Abiturprüfung Mathematik 13 Technik B I - Lösung mit CAS

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1 GS m7_t-_lsg_cas_gs.pdf Aiturprüfung Mthemtik Technik B I - Lösung mit CAS Teilufge (7 BE) Am Timmendorfer Strnd findet lljährlich im Juni eine Segelregtt sttt. Erfhrungsgemäß kommen 2% der Besucher us dem Auslnd, jeder neunte Besucher segelt selst regelmäßig in seiner Freizeit. Verwenden Sie für die folgenden Berechnungen die Normlverteilung ls Näherung. Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit der Ereignisse E : Von 200 Besuchern segeln mindestens 20 selst in ihrer Freizeit. E 2 : Von 200 Besuchern kommen genu fünfzig us dem Auslnd. n p μ n 9 0 p n 0 p( p) PX20 PE = ( ) = P( X 9) = Φ 9 μ 0.5 P_E pnorm( μ ) n p 0.2 μ n 0 p 46 n 0 p( p) 5.95 PE 2 = φ 50 μ = 5.95 φ( 0.672) = = P_E 2 dnorm( 50 μ ) Ai 207, Mthemtik Technik. Klsse, B I - Lösung mit CAS Seite von 5

2 Teilufge 2 (7 BE) Die Windstärke wird in Beufort (Bft) gemessen. Sie reicht von soluter Windstille (0 Bft) is hin zur Orknstärke (2 Bft). Im Bereich der Windstärken is 4 einschließlich zeigen sich uf dem Wsser nur kleine Wellen. In der folgenden Telle steht die Zuflllsgröße X für die Windstärke in Bft mit der jeweiligen Whrscheinlichkeit für ds Auftreten m Timmendorfer Strnd im Juni (, IR): "x in Bft" "P(X = x)" Berechnen Sie ohne CAS die Prmeter und für den Fll, dss der Wind mit 5% Whrscheinlichkeit kleine Wellen uf dem Wsser erzeugt. Bestimmen Sie weiterhin, mit welcher Windstärke im Mittel zu rechnen ist. [ Teilergenis: = 0.02 ] Gegeen: P ( X 4) = = = 0.2 () I 2 2 Lsg mit CAS = ( II) (I) in (II) = 4 = 0.28 = = 0 uflösen = 0. keine Lösung Erwrtungswert: μ = μ = 5.4 Ai 207, Mthemtik Technik. Klsse, B I - Lösung mit CAS Seite 2 von 5

3 Teilufge Für die Regtt enötigt der Vernstlter 250 lngfristig intkte Bojen. Bei den Bojen treten jedoch durch Mterilfehler im Lufe der Zeit Schäden uf, verurscht durch hohen Wellengng zw. durch UV-Strhlung. Teilufge. (6 BE) Nch Angen des Herstellers erleiden 5% der Bojen nch einer gewissen Einstzzeit einen Wellenschden, 40% von diesen Bojen sind zudem nfällig gegenüer duerhfter UV-Strhlung. 90% ller Bojen sind sowohl gegenüer hohen Wellen ls uch duerhfter UV-Strhlung unempfindlich, lso lngfristig intkt. Bestimmen Sie den Anteil der gegenüer UV-Strhlung empfindlichen Bojen unter denen gegenüer großen Wellen unempfindlich sind. W: Wellenschden p W 0.05 p p U: Schden durch UV-Strhlung P W ( U) PW U ( ) = = 0.40 PW U ( ) = = 0.02 PW ( ) PW U = 0.90 Lösung mit Vierfeldertfel: W W U 0.02 p0.95 U 0.0 ( p) PW U = 0.90 ( p) 0.95 = ( p) = uflösen p 00 p Lösung mit Bumdigrmm: 0.95 p PU W = ( ) 0.95( p) = ( p) = uflösen p 00 9 Ai 207, Mthemtik Technik. Klsse, B I - Lösung mit CAS Seite von 5

4 Teilufge.2 (8 BE) Ermitteln Sie ohne CAS, wie viele Bojen der Vernstlter mindestens ereit hlten muss, dmit mit mehr ls 99% Whrscheinlichkeit mindestens 250 lngfristig intkte Bojen zur Verfügung stehen, wenn 90% ller Bojen lngfristig intkt sind. n uneknnt p 0.90 μ( n) np 0.9n ( n) np ( p) 0.09n P( X 250) 0.99 P( X 249) 0.99 P( X 249) 0.0 Φ 249 μ( n) 0.5 ( n) μ( n) 0.5 ( n) n n Sustitution: z = n 0.9z z uflösen z Gleitkommzhl 5 z z Lösung: z Resustitution: n n ufrunden: n 29 Es müssen mindestens 29 Bojen ereit gehlten werden. Teilufge. (7 BE) Vor einem Regttwochenende mit erwrtetem hohem Wellengng vermutet der Vernstlter, dss sich der Anteil der Bojen mit Schäden durch hohe Wellen erhöht ht. Der Hersteller jedoch ehrrt weiterhin druf, dieser Anteil liege immer noch ei 5% (Nullhypothese). Zur Sicherheit wurden 50 Bojen estellt und getestet. Legen Sie für einen Signifiknztest mit einem Signifiknzniveu von 5% die Testgröße fest, geen Sie die Gegenhypothese n und estimmen Sie ohne CAS den mximlen Alehnungsereich der Nullhypothese. Verwenden Sie die Normlverteilung ls Näherung. Testgröße: X: Anzhl der wellengeschädigten Bojen unter n 50. p 0.05 Nullhypothese H 0 : p 0 p p p 0 p 0 Gegenhypothese H : p p p 0.05 Annhmeereich: A = { k } Ai 207, Mthemtik Technik. Klsse, B I - Lösung mit CAS Seite 4 von 5

5 Alehnungsereich: A = { k k } Erwrtungswert: μ np 7.5 Stndrdweichung: np ( p) PA 0.05 PX ( k ) 0.05 P( X k) 0.05 PX ( k) 0.95 Φ k μ TW k μ k.645 μ 0.5 Gleitkommzhl 5 k k ufrunden: k ceil k 0 24 A = { } A = { } Teilufge 4 An der Regtt nehmen insgesmt 64 Segelschiffe teil, dvon fünf us Dänemrk. In einem Einzelrennen segeln immer vier Schiffe gegeneinnder. die eiden Erstpltzierten kommen eine Runde weiter, die eiden nderen scheiden us. Teilufge 4. (2 BE) Ermitteln Sie, wie viele Einzelrennen notwendig sind, is in dem letzten Einzelrennen die letzten vier verlieenen Segelschiffe die ersten vier Plätze ussegeln Ω = = 0 Teilufge 4.2 ( BE) Berechnen Sie mit welcher Whrscheinlichkeit vier der fünf dänischen Schiffe in der ersten Runde ufeinnder treffen, wenn die Teilnehmer usgelost werden. PE ( ) = 6 = Ai 207, Mthemtik Technik. Klsse, B I - Lösung mit CAS Seite 5 von 5