3. Seminar Statistik

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1 Sndr Schlick Seite.Seminr05.doc. Seminr Sttistik 0 Kurztest 5 Präsenttion diskrete Verteilungen Puse 0 Üungen diskrete Verteilungen 5 Präsenttion stetige Verteilungen 0 Üungen stetige Verteilungen Husufgen: Schs S. 0, Aufgen S. 00 0, 0, 9 0, 0. Them: Zufllsvrile (ZV) und Verteilungen (VT) Whrscheinlichkeitsverteilung ist eine Verteilungsfunktion, die Zufllsvrilen ( oder ZV) die Whrscheinlichkeit zuordnet. Formel: F() := P(X ). Anlog zur Summenkurve. Mn knn Whrscheinlichkeiten einzeln drstellen. Ds sind Whrscheinlichkeitsdichten oder nlog der Häufigkeitsverteilungen. Verteilungsfunktionen können stetig oder diskret sein. Diskret: z. B. würfeln oder Münzen werfen. Stetig: f() ist eine vorgegeene Funktion. F() ist ds Integrl von f() und f() ist die Aleitung von F(). Formeln: F() = f() d =, f() = d F(), f() 0, P( < ) = - d f() d = F() - F() Beispiel: f() = für 0 <.5, f() = 0 für = 0 und =.5.5=.5 F() = d = Formel: Diskreter Fll : E() =, P(0 < ) = 0 = 0.67 n i f( i ); Stetiger Fll : E() = i = f() d gewichtet die Dichten. knn ls Funktion vorgegeen sein, dnn gilt: Diskreter Fll : E(g()) = g( i ) f( i ); Stetiger Fll : E() = g() f() d i = Spezielle diskrete Verteilungen ( S. ): Diskrete Gleichverteilung z. B. Augenzhl eim für = 0,,,..., n Würfeln.P(X) = n ; E(X) = n + ; V(X) = n - für n Zustz: Bernoulli Verteilung: P(X =) = p und P(X = 0) = q Vrilen sind Erfolg und Mißerfolg z. B. Mensch-ärgere-dich-nicht Erfolg = mind eine 6 in drei Würfen. p = 9/6 = 0.. E() = p = 0., V() = pq = = 0.8, s = 0.98 Binomil Verteilung (S. ) P(X) = n n! p k q n k = k k!(n k)! pk q n k X = Anzhl Erfolge (,..., n), = estimmte Anzhl Erfolge. Versuch jeweils mit Zurücklegen (stochstisch unhängig). Z. B. Menschärgere-dich-nicht (mind. ml eine 6 würfeln) = = ( 5+ 5+) 6 = 9 6 k Zustz: Geometrische Verteilung P(k) = p q k (mit Zurücklegen). = Anzhl Versuche is zum Erfolg

