Theoretische Informatik. Äquivalenzsatz und Anwendungen

Transkript

1 Theoretische Informtik Äquivlenzstz und Anwendungen

2 Reguläre Sprchen reguläre Ausdrücke NFA DFA regulärer Ausdruck Äquivlenzstz für reguläre Sprchen flex

3 Reguläre Ausdrücke Gegeben: Regulärer Ausdruck r Problem: Suche nch Teilstrings, die uf r pssen. Idee: Konstruiere einen Automten A r mit L(A r ) = L(r). String gefunden, wenn A r einen Endzustnd erreicht Strtegie: Konstruiere zunächst einen Automten mit -Trnsitionen Wndele diesen in deterministischen Automten um Minimiere

4 Reguläre Ausdrücke Zu jedem regulären Ausdruck r gibt es einen endlichen Automten A(r) mit L(r) = L(A(r)). Konstruktion induktiv über Aufbu von r A(r) Ein bisschen Vorsicht ist notwendig: b b Automt für *b Nicht Automt für (*b)*

5 Induktive Konstruktion - Anfng Zu regulärem Ausdruck r konstruieren wir A r mit genu einem Endzustnd q f keine Trnsition führt in den Anfngszustnd keine Trnsition verlässt den Endzustnd A r 1. Konstnte Reguläre Ausdrücke,, für jedes Σ A A A

6 Induktive Konstruktion - Rekursion 2. Sind e und f reguläre Ausdrücke, dnn uch e+f, ef, e* A e A f A e A f A e

7 Aufgben Der Student Hns Acker findet die Konstruktion des Automten für e* viel zu umständlich, weil zwei neue sinnlose Zustände hinzukommen. Er schlägt vor eine -Trnsition vom Endzustnd in den Anfngszustnd den Anfngszustnd uch zu einem Endzustnd zu mchen (Bild 1) 1. Zeigen Sie H. Acker, dss seine Optimierung einen Bug ht. Finden Sie einen möglichst einfchen regulären Ausdruck e, so dss seine Konstruktion einen Automten liefert, der mehr Worte erkennt, ls nur L(e*). Am nächsten Morgen ht H.Acker den Bug eingesehen und liefert sein verbessertes Progrmm. Es produziert den Automten in Bild 2 A e A e 2. Zeigen Sie ihm seinen Denkfehler. A e 3. e? ist definiert ls e+. Wie gewinnt mn lut llgemeiner Konstruktion us dem Automten für e einen solchen für e? 4. H.Acker möchte optimieren und schlägt für e? den Automten in Bild 3 vor. 1. Ws ist der Fehler? 2. Konstruieren Sie einen möglichst einfchen Automten für e? A e1 5. O.K, ber die Vereinigung, den Automten für e 1 + e 2, könnte mn doch sicher einfcher hben, indem mn die Anfngs- und Endzustände identifiziert wie in Bild 4. Wo ist der Fehler? 6. Gestern hätte H.Acker noch einen optimierten Automten für e + gemäß Bild 5 konstruiert. Jetzt ist er totl verunsichert. Geben Sie ihm seine Sicherheit zurück! Überzeugen Sie ihn, dss der Automt in Bild 5 ttsächlich e + implementiert. A e2 A e

8 Automt ) reg. Ausdruck Zu Zu jedem endlichen Automten A gibt es es einen regulären Ausdruck r A mit L(A)=L(r A ). ). 1. Ersetze Endzustände durch einen neuen Endzustnd q f F q f 2. Elimintion innerer Knoten k {q 0,q f } Für je zwei Knoten p 1 k p 2 ersetze e durch f p 2 p 1 k p 2 p 1 ef ef k dnch entferne k. g durch p e f 21 p 2 p 1 k p 2 eg*f k eg*f

9 Automt regulärer Ausdruck 3. Elimintion prlleler Knten Ersetze e durch e+f f 4. Zum Schluss ht der Automt zwei Zustände. Ersetze ihn durch reg. Ausdruck Ersetze e f h g durch e*f(g + he*f)* bzw. e f g durch e*fg* etc.

