Á 3. Die trigonometrischen Funktionen
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- Helga Messner
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1 Á. Die trigonometrischen Funktionen Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4 Diß ist der vorbeschryben schneck vnd seyn grund. Aus: Abrecht Dürer: Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit. Nürnberg:. Nachdruck: Nördlingen: Verlag Dr. Alfons Uhl, Anschaulich lassen sich die trigometrischen Funktionen leicht definieren. Zwei Begriffe führen in dem Zusammenhang jedoch oft zu Verwirrungen: Grad und Bogenmaß. Mit einem Winkelmesser haben Sie schon Winkel in Grad gemessen. Die Winkelfunktionen sollen auf den reellen Zahlen definiert werden und zwar mit dem Argument Bogenmaß. Wir haben zu Beginn der Vorlesung ein Verfahren kennengelernt, mit dem die Länge des Einheitskreises, also S, nummerisch angenähert werden kann. Das Bogenmaß des vollen Kreises ist also S und dem vollen Winkel entsprechen 6. Was bedeutet nun? Sie kennen z.b. die Zeichen %,. Das sind Symbole für reelle Zahlen, Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
2 . Die trigonometrischen Funktionen nämlich für / bzw. /. Analog verhält es sich mit mit dem Symbol. Da 6 = S, folgt = ( ž ). 8 ist also eine spezielle mathematische Konstante. Nun zu den anschaulichen Definitionen der trigonometrischen Funktionen, also der Winkelfunktionen. Im ersten Quadranten, also für, werden die reellen Funktionen SINUS (: sin), COSINUS (: cos), TANGENS (: tan) und COTANGENS (: cot) mit ilfe der folgende Grafik definiert: cot+/ tan+/ Der Strahlensatz liefert die Beziehungen tan+/ also auch tan+/ ccc, cot+/ ccc cot+/. ; G Für = seien sin+/ :, cos+/ : und für seien sin+ / :, cos+ / :. Deshalb seien tan+/ : und cot+ / :. Die Funktion tan ist für und die Funtion cot für nicht definiert! Weiterhin folgt sin +/ cos +/ für. Nicht verschwiegen werden soll, dass bei dieser Definition die Schwierigkeiten in der Messung der Bogenlänge versteckt sind. Für den zweiten, dritten und vierten Quadranten, also für ± #, S', werden dann die Funktionen Sinus und Cosinus mit ilfe der folgenden Grafiken erklärt: Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
3 . Die trigonometrischen Funktionen Damit sind die Funktionen Sinus und Cosinus insgesamt für ± #, S' definiert. Die letzten Grafiken motivierten auch die Beziehungen,. G Für ± \ #, S' lassen sich nun die Funktionen Sinus und Cosinus definieren durch "periodische Fortsetzung". Es seien q und k ± À so gewählt, dass k œ, q ± #, S #'und q k S. Dann sei : sin+ q /. sin cos Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
4 . Die trigonometrischen Funktionen 4 Nun vier Bilder aus der Animation Sinusentwicklung: pse = se[ 4Pi/ ]; pse = se[ 7Pi/6+. ]; Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
5 . Die trigonometrischen Funktionen An den ersten Grafiken dieses Abschnittes läßt sich noch erkennen sin+ cos+ cos+ /, / sin+ /, /. Für ± mit œ n S wobei n ± À, sei nun definiert tan+/ : ccc, und für ± mit œ n S, n ± À sei definiert cot+/ : ccc. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
6 . Die trigonometrischen Funktionen 6 cot tan?????????????????????????????? Einige geometrisch einfach berechenbare Werte der trigonometrischen Funktionen: Í Í 4 Í 6 Í 9 Í Í Í Í 8 Í 6 4 ccc ccc 4 ccc 6 S sin cos tan cot» r r r» r» Für das weitere Vorgehen werden noch die Additionstheoreme von sin und cos gebraucht, es seien, y ± : sin+ y/ cos+y/ sin+y/, sin+ y/ cos+y/ sin+y/, cos+ y/ cos+y/ sin+y/, cos+ y/ cos+y/ sin+y/. Die letzte Gleichung läßt sich mit ilfe der nächsten Grafiken plausibel machen: Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
7 . Die trigonometrischen Funktionen 7 + cos+,/, sin+,/ / A, - P + cos+,-/, sin+, -/ / B + cos+ -/, sin+ -/ /, - - O O C +, / Auf dem Einheitskreis liegen die Punkte A und B A : + cos+d/, sin+d//, B : + cos+e/, sin+ E//. Das Dreieck AOB der linken Figur ist kongruent zu dem Dreieck POC in der rechten Figur. Also ist der Abstand von A nach B gleich dem Abstand von C nach P. Daraus folgt d +A, B/ + cos+d/ cos+e// + sin+d/ sin+e// cos +D/ cos+d/ cos+ E/ cos +E/ sin +D/ sin+d/ sin+e/ sin +E/ cos+d/ cos+e/ sin+d/ sin+e/, d +C, P/ + cos+d E// + sin+d E// Wegen d+a, B/ cos+d E/ cos +D E/ sin +D E/ cos+d E/. d+c, P/ folgt cos+d E/ cos+d/ cos+e/ sin+d/ sin+ E/. Ersetzen von E durch E ergibt cos+d E/ cos+d/ cos+e/ sin+d/ sin+e/ = cos+d/ cos+e/ sin+d/ sin+e/, da cos eine gerade bzw. sin eine ungerade Funktion ist. Mit cos+ / folgt sin+d E/ cos+ +D E// cos++ D/ E/ cos+ D/ cos+e/ sin+ D/ sin+e/ sin+d/ cos+e/ cos+d/ sin+e/. Wird darin nun E durch E ersetzt, so folgt sin+d E/ sin+d/ cos+e/ cos+d/ sin+e/ sin+d/ cos+e/ cos+d/ sin+ E/. Eine andere erleitung der Additionstheoreme motivieren die folgenden Grafiken. Aus: Roger B. Nelson: Proofs without Words. Eercises in Visual Thinking. Washington: The Mathematical Association of America, 99, Seite. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
8 . Die trigonometrischen Funktionen 8 Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4
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f(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
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