Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet.

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1 5 Polynome 5.1 Definitionen Definition 8 Monom Ein Monom ist ein Produkt us einer reellen Zhl dem Koeffizienten) und beliebig vielen ntürlichen Potenzen von Vriblen dem Nmen des Monoms). Ist ds Monom nur eine reelle Zhl, nennt mn es uch eine Konstnte. Definition 9 Grd eines Monoms Der Grd eines Monoms ist die Summe der Exponenten der Vriblen. Definition 10 Normlform eines Monoms Der Koeffizient wird n erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Vriblen werden zusmmengefsst, Vriblen werden lphbetisch geordnet. Beispiele für Monome in Normlform: 0 Konstnte, Grd 0 x Koeffizient 1, Nme x, Grd 1 5x 4 y Koeffizient 5, Nme x 4 y, Grd 5 2uvz 2 Koeffizient 2, Nme uvz 2, Grd 4 Aufgbe 98 Folgende Terme sind keine Monome in Normlform. Erklären Sie, wrum. Formen Sie die Terme in Monome in Normlform um, wenn ds möglich ist b 4 2 x 2 + x 2 e) y + y 2 f) 3 z g) v 2 h) b 4 Definition 11 Polynom Ein Polynom ist eine Summe von Monomen. Die einzelnen Summnden nennt mn Glieder. Hinweis: Die Summe knn uch us nur einem Monom bestehen. Definition 12 Grd eines Polynoms Der Grd eines Polynoms ist der grösste Grd seiner Monome. Beispiele für Polynome: x 2 + 5xy + b x 7 u 2 + 2uv + v 2 4y 2z Aufgbe 99 Begründen Sie kurz, wrum folgende Terme keine Polynome sind. Formen Sie die Terme in Polynome um, flls möglich. 4x x 2 1 5y) x y 3 x + 4 y 4 2 b Definition 13 Normlform eines Polynoms Alle Monome sind in Normlform. Jeder Nme kommt höchstens einml vor. Die Monome werden nch Grd bsteigend geordnet. Monome gleichen Grdes werden lphbetisch geordnet, wenn mn die Potenzen ls Produkte usschreiben würde. Z.B. 3 b 2 = bb wird vor 2 b 3 = bbb geschrieben). 11. Jnur

2 Aufgbe 100 werden): Schreiben Sie ls Polynom in Normlform es muss eventuell zuerst usmultipliziert 3b b + 3 b x + 2) x 2 x x 2) 2 x 2) 5xy 2 3x) 2 + 3x 3 y + 5y 2) g + 2h 2 ) g + h 2g) h 5.2 Formeln Merke Multipliktion zweier Polynome Mn multipliziert zwei Polynome miteinnder, indem mn jedes Glied des ersten Polynoms mit jedem Glied des zweiten Polynoms multipliziert und die Zwischenresultte ddiert. Aufgbe 101 Schreiben Sie in Normlform: 2 3b + b x 3 y 3 )y 3 + x 3 ) c + c 2 + c 3 + c 4 )c 3 c 2 ) x)b x)c x)... z x) Aufgbe 102 Aufgbe 103 Wie gross ist der Grd des Produkts zweier Monome? Wie gross ist der Grd des Produkts zweier Polynome? Aufgbe 104 Ws die Ausnhme der Regeln, die Sie bei Aufgben 102 und 103 gefunden hben? Wie könnte mn durch eine geeignete Definition