60 -Verwandte der pythagoreischen Zahlentripel

Transkript

1 Elem. Mth. 58 (200) /0/ DOI /s y c Birkhäuser Verlg, Bsel, 200 Elemente der Mthemtik 60 -Verwndte der pythgoreischen Zhlentripel Albrecht Schultz Albrecht Schultz, 1946 geboren, studierte n der Universität Heidelberg Physik und Mthemtik für ds Lehrmt n Gymnsien und promovierte dort Seitdem übt er den Lehrerberuf us, zunächst n einem Privtgymnsium in Byern, dnn mit einer fünfjährigen Unterbrechung in Versilles (deutsch-frnzösisches Gymnsium) n einem sttlichen rheinlnd-pfälzischen Gymnsium. Nebenbei ist er seit einigen Jhren m Institut für Physik der Universität Koblenz-Lndu ls Lehrbeuftrgter tätig. 1 Pythgoreische Zhlentripel Für welche rechtwinkligen Dreiecke sind die Seitenlängen gnzzhlig? Ds ist ein urltes Them. Eine ltbbylonische Keilschrifttfel us der ersten Hälfte des zweiten Jhrtusends v.chr. ( Plimpton 22 ) enthält 15 Lösungstripel der Gleichung 2 + b 2 = c 2.Mn muss nnehmen, dss sie uf einer besonderen Rechenvorschrift beruhen, vielleicht uf der Beziehung 2 =(c + b)(c b) [5 ]. Pythgors soll bereits die Prmeterdrstellung (, b, c) := (2λ 2 + 2λ, 2λ + 1, 2λ 2 + 2λ + 1) (λ = 1, 2,,...) geknnt hben. Sie ist lückenhft; so wird z.b. ds Tripel (8, 15, 17) nicht generiert. Bei Euklid (Elemente X, 28 29) findet mn die vollständige Drstellung := 2mn, Ein beknntes Verfhren zur Erzeugung pythgoreischer Tripel beruht uf dem Schnitt von Gerden rtionler Steigung mit dem Einheitskreis; es resultieren rtionle Schnittpunkte, die zu Lösungen der Gleichung 2 + b 2 = c 2 in gnzen Zhlen führen, zu den Seitenlängen pythgoreischer Dreiecke. Hier wird dieses uf die Antike (Diophnt) zurückgehende Sekntenverfhren benutzt, um gnzzhlige Lösungen für die Seitenlängen nderer besonderer Dreiecke zu finden: Gerden mit rtionler Steigung werden mit Ellipsen x 2 + y 2 ± xy = 1 geschnitten. Dbei ergeben sich rtionle Punkte, denen wieder gnzzhlige Tripel (, b, c) mit 2 + b 2 ± b = c 2 entsprechen. Derrtige Tripel sind die Seitenlängen von und 60 -Dreiecken. Detillierte Überlegungen führen zu Prmeterdrstellungen für sämtliche 60 - und 120 -Tripel mit teilerfremden Komponenten, b, c..

2 Elem. Mth. 58 (200) 119 b := m 2 n 2, c := m 2 + n 2.Mitm := λ + 1, n := λ erhält mn die Pythgors zugeschriebenen speziellen Lösungstripel. Es gibt verschiedene Wege zu beweisen, dss die pythgoreischen Tripel die von Euklid ngegebene Form hben. Die sogennnte Sekntenmethode ist wegen ihres Reichtums n innermthemtischen Beziehungen interessnt; sie knn ls geometrische Interprettion des von Diophnt im zweiten Buch seiner Arithmetik (c. 250 n.chr.) beschriebenen Lösungsverfhrens ngesehen werden. Dbei wird ein verblüffend einfcher Trick verwendet, der es erlubt, us einem gegebenen rtionlen Punkt eines Kegelschnitts sofort lle derrtigen Punkte zu gewinnen ([ 1, 5 ], [, S. 169ff. ]). Obwohl ds Sekntenverfhren für die pythgoreischen Tripel n vielen Stellen beschrieben ist, soll es hier kurz drgestellt werden, weil es uch in den folgenden Abschnitten zur Anwendung kommt. Stz 1 Jedes pythgoreische Zhlentripel (, b, c) ist proportionl zu einem Tripel der Form := 2mn, b := m 2 n 2, c := m 2 + n 2 mit m, n N und m > n. Beweis. Mit x := /c, y := b/c erhält mn us jedem pythgoreischen Tripel eine Lösung der Kreisgleichung x 2 + y 2 = 1 (1) in positiven rtionlen Zhlen. Umgekehrt erhält mn us jeder solchen Lösung sofort ein pythgoreisches Zhlentripel, indem mn die beiden Brüche x und y uf denselben Nenner c bringt. Ds Problem ist dmit uf die Bestimmung der rtionlen Lösungen von (1) zurückgeführt. Eine spezielle rtionle Lösung von (1) ist offensichtlich der Punkt P := (0, 1). Mn zieht durch diesen Punkt die Gerde g : y = kx 1 mit der rtionlen Steigung k > 1 (Fig. 1). Sie trifft den Kreis in einem zweiten Punkt S := (x, y), dessen Koordinten positiv und rtionle Funktionen von k sind. Die Rechnung liefert nämlich x = 2k k 2 + 1, y = k 2 1 k (2) y (Steigung = k) S = (x, y) x x 2 +y 2 = 1 P = ( 0, 1) Fig. 1

