) sei stückweise stetige differenzierbare Kurve in

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1 . Integration.. urvenintegrale. Art Neben urvenintegralen. Art [9..] existieren auch urvenintegrale. Art. Def.. ( () = (), (), () x t x t x t x t Parameterdarstellung und v( x) v ( x) v ( x) v ( x) v: Dv, D, dann gilt v ) sei stückweise stetige differenzierbare urve in = (, ) sei ein Vektorfeld mit v: Dv, n dx v( x) = lim v( x( τ i )) ( xi xi ) = dt( v( x() t ) x () t ) emerkung xi xi i = Wenn eine geschlossene urve ist, wird auch dx v( x) geschrieben. Mit Hilfe der Jacobimatrix [8..4] erhält man für art. oordinaten: v d x = vdx+ vdx + vdx, für Zyl. oordinaten: v dx= v dρ + ρv dϕ + v dz und für ugelkoordinaten: v dx= vrdr+ rvϑdϑ + rsinϑvϕdϕ. eispiel x cost x : x = x = sin t ; t π ; Vektorfeld v( x) = x + x sin t x x sin t cost Mit x = x = cos t und v( x() t ) = sin t+ ergibt sich x sintcost sint v x = 7 cost sin t+ cost sin t+ cost. π Somit ρ 7 sin sin sin dx v x = dt v x = t + t + t = ϕ z Wichtiger Unterschied von urvenintegral. und. Art urvenintegral. Art f x ds = f x ds ist unabhängig von der Orientierung des Integrationsweges (Länge der urve). urvenintegral. Art v x dx= v x dx ; [vgl. Skalarprodukt ( a, b) ( a b) Vorzeichen bei Änderung der Orientierung der urve. =, ] wechselt das

2 eoispiel v = x, x, x entlang = : x = et = t, t ; : x = ( cos t,sin t, ), t π ; v dx = v dx+ v dx dx = xdt entlang : dtv( x() t ) x () t = dt,, t e = dtt = x x x π entlang : dtv( x() t ) x () t = dt sin t,cos t, ( sin t,cos t,) = dt( sin t+ cos t) = π x x x x entlang = : = + π Wegunabhängigkeit (Gebiet) v x Ein urvenintegral.art dx, dessen Integrand = ( x) x v v in einem Gebiet definiert ist, heißt in G vom Integrationsweg unabhängig, wenn für jedes Punktpaar x und x aus G, gleichgültig welche ganz in G verlaufende orientierte urve als Verbindung zwischen dem Anfangspunkt x und dem Endpunkt x gewählt wird, das urvenintegral v x dx nur von x und x, nicht aber von abhängt. Satz. v sei im Gebiet G definiert. Das urvenintegral. Art v( x) dx ist genau dann in G vom Integrationsweg unabhängig, wenn für jede ganz in G verlaufende geschlossene urve v( x) dx= gilt. emerkung In einem einfach zusammenhängendem Gebiet G kann jede in G vorhanden (geschlossene) urve auf einen Punkt zusammengezogen werden, ohne G zu verlassen. Satz. v sei in einem einfach zusammenhängenden Gebiet stetig. Das urvenintegral. Art v( x) dx ist genau dann vom Integrationsweg unabhängig, wenn Differential einer unktion U ist, d.h. v= U oder v ist konservativ. v x das totale

3 olgerung: v( x) dx= U( x) U( x ; (Potentialfeld existiert) ) Satz. v sei in einem einfach zusammenhängenden Gebiet stetig und stetig partiell differenzierbar. Das urvenintegral. Art v( x) dx ist genau dann vom Integrationsweg unabhängig, wenn v = ; ( v ist wirbelfrei) eispiel v = x x + x x + x e + x + x x e + x x + x x 4 x e ist wirbelfrei, weil e e e v = = v v v Gesucht ist das Potential U x, x,x Ansatz: v = U v = U, v = U, v = U U = x x + x x + x ; U = x x + x x x + x x + f x, x (, ) (,, ) U = x + x x ; U = x x + x x x + f x, x U = x x + x x 4 x ; U = x x + x x x x + f x x (, ) f x, x = x + c f x, x = x x x + c f x x = x x + c U x x x = x x x + xx + xx x + C

4 .. Oberflächenintegrale. Art Analog zum urvenintegral. Art erfolgt die Definition des Oberflächenintegrals. Art. Def.. (, ) = ( (, ), (, ), (, ) und v( x) ( v( x), v( x) v( x) ) x u u x u u x u u x u u R dann gilt = sei ein Vektorfeld mit d v d : = v d = g( P) d d Oberflächenintegral. Art g P ) sei eine (fast) glatte orientierte läche im Oberflächenintegral. Art v: Dv R, v: Dv R, Das Oberflächenintegrals. Art kann somit als Oberflächenintegrals. Art der unktion d g( P) = v über interpretiert werden, d.h. als vorzeichenbehafteter etrag des d Projektionsvektors von v in die Normalenrichtung d auf. emerkung Wegen d = dudu u u ergibt sich v d = v dudu u u. D, v erechnungsvorschrift: v v v x v = v,, = u u u u u u u Spatprodukt u u u Interpretation: Integration über eine Projektion eines orientierten (zweiseitigen) lächenstückes, wobei die lächenelemente der Projektion vorzeichenbehaftet sind. Ist eine geschlossene läche (z.. ugelfläche), so heißt vd Hüllintegral. emerkung luss eine skalaren eldes U d = Udydz e + Udzdx e + Udxdy e... yz zx xy ild 4