des Grds eines Monoms diese Ausnhme beheben? Binomische Formeln Ein Binom ist ein Polynom mit zwei Gliedern. Merke Binomische Formeln + 2 = 2 + 2b + b 2 2 = 2 2b + b 2 + = 2 b 2 Diese Formeln können durch einfche Polynom-Multipliktion bewiesen werden. Die Formeln können ber uch geometrisch einsichtig gemcht werden. Skizze für + 2 Skizze für 2 Skizze für + b b 2 b b b 2 b + b 2 b 2 b + b b 2 b b b 11. Jnur

3 Aufgbe 105 Wenden Sie die binomischen Formeln n und schreiben Sie in Normlform: xy + y 2 ) ) e + 3f) b ) 2 e) y z) 2 ) xy y 2 2 f) g) 4ef 3fe) 2 h) c d + d c ) 2 i) y + x)y x) j) b + b + k) e f) e + f) l) Umkehrung der binomischen Formeln Für lgebrische Umformungen sind Produkte in den meisten Fällen geeigneter ls Summen. Summen sind doof!). Wendet mn die binomischen Formeln in die ndere Richtung n, lssen sich gewisse Polynome in Produkte überführen. Diesen Vorgng nennt mn Fktorisieren. Beispiele: e 2 + 4ef + 4f 2 = e + 2f) 2 9c 2 6cd + d 2 = b 4 25c 6 = 4b 2 + 5c 3 )4b 2 5c 3 ) Aufgbe 106 Fktorisieren Sie: g 2 + e 2 2ge u 2 v 2 vu) 2 25b b 4 2 b b 2 e) x 10 y 10 f) g) x 2 2x + 1 h) 4 + y 4 + 4y i) 2 + b 2 Auch durch Ausklmmern knn fktorisiert werden. Beispiele b + 10b 2 = b + b 2 ) = x 4 28xy) 2 = 7x 2 x 2 4y 2 ) = 7x 2 x + 2y)x 2y) Aufgbe 107 Fktorisieren Sie so weit wie möglich 6 4 b b b 2 g 8 h b 2 x + y)x 2 y 2 x + y) e) t 5 2t 3 + t f) 3 b b 3 Aufgbe 108 Eigentlich reicht die Formel für + 2. Die Formel für 2 ergibt sich drus. Zeigen Sie ds, indem Sie die Identität = + ) verwenden Qudrte von Trinomen und Polynomen Aufgbe 109 Ws ist die trinomische Formel für + b + 2 und die qudrinomische Formel für + b + c + 2? Beschreiben Sie, wie ds usmultiplizierte) Qudrt eines Polynoms ussieht so qusi die polynomische Formel ) für x 1 + x 2 + x x n ) 2. Hinweis: Hier sind x 1, x 2 usw. unterschiedliche Vriblen, wie z.b. und b Höhere Potenzen von Binomen, Pscl sches Dreieck Aufgbe 110 Schreiben Sie + 3 ls Polynom in Normlform. Hinweis: Verwenden dzu uch die binomische Formel, indem Sie die Identität + 3 = nutzen. 11. Jnur

4 Aufgbe ) 2 Schreiben Sie + 4 in Normlform. Berechnen Sie uf zwei Arten: Aufgbe 112 folgende Tbelle: Schreiben Sie die Koeffizienten der Normlform von + n für n = 0, 1, 2, 3, 4 in Stellen Sie eine Vermutung uf, wie die Koeffizienten für n = 5, 6 und 7 ussehen und trgen Sie diese in der Tbelle ein. Versuchen Sie Ihre Vermutung zu beweisen, indem Sie die Identität + n = + n 1 + nutzen. Merke Pscl sches Dreieck Die Tbelle oben wird Pscl sches Dreieck gennnt. Es ht die Eigenschft, dss jede Zhl