Stetige Zufallsvariablen. Stetige Zufallsvariablen. Stetige Zufallsvariablen. Charakterisierung. t-verteilung. Gleichverteilung.

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1 d 050 () 05 (<) mod (>3) Werte der Dichteunktion N(0 ) N(0 ) N(0 05) Chrkterisierung t-verteilung Weitere stetige Verteilungen -Verteilung Gleichverteilung Norml- Verteilung F-Verteilung Chrkterisierung Zullsvrilen Bei stetigen Zullsvrilen wird zur Beschreiung der Whrscheinlichkeitsverteilung die Dichte () einer Zullsvrilen herngezogen Dichte d 0 ür lle IR 3

2 Chrkterisierung sonst espe 050 [] () Chrkterisierung sonst 0 IR : d d 05d 05d Chrkterisierung 0 IR : 0 ür 0 ür sonst () 05 (<) (>3) mod 6

3 3 7 Chrkterisierung 0 ür ür 0 sonst 0 : IR d d d d Chrkterisierung: Whrscheinlichkeitsverteilung Whrscheinlichkeit ür ein Intervll Whrscheinlichkeit ür einseitige Frgestellungen: d und d d 9 Es gilt: und uch: Chrkterisierung: Whrscheinlichkeitsverteilung

4 Möchte mn ür die Zullsvrile us die Whrscheinlichkeit estimmen dss sie im Intervll [ ] liegt so ergit sich d espe 050 () 05 [] Interessiert mn sich in ür die Whrscheinlichkeit kleiner ls oder er größer ls 3 zu sein so ergit sich 0 0 d d () (<) (>3) mod Verteilungsunktion Die Verteilungsunktion eschreit die Whrscheinlichkeit dss die Zullsvrile einen Wert kleiner oder gleich nnimmt: F ydy 0 F d F F d F

5 Verteilungsunktion Für die Zullsvrile us erechnet sich die Verteilungsunktion olgendermßen Sei [0] dnn ist F ydy 05dy 05 y p [] () Sei [] dnn ist F ydy 05dy 05dy 05 05y Verteilungsunktion Insgesmt erhält mn F Verteilungsunktion F() ~ Zullsvrile Modus (Modlwert) Der Modlwert einer stetigen Zullsvrilen ist derjenige Wert n dem die Dichte ihren mimlen Wert nnimmt: m mod IR Auch im stetigen Fll muss der Modlwert nicht immer eindeutig estimmt sein Ist die Dichteunktion jedoch eingiplig (eindeutiges Mimum) so ist der Modlwert eindeutig Eine solche Dichte ezeichnen wir ls unimodl 5 5

6 Modus (Modlwert) Für die Verteilung us ergit sich ein eindeutiger Modlwert d mod mit IR \ 050 () 05 (<) (>3) mod 6 Medin Medin ~ 0 5 ~ F~ 05 und ~ Der Medin muss nicht eindeutig sein er ei den gängigen theoretischen stetigen Verteilungen ist er es 7 Medin Für die Verteilung us ist der Medin eindeutig F F 05 ür 05 ür Verteilungsunktion F() ~ Zullsvrile 6

7 Erwrtungswert zuküntiges (zu erwrtendes) mittleres Ereignis Erwrtungswert E d Anlogie zum rithmetischen Mittel 9 Vrinz Vrinz: Vr E Alterntive Berechnungsmethode: d Vr E E E d 0 Vrinz Für die Zullsvrile us ergeen sich dmit: E d 05d 05d 0 0 () espe []

8 Vrinz 3 3 E d 05 d 05 d d d Vr E E () p [] F Unhängigkeit von Zullsvrilen n n n n n F F F Ist der Wert der gemeinsmen Verteilungsunktion gleich dem rodukt der einzelnen Verteilungsunktionswerte so sind die eteiligten Zullsvrilen unhängig Für den Fll n = muss lso üerprüt werden o die Whrscheinlichkeit dss kleiner oder gleich ist ls und gleichzeitig kleiner oder gleich ist ls gleich dem rodukt der Whrscheinlichkeit von kleiner oder gleich und von kleiner oder gleich ist n 3 Gleichverteilung Die Gleichverteilung (Sie wird uch Uniorm-Verteilung gennnt) ist u einem Intervll der reellen Zhlen deiniert Eine Gleichverteilung u einem Intervll [ ] esitzt die olgende Dichte (): 0 ür sonst E Vr

