Mathematik III für das Verkehrsingenieurwesen. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik

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1 Mathematik III für das Verkehrsingenieurwesen Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik eppler Vorlesungsassistent: Herr Dr. Schönefeld schoenefeld/

2 Organisatorische Hinweise K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: Sprechzeit: Di Uhr Übungsaufgaben: s. Homepage Dr. Schönefeld Termin(e) Prüfungsklausur(en): Wird noch bekanntgegeben Bei Testat-Wiederholung: modifizierte Klausur Literatur (Ergänzung?): Bärwolff Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure (Spektrum)

3 Inhaltsübersicht WS 15/16 Laplacetransformation Mehrdimensionale Integralrechnung Flächen- und Volumenintegrale Kurven- und Oberflächenintegrale Inegralsätze Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe und Definitionen: Ereignisse und Wahrscheinlickeiten Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen Zufallsvektoren und Grenzverteilungen evtl.: (Potenz- und) Fourierreihen ( Einführung)

4 Lineare DGLn n-ter Ordnung mit konst. Koeffiz. Def. 6.5: Seien Zahlen a n 1,..., a 1, a 0 R sowie eine stetige Funktion g : I R gegeben. Dann heißt y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = g(x) lineare GDGL n ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und P (λ) := λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 charakteristisches Polynom der homogenen DGL. Schließlich nennt man P (λ) = 0 die zugehörige charakteristische Gleichung.

5 Ansatzmethode für einfache Inhomogenitäten g(x) Ansatz für y p (x) Ansatz im Resonanzfall: R m (x) T m (x) Wenn ein Summand des R m (x)e αx T m (x)e αx Ansatzes die homogene R m (x) sin(βx) T m (x) sin(βx) DGL löst, so wird dieser oder +Q m (x) cos(βx) Summand so oft mit x R m (x) cos(βx) multipliziert bis er die homogene DGL nicht mehr löst. Linearkombination dieser Funktionen Linearkombination der Ansätze

6 Die Laplacetransformation Definition: Geg. sei eine Funktion f : [0, ) R ( C) Lapl.-trafo: F (s) = L[f](s) := 0 f(t)e st dt, β d.h., falls lim f(t)e st dt, existiert. β 0 F ( ) heißt die Laplacetransformierte von f. s R + ( C). Fkt. mit DB [0, ) L Fkt. mit DB (s 0, ) ({Re(s) > s 0 } C) Def.: Eine Fkt. f : [0, ) C heißt (i) stückw. stetig, falls diese in jedem endlichem Intervall nur endlich viele Unstetigkeitsstellen 1.Art (endl. Sprünge) besitzt (ii) von exponentieller Ordnung, falls gilt: f(t) ce γt, t 0, c, γ R (c, γ > 0)

7 Eigenschaften der Laplacetransformation I Satz 2: L[af + bg] = al[f] + bl[g], a, b R ( C). Satz 3: (Streckung) L[f(ct)] = 1 c F (s ), c 0 R ( C). c Satz 4: (Ableitung und Integral) (a) L[f ] = sl[f] f(0), L[f ] = s 2 L[f] sf(0) f (0) n > 2 : L[f (n) ] = s n L[f] s n 1 f(0)... f (n 1) (0) { t } (b) L f(τ)dτ = s 1 L[f] 0 Charakteristisch für Laplacetrafo: Auftauchen der Anfangswerte (AW) im Ableitungssatz - direkt nur Anfangswertaufgaben (AWA) behandelbar.

8 Eigenschaften der Laplacetransformation II Satz 5: (Ableitung und Integral der Bildfunktion) (a) L[tf(t)](s) = F (s), (b) L[t 1 f(t)](s) = Satz 6: (Dämpfung und Verschiebung) s F (u)du (a) L[e at f(t)](s) = F (s + a) (b) L[f(t a)h(t a)] = e as F (s) Definition der Heaviside-Fkt. ( Sprungfkt. ) h = h(x): 1, für x 0, h(x) := Es gilt: h = δ 0, für x < 0. 0 ( ) Die Delta-Distribution ist verallgemeinerte Ableitung von h.

9 Eigenschaften der Laplacetransformation III Definition (Faltung zweier Funktionen): Es seien zwei Funktionen f, g gegeben mit f(t) = g(t) = 0, für t < 0. Dann heißt die Funktion [f g]( ), definiert durch [f g](t) := t 0 f(t τ)g(τ)dτ = die Faltung der Funktionen f und g. t Satz 7: (Faltungssatz) Es existieren L[f] := F ( ), Dann existiert auch L[f g]( ) und es gilt L[f g](s) = F (s) G(s) 0 g(t τ)f(τ)dτ, t 0, L[g] := G( ). Problem : Es gibt keine geschlossene Formel für die Berechnung der Laplacetrafo L[f g], ([f g](t) := f(t) g(t), t) des (punktw.) Produktes zweier Funktionen aus der Kenntnis von L[f], L[g].

10 Anwendung der Laplacetransformation Laplacetransformation: Integraltrafo für Zeitprozesse für GDGL: Anwendung auf inhomogene AWA mit konstanten Koeffizienten (Systeme; skalare GDGL n-ter Ordnung) Originalpr.(AWA) schwer(er) lösb. = transform. Probl. leicht(er) lösbar y(t) Rücktrafo Y (s) Bedeutung: Neue Behandlungsmethode eröffnet neue Aspekte (insbesondere für lineare Regelungstheorie) Für Lösung konventioneller AWA: Im wesentlichen kann die gleiche Problemklasse explizit behandelt werden, Struktur der allgemeinen Lsg. (homog. DGL + partik. Lsg.) nicht erkennbar

11 Mehrdimensionale Integration und Vektoranalysis 1. Jordanmaß und Bereichsintegrale Zur Konstruktion/Definition des Begriffs Flächeninhalt: Rechteck ( ) x R := R 2 a 1 x a 2 y b 1 y b 2 µ(r) = R = (b 2 b 1 )(a 2 a 1 ). Es sei M R 2 eine (beliebige) beschränkte Menge. Betrachten: Folge von Gittern Γ k mit h k = 1/2 k, k = 1, 2.., Maschen Bi k. s k (M) := µ(bi k ) = h 2 k 1, Bi k M Bi k M S k (M) := µ(bi k ) = h 2 k 1 Bi k M Bi k M