gleich Summe der beiden direkt drüber stehenden Zhlen ist. der Aufgbe 113 Mit Hilfe des Pscl schen Dreiecks, berechnen Sie die Normlform von x 2) 5 2x + 3) 6 Hinweis: Sie dürfen die Koeffizienten uch ls Produkt von Potenzen schreiben. Aufgbe 114 Bilden Sie die Summe für jede Zeile des Pscl schen Dreiecks. Ws stellen Sie fest? Beweisen Sie Ihre Feststellung. Hinweis: Benutzen Sie dzu entweder die Eigenschft des Pscl schen Dreiecks oder setzen Sie geeignete Zhlen für und b ein. Aufgbe 115 Ws erhält mn, wenn mn bei einer Zeile des Pscl schen Dreiecks die Zhlen von links nch rechts bwechslungsweise ddiert und subtrhiert? Hinweis: Mn nennt dies eine lternierende Summe. Ws vermuten Sie? Können Sie Ihre Vermutung beweisen? Hinweis: Betrchten Sie 1 1) n. Aufgbe 116 Es gilt: + n = Beim vollständigen usmultiplizieren entsteht ein Polynom. Ws sind die Grde der einzelnen Monome und wrum? Begründen Sie folgende Aussge: Der Koeffizient vom Monom mit Nmen 2 b 4 in der Normlform von + 6 entspricht genu der Anzhl Möglichkeiten us 6 Objekten 2 Objekte uszuwählen. Begründen Sie folgende Aussge: Der Koeffizient vom Monom mit Nmen k b n k in der Normlform von + n entspricht genu der Anzhl Möglichkeiten us n Objekten k Objekte uszuwählen. 11. Jnur

5 5.3 Übungsufgben Hinweis: Mxim, ds Computer-Algebr-System, ds u.. für ds Erstellen dieser Übungsufgben verwendet wurde, ordnet die Vriblen in Monomen leider in lphbetisch umgekehrter Reihenfolge n. Aufgbe 117 Wenden Sie die binomischen Formeln n. 5d 3 + 5f 3) 2 g 2 + 5m 2 g 5x 3 o ) 2 4i 3 5w 2 d 2) 2 e) 3ul + 3z) 2 g) 2i 3 2p 3 j ) 2 h) n 3 3r ) 2 j) so 3 3d 2) 2 k) 4o 3 + 4n 2) 2 m) 5c 3 4jh ) 2 n) 2l 3 t 3 o 2) 2 p) g 3 3k 2) 2 q) 4z 3 h + 4x 2) 2 s) ) 2 + j 3 2 t) 3o 3 d 2 f 2 e ) 2 v) c 3 4x 2 d 3 + yi 3) 2 w) 3l 2 d 3 3x ) 2 f) i) l) o) r) u) x) r 2 d 2 5j 3) r 2 d 2 5j 3) d 2 2e ) d 2 + 2e ) 2w 2 3l 3) 3l 3 + 2w 2) 3 3 4u 3) 4u 3 3 3) 4x 2 p 3 5w 2) 4x 2 p 3 + 5w 2) 5r 2 k 5z 3 t ) 5z 3 t 5r 2 k ) 3s 3 z 2) 3s 3 z 2) 5vd 2 2i 2) 2i 2 5vd 2) Aufgbe 118 Fktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln: k 2 b 2 2n 2 kb + n 4 4x 6 k 2 + 4y 3 x 3 k + y 6 4o 6 9q 2 p 4 4x 4 i z 3 x 2 i + 25z 6 e) l 2 + l 2 f) m 4 d 6 u 2 r 2 g) n n 6 h) 9f mh 3 f m 2 h 6 i) 9v 2 25d 4 j) 25y 2 v 4 20zyv 2 + 4z 2 k) j 4 2y 3 j 2 + y 6 l) x 6 w 2 25u 2 m) 9m 6 e 6 + 6r 2 m 3 f 3 e 3 + r 4 f 6 n) 16b 6 + 8t 3 d 3 b 3 + t 6 d 6 o) 9l 2 4m 6 b 4 p) k 2 + 6wm 2 k + 9w 2 m 4 q) 4u 6 e 2 4u 3 qk 3 e + q 2 k 6 r) n 4 h 2 4s 6 s) b 4 + 2e 2 b 2 + e 4 t) 9c r 2 c 2 + 4r 4 u) 16v 4 i 4 9s 2 v) w 2 c 6 + 