3 120 Elem. Mth. 58 (200) Ist umgekehrt (x, y) eine im ersten Qudrnten gelegene rtionle Lösung von (1) und S der zugehörige Kreispunkt, so ist die Steigung k der Gerden durch P und S rtionl und > 1; der Punkt (x, y) wird lso durch (2) geliefert. Die sämtlichen positiven rtionlen Lösungen von (1) sind somit gegeben durch (2) mit k Q, k > 1. Mit k := m/n, m > n, folgt us (2): c = x = 2mn m 2 + n 2, b c = y = m2 n 2 m 2 + n 2, und drus ergeben sich genu die ngegebenen Tripel. Wir verzichten hier druf, mit Hilfe von Teilbrkeitsuntersuchungen eine vollständige Liste von primitiven (s.u.) pythgoreischen Tripeln herzustellen Tripel Die pythgoreischen Tripel zogen schon immer die Aufmerksmkeit der Zhlenfreunde und -tüftler uf sich. Ds Sekntenverfhren m Kreis steht überdies im Zusmmenhng mit einem grossen Them der Zhlentheorie, der Suche nch rtionlen Punkten uf lgebrischen Kurven, und ist hierfür ds einfchste Beispiel. Ds erweiterte Problem: Wie erhält mn gnzzhlige Lösungen, wenn mn nch den Seiten in nderen besonderen Dreiecken frgt?, wird seltener betrchtet und ist ds Huptnliegen dieser Arbeit. Sttt des Stzes von Pythgors muss jetzt dessen Verllgemeinerung, der Cosinusstz 2 + b 2 2b cos γ = c 2, γ := (, b), zugrunde gelegt werden. Sollen hier, b und c gnzzhlig sein, so muss cos γ rtionl sein. Ausser 90 sind 60 und 120 die einzigen rtionlen Vielfchen des Vollwinkels, für die ds der Fll ist. Wir mchen uns dher uf die Suche nch gnzzhligen 60 - bzw Tripeln (, b, c). Stz 2 Jedes 120 -Zhlentripel (, b, c) ist proportionl zu einem Tripel der Form mit m, n N und m > n. := 2mn + n 2, b := m 2 n 2, c := m 2 + mn + n 2 () Beweis. Im Fll des 120 -Winkels lutet der Cosinusstz 2 + b 2 + b = c 2 oder ( ) 2 ( b ) c c c b c = 1. Mn erhält lso us jedem 120 -Tripel (, b, c) eine Lösung der Gleichung x 2 + y 2 + x y = 1 (4) in rtionlen Zhlen: x = /c, y = b/c. Umgekehrt ergibt sich us jeder im ersten Qudrnten liegenden Lösung (x, y) von (4) sofort ein gnzzhliges 120 -Tripel, indem