10 Beispiel Konstruiere regulären Ausdruck für den Automten Nur ein Endzustnd o.k. 1 b b 2 3 b b 4 Eliminiere 2: - Es gibt zwei Läufe über 2: - 1 *b 4 und 3 b*b 4

11 Beispiel Konstruiere regulären Ausdruck für den Automten *b Nur ein Endzustnd o.k. 1 + b*b 4 Eliminiere 2: - Es gibt zwei Läufe über 2: - 1 *b 4 und 3 b*b 4 b 3 b Eliminiere 3: - Es gibt zwei Läufe über 3: - 1 b (+b*b) 4 und - 4 b (+b*b) 4

12 Beispiel Konstruiere regulären Ausdruck für den Automten *b b (+b*b) Nur ein Endzustnd o.k. 1 4 Eliminiere 2: - Es gibt zwei Läufe über 2: - 1 *b 4 und 3 b*b 4 b (+b*b) Eliminiere 3: - Es gibt zwei Läufe über 3: - 1 b (+b*b) 4 und - 4 b (+b*b) 4 Verschmelze Knten

13 Beispiel Konstruiere regulären Ausdruck für den Automten b (+b*b) Nur ein Endzustnd o.k. 1 *b + b(+b*b) 2 Eliminiere 2: - Es gibt zwei Läufe über 2: - 1 *b 4 und 3 b*b 4 Ergebnis: (*b + b(+b*b))(b(+b*b))* Eliminiere 3: - Es gibt zwei Läufe über 3: - 1 b (+b*b) 4 und - 4 b (+b*b) 4 Verschmelze Knten

14 Äquivlenzstz für reguläre Sprchen Äquivlenzstz für für reguläre Sprchen Reguläre Ausdrücke, deterministische endliche Automten, nichtdeterministische endliche Automten, Automten mit mit -Trnsitionen erkennen/spezifizieren die die gleichen Sprchen. Mn Mn sgt, sie sie sind sind äquivlent. - Zu jedem regulären Ausdruck e gibt es einen -NFA A e, so dss L(e)=L(A e ). - Zu jedem -NFA A gibt es einen DFA PA mit L(A) = L(PA) - Zu jedem DFA A gibt es einen regulären Ausdruck e A mit L(A)=L(e A )

15 Folgerungen Sind L, L 1 und L 2 reguläre Sprchen, dnn sind uch regulär: L 1 L 2 - Produktutomt Σ*- L - Komplementutomt L 1 - L 2 - L 1 (Σ*- L 2 ) Obwohl bzw. Σ*- L nicht durch reguläre Opertoren usdrückbr sind in jedem Einzelfll neue Konstruktion erforderlich

16 Mehr Opertionen uf regulären Sprchen Ist L regulär dnn uch L (Ableitung nch ) Hinweis: L=L(r) für regulären Ausdruck r Induktion über Aufbu von r (Differentitionsregeln) = = {} =, {b} = flls b (L+M) = L + M etc.

17 Entscheidbre Probleme Gegeben ein reguläre Sprchen L, L 1, L 2 ls reguläre Ausdrücke ls DFA ls NFA Aus dem Äquivlenzstz folgt, dss lle möglichen Frgestellungen entscheidbr sind, z.b.: Ist L =? Leerheitsproblem Ist L 1 = L 2? Äquivlenzproblem Gegeben w Σ*, ist w L? Wortproblem

18 In der Prxis 1. Spezifiziere mit regulärem Ausdruck Einfch zu bestimmen Textuell repräsentierbr 2. Erzeuge äquivlenten -NFA OK zur Spezifiktion Keine däqute textuelle Drstellung Bindeglied zwischen RA und DFA 3. Wndle um in DFA Schlecht für Spezifizierung Einfch zu implementieren Dfür gibt es Werkzeuge z.b.: flex 4. Minimiere Entferne nicht erreichbre Zustände Verschmelze äquivlente Zustände 5. Implementiere DFA tbellengesteuert Sehr effizient

19 Professionelles Werkzeug: flex flex ist ein Scnner-Genertor Aus regulärer Definition r erzeugt flex ein C-Progrmm, ds einen Scnner für r implementiert Originl UNIX-tool: lex flex ist Open Source Alterntive gleiche Input-Sprche gleiches Verhlten Vrinten für fst lle ndere Sprchen erhältlich Jv, Pscl, ML, Hskell, Prolog,

20 flex-inputdtei drei Abschnitte, getrennt durch %% Definitionen von token und Buchstbenklssen %% reguläre Ausdrücke mit Aktionen %% optionl: min() Beispieldtei für flex letter letter [-za-z] [-za-z] digit digit [0-9] [0-9] %% %% [ \t]+ \t]+ ; + + { return(plus) return(plus) } - - { return(minus) return(minus) } * * { return(times) return(times) } / / { return(quot) return(quot) } {digit}+ {digit}+ { sscnf(yytext, %d,&yylvl); return(num)} return(num)} {letter}({letter} {digit})* { return(id)} return(id)} %% %%