2woh 2 c 3 + o 2 h 4 w) l 6 2y 3 l 3 + y 6 x) 9y 2 u Aufgbe 119 Fktorisieren Sie: 4x 3 o 4 m 2 + 8x 3 s 2 o 2 m 2 4x 3 s 4 m 2 5xv 2 q xv 2 qo 3 g 3 + 5xv 2 o 6 g 6 8y 4 u 3 m 2 2y 2 u 3 d 2 5se sr 3 ke sr 6 k 2 3 e) 25x x 2 n 3 h + 9x 2 n 6 h 2 f) 2v 6 r 2 ki 2l 6 kj 6 i g) 8d 2 c + 24ldc 18l 2 c h) 20o 3 n 4 h 6 20r 2 o 3 n 2 h 3 + 5r 4 o 3 i) 3p 4 g 4 3p 2 b 6 j) 4w 6 u 2 h x 3 w 3 u 2 h 3 25x 6 u 2 h 2 k) 36x 2 j 2 g x 2 o 3 k 2 jg x 2 o 6 k 4 g l) 5v 3 r 4 l 2 5v 3 l 2 i 4 m) 5fb 2 50t 3 feb + 125t 6 fe 2 n) 100nm wvnm + 36w 2 v 2 n o) 5zw 4 5zj 4 p) o 6 + 4qo 3 + 4q 2 o q) 2f 6 c 4w 2 k 3 f 3 c + 2w 4 k 6 c r) 80s 4 q 6 h 45m 4 h s) 12o 3 l 2 h 6 e + 60o 3 lh 3 e 75o 3 e t) 2p 3 d 4 + 4p 3 gd 2 + 2p 3 g 2 u) 125r 6 d 4 b 2 45y 2 f 4 b 2 v) 5x 6 kh x 3 w 2 r 3 kh + 5w 4 r 6 k w) 2t 2 pe 4 20t 2 s 3 pe t 2 s 6 p x) 4zm 2 f 6 16zx Jnur

6 5.4 Lösungen Hinweise zu den Symbolen: Diese Aufgben könnten mit kleinen Anpssungen) n einer Prüfung vorkommen. Für die Prüfungsvorbereitung gilt: If you wnt to nil it, you ll need it. Diese Aufgben sind wichtig, um ds Verständis des Prüfungsstoffs zu vertiefen. Die Aufgben sind in der Form ber eher nicht geeignet für eine Prüfung zu grosser Umfng, nötige Tricks, zu offene Aufgbenstellung, et. Teile solcher Aufgben können ber durchus in einer Prüfung vorkommen!. Diese Aufgben sind dzu d, über den Tellerrnd hinus zu schuen und oder die Theorie in einen grösseren Kontext zu stellen. Lösung zu Aufgbe 98 ex-monome-normlform e) f) g) h) 4 + 3: Summe. Zusmmenfssen: 7 ist ein Monom). + b: Summe. Knn nicht zusmmengefsst werden. 4 2 : Potenz einer Zhl. Ausrechnen: 16 ist ein Monom). x 2 + x 2 : Summe. Zummenfssen 2x 2 ist ein Monom). y + y 2 : Summe. Knn nicht zusmmengefsst werden. 3 z : Vrible im Exponenten. v 2 : Betrg. D v 2 immer positiv, knn der Betrg weggelssen werden: v 2 ist ein Monom). b 4: Koeffizient nicht n erster Stelle, Vriblen nicht lphbetisch geordnet. Geordnet: 4b ist ein Monom). Lösung zu Aufgbe 99 ex-polynome-j-nein 4x x 2 5y): Ein Produkt. Ausmultiplizieren: 4x 3 20xy ist ein Polynom) b : Ein Quotient. Knn nicht in ein Polynom umgeformt werden. x y : Ein Betrg. Knn nicht in ein Polynom umgeformt werden. 3 x + 4 y : Vriblen im Exponenten. Knn nicht in ein Polynom umgeformt werden. Lösung zu Aufgbe 100 ex-polynome-normlform 3b b + 3 b = 8b + 5 b x + 2) x 2 x x 2) 2 x 2) = x 3 + 2x 2 x 2 2x) 2x 4) = x 3 + x xy 2 3x) 2 + 3x 3 y + 5y 2) = 45x 3 y x 4 y xy 4 = 15x 4 y x 3 y xy 4 g + 2h 2 ) g + h 2g) h = g 2 + 2h 2 g + h 2 2gh = 2gh 2 + g 2 2gh + h 2 Lösung zu Aufgbe 101 ex-polynome-normlform2 2 3b+ b = 2b 2c+2bc+3b 2 c 2 x 3 y 3 )y 3 + x 3 ) = x 6 y 6 c + c 2 + c 3 + c 4 )c 3 c 2 ) = c 7 c 3 x)b x)c x)... z x) = Jnur i