4 Elem. Mth. 58 (200) 121 y (Steigung = k) S = (x, y) x P =( 0, 1) x 2 +x y+y 2 = 1 Fig. 2 mn die beiden Brüche x und y uf den gemeinsmen Nenner c bringt. Ds Problem, die sämtlichen gnzzhligen 120 -Tripel nzugeben, ist dmit uf die Bestimmung der rtionlen Lösungen der Ellipsengleichung (4) zurückgeführt, und dfür steht wieder die Sekntenmethode zur Verfügung. Eine spezielle rtionle Lösung ist wiederum der Punkt P := (0, 1). Mn zieht durch diesen Punkt die Gerde g : y = kx 1 mit der rtionlen Steigung k > 1 (Fig. 2). Sie trifft die Ellipse in einem zweiten Punkt (x, y), dessen Koordinten positiv und rtionle Funktionen von k sind. Die Rechnung liefert nämlich x = 2k + 1 k 2 + k + 1, y = k 2 1 k 2 + k + 1. (5) Ist umgekehrt (x, y) eine im ersten Qudrnten gelegene rtionle Lösung von (4) und S der zugehörige Ellipsenpunkt, so ist die Steigung k der Gerden durch P und S rtionl und > 1, der Punkt (x, y) wird lso durch (5) geliefert. Die sämtlichen positiven rtionlen Lösungen von (4) sind somit gegeben durch (5) mit k Q, k > 1. Mit k := m/n, m > n, folgt us (5): c = x = 2mn + n2 m 2 + mn + n 2, b c = y = m 2 n 2 m 2 + mn + n 2, und drus ergeben sich genu die ngegebenen Tripel. Ein Tripel (, b, c) mit ggt(, b, c) =1 heisst primitiv. Welchen Einschränkungen unterliegen die Vriblen m und n, wenn ds zugehörige 120 -Tripel () primitiv usfllen soll? Hierfür ist offensichtlich notwendig, dss m und n teilerfremd sind. Umgekehrt gilt: Lemm Sind m und n teilerfremd und ist m n 0 (mod ), so ist ds 120 -Tripel () primitiv. Lemm b Sind m und n teilerfremd und ist m n = 0 (mod ), so hben die zugehörigen Tripel () den grössten gemeinsmen Teiler, d.h., die Tripel := 2m n + n 2, b := m 2 n 2, c := m 2 + m n + n 2 (6) sind primitiv.

5 122 Elem. Mth. 58 (200) Beweis. Wenn und b einen gemeinsmen Teiler d hben, so ist wegen c 2 = 2 +b 2 +b uch c durch d teilbr. Sind jedoch und b teilerfremd, so ist schon ggt(, b, c) =1. Es genügt lso, die gemeinsmen Teiler von und b zu betrchten. Sei q = p α eine Primzhlpotenz, die in den beiden Termen n(2m + n) und m 2 n 2 = (m + n)(m n) ufgeht. Dnn knn weder m noch n durch p teilbr sein; denn sonst wäre ds uch für n bzw. m der Fll, entgegen der Vorussetzung über m und n. Also ist 2m + n durch q teilbr, und drus folgt, dss m + n nicht durch p teilbr ist, denn sonst wäre uch m =(2m + n) (m + n) durch p teilbr. Somit teilt q die Zhl m n, dnn ber uch die Zhl m =(2m + n)+(m n), und es folgt q = p =. Dmit steht fest: Sind m und n teilerfremd und ist m n 0 (mod ), so ist ds Tripel () primitiv. Ist jedoch m n = 0 (mod ), so ist uch 2m + n = m (m n) durch teilbr; somit hben dnn und b die Zhl ls gemeinsmen Teiler. Wegen q = ist ds uch der grösste gemeinsme Teiler von und b. Zum Beispiel erzeugt m := 4, n := 1 zunächst ds Tripel (9, 15, 21), ds dnn zu dem primitiven Tripel (, 5, 7) reduziert wird. Dieses letzte Tripel knn nicht direkt us () entstehen, denn die Gleichungen 2m n + n 2 = 2mn+n 2 m 2 n 2, = m 2 n 2 m 2 + m n + n 2, = m 2 +mn+n 2 würden zusmmen m = m implizieren. Es scheint lso zwei Klssen primitiver 120 -Tripel zu geben: erstens die Klsse T, die die in Lemm beschriebenen Tripel () enthält, und zweitens die Klsse T, die die in Lemm b bzw. (6) beschriebenen Tripel (, b, c ) enthält. In Wirklichkeit verhält es sich folgendermssen: Lemm c Wenn in jedem Tripel der Klsse T die beiden ersten Komponenten vertuscht werden, so entstehen gerde die sämtlichen Tripel der Klsse T. Beweis. Es ist eine bijektive Abbildung von T uf T nzugeben, die die beiden ersten Tripelkomponenten vertuscht. Ds Pr (m, n) erzeuge vermöge () ds Tripel (, b, c) T. Durch die linere Trnsformtion m := m + 2n, n := m n (7) ist ihm ein neues Pr (m, n ) mit den folgenden Eigenschften zugeordnet: 1. m > n > m n = n; insbesondere ist m n = 0(mod).. Die Zhlen m und n sind teilerfremd. Ein gemeinsmer Teiler d von m und n müsste nämlich uch ein gemeinsmer Teiler von n = m n und m = m + 2n sein. D m und n teilerfremd sind, käme nur d = in Frge. Aber n = m n ist nch Annhme über m und n nicht durch teilbr. Folglich entsteht us diesem Pr (m, n ) mit Hilfe von (6) ein Tripel (, b, c ) der Klsse T. Mn rechnet sofort nch, dss es mit dem Tripel (m 2 n 2, 2mn + n 2, m 2 + mn + n 2 )=(b,, c) übereinstimmt.

