Q jk x j x k + Restglied,

5 mit q := d 3 y ρy, p j := d 3 y ρy y j, Q ij := d 3 y ρy 3y j y k δ jk y Dabei heisst q die Gesamtladung, p das Dipolmoment und Q das Quadrupolmoment. Beachten Sie, dass für den Quadrupolterm die Symmetrie x y benutzt wurde: 3x j x k δ jk x y j y k = 3 x y + x y = 3y j y k δ jk y x j x k

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