7 Lösung zu Aufgbe 102 ex-monom-produkt Der Grd entspricht der Länge der usgeschriebenen Nmen d.h. ohne Potenzen), bzw. der Summe ller Exponenten der Vriblen. Bei Multipliktion ddieren sich diese Grössen. D.h. der Grd des Produkts ist die Summe der Grde der Fktoren. Lösung zu Aufgbe 103 ex-polynom-produkt Der Grd des Produkts entspricht dem höchsten Grd ller Monome. Ds Monom mit höchstem Grd wird gebildet ls Produkt der beiden Monome mit höchstem Grd. Also uch hier ddieren sich die Grde. Lösung zu Aufgbe 104 ex-polynom-produkt-usnhme Nch unserer Definition ist der Grd einer Konstnte lso einer rellen Zhl) Null. Ist die Konstnte ber selbst Null, ist uch ds Produkt Null, unbhängig vom nderen Fktor. Der Grd des Produkts ist lso uf jeden Fll Null, wenn einer der beiden Fktoren Null ist. Würde mn den Grd vom Monom 0 ls minus unendlich) definieren, ergäbe die Addition der Grde ebenflls und somit den Grd des Produkts. Lösung zu Aufgbe 105 ex-binomische-formeln-nwenden xy + y 2 ) 2 = x 2 y 2 + 2xy 3 + y ) = ) b = b + b 2 2e + 3f) 2 = 4e ef + 9f 2 e) y z) 2 = y 2 2yz + z 2 f) xy y 2 ) 2 = x 2 y 2 2xy 3 + y 4 g) 4ef 3fe) 2 = e 2 f 2 16e 2 f 2 24e 2 f 2 + 9e 2 f 2 ) h) c d + d c ) 2 = c 2 d d2 c 2 i) y + x)y x) = x 2 + y 2 Normlform x vor y) j) b + b + = b 2 + c 2 kein Polynom) k) e f) e + f) = e 2 f 2 l) + = + 1) + = + 2 = 2 2b b 2 Lösung zu Aufgbe 106 ex-binomische-formeln-umkehren g 2 + e 2 2ge = g e) 2 u 2 v 2 vu) 2 = 0 bzw. zuerst uv vu)uv + vu) 25b b = 5b b b 2 = e) x 10 y 10 = x 5 y 5 ) f) = 4 + 5)4 5) g) x 2 2x + 1 = x 1) 2 h) 4 + y 4 + 4y nicht fktorisierbr). Wenn mn die Aufgbenstellung korrigiert zu 4+y 4 +4y 2 knn mn fktorisieren, nämlich 2 + y) 2. i) 2 +b 2 nicht fktorisierbr). Auch wenn mn + 2 2b schreibt, ht mn immer noch eine Summe. Lösung zu Aufgbe 107 ex-binomische-formeln-fktorisieren e) f) 6 4 b b b 2 = 6 2 b b 2 2) g 8 h 8 = g 4 + h 4 )g 4 h 4 ) =... = g 4 + h 4 )g 2 + h 2 )g + h)g h) b 2 = 2 + 2b + b b + b 2 4b 2 = 2 2 b 2 ) = 2 + x + y)x 2 y 2 x + y) = x + y)x 2 y 2 ) = x + y) 2 x y) t 5 2t 3 + t = tt 4 2t 2 + 1) = tt 2 1) 2 3 b b 3 = b 2 b 2 ) = b Jnur ii