9 Gleichverteilung 05 Werte der Dichteunktion Normlverteilung Crl Friedrich Guß (* ) gehört mit Archimedes und Newton zu den größten Mthemtikern ller Epochen Er wr seit 07 Direktor der Sternwrte in Göttingen roessor und Mitglied der Göttinger Akdemie der Wissenschten Er gilt ls einer der Begründer der Methode der kleinsten Qudrte die er im Rhmen seiner Studien zur Astronomie entwickelte Rund 5 Jhre lng vermß er ds Königreich Hnnover und soll dei schon in der Norddeutschen Tieeene versucht hen nchzuweisen dss dort in einem Dreieck u Grund der Erdkrümmung die Winkelsumme nicht 0º eträgt Bis vor der Einührung des Euros wr er (und die Dichte einer Normlverteilung) u den 0-DM-Scheinen der Deutschen Bundesnk geildet 6 Normlverteilung Eine Normlverteilung esitzt zwei rmeter die die Verteilung chrkterisieren nämlich und Deshl spricht mn uch von einer N( )-Verteilung Eine Normlverteilung mit den rmetern und esitzt die Dichte e E Vr 7 9

10 Normlverteilung Werte der Dichteunktion N(0 ) N(0 ) N(0 05) Normlverteilung Werte der Dichteunktion N(0 ) N(3 ) Stndrdisierung Ist eine Zullsvrile normlverteilt mit den rmetern * und * so knn sie durch die linere Trnsormtion * * * in eine (stetige) Zullsvrile üerührt werden die normlverteilt ist mit den rmetern 0 und Diesen Vorgng nennt mn Stndrdisierung 30 0

11 Stndrdisierung Genügt einer Stndrdnormlverteilung kurz: N(0)-Verteilung nch einer Stndrdisierung dnn esitzt eine N(0)-Verteilung die Dichte e 3 Normlverteilung Allgemein gilt ür linere Trnsormtionen normlverteilter Zullsvri-len dss uch die resultierende Zullsvrile wieder normlverteilt ist Sei normlverteilt mit Erwrtungswert und Vrinz Trnsormiert mn zu woei reelle Zhlen mit 0 sind so gilt: ~ N 3 Normlverteilung Die Verteilungsunktion der Stndrdnormlverteilung wird llgemein mit (sprich: hi) ezeichnet 33

12 --3--Regel Sei normlverteilt mit Erwrtungswert und Vrinz dnn ist k k F k F k k k k k k Regel Sei normlverteilt mit Erwrtungswert und Vrinz dnn ist ür k = Quntil u Wir ezeichnen u mit ds -Quntil der Stndrdnormlverteilung lso den Wert einer Stndrdnormlverteilung ei dem -rozent ller möglichen Ausprägungen der Stndrdnormlverteilung kleiner und (- )-rozent größer ls dieser Wert u sind u u u0900 u u u u Bitte versuchen Sie diese Werte in den usgeteilten Tellen zu inden! 36

13 Normlverteilung In einem verträumten Städtchen m Rnde des Siegerlndes wird in einem kleinen er modernen kirchlichen Kindergrten untersucht wie lnge sich die Kinder eim Mlen konzentrieren können Lut Unterrichtsmteril ngehender Erzieherinnen und Erzieher soll sich die Konzentrtionsduer gut durch eine Normlverteilung mit = 500 Sekunden und = 6 Qudrtsekunden eschreien lssen Wieviel rozent ller Kinder können sich zwischen 90 und 50 Sekunden konzentrieren? In welchem Schwnkungsereich liegen die mittleren 90% der Konzentrtionsduer? 37 Normlverteilung Zu Die Zullsvrile Y eschreie die Konzentrtionsduer Es gilt Y ~ N Stndrdisiert mn die oige N(500 6)-Verteilung so erhält mn ür die eiden Größen 90 und 50 die olgenden stndrdisierten Werte: und Normlverteilung Zu Die Zullsvrile Y eschreie die Konzentrtionsduer Es gilt nch der Stndrdisierung Es können sich 976 rozent ller Kinder zwischen 90 und 50 Sekunden konzentrieren 39 3