5 Skalarer luss eines Vektorfeldes v d = v dydz + v dzdx + v dxdy x y z yz zx xy Vektorfluss eines Vektorfeldes v d = v e v e dydz + v e v e dzdx + v e v e dxdy ( z y ) ( x z ) ( y x ), yz zx xy wobei,, Projektionen des lächenstückes in die jeweilige Ebene sind. xy yz zx eispiel : x = x + x, x 4... parameterfreie Darstellung eines egels Einführung einer Parameterdarstellung: x x : x = x = x ; ( x, x) = {( x, x) : x + x 6} (kart. oordinaten) x x + x x rcosϕ : x = x = rsin ϕ ;( r, ϕ) = {( r, ϕ) : r 4 ϕ π } (Zyl.- oordinaten) x r erechnung des Integrals: eispiel v d = v dudu = v dxdx u u e e e x art. oordinaten: d = dxdx = dxdx = x dx dx x x + x x x x + In. Zeile bzw.. Zeile der Determinante stehen die Ableitungen bzw.. e e e cosϕ Zyl.-oordinaten: d = cosϕ sinϕ drdϕ = r sinϕ drdϕ rsinϕ rcosϕ In. Zeile bzw.. Zeile der Determinante stehen die Ableitungen r bzw. ϕ. alls die Orientierung von d entgegengesetzt vorgegeben ist, muss d mit multipliziert werden. Vorgegebenes Vektorfeld v : erechnung der Integrale mit x x + x xx x x + x v = v x = x x = x x + x ( ) 5

6 v d = x x x x + x + x dxdx = x x + x + x dxdx : 4 π Polarkoord. = ( + ) = ( sin cos ) v d x x x x dxdx r r ϕ ϕ rdϕdr r= ϕ = sowie mit obigem Vektorfeld r sinϕ cosϕ v = v( r, ϕ, z( r, ϕ) ) = r cos ϕ; d = r sinϕ drdϕ und v d = r sinϕ cosϕ r sinϕcosϕ + r drdϕ = r sinϕcos ϕ+ r drdϕ: 4 π v d = r r sinϕ cosϕ drdϕ = r r sinϕcosϕ dϕdr = 8π r= ϕ =. Integralsätze Gaußscher Integralsatz : sei ein räumliches Gebiet mit einer stückweise glatten Randfläche (Rand von ), dann gilt: d = d Anwendung:. U( x ) sei skalares eld, d U = d U gradu (,. v( x) v ( x) v ( x) v ( x) = ) d v = d v = ( ). v( x) v ( x), v ( x) v ( x) d v = d v rot v sei ein Vektorfeld sei ein Vektorfeld eispiel xx x, x, x (. Oktant) erechnung von d v mit v = xx ; = x + x xx x x + x lächennormale n ist nach außen gerichtet. Nutzung von Zylinderkoordinaten: x = ρcos ϕ, x = ρsin ϕ, x = z ρ = x + x 6

7 ! d v = d v, d.h. erechnung des Volumenintegrals div v div v = x + x + x ; d= ρdρdϕdr [vgl. 9...] π d div v = ( z + ρ ) ρdzdϕd ρ = ρ ρ= ϕ= z= Gaußscher Integralsatz in der Ebene: P( x, y), (, ) differenzierbare unktionen, dann gilt: Q P d = Pdx + Qdy x y dxdy (. π 8 Q x y seien stetig nach x und y partiell Pdx + Qdy) ist in G (einfach zusammenhängend) genau dann vom Integrationsweg unabhängig, falls P Q = gilt. y Anwendung: erechnung des lächeninhalts eines ebenen ereiches S = d= + d= ( Pdx Qdy) ( ydx xdy) + = + Py Qx mit P= y und Q= x Speziell für den lächeninhalt eines ebenen lächenstückes berandet durch ein Polygon mit den Eckpunkten ( x, y ) i =,, n; n+ =erhält man n S = x y y x i= i i i i+ i i+! Stokes'scher Integralsatz : sei läche mit einer stückweise glatten bzgl. positiv orientierten Randkurve (Rand von ), dann gilt: d = dx Anwendung: = ( ). v( x) v ( x), v ( x) v ( x) sei ein Vektorfeld d v= d v= dx v. U( x ) sei skalares eld, x x d U = d U = dxu x grad U 7

8 xx eispel: erechnung von dx v, wobei v = x und ist die Schnittkurve des x Zylinders x + x = a mit der Ebene x+ x + x =, die von der positiven z-achse gesehen positiv durchlaufen wird. e e e! dx v = d v x, wobei v = = xx x x x x : x + x a geschnitten mit x = x x oder x, damit x x e e e d = dxdx = dxdx = dxdx x x d v x x dx dx und = ( ) Polarkoord. ( ) = ( sin cos ) = x + x a a π r= ϕ = x x dxdx r ϕ ϕ rdϕdr πa 8