2 Sndr Schlick Seite.Seminr05.doc Hypergeometrische Verteilung (S. 7) K N K k n k P(X = k) = E(X) = n M N N ; V(X) = n M N M N n N N n Versuch ohne Zurücklegen z. B. ziehen von 5 Kugeln ohne zurücklegen (Zhlenlotto). Poisson Verteilung (S. 5) P(X) = λk k! e λ ; E(X) = λ; V(X) = λ mit λ = n p entspricht der Binomil Verteilung er n ist sehr groß. Fustregel: n 00, p 0. z. B. Roulette, die Whrscheinlichkeit, 8 ml zu gewinnen, wenn mn uf die setzt. p( ml gewinnen) = /7, Erwrtungswert ei 00 Spielen: E() = np = 00 / 7 = 5.05 = λ Mssenfunktion f() = 0.08 ei Binomil Verteilung würde mn 0.08 erhlten. Spezielle stetige Verteilungen: Gleichverteilung (S. 0) 0 für < - F() = für E(X) = + ( - ), V() = - für > Synonym: Rechteckverteilung. Z. B. der Bus kommt zwischen Mitternch und 6 Uhr Morgens nch Fhrpln lle 0 Min. Whrscheinlichkeit, dß ein Fhrgst länger ls 0 Min wrtet =? Zeit T is zum nächsten Bus ist gleichverteilt üer der Periode 0 t 0 Min. P(T > 0 Min) = P(T 0) = F Rechteck (0) = (0 / 0) = / Normlverteilung (Guß Verteilung) NV (S. 0) e ( µ) σ φ() = d; E(X) = µ; V(X) = σ πσ Viele eochtre Phänomene (Tischlängen, Körpergrößen, sportliche Leistungen, Herstellungsduern etc etc etc). Zwei Unterscheidungen: ) Idele und rele NV ( und µ, s und σ), ) llgemeine Form und die stndrdisierte Form der NV. Allg. Form: E() = µ (resp. ) V() = σ (resp. s ); stndrdisierte Form: E() = 0, σ = mit folgender Stndrdisierung: Z = X µ resp. X = σ Z + µ. σ Z. B. Die ZV X sei NV mit E() = 5 und Vr() = 9. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dß einen Wert zwischen und 7 einnimmt? P( < 7)? 5 < X 5 = Z 7 5 Dmit können Werte us der NV Telle - < Z gelesen werden. Mn erhält: = 0.78 Eponentilverteilung (S. ) - λ e - λ für 0 F(X) = ; E(X) = λ; V(X) = 0 für < 0 λ stetiges Pendnt zur geometrischen Verteilung. Z. B. Whrscheinlichkeit, dß eine Glühirne () weniger ls hl so lnge oder () mehr ls doppelt so lnge rennt wie die Vorge: mittlere Leensduer Glühirne = 5'000 h P(X < 500 h) = F E (500) = e = - e - = P(X >0 000 h) = - F E (0 000) = ( e = e - = 0.5

3 Sndr Schlick Seite.Seminr05.doc Beispiel Momente: =Kosten für ein estimmtes Teil; f() = Anzhl produzierter Teile in %. f() E() =? E() = =.5 (entspricht dem gewichteten rithmetischen Mittelwert). Die durchschnittlichen Produktionskosten sind.5 GE. Rechenregeln: Konstnte knn vor die Summtion gezogen werden, E(g () + g ()) = E(g ()) + E(g ()), Trnsformtion: Liner: E( + ) = E() +, Multipliktiv: E( ) = E(), zusmmengenommen ergit sich: E( + ) = + E() n Vrinz Diskreter Fll : V() = ( i µ ) f( i ); Stetiger Fll : V() = ( µ ) f() d i = µ : Mittelwert / Erwrtungswert von. Stndrdweichung: σ = + V() Rechenregeln: V() = 0, V( + ) = V(), V( ) = V(), σ = σ, zusmmengenommen ergit sich: V( + ) = V() und σ + = σ, Alterntive Formel für V() = E(X ) - µ. Fortsetzung Beispiel: V() =? V() = E(X ) - µ E(X ) = = 7. µ = ( ) =.5 = 6.5, somit ist V() = = 0.95 Alterntive Berechnung: V() = ( i µ ) f( i )= (.5) 0. + (.5) ( i =.5) 0. + (.5) 0.5 = = 0.95 Vrinz ei Durchschnittskosten.5 GE eträgt 0.95 Zentrler Grenzwertstz: Erwrtungswert und Vrinz von unhängigen, identisch verteilten (I.I.D.) Zufllsvrilen sind endlich; wenn Anzhl I.I.D. sehr groß ist konvergieren sie zu einer stilen VT. Zustz: Steinerscher Stz (Verschieungsstz) einhltet, dss die Vrinz ein minimles Mß für die qudrierten Aweichungen ist. Aufgen Diskrete Verteilungen. Die Whrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufllsvrile X, die nur die drei Werte 0, und nnehmen knn, sei durch die Mssenfunktion (+ ) für = 0,, P(X= ) = definiert. = und geeignet zu wählen. 0 sonst ) Wie gross muss sein? ) Wie gross sind die Whrscheinlichkeiten P(X > ) und P( < X )? c) Berechnen Sie den Erwrtungswert E(X) und die Vrinz V(X).. Jemnd schätzt, dß ei einem Spiel die Whrscheinlichkeit zu gewinnen P = 0.75 eträgt. Es werden Spiele hintereinnder gespielt. ) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit mind. Spiel zu gewinnen? ) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit oder ml zu gewinnen? c) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit genu ml zu gewinnen?