12 Monotonie: s k (M) s k+1 (M)... S k+1 (M) S k (M) lim s k(m) =: s i (M), lim S k(m) =: s a (M). k k Definition 8.1: µ( ) := 0. M : s i (M) heißt innerer Inhalt und s a (M) heißt äußerer Inhalt. Gilt s i (M) = s a (M), so heißt M Jordan-meßbar und die Zahl s i (M) = s a (M) =: µ(m) = M heißt Flächeninhalt (oder Jordanmaß) von M. Eigenschaften: s. Satz 8.1 (besonders b), c)!); Begriff regulärer Bereich: siehe Definition 8.2 (insbesondere: abgeschlossen und beschränkt(!), Rand: endlich viele reguläre Kurvenstücke) Nicht Jordan-meßbar: 1.) [0, 1] [0, 1] \ Q 2. 2.) Fraktale Mengen ( modifizierte(r) Cantormenge, Sierpinski-Teppich, Mengerschwamm etc.) sind häufig nicht Jordanmeßbar.

13 Das Riemannsche Bereichsintegral I Sei B ein regul. Bereich und f : B R eine beschränkte Funktion. Durchmesser einer Menge: diam (M) := sup{ x y ; x, y M}. Zerlegung von B: Z := {B 1,..., B n } mit n i=1 B i = B, B i reguläre (Teil-)Bereiche, µ(b i B j ) = 0, i j. Feinheit einer Zerlegung: δ(z) := max{diam (B i ), i = 1(1)n}. n Riemannsche Summe: S(f, Z) := f(x i )µ(b i ), x i B i, i = 1(1)n. Wir betrachten Folge(n) von Zerlegungen {Z k } mit δ(z k ) 0. Def.: Falls gilt i=1 lim S(f; Z k) = I, δ(z k ) 0 und ist dieser GW unabhängig von der Wahl der Zerlegung und der Punkte x i, dann heißt dieser GW das Bereichsintegral von f über B.

14 Bezeichnung: Das Riemannsche Bereichsintegral II lim S(f; Z k) = I := δ(z k ) 0 B f(x, y)db = B f(x, y)dxdy. Satz: Ist B regulär, f beschränkt und stetig (mit Ausnahme einer Menge vom Jordanmaß 0), so existiert das Riemann-Integral. Es gilt a) 1dB = µ(b). b) Es sei B K := {(x, y, z) T (x, y) B, 0 z f(x, y)} R 3. Dann gilt fdb = V (K), V (K) - das Volumen von K. B c) c 1 f + c 2 g db = c 1 f db + c 2 g db B Linearität des Integrals bzgl. des Integranden. B B

15 Das Riemannsche Bereichsintegral III d) Additivität des Integrals bzgl. des Bereiches B = B 1 B 2, µ(b 1 B 2 ) = 0 fdb = B fdb + B 1 fdb. B 2 e) Integralabschätzung: Es gilt für beschränkte Integranden f fdb f db sup{ f(x), x B} µ(b). B B f) Das Integral einer beliebigen beschränkten Funktion über einer Null-Menge verschwindet immer: µ(b) = 0 fdb = 0. B g)ist f : B R stetig, dann existiert ein x B mit fdb = f(x )µ(b). (Mittelwertsatz). B Achtung: Nicht für Vektorfunktionen f : B R l gültig

16 Normalbereiche für Bereichsintegrale Normalbereich Typ I B = {(x, y) R 2 a x b; φ 1 (x) y φ 2 (x)} [ b ] φ2 (x) f db = f(x, y)dy dx B Normalbereich Typ II a φ 1 (x) B = {(x, y) R 2 c y d; ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} [ d ] ψ2 (y) f db = f(x, y)dx dy B c ψ 1 (y) Im allgemeinen: Integrationsbereich so aufspalten (Integral ist additiv bzgl. des Bereichs), daß Teilbereiche jeweils Normalbereiche sind.

17 Koordinatentransformation in Bereichsintegralen Bereich B in (x, y) Ebene Bereich B in (u, v) Ebene x = x(u, v), y = y(u, v) u = u(x, y), v = v(x, y). f dxdy = f(u, v) D(u, v) dudv B B Dabei ist f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) und die Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation D(u, v) = (x, y) (u, v) = x u y u = x uy v x v y u Koordinatentransformation: Die Abb. ( x y) ( u v) ist injektiv und D(u, v) 0 in jedem Punkt ( x y). x v y v

18 2. Das Volumenintegral ( Dreifachintegral ) Das 3D-Jordanmaß (Rauminhalt) Konstruktion analog zur Einführung von Flächeninhalt (2D-Jordanmaß) für ebene Bereiche: Grundlage ist Volumenformel für Quader Unterteilung durch Folge von Raumgittern; auszählen innerer/äußerer Inhalt (existiert für beliebige Menge) Eine Teilmenge V R 3 heißt (Jordan-)meßbar, wenn innerer und äußerer Inhalt übereinstimmen µ 3 (V ). Achtung: Für B R 2 gilt µ 3 { B {0} } = 0(!) Feinheit einer Zerlegung: δ(z) := max{diam (V i ), i = 1(1)n}.