8 Lösung zu Aufgbe 108 ex-binomische-formeln-eine-reicht + ) 2 = = 2 2b + b 2 Lösung zu Aufgbe 109 ex-binomische-formeln-tri-qudri-poly 2 + b 2 + c 2 + 2b + 2c + 2bc und 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2b + 2c + 2d + 2bc + 2bd + 2cd. x x x 2 n + 2x 1 x x + 2x 1 x x 1 x n + 2x 2 x 3 + 2x 2 x x n 1 x n Mn erhält die einfche) Summe ller Qudrte plus die doppelte Summer ller möglichen Zweierprodukte. 2 Zweierprodukte x x i x j x n )x x i x j x n ) 1 Qudrt Lösung zu Aufgbe 110 ex-binomische-formeln-hoch-drei = 2 + 2b + b 2 ) + =... = b + 2b 2 + b 3 Lösung zu Aufgbe 111 ex-binomische-formeln-hoch-vier b + 3b 2 + b 3 ) + = b+ 3 2 b 2 + b b+ 3 2 b 2 + 3b 3 + b 4 = b+ 6 2 b 2 + 4b 3 + b b + b 2 ) 2 = b 2 + b }{{} b b 2 + 4b 3 = }{{} b b 2 + 4b 3 + b 4 Qudrte Doppelprodukte Lösung zu Aufgbe 112 ex-binomische-formeln-pscl-dreieck Die vollständige Tbelle sieht wie folgt us: Die Zhlen sind immer die Summe der beiden oberen Zhlen bzw. der einen Zhl n den Rändern). Die Nmen der Glieder von + n sind n, n 1 b, n 2 b 2,..., b n 1, b n. D.h. die Potenzen von sind bsteigend, die Potenzen von b ufsteigend lle Grde sind gleich n). Multiplizert mn nun + n 1 mit, erhält mn die Nmen von n bis b n 1 mit den gleichen Koeffizienten wie + n 1. Multiplizert mn nun + n 1 mit b, erhält mn die Nmen von n 1 b bis b n, wieder mit den gleichen Koeffizienten. Schreibt mn die Nmen untereinnder wie in der Lösung von Aufgbe f)) sieht mn, dss immer benchbrte Koeffizienten der Zeile n 1 zu einem neuen Koeffizienten der Zeile n ddiert werden. Lösung zu Aufgbe 113 ex-binomische-formeln-pscl-dreieck-nwenden x 2) 5 = x )x ) 2 x ) 3 x ) 4 x+ 2) 5 = x 5 10x 4 +40x 3 80x 2 +80x 32 2x + 3) 6 = 2 6 x x x x x x Lösung zu Aufgbe 114 ex-binomische-formeln-pscl-dreieck-zeilensumme Die Summe der n-ten Zeile ist 2 n. 25. Jnur iii

9 Im Pscldreieck wird eine Zhl ls Summe der oberen beiden Zhlen berechnet. Umgekehrt trägt jede Zhl genu zwei Ml zur drunterliegenden Zeile bei. D.h. die Zeilensumme verdoppelt sich, wenn mn eine Zeile nch unten geht. D die erste Zeile die Summe 1 = 2 0 stimmt die obige Aussge. Alterntiv betrchtet mn den Ausdruck 1 + 1) n. Wenn mn diesen Ausdruck vollständig usmultiplizert mit Hilfe des Pscldreiecks) erhält mn genu die Summe ller Koeffizienten. Es gilt ntürlich dss 1 + 1) n = 2 n. Lösung zu Aufgbe 115 ex-binomische-formeln-pscl-dreieck-lternierende-zeilensumme Die lternierende Summe ergbit Null, usser für die oberste Zeile Zeile zu + 0 ). Entwickelt mn 1 1) n erhält mn bsteigende Potenzen von 1), d.h. die Koeffizienten erhlten bwechslungsweise ein positives und negtives Vorzeichen. D.h. die Entwicklung von 1 1) n ist genu die lternierende Summe. Für n 1 ist 1 1) n = 0. Hinweis: 0 0 ist nicht definiert. Es wird ber hin und wieder ls 1 ngenommen, womit ds Pscl sche Dreieck uch für diesen Spezilfll seine