4 Sndr Schlick Seite.Seminr05.doc Stetige Verteilungen. Die (stetige) Rechteckverteilung ist z. B. durch diese Dichtefunktion f() estimmt: 0 für < f() = für - 0 für > ) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F() llgemein, dnch für = und = 5. ) Stellen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion grphisch dr für = und = 5. c) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit P( ) für = und = 5? d) Berechnen Sie den Erwrtungswert dieser Verteilung. e) Berechnen Sie die Vrinz dieser Verteilung.. Gegeen: E(X) = 0, V(X) = 6 Normlverteilung vorusgesetzt. ) Gesucht: P(X ), P(X ), P(X 8) ) Gesucht: P(6 X ), P( X 6) c) Gesucht: P(X < 5), P(X > 0) Momente: Erwrtungswert und Vrinz 5. Wie gross ist der Erwrtungswert eim einmligen Münzwurf? 6. Die folgende Telle zeigt Stückkosten = und Anzhl produzierter Teile = f() 5 f() ) Berechnen Sie den Erwrtungswert E() uf Bsis der reltiven Werte von f() ) Berechnen Sie die Vrinz V(). Lösungen ZV und diskrete Verteilungen. Die Whrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten ZV X, die nur die drei Werte 0, und nnehmen knn, sei durch die Mssenfunktion (+ ) für = 0,, P(X= ) = definiert. = und geeignet zu wählen. 0 sonst ) + + = = = 5 8 = 5 8 = 0.65 ) P(X = 0) = 0.65 = 0.5; P(X = )= 0.65 = 0.75; P(X = )= 0.65 = 0.5 P(X > ) = 0.5, P( < X ) = 0.5, d P(X = ) = P(X = ) = 0 P(X > ) und P( < X )? c) E(X) = =.75; E(X ) = =.75 E(X) =.75 = V() = E(X ) E(X) = = 0.8. Binomil Verteilung ) P(mind ) = = ) P( oder ) = = = 0.78 c) P(genu ) = = 0.09

5 Sndr Schlick Seite 5.Seminr05.doc Stetige Verteilungen 0 für < 0 für <. ) F() = - dt = t - = für ; F() = t - = für für > für > 5 ) Dichtefunktion: horizontle Linie uf 0 is zu, dnn Sprung uf f() = /(-) is zu dnch wieder Sprung nch Null. Verteilungsfunktion: für < horizontle Linie, steigende Gerde zwischen und mit f() = ei =, für > horizontle eim Wert f() =. P( X ) = P(X ) P(X ) = F() - F() c) F() = - = ; F() = - = P( X ) = - = 0.5 d)e(x) = d = - e) Vr(X) = ( - ) d = = ( - ) = ; = ; = 5: E(X) = = + ( - ) = ( ) ( - ) + ( = ) Für = ; = 5 : V(X) = (5 ) =.. Stndrdisieren und mit Hilfe NV Telle (Schs S. 79), Ecelefehl: =NORMVERT(...) ) P(X ) = 0.695, P(X ) = 0.8, P(X 8) = 0.00 ) P(6 X ) = 0.687, P( X 6) = c) P(X < 5) = 0.000, P(X > 0) = 0.5 Momente: Erwrtungswert und Vrinz 5. E(X) = 0 (/) + (/) = / 6. 5 f() f() reltiv ) E() = ( )/5 = 0 / 5 =.966 E() = =.96 ) V() = E(X ) - µ E(X ) = = 0.8 µ =.966 = V() = =.07 5