19 Definition des Volumenintegrals Gegeben: Körper V (meßbar), Funktion f : V R (stckw.) stetig Definition des Volumenintegrals über Riemann-Summen f( x)dv =: I = lim f( x i )µ 3 (V i ), x = (x, y, z) T. V δ(z) 0 i Eigenschaften: analog zum FI, z.b.: Linearität bzgl. des Integranden c 1 f + c 2 g dv = c 1 f dv + c 2 V V V g dv Additivität bzgl. Gebietszerlegung usw.... ( ) f( x)dv = f( x)dv + f( x)dv, V =V 1 V 2, µ 3 V1 V 2 =0 V V 1 V 2 Praktisch wichtig: 1dV = µ 3 (V ) (Volumenberechnung) V

20 Normalbereiche für Volumenintegrale Normalbereich Typ I: Der Körper V R 3 sei definiert durch x 1 x x 2, φ 1 (x) y φ 2 (x), V ψ 1 (x, y) z ψ 2 (x, y). [ x2 [ φ2 (x) ] ] ψ2 (x,y) f dv = f(x, y, z)dz dy dx x 1 φ 1 (x) ψ 1 (x,y) Andere Interpretation mit den Schnittflächen B(x) := {(y, z) R 2 φ 1 (x) y φ 2 (x), ψ 1 (x, y) z ψ 2 (x, y)} [ x2 ] f dv = f(x, y, z)db dx, db ˆ=dzdy V x 1 B(x) analog für Normalbereiche Typ II- VI

21 Berechnung eines statischen Momentes (Körper homogen, Ber. direkt, ohne Anwendung von Koord.-trafo) M z (Q) = zdv, Q := {x R 3 (x z) 2 + y 2 1, 0 z 1} Q M z = I = 1 0 { z+1 [ 1 (x z) 2 z 1 1 (x z) 2 zdy ] } dx dz = = = z+1 z 1 1 2zdz 1 (x z) 2 zy 1 (x z) 2dxdz = 1 1 t2 dt 2zdz π 2 = π 2. 1 z+1 0 z 1 2z 1 (x z) 2 dxdz (Subst.: t = x z, dt = dx)

22 Koordinatentransformation in Volumenintegralen Gebiet G R 3 Gebiet G R 3, injektiv x x(u, v, w) u u(x, y, z) x = y = y(u, v, w) u = v = v(x, y, z). z z(u, v, w) w w(x, y, z) f dxdydz = f(u, v, w) D( u) dudvdw. V V Dabei ist f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), V = x(v ), und die Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation x u y u z u D( u) = x u = x v y v z v 0. x w y w z w

23 Volumenintegralberechnung mit Koord.-trafo E := { x R 3 x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1} (x 2 + y 2 )dxdydz = E [ a [ b 1 x 2 /a ] ] 2 c 1 x 2 /a 2 y 2 /b 2 = (x 2 + y 2 )dz dy dx a = Trafo... = = abc 1 0 b 1 x 2 /a 2 c π π/2 0 r 4 dr wegen: 0 π/2 2π cos 2 φ dφ = 1 2 cos φ sin φ + φ 2, 0... dψ dφ dr ( a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ dφ = 4 ) 15 abcπ(a2 + b 2 ) π/2 π/2 cos 3 ψ dψ = 1 3 sin3 ψ + 1 sin ψ cos 3 ψ dψ, sin 2 φ dφ = 1 2 cos φ sin φ + φ 2

24 Mehrfachintegrale über Quaderbereiche Falls für den Integrationsbereich Q und den Integranden f gilt (i) Q = n i=1[a i, b i ] (Q achsparalleler Quader), (iia) f(x) = n f i (x i ) (Integrand hat Produktstruktur), (iib) f(x) = i=1 m j=1 i=1 n f j i(x i ) (Tensor-Produktstruktur). Dann gilt: bzw.: Q Q f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = n i=1 m bi j=1 i=1 f i (x i )dx i, a i n bi f j i(x i )dx i. a i

25 Grundbegriffe der Vektoranalysis Definitionsbereich V R 3 (R 2 R 3 ) Skalarfeld: f : V R, Vektorfeld: f = (f1,..., f m ) T : V R m. Anwendungen f: Temperaturfeld, (Masse-/Ladungs-)Dichte,... Anwendungen f: Strömungsfelder(-geschw.); elektromagnetische Felder, Verschiebungs- Deformations- Spannungsfelder (lin. Elastizität), Ableitungen (Wiederholung) für Skalar- und Vektorfeld Gradient: f = (f x1,... f xn ) T, Hessian: 2 f = ( f ) Jakobian(Vektorfeld): D f = f x = f T = ( f 1,..., f m ) T

26 Rechenregeln der Vektoranalysis Sei φ : D R, D R n und v : D R n, D R n ein zweimal stetig differenzierbares Skalarfeld bzw. Vektorfeld, so gelten die Regeln (i) rot(grad φ) = 0 (Satz von Schwarz) (ii) div(rot v) = 0 (iii) div(grad φ) =: φ Definition Laplace-Op. (iv) div(φv) = gradφ v + φdiv v (v) rot(φv) = gradφ v + φ(rot v) (vi) rot(rot(v)) = grad(div(v)) v Definition Vektor-Laplace. Die Regeln, in denen der Rotationsoperator vorkommt, gelten nur für n = 3 (n 3).

27 Kurvenintegrale 1. Art I Gegeben: Glatte, reguläre Kurve (stückweise glatte ) γ. Erinnerung: Bogenelement und Bogenlänge Sei x : [t a, t b ] R n die Parameterdarstellung dieser Kurve. Dann heißt ds := ẋ 2 1 (t) + ẋ2 2 (t) + + ẋ2 n(t)dt = ẋ(t) dt das (skalare) Bogenelement der Kurve (an der Stelle x(t)). Für die Bogenlänge s(t) der Kurve zwischen x(t a ) und x(t) gilt s(t) = t t a ẋ(τ) dτ.

28 Kurvenintegrale 1. Art II Für die Gesamtlänge L der Kurve gilt L = s(t b ) = Die Kurve heißt regulär, falls tb t a ẋ(τ) dτ. γ 0 ( γ 2 > 0, t [t a, t b ]. Definition Kurvenintegral 1. Art. Die Funktion f : D R sei stetig, γ D R n. Dann heißt tb f ds := f(x(t)) ẋ(t) dt γ t a Kurvenintegral 1. Art oder skalares Kurvenintegral von f.