21 flex-strtegie Zu jedem regulären Ausdruck gehört eine Aktion usgeführt, sobld der Ausdruck erknnt wurde flls Scnner front-end eines Compilers: Tokenübergbe: return(token); beliebige zusätzliche C-Anweisungen möglich Aus Input wird längstmöglicher Teilstring bgeschnitten, der uf eines der Muster psst. Bsp.: dosen_umfng := 3.14; richtig flsch dosen_umfng := 3.14 ; do se n_umfng = ; id ssign flot semi do id id eq int dot int semi

22 flex uch sonst nützlich flex ist für viele Zwecke nützliches Werkzeug Beispiel: Schreibe Progrmm um lle Großbuchstben in Kleinbuchstben zu verwndeln Leerzeichen m Zeilenende zu entfernen mehrfche Leerzeichen durch eins zu ersetzen Input-Dtei myfile.l mit Inhlt # Dies Dies ist ist die die Dtei Dtei myfile.lxi %% %% [A-Z] [A-Z] putchr(yytext[0]+ - A ); [ ]+$ ]+$ ; [ ]+ ]+ putchr( ); ); %% %% Console: > flex myfile.lxi > cc lex.yy.c ll > mv.out myprog Interne Vrible yytext[] enthält stets den zuletzt erknnten String -ll linkt mit der lex-librry

23 Berry-Sethi-Algorithmus Erzeugt NDA für regulären Ausdruck r NDA ht viele nützliche Eigenschften Geringe Anzhl von Zuständen beschränkt durch Länge von r q δ(p,e 1 ) δ(p,e 2 ) e1=e2 Syntxgesteuert Bumtrversierung 2 ml bottom up 1 ml top down

24 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum ** c b?

25 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum χ c b nummeriere Blttknoten χ(n) = Zeichen m Knoten n ** 1 c 2 3? b 5 4

26 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum 2. nummeriere Blttknoten χ(n) = Zeichen m Knoten n χ c b Mrkiere Optionle Unterbäume Bottom-up Bumdurchluf ** 1 2 3? 5 Optionl(e) = flse Optionl(r 1?) = true Optionl(r 1 *) = true Optionl(r 1 r 2 ) = Optionl(r 1 ) Optionl(r 2 ) Optionl(r 1 r 2 ) = Optionl(r 1 ) Optionl(r 2 ) 4

27 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum 2. nummeriere Blttknoten 3. Mrkiere Optionle Unterbäume 4. Berechne First(k) für jeden Knoten k 1 ** 1,2 2 1,2, χ c b ? First(n) = { n } First(r 1?) = First(r 1 ) First(r 1 *) = First(r 1 ) First(r 1 r 2 ) = First(r 1 ) First(r 2 ) First(r 1 r 2 ) = First(r 1 ) ( if Optionl(r 1 ) then First(r 2 ) else { } ) 4 4

28 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum 2. nummeriere Blttknoten 3. Mrkiere Optionle Unterbäume 4. Berechne First(k) für jeden Knoten k 1,2 # 1,2,3 # 3 χ c b # 5. Berechne, ws uf einen Teilstring r folgen knn. - top down - # = endofstring-mrke 1 ** # # 1 1 1, ,5 4? 5 Follow(r) = { # } r = r 1? : Follow(r 1 ) = Follow(r ) r = r 1 * : Follow(r 1 ) = Follow(r ) First(r 1 ) r = r 1 r 2 : Follow(r 1 ) = Follow(r 2 ) = Follow(r ) r = r 1 r 2 : Follow(r 2 ) = Follow(r ) und Follow(r 1 ) = First(r 2 ) (if Optionl(r 2 ) then Follow(r ))

29 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum 2. nummeriere Blttknoten 3. Mrkiere Optionle Unterbäume 4. Berechne First(k) für jeden Knoten k 5. Berechne, ws uf einen Teilstring r folgen knn. - top down - # = endofstring-mrke * 1,2,3 2 # χ c b # 6. Addiere Strtknoten 0 c δ = { (0,χ(p),p) p First(r) } {(p,χ(p 1 ),p 1 ) p P, p 1 Follow(p) } 1 1,2 3 4,5 0? 4 5

30 Berry-Sethi - Beispiel: (*c?b) 1. Strte mit Syntxbum 2. nummeriere Blttknoten 3. Mrkiere Optionle Unterbäume 4. Berechne First(k) für jeden Knoten k 5. Berechne, ws uf einen Teilstring r folgen knn. - top down - # = endofstring-mrke 6. Addiere Strtknoten 0 * 1 1,2 c 1,2,3 2 c # 3 4,5? χ b c b b 5 # δ = { (0,χ(p),p) p First(r) } { (p,χ(p 1 ),p 1 ) p P, p 1 Follow(p) } F = { p # Follow(p) }