14 Normlverteilung Um die mittleren 90% der Verteilung zu erhlten ist es notwendig ds 005- und ds 095-Quntil der Stndrdnormlverteilung zu trnsormieren Es werden sowohl m linken Ende der Verteilung ls uch m rechten Ende jeweils 5% der Whrscheinlichkeitsmsse vernchlässigt so dss in dem Intervll genu 90% der Whrscheinlichkeitsmsse liegen u 0 05; u095 u u005 u Normlverteilung Stndrdisierung: * * * * * * Summe und Dierenz zweier Normlverteilungen ~ N EY E EZ E VrY Vr ~ N

15 Summe und Dierenz zweier Normlverteilungen ~ N ~ N VrZ Vr Y Z ~ N ~ N 3 Konidenzintervll ei Normlverteilung Die us Stichproen geschätzten rmeter ür eine Grundgesmtheit stimmen zwngsläuig meist nicht mit den whren rmetern üerein Genuer: Ekt den»richtigen«wert zu erhlten ist ein recht unwhrscheinliches Ereignis; doch knn mn zeigen dss jedenlls ei hinreichend großen Stichproen die meisten Stichproenwerte nicht llzu weit vom whren Wert weichen Im Rhmen der Inerenzsttistik wird gezeigt dss mn us der Stichproe Intervlle schätzen knn die den whren rmeter mit einer vorgegeenen Whrscheinlichkeit (der Üerdeckungswhrscheinlichkeit) enthlten Diese Intervlle werden ls Konidenzintervlle oder uch Vertruensereich oder Vertruensintervlle ezeichnet ILMES - Internet-Leikon der Methoden der empirischen Sozilorschung Konidenzintervll ei Normlverteilung Die Größe des Konidenzintervlls hängt ei vorgegeener Irrtumswhrscheinlichkeit vor llem von zwei Fktoren : der Stichproengröße und der Vriilität der Grundgesmtheit Je größer ceteris prius die Stichproe desto kleiner wird ds Konidenzintervll; eenso wird ds Konidenzintervll kleiner ei kleinerer Vriilität der Grundgesmtheit ILMES - Internet-Leikon der Methoden der empirischen Sozilorschung 5 5

16 Konidenzintervll ei Normlverteilung Deinition Konidenzintervll Bei einer Üerdeckungswhrscheinlichkeit von (-α)% (zb 95%) werden die untere und die oere Grenze gesucht so dss ds Intervll mit dieser Whrscheinlichkeit den gesuchten rmeter μ üerdeckt: (UG μ OG) = -α Für den Erwrtungswert μ wird der rithmetische Mittelwert geschätzt und ei eknnter Stndrdweichung σ ergit sich: σ ; σ 6 Normlverteilung In einem verträumten Städtchen m Rnde des Siegerlndes wird in einem kleinen er modernen kirchlichen Kindergrten untersucht wie lnge sich die Kinder eim Mlen konzentrieren können Lut Unterrichtsmteril ngehender Erzieherinnen und Erzieher soll sich die Konzentrtionsduer gut durch eine Normlverteilung mit = 500 Sekunden und = 6 Qudrtsekunden eschreien lssen In welchem Schwnkungsereich liegt ds 95%-Konidenzintervll der Konzentrtionsduer wenn = 500 Sekunden ist in einer Stichproe vom Umng n = 00? 7 Normlverteilung : 95%-KI = 500 σ = n = 00 ; = 500 ; ; = ; = ; = ; = 6