29 Kurvenintegrale 1. Art III Anwendungen: (Gesamt-)Masse (Liniendichte ρ = ρ(x, y, z)) te m = ρ( x)ds = ρ(x(t), y(t), z(t)) ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt, γ t a te analog Schwerpunktskoordinaten x S = 1 x(t)ρ(...)...dt usw. m t a ( ) cos t Rechenbeispiel: γ(t) := r R 2, t [0, 2π], sin t f(x, y) = x 2 y 2, r > 0 fixiert ( ) sin t f(t) = f(γ(t)) = r 2 cos 2t, γ(t) = r, γ(t) = r cos t 2π 2π fds = f(t) γ(t) dt = r 3 cos 2t dt = 0. γ 0 0

30 Def./Berechnung Kurvenintegrale 2. Art Sei γ : [t a, t e ] R n eine reguläre Kurve und v : R n R n ein stetiges Vektorfeld (mit γ D(v)). Dann bildet man das Kurvenintegral 2. Art ( Arbeitsintegral ) v ds = v 1 dx v n dx n ds - vektorielles Bogenelement. γ γ Berechnung: γ v ds = te t a v(γ(t)) γ(t) dt ds := γ(t) dt. Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des Integranden; Additiv. bzgl. Teilkurven; etc.) bleiben erhalten v ds = (!) v ds. γ γ KI 2. Art hängt von Orientierung der Kurve ab(!).

31 Schritte zur Berechnung KI 1.(2.) Art Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen 1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung der Kurve γ : [t a, t e ] R n 2) Berechnung der Funktionswerte f(γ(t)) (bzw. v(γ(t))) der Belegungsfunktion 3) Berechnung von γ(t) (bzw. γ(t)) 4) Berechnung des Kurvenintegrals γ f ds = t e t a f(γ(t)) γ(t) dt ( bzw. γ v ds = t e t a v(γ(t)) γ(t) dt ). Kurvenintegrale 1. und 2. Art sind unabhängig von der expliziten Wahl der Parametrisierung!

32 Skalare Potentialfelder Def. 7.5: Sei D R n offen. Weiter seien v : D R n ein Vektorfeld und φ : D R ein differenzierbares Skalarfeld mit φ = v. Dann heißt das Skalarfeld φ Potential oder Stammfunktion von v. Das Vektorfeld v nennt man dann Potentialfeld oder Gradientenfeld (oder konservatives Feld). Satz 7.3: Seien D R n eine offene und einfach zusammenhängende Menge und v : D R n ein Gradientenfeld mit der Stammfunktion f. Weiter sei C eine in D verlaufende Kurve mit der Parameterdarstellung x : [t a, t b ] R n. Dann gilt v ds = f(x(t b )) f(x(t a )). x (Erster Hauptsatz für Potentialfelder)

33 Integration über Oberflächen Def. 8.10:( Parametrisierung eines Flächenstücks) Es seien D R 2 offen und zusammenhängend und M D ein regulärer Bereich. Weiter sei x : D R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt S := x(m) = {x(u, v) (u, v) M} reguläres Flächenstück und x heißt Parametrisierung des Flächenstücks, wenn x : M R 3 injektiv ist, und x u (u, v) x v (u, v) 0 für alle (u, v) M. Eine Teilmenge S R 3 heißt stückweise reguläre Fläche, wenn es endlich viele reguläre Flächenstücke S 1,..., S p gibt, die höchstens endlich viele reguläre Kurvenstücke ihrer Ränder gemeinsam besitzen und für die gilt S = p j=1 S j.

34 Spezialfall für gekrümmte Flächen Graph einer (expliziten) Funktion S := {(x, y, z) T R 3 z = f(x, y)} B := D(f), x = x 1 0 y = y x x = 0 x y = 1 z = f(x, y) f x f y f x ( ) x x x y = f y f(x) = 1 1 x x x y = 1 + f 2 x + f 2 y, n = 1 + f 2 x + f 2 y ( ) 1 f(x) 1

35 Def./Berechnung Oberflächenintegrale 1. Art Sei B R 2 ein Bereich und S := X(B) R 3 ein reguläres Flächenstück. Für eine (stckw.) stetiges Skalarfeld f : R 3 R (S D(f)) heißt fdo = f( x(u, v)) x u x v db (db = dudv) S B skalares Oberflächenintegral (oder OI 1. Art) von f über S. Speziell: Flächeninhalt gekrümmter Flächen A o = 1dO = x u x v db. S Es gilt: Das Oberflächenintegral 1. Art (der Oberflächeninhalt) hängt nicht von der Wahl einer konkreten Parametrisierung ab! B

36 Def./Berechnung Oberflächenintegrale 2. Art Sei B R 2 ein Bereich und S := X(B) R 3 ein reguläres Flächenstück. Für eine (stckw.) stetiges Vektorfeld v : R 3 R 3 (S D(v)) heißt v do = v( x(u, v)) ( x u x v ) db (db = dudv) S B vektorielles Oberflächenintegral (oder OI 2. Art) von v über S ( Flußintegral, Fluß von v durch S). Es gilt: Das Oberflächenintegral 2. Art (der Oberflächeninhalt) hängt nicht von der Wahl einer konkreten Parametrisierung ab! Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des Integranden; Additiv. bzgl. Teilflächen; etc.) bleiben erhalten

37 Schritte zur Berechnung OI 1.(2.) Art Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen 1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung des Flächestücks S := x(b) : B R 3 2) Berechnung der Funktionswerte f( x(u, v)) (bzw. v( x(u, v)))) der Belegungsfunktion 3) Berechnung von ( ) ( x u x v (u, v) bzw. ( ) ) x u x v (u, v) 4) Berechnung des Oberflächenintegrals S fdo = B f( x(u, v)) x u x v db ( bzw. S v d O = B v( x(u, v)) ( x u x v ) db ).