6 Elem. Mth. 58 (200) 12 Umgekehrt erzeuge ds Pr (m, n ) vermöge (6) ds Tripel (, b, c ) T.Dnnist m n = 0 (mod ). Durch die zu (7) inverse Trnsformtion m := (m + 2n )/, n := (m n )/ ist ihm ein Pr (m, n) mit den folgenden Eigenschften zugeordnet: 1. m und n sind gnzzhlig, und es ist m > n > Es ist m n 0 (mod ); denn mn ht m n = n, und n ist nicht durch teilbr.. Die Zhlen m und n sind teilerfremd. Ein gemeinsmer Teiler von m und n wäre nämlich uch ein gemeinsmer Teiler von m = m + 2n und n = m n, gegen die Vorussetzung über m und n. Folglich entsteht us diesem Pr (m, n) mit Hilfe von () ein Tripel (, b, c) der Klsse T. Wiederum knn schnell nchgerechnet werden, dss es mit dem umgeordneten Tripel (b,, c ) übereinstimmt. Dmit ht sich herusgestellt, dss die 120 -Tripel der Klsse T und diejenigen der Klsse T durch Spiegelung useinnder hervorgehen. Es hndelt sich lso, rithmetisch gesehen, um dieselben Tripel. Ob mn sie uch geometrisch ls dieselben nsehen will, ist Geschmckssche. Alles in llem hben wir den folgenden Stz bewiesen: Stz 4 Die sämtlichen primitiven 120 -Zhlentripel sind die Tripel (, b, c) := (2mn + n 2, m 2 n 2, m 2 + mn + n 2 ) (8) mit teilerfremden m und n, m > n und m n 0 (mod ), und deren Spiegelbilder (b,, c). 60 -Tripel Im Fll des 60 -Winkels lutet der Cosinusstz 2 + b 2 b = c 2 oder ( ) 2 ( b ) 2 + c c c b c = 1. Mn erhält lso us jedem 60 -Tripel (, b, c) eine Lösung der Ellipsengleichung x 2 + y 2 x y = 1 (9) (Fig. ) in rtionlen Zhlen: x = /c, y = b/c. Umgekehrt ergibt sich us jeder im ersten Qudrnten liegenden Lösung (x, y) von (9) sofort ein gnzzhliges 60 -Tripel, indem mn die beiden Brüche x und y uf den gemeinsmen Nenner c bringt. Zieht mn nun wiederum Seknten durch den Punkt P := (0, 1), soerhält mn nstelle von (5) die folgende Prmeterdrstellung der im ersten Qudrnten liegenden rtionlen Lösungen von (9): x = 2k 1 k 2 k + 1, y = k 2 1 k 2 k + 1 (k Q, k > 1). Mit k := m/n, m > n ergibt sich nch Erweitern mit n 2 wie im vorngehenden Abschnitt:

7 124 Elem. Mth. 58 (200) x 2 x y+y 2 = 1 P y P S = (x, y) x P =( 0, 1) Fig. Stz 5 Jedes 60 -Zhlentripel (, b, c) ist proportionl zu einem Tripel der Form mit m, n N und m > n. := 2mn n 2, b := m 2 n 2, c := m 2 mn + n 2 (10) Dmit verbleibt die Aufgbe, eine vollständige Liste ller primitiven 60 -Tripel herzustellen. Dzu könnten wir, usgehend von (10), nloge Teilbrkeitsüberlegungen wie im vorngehenden Abschnitt nstellen. Stttdessen wollen wir uns der in Stz 4 beschriebenen Liste der primitiven 120 -Tripel bedienen und überlegen folgendermssen: Zunächst hlten wir fest, dss lle gnzzhligen 120 -Tripel ungleichschenklig sind, denn ds 120 -Tripel (1, 1, ) ist nicht rtionl. Fig. 4 zeigt, dss sich us jedem primitiven 120 -Tripel (, b, c) durch Ansetzen eines gleichseitigen Dreiecks ein primitives 60 - Tripel (, b, c ) bilden lässt, und zwr uf zwei Arten: φ 1 : (, b, c) (, b, c ) := ( + b, b, c), φ 2 : (, b, c) (, b, c ) := (, + b, c). (11) b 60 b b c Fig. 4 Dbei gilt jedenflls b. Umgekehrt erhält mn us jedem ungleichschenkligen primitiven 60 -Tripel (, b, c ) ein primitives 120 -Tripel (, b, c) durch Abschneiden

