K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Abschlußklausur

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1 Abschlußklausur Termin Klausur Mathematik III f. MW: M0., , Beginn 8.00 (7.50) Uhr, Zugelassene Hilfsmittel: Eine Formelsammlung lt. Liste (s. homepage) und 2 Blatt Din A4 eigene Notizen Nicht erlaubt: (Taschen-)Rechner, Handy s und weitere elektronische Hilfsmittel Raumaufteilung: wird noch bekanntgegeben (Homepage Dr. Vanselow) Konsultationsmöglichkeit zur Klausurvorbereitung: Im Lernraum Mathematik

2 Achtung(!): Tutoren gesucht! Für Mathematik I (und III) für MW ab WS 18/19 Vergütung nach den üblichen Tarifen Bewerbungen an (mündlich, schriftlich, ): Dr. Guntram Scheithauer: Willersbau, Zi.: C 317 Tel.: ( ) 32002; Fax: guntram.scheithauer@tu-dresden.de

3 Wdhlg.: Ereignisfeld, zufälliges Ereignis Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher Mengenkörper), wenn gilt: a) E, Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis gehören zu Z) b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B: A, B Z A \ B Z. c) Gehören die Ereign. A 1, A 2,... zu Z (endlich oder abzählbar unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt: A 1, A 2,... Z k A k Z, k A k Z. Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.

4 Wdhlg. W.keit: Axiome von Kolmogoroff Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A Z lässt sich eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Für jedes A Z ist 0 P (A) 1 (Axiom I). b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet: P (E) = 1 (Axiom II). c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A 1, A 2,... paarweise unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt P ( k A k ) = k P (A k ) (Axiom III). Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.

5 Mehrdimensionale Integralrechnung (3.Sem.) 1. Kurvenintegrale, Wegunabhängigkeit im Potentialfeld 2. Flächenintegrale, Volumenintegrale 3. Oberflächenintegrale, Integralsätze Dabei: Anwendung von Koordinatentransformationen; Ausnutzen von Rechenvorteilen (Integralsätze) Funktionenreihen (3.Sem.) Potenzreihen (Konvergenzradius), Fourierreihen (Darstellung bzw. Berechnung)

6 Partielle Differentialgleichungen (4.Sem.) 1. Allg. Lösung und Anfangswertaufgaben (Cauchyprobleme) fuer PDGL 1. Ordnung 2. Klassifikation PDGL 2. Ordnung (elliptisch, hyperbol.., parabol.), Randwerte (Dirichlet-RB, Neumann-RB, gemischt) 3. Separationsansatz fuer einfache PDGL (elliptisch, parabolisch und hyperbolisch) 4. Rand- und Eigenwertaufgaben fuer Gewöhnliche DGL + Reihendarstellung der Lösung von Anfangsrandwertaufgaben fuer Wärmeleitung Stab und schwingende Saite

7 Wahrscheinlichkeitsrechnung (4.Sem.) 1. Grundbegriffe: Axiomatik Zufallsfelder, Operationen mit zuf. Ereignissen; Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen; Kolmogorovsche Axiome fuer Wahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von der totalen Wkt., Satz von Bayes. 2. Zufallsgrößen: Verteilungsfkt. und Eigenschaften, speziell diskrete und stetige ZG, Momente (Erwartungswert, Varianz usw.) Beispiele fuer Verteilungen a) diskret: Binomial-, Poissonverteilung; b)stetig: Normalverteilung, Exponentialverteilung, Gleichverteilung, Weibullverteilung.

8 WR II/Statistik (4.Sem.) 3. Zufallsvektoren (SCHWERPUNKT: Stetige ZV): Definition, Randverteilungen (= Vertlg. der Komponenten), Kovarianz/Korrelation, Unabhängigkeit, 2D-Normalvertlg., Funktionen von ZV, Grenzverteilungssätze 4. Statistik: Konstruktion von Punktschätzungen mittels Stichprobenfunktionen (Eigenschaften); Konfidenzintervalle - Grunprinzipien der Konstruktion, Anwendungsbeispiele für Parameter bei Binomial- und Normalverteilung; Schätzfunktion für den Korrelationskoeffizienten

9 2 Aufgaben zu Potenzreihen a) s 1 (x) = b) s 2 (x) = (2k2 5)3k 2k 2 (2x 4) 2k 5 3 k k 0 (4k + 3)2k (k + 1)! (4k 1) 3k (2x + 3)k. k k 0 Gesucht: jeweils der Konvergenzradius r und der Konvergenzbereich (x 0 r, x 0 + r) (+ Untersuchung der Konvergenz an den Rändern des Konv.-ber.). c) Rolle der Funktionaldeterminante (Koordinatentrafo) bei mehrdimensionaler Integration

10 2 Aufgaben: RWA 1D und RWA für Laplace-Gl. Aufgabe 1: Gesucht ist Lsg. der RWA y 1, x (0, 1/2), (x) + y(x) = 1, x [1/2, 1), y(0) = y(1) = 1. 2 Lösungswege: a) klassisch b) EF-Darstellung der Lsg. Aufgabe 2: Es sei Ω ein Kreisringgebiet ( ) x Ω := { R 2 r1 = 1 < x y 2 + y 2 < 2 = r 2 }. Gesucht wird die Lösung der RWA: u(x, y) = 0, (x, y) Ω, u(x, y) = 0, für x 2 + y 2 = 1, und u(x, y) = y, für x 2 + y 2 = 4.