38 Der Integralsatz von Gauß Es sei V R 3 ein Körper, V seine Oberfläche (stückw. glatt), v : R 3 R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt (dabei bezeichnet n die äussere Normalenrichtung) divv dv = v do = v n do, v n = v n. V V Folgerung: Für alle divergenzfreien Vektorfelder (divv = 0) gilt v do = 0, für alle regulären Körper V. V Bsp. 1: Fluß durch die Oberfläche der E.-Kugel K. v = (x 2 yz, xy 2 z, 2xyz 2 ) T, divv = 0 v do = 0 V K

39 Der Integralsatz von Stokes Es sei S := x(b) : B R 3 eine (gekrümmte) Fläche im Raum (Normale n), L seine (geschlossene) Randkurve (τ = γ/ γ ), und v : R 3 R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt rotv do = v ds. S Orientierung der Randkurve: n, τ und n τ bilden Rechtssystem Folgerung: Besitzen 2 Flächen S 1 := x 1 (B 1 ) : B 1 R 3 und S 2 := x 2 (B 2 ) : B 2 R 3 im Raum die gleiche Randkurve L = S 1 = S 2, so gilt v ds = L rotv do = S 1 rotv do S 2 L

40 Der Integralsatz von Green Sei D R 2 ein Gebiet und B D ein Bereich, dessen Rand aus endlich vielen, positiv orientierten Kurven(stücken) besteht ( B = L, L : [a, b] R 2, L(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) T ) und v : R 2 R 2 sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt B [ v 2 (x, y) x v 1(x, y) ] db = v ds. y L Der Integralsatz von Green stellt die ebene Version des Integralsatzes von Stokes dar. Analog: Der Gauß-sche IS der Ebene lautet b ( ) ( ) divv db = v ds [ γ1 (t) γ1 (t) = v1 γ 2 (t) v 2 γ 1 (t) ] dt. γ 2 (t) γ 2 (t) B L a

41 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung(= Stochastik) + später (am Schluß): Einführung in mathematische Statistik Zufallssituation: Komplex von Bedingungen, bei dessen Realisierung nicht voll vorhersagbare Ergebnisse eintreten können ( = Zufallsexperiment - s. Bärwolff) Elementarereignis: elementarer Versuchsausgang e (ω) (genau einer tritt ein) Menge aller elementaren Versuchsausgänge: sicheres Ereignis E (Ω, S) unmögliches Ereignis (U) Zufälliges Ereignis: (A, B) bei Realisierung der Zufallssituation auftretendes Ereigniss ( aus Elementarereign. zusammengesetzt ). Hauptziel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zuf. Ereign.

42 Operationen mit zuf. Ereignissen I Summe zweier Ereignisse: A B Produkt zweier Ereignisse: A B Differenz zweier Ereignisse: A \ B Komplementäres Ereignis Ā := E \ A Mehrfache Summen und Produkte (endlich und(!) abzählbar unendlich) : A 1 A 2... A n = n i=1a i, B 1 B 2... B n... = n=1b n

43 Operationen mit zuf. Ereignissen II De Morgansche Regeln (auch mehrfach, einschließlich abzählbar unendlich vieler Mengen) A B = Ā B, A B = Ā B, k A k = k A k, k A k = k A k, Def. 13.3: (Teilereignis, gleichwertiges Ereignis) Seien A, B zufällige Ereignisse. Folgt aus dem Eintreten von A stets das Eintreten von B, dann heißt A Teilereignis von B; A B: A zieht B nach sich (A ist Teilereignis von B). Gilt A B und B A A = B (A und B sind gleichwertig).

44 Unvereinbarkeit, vollst. Ereignissystem Def. 13.5: Gilt k A k = für endlich oder abzählbar viele zufällige Ereignisse A 1, A 2,..., so nennt man A 1, A 2,... insgesamt unvereinbare Ereignisse oder insgesamt disjunkte Ereignisse. Die Ereignisse heißen paarweise unvereinbar oder paarweise disjunkt, wenn A i A j = für i j gilt. Def. 13.6: Sind A 1, A 2,..., A n zufällige Ereignisse (A k E), für die gilt a) A i A j = für i, j = 1, 2,..., n, i j b) n k=1 A k = E (sicheres Ereignis), dann nennt man (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse.

45 Ereignisfeld, zufälliges Ereignis (Def. 13.4) Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher Mengenkörper), wenn gilt: a) E, Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis gehören zu Z) b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B: A, B Z A \ B Z. c) Gehören die Ereign. A 1, A 2,... zu Z (endlich oder abzählbar unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt: A 1, A 2,... Z k A k Z, k A k Z. Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.

46 Wahrscheinlichkeit: Axiome von Kolmogoroff Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A Z lässt sich eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Für jedes A Z ist 0 P (A) 1 (Axiom I). b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet: P (E) = 1 (Axiom II). c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A 1, A 2,... paarweise unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt P ( k A k ) = k P (A k ) (Axiom III). Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.

47 Folgerungen aus den Kolmog. Axiomen P ( )=0, da 1=P (E)=P (E Ē)=P (E)+P ( ), P (Ā)=1 P (A). n Monotonie: A B P (A) P (B) P ( n k=1a k ) P (A k ) ZUSATZ Das Additionstheorem (Axiom III) ist dem (sogenannten) Stetigkeitsaxiom äquivalent: k=1 Für Folge A 1, A 2,.. von zuf. Ereignissen sei jedes Ereignis Teilereignis des vorhergehenden (d.h., A i+1 A i, i = 1, 2,..), und diese Ereignisse sind insgesamt unvereinbar, d.h., i=1 A i =. Dann gilt: lim n P (A n) = 0.

48 Sind 2 Ereignisse unvereinbar, so P (A B) = P (A) + P (B) (Axiom III f. 2 Mengen), aber: Für beliebige 2 Ereignisse gilt nur : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) Formel für P (A B): A B wird durch paarweise unvereinbare Ereignisse dargestellt A B = (A \ B) (B \ A) (A B), P (A B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A B). Offensichtlich gilt aber auch: P (A) = P (A \ B) + P (A B), P (B) = P (B \ A) + P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

49 Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik Generell: Auswahl von k Elementen aus einer Grundgesamtheit der Anzahl n Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung ( ) der Reihenfolge n (ungeordnet - Kombination): Möglichkeiten k Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge (geordnet - n! Variation): (n k)! Möglichkeiten Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge: n k Möglichkeiten ( Mit Zurücklegen, ) ohne Beachtung der Reihenfolge: n + k 1 Möglichkeiten k

50 Grundformel der klass. Wkt-rechnung Klassische Wahrscheinlichkeit: Das Ereignisfeld sei aus endlich vielen Elementarereignissen zusammengesetzt. Falls die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann P (A) = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Beispiele: Lotto ( 6 aus 49,... etc...); P ( Dreier ) = ( 43 ( 49 6 ) ) ( ) = , usw.,... Alle Karten- Würfel- und sonstige Glücksspiele...