8 Elem. Mth. 58 (200) 125 b 60 b b 60 b b b c c Fig. 5 eines gleichseitigen Dreiecks (Fig. 5): { (, b, c φ 1 1 ) (, b, c) := (, b, c )=( b, b, c ) ( > b ) φ 1 2 (, b, c )=(, b, c ) ( < b ). Folglich liefert (11) die sämtlichen primitiven 60 -Tripel usser (1, 1, 1), und zwr jedes genu einml: Sowohl φ 1 wie φ 2 ist injektiv; überdies gilt für dieφ 1 -Tripel > b, für dieφ 2 -Tripel < b. Wir notieren noch, dss die Tripel φ 2 (b,, c) und φ 1 (, b, c) spiegelbildlich gleich sind. Auf der Grundlge von Stz 4 und (11) können wir dmit den folgenden Stz ussprechen: Stz 6 Die sämtlichen primitiven 60 -Zhlentripel sind die Tripel (, b, c ) := (m 2 + 2mn, m 2 n 2, m 2 + mn + n 2 ), (, b, c ) := (2mn + n 2, m 2 + 2mn, m 2 + mn + n 2 ) (12) mit teilerfremden m und n, m > n und m n 0 (mod ), deren Spiegelbilder (b,, c ) sowie ds Tripel (1, 1, 1). ( Zu den beiden Grundformen (12) wäre mn uch gekommen, indem mn in Fig. durch P :=(0, 1) Seknten x = k(1 y) und durch P :=(1, 1) Seknten x 1 = k(1 y) mit k := m/n > 1 gezogen hätte. Umgekehrt geht z.b. die zweite Grundform (12) durch die Substitution m := m n, n := n in (10) über, womit uch der Anschluss n Stz 5 hergestellt ist. ) 4 Ergänzende Bemerkungen Ähnliche Formen für und 60 -Tripel lssen sich einem Aufstz us dem Jhr 191 entnehmen. H. Böttcher [ 2 ] gewnn über einen rithmetischen Anstz für γ = 120 die folgenden Dreiecksgestlten: = p 2 q 2, b = 2pq p 2, c = p 2 pq + q 2 ; dbei ist 2q > p > q, p und q sind teilerfremd, und p + q 0(mod).Mitp := m + n, q := m ergeben sich die in Stz 4 ufgeführten 120 -Tripel. Bei H. Hsse [ 4 ] folgt dieselbe Prmeterdrstellung wie die hier gegebene us Teilbrkeitsüberlegungen im imginär-qudrtischen Zhlkörper Q ( ). Ds geschieht in Anlehnung n die besonders elegnte Herleitung der Formen pythgoreischer Tripel in Q ( 1 ) unter Ausnutzung der eindeutigen Primfktorzerlegung Gußscher Zhlen.

9 126 Elem. Mth. 58 (200) In der folgenden, nch m und n lexikogrphisch geordneten Tbelle liefert jede Zeile mit (, b, c) ds 120 -Tripel (8) und mit ( + b, b, c) bzw. (, + b, c) die beiden 60 -Tripel (12): m n + b b c Der Autor dnkt der Redktion für ihre Hilfe bei der Drucklegung der vorliegenden Arbeit. Litertur [1] Bsmkov, I.G.: Diophnt und diophntische Gleichungen. VEB Deutscher Verlg der Wissenschften, Berlin [2] Böttcher, H.: Anlog zu den pythgoreischen Dreiecken. Unterrichtsblätter für Mthemtik und Nturwissenschften, Jhrg. 19, No. 7 (191), 12f. [] Bundschuh, P.: Einführung in die Zhlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg [4] Hsse, H.: Ein Anlogon zu den gnzzhligen pythgoreischen Dreiecken. Elem. Mth. 2 (1977), 1 6. [5] Weil, A.: Zhlentheorie ein Gng durch die Geschichte von Hmmurpi bis Legendre. Birkhäuser, Bsel Albrecht Schultz Im Alten Kloster D Eußerthl, Deutschlnd