Gültigkeit bewhrt. Lösung zu Aufgbe 116 ex-binomische-formeln-pscl-dreieck-n-choose-k Der Grd ist immer n, weil immer n Vriblen miteinnder multipliziert werden. + 6 = Beim Ausmultiplizieren wird jeweils us jeder Klmmer ein Glied usgewählt und lle zusmmen multipliziert. Um 2 b 4 zu erhlten, muss us genu zwei Klmmern ein usgewählt werden und us den nderen ein. Addiert mn lle diese Möglichkeiten erhält mn den Koeffizienten von 2 b 4 in diesem Fll 15, siehe im Pscl schen Dreieck). Ob mn nun 2 us 6 Klmmern oder 2 Objekte us 6 uswählt, spielt für die Anzhl Möglichkeiten keine Rolle. Wie oben, ddiert mn lle Möglichkeiten k Klmmern mit mit dem us n möglichen Klmmern uszuwählen. Lösung zu Aufgbe 117 ex-binomische-formeln-nwenden-bis-zum-bwinken 25d f 3 d f 6 g 4 10m 2 g m 4 g x 3 og 2 50x 3 om 2 g+ 25j 6 r 4 d 4 25w 4 d 4 40w 2 i 3 d i 6 e) 9u 2 l zul + 9z 2 f) d 2 4 4e 2 g) 4i 6 + 8p 3 ji 3 + 4p 6 j 2 h) n 6 + 6rn 3 + 9r 2 i) 4w 4 9l 6 j) 9d 4 6so 3 d 2 + s 2 o 6 k) 16o o 3 n n 4 l) u 6 m) 25c 6 40jhc j 2 h 2 n) 4l 6 4t 3 o 2 l 3 + t 6 o 4 o) 16x 4 p 6 25w 4 p) g 6 6k 2 g 3 + 9k 4 q) 16z 6 h z 3 x 2 h + 16x 4 r) 25r 4 k 2 25z 6 t 2 s) j 3 + j 6 t) 9o 6 d 4 6o 3 f 2 ed 2 + f 4 e 2 u) z 4 9s 6 v) c 6 8x 2 d 3 c 3 + 2yi 3 c x 4 d 6 8yx 2 i 3 w) 9l 4 d xl 2 d 3 + 9x 2 x) 25v 2 d 4 4i 4 Lösung zu Aufgbe 118 ex-binomische-formeln-umkehren-bis-zum-bwinken ) kb n 2 2 2x 3 k + y 3) 2 2x 2 i + 5z 3) 2 e) 4 2 l ) 2 g) ) 5 4n 3 2 h) 3f 3 + 4mh 3) 2 j) 5yv 2 2z ) 2 k) j 2 y 3) 2 m) 3m 3 e 3 + r 2 f 3) 2 n) 4b 3 + t 3 d 3) 2 p) ) k + 3wm 2 2 q) 2u 3 e qk 3) 2 s) b 2 + e 2) 2 t) 3c 2 + 2r 2) 2 v) wc 3 + oh 2) 2 w) l y) 2 l 2 + yl + y 2) 2 f) i) l) o) r) u) x) 2o 3 3qp 2) 2o 3 + 3qp 2) m 2 d 3 ur ) m 2 d 3 + ur ) ) 3v 5d 2 5d 2 + 3v ) 5u x 3 w ) 5u x 3 w ) 2m 3 b 2 3l ) 2m 3 b 2 3l ) n 2 h 2s 3) 2s 3 n 2 h ) 4v 2 i 2 3s ) 3s 4v 2 i 2) 2 2 3yu 3) 2 2 3yu 3) 25. Jnur iv

10 Lösung zu Aufgbe 119 ex-fktorisieren-bis-zum-bwinken 4m 2 x 3 o s) 2 o + s) 2 5xv 2 q + o 3 g 3) 2 2y 2 u 3 d 2ym) d + 2ym) 5 3 s e 2 2r 3 k ) 2 x 2 5 3n 3 h ) 2 e) f) 2k l 3 j 3 v 3 r ) l 3 j 3 + v 3 r ) i g) 2c 2d 3l) 2 5o 3 2n 2 h 3 r 2) 2 h) i) 3p 2 b 3 pg 2) b 3 + pg 2) u 2 h 2 2w 3 h 5x 3) 2 j) 4x 2 g 3jg 3 + 4o 3 k 2) 2 k) l) 5v 3 l 2 i r) i + r) i 2 + r 2) 5f b 5t 3 e ) 2 m) n) 4n 5m + 3wv) 2 o) 5z j w) j + w) j 2 + w 2) o 3 + 2q ) 2 p) 2c f 3 w 2 k 3) 2 q) r) 5h 3m 2 4s 2 q 3) 3m 2 + 4s 2 q 3) 3eo 3 2lh 3 5 ) 2 s) 2p 3 d 2 + g ) 2 t) u) 5b 2 5r 3 d 2 3yf 2) 5r 3 d 2 + 3yf 2) 5k x 3 h + w 2 r 3) 2 v) 2t 2 p e 2 5s 3) 2 w) x) 4z mf 3 2x 3) mf 3 + 2x 3) 25. Jnur v