51 Bedingte Wahrscheinlichkeit Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A und wird mit P (B A) bezeichnet. Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden nur für P (A) > 0 betrachtet. Multiplikationstheorem der WR: Es gilt P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A), für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0

52 Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem: P (A B) = P (A B)P (B) = P (A)P (B) = P (B A)P (A) P (B A) = P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B), ( Ā, B), (Ā, B)

53 Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2) Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-tupel (i 1, i 2,..., i m ) von natürlichen Zahlen mit 1 i 1 < i 2 < < i m n gilt: P (A i1 A i2 A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ). n n Konsequenz: P ( A k ) = P (A k ). k=1 Die Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 i, j n, i j die Ereignisse A i und A j unabhängig sind, also wenn gilt k=1 P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt).

54 Anwendung Unabhängigkeit Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung von Ereignissen) P (A i ) = p i, i = 1, 2,... ( ) Parallelschaltung: B = A 1 A 2 A 3... A n Reihenschaltung: C = A 1 A 2 ( A 3... A n ) Grundformeln (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen): P (A 1 A 2 ) = p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = p 1 + p 2 p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) = (1 p 1 )(1 p 2 ) P (C) = n n p k, P (B) = (1 p k ) k=1 k=1

55 Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r B: gezogene Kugel ist weiß; A i : Kugel ist aus Urne i Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B C): ( ) = P (A B C) = P (A C) (B C) P (C) P (A C) + P (B C) P (A B C) P (C) P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) =

56 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zufälliges Ereignis B B = n (B A k ) P (B) = k=1 n P (B A k ), k=1 weil die Mengen (B A k ) ebenfall unvereinbar sind. P (B) = n P (B A k )P (A k ) k=1 mit Multiplikationssatz Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

57 Der Satz von Bayes Es interessieren auch P (A i B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne U i, falls gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt P (B A k ) = P (B A k )P (A k ) = P (A k B)P (B) P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) P (A k B) = P (B A k )P (A k ) n k=1 P (B A k)p (A k ) Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

58 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden durch reelle Zahlen räpresentiert). Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld entsprechend Def Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die für alle e E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild X 1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ], x[ R ein zufälliges Ereignis A Z ist. Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F X (x) von X: F X (x) := P {X < x}.

59 Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat folgende Eigenschaften: a) F (x) ist monoton nichtfallend, b) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, c) F (x) ist linksseitig stetig. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße. Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz: P {x 1 X < x 2 } = F (x 2 ) F (x 1 ) möglich: P { X x 2 } = F (x 2 ) + P {X =x 2 } > F (x 2 )

60 Würfeln (einfacher Wurf) F(x) Abbildung 13.6: x Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln

61 Diskrete Zufallsgrößen Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann, nennt man diskrete Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = x k } = p k > 0 für k = 1, 2,... ist. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar F (x) = P {X < x} = ( ) p k = 1 k:x k I(x) Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant ): Binomialvertlg. (endlich) p n (m) = P n {X = m} = ( ) n m p m (1 p) n m Poisson-Vertlg. (abzählbar) p k k=1 p k = P {X = k} = λk k! e λ

62 Die Poisson-Vertlg. Sei X t - Anzahl von Ereignissen im (Zeit-)Intervall der Länge t. Eine ZG ist Poisson-verteilt bei Homogenität der Zuwächse: λ - mittl. Anz. im Intervall [0, 1]; Unabhängigkeit der Zuwächse; P (X Ordinarität: lim t >1) P (X t 0 t = 0 (lim t =1) t 0 t = λ). Dann P (X t = k) = ( λt) k e λt, k = 0, 1,... P (X t = k) = 1 k! k=0 Eine Poisson-verteilte ZV X(= X t ) ist vollständig charakterisiert durch den Parameter λ = λt.

63 Die hypergeometrische Verteilung Grundgesamtheit: N Elemente, davon M Elemente markiert. Auswahl von n(< N) Elementen ( Stichprobe ) - ZG X: Anzahl der markierten Elemente Wertemenge: {0, 1,.., n}. Das ist eine diskrete ( endliche ) ZG P (X n = k) = ( M )( N M ) k n k ( N n) ( = günstige ) mögliche Für sehr kleine Stichproben ( Faustregel : n < N 20 ): Approximation durch die Binomialverteilung möglich (dabei Wahl von p := M N ). ( Zahlenlotto-Verteilung )

64 Def.13.13: Die diskrete Zufallsgröße X nehme die Werte x k mit den positiven Wahrscheinlichkeiten p k (k = 1, 2,... ) an; die Reihe k=1 p k x k sei konvergent. Dann heißt E(X) = p k x k Erwartungswert von X. k=1 Def.13.14: X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten x 1, x 2,..., den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2,... und dem Erwartungswert E(X). Ist die Reihe σ 2 X = p k [x k E(X)] 2 k=1 konvergent, so nennt man ihren Wert σ 2 X auch Dispersion D2 (X), Varianz V ar(x) oder Streuung von X. Die Wurzel σ X = D 2 (X) > 0 aus der Dispersion heißt Standardabweichung von X.

65 Stetige Zufallsgrößen Def : Eine Zufallsgröße X : E R, deren Vert.-fkt. F (x) sich für alle x mittels einer Funktion f(x) 0 in der Form F (x) = x f(ξ) dξ darstellen lässt, heißt stetige Zufallsgröße. f(x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte von X. Wichtige stetige Verteilg.: Normalverteilung (!!), Gleichvert., Exponentialverteilung (=Lebensdauerverteilung) 0 x < 0 Weibullvertlg.: f(x) = bpx p 1 e bxp x 0, p > 0, b > 0 Weitere Verteilungen (s. Statistik): Fisher-Vertlg., χ 2 -Vertlg.