17 t-verteilung Die (zentrle) t-verteilung (otmls uch Student-Verteilung gennnt) geht u Willim Sely Gosset zurück Willim Sely Gosset (* ) wr ei der Guiness Bruerei ngestellt die ihm Veröentlichungen unter seinem Nmen untersgte Deshl verwndte er ds seudonym Student Im Jhre 90 entwickelte er in seiner Areit The prole error o men einen Kleinstichproentest ür normlverteilte Dten mit uneknnter Vrinz 9 t-verteilung Seien 0 n unhängige stndrdnormlverteilte Zullsvrilen so ist T 0 n i n i t-verteilt mit n Freiheitsgrden Die Anzhl der Freiheitsgrde chrkterisiert eine t-verteilung Anzhl der Freiheitsgrde = rei verügren Beochtungen (Stichproenumng n minus der Anzhl k der us der Stichproe geschätzten rmeter) Mit wchsenden Freiheitsgrden nähert sich die t-verteilung immer mehr der N(0)-Verteilung und ungeähr 30 Freiheitsgrden sind die eiden Verteilungen nhezu identisch 50 t-verteilung Werte der Dichteunktion Von oen nch unten: N(0)-Verteilung t 5 -Verteilung t -Verteilung t -Verteilung

18 t-verteilung Die t-verteilung mit n Freiheitsgrden ist symmetrisch t n ; tn; E Vr 0 n n lls n lls n 5 Konidenzintervll ei t-verteilung Deinition Konidenzintervll Bei einer Üerdeckungswhrscheinlichkeit von (-α)% (zb 95%) werden die untere und die oere Grenze gesucht so dss ds Intervll mit dieser Whrscheinlichkeit den gesuchten rmeter μ üerdeckt: (UG μ OG) = -α Für den Erwrtungswert μ wird der rithmetische Mittelwert und die Stndrdweichung σ wird durch s geschätzt: ; ; ; 53 t-verteilung Nch einiger Zeit erhlten die Erzieherinnen des Kindergrtens die Inormtion dss die Konzentrtionsähigkeit von Kindern eim Mlen zwr einer Normlverteilung gehorcht jedoch sei die Vrinz uneknnt Druhin ermittelt die Erzieherin Michel S u Grund einer Stichproe von n = 5 Kindern eine empirische Stndrdweichung von s = 6 Sekunden ei einem Mittelwert von 50 Sekunden Wie groß ist nun ds 90%-Konidenzintervll ür die erwrtete Konzentrtionsduer? t 7 ;

19 -Verteilung Seien n unhängige stndrdnormlverteilte Zullsvrilen so ist n i i -verteilt mit n Freiheitsgrden: ~ n Bei einer -Verteilung mit n Freiheitsgrden gilt: E Vr n n 55 -Verteilung Werte der Dichteunktion FG FG 0 FG 0 FG F-Verteilung Die F-Verteilung wurde nch Sir Ronld Aylmer Fisher (* ) ennnt Er wr von roessor ür Eugenik in London und in dem Zeitrum roessor ür Genetik in Cmridge 95 wurde er gedelt Er gilt ls einer der Begründer der mthemtischen Sttistik und der Biometrie In der Biometrie liegen seine Verdienste insesondere im Bereich der Versuchsplnung 57 9

20 F-Verteilung Sei eine n -Verteilung und Y eine dvon unhängige m -Verteilung so ist n m Z n Y Y m F-verteilt mit n und m Freiheitsgrden Z ~ F n m 5 F-Verteilung Werte der Dichteunktion F 00 F 0 F 0 F F-Verteilung E Vr m m m n m m m n lls m lls m Fn m; Fm n; 60 0

21 Weitere stetige Verteilungen gestutzte Normlverteilung log-normlverteilung Eponentilverteilung zweidimensionle (ivrite) Normlverteilung n-dimensionle Normlverteilung zwei- oder mehrdimensionle Gleichverteilungen 6