66 Normalverteilung (Gaußvertlg.) Standardisierte Normalverteilung N(0, 1) φ(x) = f(x; 0, 1) = 1 z e x2 2 Φ(z) = 2π φ(x)dx Zentrale Aussage (für Anwendung): Falls die ZG X N(µ, σ 2 ), so besitzt die ZG Z := X µ σ eine N(0, 1)-Verteilung (Z N(0, 1)) Beispiel: Der Innenringdurchmesser D von Kugellagern sei normalverteilt mit µ = 12.2mm, σ 2 = mm 2 (D N(12.2, )). Ein Innenring ist paßfähig, wenn D [12.1mm, 12.4mm]. Wie groß ist in einem Posten von 1000 Stück der (mittlere) Anteil paßfähiger Ringe?

67 Definition (Erwart.-wert, Momente einer stet. ZG) X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte f(x), für die ξ k f(ξ) dξ konvergiert (k = 1, 2,... ). Dann nennt man E(X) = m k = µ k = ξf(ξ) dξ den Erwartungswert (Mittelwert) von X, ξ k f(ξ) dξ das k-te Moment von X und (ξ EX) k f(ξ) dξ das zentrale k-te Moment von X Weitere Lageparameter: Ein Wert x = x p heißt p-quantil, falls F (x p ) = p = P (X < x p ) = xp f(ξ)dξ, 0.5 Quantil: Median Weitere Größen: Schiefe γ 3 = µ 3 σ 3, Exzeß γ 4 = µ 4 σ 4 3

68 Die Tschebychevsche Ungleichung Satz: Für eine beliebige ZG X mit endlichen EX, D 2 X gilt P ( X EX a) D2 X a 2, bzw. P ( X EX kσ) 1 k 2, a, k > 0 Konsequenz: P ( X EX < kσ) 1 1, k > 0. k2 Diese Abschätzung gilt für beliebige ZG X mit endlichem Erwartungswert und Varianz. Für konkrete Verteilungen lassen sich diese Abschätzungen u.u. noch verbessern: 3 σ Regel für die Normalverteilung: Sei X N(µ, σ 2 ). Dann P ( X µ < 3σ) =... = 2Φ 0 (3) ( 1).

69 Zufallsvektoren (mehrdim. ZG) Def (n-dimensionale Zufallsgröße, zufälliger Vektor) Ein System von n reellen Funktionen X 1 (e), X 2 (e),..., X n (e), deren DB die Menge E der Elementarereignisse e ist, heißt n-dimensionale Zufallsgröße, wenn das Urbild eines jeden n-dimensionalen Intervalls der Form <x k <a k, (k =1, 2,..., n) ein zufälliges Ereignis A aus einem Ereignisfeld Z ist. Def (Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors) (X 1, X 2,..., X n ) sei eine n-dimensionale Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse {X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n } gemeinsam eintreten, heißt Verteilungsfunktion F von (X 1, X 2,..., X n ): F (x 1, x 2,..., x n ) = P {X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n }.

70 Beispiel diskreter Zufallsvektor - Polynomialverteilung: Ereignissystem A k, A k =E, A i A j =, P (A k )=p k, p k =1 k k n unabhängige Versuche; X k - Anzahl des Eintretens von A k. P (X 1 =j 1, X 2 =j 2,..., X k =j k ) = p j1 j 2...j k = n! j 1!... j k! pj p j k k Positive Wahrscheinlichkeit besitzen Urbilder aller Vektoren x mit x = (j 1, j 2,..., j k ) T mit i j i = n, 0 j i n, j i ganzzahlig Stetige Zufallsvektoren, Verteilungsfunktion (2D) ZG (X, Y ) heißt stetig, falls Dichte f(x, y) 0 existiert mit F (x, y) = x y f(x, y)dxdy, Monotonie: F (x 1, y 1 ) F (x 2, y 2 ), falls x 1 x 2, und y 1 y 2

71 Skalierung: F (, ) = f(x, y)dxdy = 1 Beispiel(e): Normalverteilung, Gleichverteilung in B R 2, Erinnerung Beispiel 4 (1.VL WR): 2 Personen (P,Q) wollen sich zw und 9.00 Uhr treffen. X - Ankunftszeit P; Y - Ankunftszeit Q. Zufallsvektor: Z = (X, Y ) ist gleichverteilt in [0, 1] [0, 1] Definition (Randverteilung, Randdichte (n = 2)): Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor mit Verteilungsfunktion F (x, y). Dann nennt man (eindimensionale) Randverteilungen von (X, Y ): P (X<x, Y < )=F (x, )=F X (x), P (X<, Y <y)=f (, y)=f Y (y) Ist (X, Y ) ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte p(x, y), so heißen p X (x) = p(x, η) dη, p Y (y) = (eindimensionale) Randdichten von (X, Y ). p(ξ, y) dξ

72 Die 2-dimensionale Gleichverteilung Rechteck B = [a, b] [c, d] B = (b a)(d c), Dichtefunktion: 1 (b a)(d c) (x, y) [a, b] [c, d] f(x, y) =, speziell: 0 sonst. 0 x, y 0 1 (x, y) [0, 1] 2 xy (x, y) [0, 1] 2 f(x, y) = F (x, y) = x y > 1, x (0, 1) 0 sonst y x > 1, y (0, 1) 1 x, y > 1.

73 Die Randverteilungen der 2D-Gleichverteilung sind jeweils eindimensionale Gleichverteilungen: Für x [a, b] gilt (f X (x) = 0, x / [a, b], da f(x, y) = 0 für x / [a, b]) f X (x) = f(x, y)dy = d c dy (b a)(d c) = 1 b a Das ist die Dichte einer 1D-Gleichverteilung! 1 d c y [c, d] Analog gilt: f Y (y) = 0 sonst.

74 Momente von Zufallsvektoren (X, Y ) (n=2) Erwartungswerte der Komponenten X bzw. Y E(X) = E(Y ) = ξf(ξ, η) dξdη = ηf(ξ, η) dξdη = ξf X (ξ)dξ ηf Y (η)dη Def Momente m pq und zentrale Momente µ pq m pq = E(X p Y q ) = µ pq = E( X E(X) p Y E(Y ) q ) = ξ p η q f(ξ, η) dξdη ξ E(X) p η E(Y ) q f(ξ, η) dξdη

75 Kovarianzmatrix; Korrelationskoeffizienten Def Ist (X 1, X 2,..., X n ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor, so heißt k jl = E{[X j E(X j )][X l E(X l )]} = cov(x j, X l ) die Kovarianz der Zufallsgrößen X j, X l (1 j, k n). Die Matrix (k jl ) heißt Kovarianzmatrix. Die mit den Standardabweichungen normierten Kovarianzen nennt man Korrelationskoeffizienten: ρ jl = cov(x j, X l ) D(Xj ) D(X l ) = cov(x j, X l ) σ j σ l (1 j, l n). Definition (unkorrelierte Zufallsgrößen) Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor. Die Zufallsgrößen X, Y heißen unkorreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ρ(x, Y ) verschwindet.

76 Unabhängigkeit von ZG Def : Sei (X 1, X 2,..., X n ) ein zufälliger Vektor, F (x 1, x 2,..., x n ) seine Verteilungsfunktion, und F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n ) seien die eindimensionalen Randverteilungen. Man nennt die Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n unabhängig, wenn für beliebige x 1, x 2,..., x n gilt. F (x 1, x 2,..., x n ) = F 1 (x 1 )F 2 (x 2 )... F n (x n ). Für stetige ZG: ZG sind genau dann unabhängig, wenn die Dichte Produkt der Randdichten ist: F (x, y) = F X (x)f Y (y) f(x, y) = f X (x)f Y (y) Satz: Unabhängigkeit der ZG (X, Y ) impliziert ihre Unkorreliertheit, d.h., F (x, y)=f X (x)f Y (y) cov(x, Y )=ρ(x, Y )=0

77 Die zweidimensionale Normalverteilung Def : (X, Y ) ist 2D-normalverteilt, wenn die Dichte gegeben ist durch (σ X > 0, σ Y > 0, ρ ( 1, 1)) f(x, y) = a(x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 e a(x,y) 1 2(1 ρ 2 ) [(x m X σ X ) 2 2ρ x m X σ X y m Y σ Y +( y m Y σ Y ) 2 ]. Randverteilg.: X N(m X, σ 2 X), Y N(m y, σ 2 Y ), ρ(x, Y ) = ρ. Die Komponenten X und Y sind normalverteilt mit E(X) = m X, D 2 (X) = σ 2 X, E(Y ) = m Y, D 2 (Y ) = σ 2 Y.

78 2D-Normalverteilte ZG (Ergänzg.) Skalierung auf Standard-NV (2D): X = X m X σ X, Y = Y m Y σ Y, (X, Y ) NV mit m X = m Y = 0, σ X = σ y = 1. ρ(x, Y ) = ρ f X Y (x, y) = Satz: Bei normalverteilten ZG gilt: 1 2π 1 ρ x 2 2ρxy+y 2 2 e 2(1 ρ 2 ) Unabhängigkeit Unkorreliertheit ρ = 0

79 Funktionen/Summen von ZG Gegeben: Zufallsvektor (X, Y ) neue ZG Z = g(x, Y ) Frage(n): Verteilung bzw. stochastische Parameter von Z? E(Z) = g(ξ, η)f(ξ, η) dξdη. speziell Summen von ZG(allgemeingültig!): E(a 1 X + a 2 Y ) = a 1 E(X) + a 2 E(Y ), aber: i.a. D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y + 2ρ(X, Y )σ X σ Y Für unabhängige ZG gilt jedoch: E(XY )=EXEY, D 2 (a 1 X +a 2 Y )=a 2 1D 2 X +a 2 2D 2 Y

80 Summen identisch verteilter unabhängiger ZG X 1,.., X n identisch verteilte ZG, unabhängig (wichtig für Statistik), mit EX i = µ, D 2 X i = σ 2 < Z n = n i=1 X i. E(Z n ) = nex = nµ, D 2 Z n = nd 2 X = nσ 2 X n = Z n n E X n = µ, D 2 Xn = nσ2 n 2 Z n - Summe; Xn - statistischer Mittelwert. = σ2 n I.a. andere Verteilung; Sonderfall: X i (identisch, unabh.) normalverteilt Summe (Mittelwert) wieder normalverteilt X i N(µ, σ 2 ) X n N(µ, σ2 n )

81 Das schwache Gesetz der großen Zahlen Satz: Sei X 1, X 2,..., X n,.. eine Folge identisch verteilter unabhängiger ZG vom Typ X (i.i.d. - englisch: identically independently distributed) mit EX i = µ, D 2 X i = σ 2, i = 1,.., n,... Dann gilt für alle ε > 0 lim P ( X n µ ε) = 1, ( X stoch. n µ) n d.h., das statistische Mittel konvergiert im Sinn der Wkt. (stochastisch) gegen den (einheitlichen) Erwartungswert µ aller Zufallsgrößen der Folge. Anwendung: Konvergenz der relativen Häufigkeit H n (A) gegen P (A) = p für A Z

82 Satz (zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg und Levy) {X 1, X 2,... } sei eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen, die sämtlich dieselbe Verteilungsfunktion haben. Es sei E(X i ) = µ und V ar(x i ) = σ 2 > 0 (i = 1, 2,... ). Weiter sei Z n = n i=1 X i, X n = 1 n Z n. Dann gilt für jedes x ], [ lim P {Z n nµ n σ n oder dazu äquivalent < x} = 1 2π x e 1 2 ξ2 dξ = Φ(x) lim P { X n µ n σ < x} = 1 x n 2π e 1 2 ξ2 dξ = Φ(x). Interpret.: Ȳ n = X n µ n, P ( Ȳ n < x) = F n (x) Φ(x), x σ Die (standardisierte) ZG Ȳn ist asymptotisch N(0, 1)-verteilt(!)