Zulassungsprüfung Stochastik,

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1 Zulssungsprüfung Stochstik, Wir gehen stets von einem Mßrum, A, µ) bzw. einem Whrscheinlichkeitsrum,A,P) us. Die Borel σ-algebr uf R n wird mit B n bezeichnet, ds Lebesgue Mß uf R n wird mit λ n bezeichnet. Sollten Ihnen in Teilufgben Ergebnisse fehlen, dnn treffen Sie eine plusible Annhme dfür. Aufgbe 4 Punkte) Sei g : messbr. Ds Bildmß µ g von µ bezüglich g sei invrint, lso Beweisen Sie: A A : µ g A) µa). ) Für lle A A gilt A g g A). Hierbei wird mit A die Indiktorfunktion von A bezeichnet. b) Sei f : [0, ) messbr. Dnn gilt f dµ f gdµ. Zu ) Es gilt für lle A A und ω A gω)) gω) A ω g A) g A)ω). Sei f n α i Ai, α i 0, A i A, i,...,n eine positive Treppenfunktion. Dnn gilt wegen ) f g α i Ai g α i g A i) und somit folgt us f gdµ α i α i µa i ) g A i)dµ α i µg A i )) α i dµ A i α i µ g A i ) α i Ai dµ f dµ die Behuptung für positive Treppenfunktionen. Sei nun f 0. Es gibt eine Folge f n ) n N von positiven Treppenfunktionen mit f n 0 und f n ր f. D f n eine Treppenfunktion ist, gilt wie oben gezeigt f n dµ f n gdµ Ausf n ր f folgtf n g ր f g und mit dem Stz von der monotonen Konvergenz folgt für die beiden Seiten lim f n gdµ f gdµ, n f n dµ f dµ lim n

2 und somit insgesmt : f gdµ f dµ. Aufgbe 2 8 Punkte) Seien X,Y U0,) unbhängig, und sei V : mx{x,y}, W : min{x,y}. ) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen von V und W. [Ergebnis: F V v) v 2, F W w) 2w w 2 ] b) Bestimmen Sie die Erwrtungswerte von V und W. c) Beweisen Sie VW XY. d) Bestimmen Sie CovV, W). e) Sind V und W unbhängig? Zu ) Die Verteilungsfunktion F der Gleichverteilung uf 0, ) ist gegeben durch x flls x [0,] F : R [0,], Fx) flls x >. Sei v,w R. Es gilt wegen der Unbhängigkeit von X,Y PV v) Pmx{X,Y} v) PX v,y v) PX v)py v) Fv) 2 PW w) Pmin{X,Y} w) Pmin{X,Y} > w) PX > w,y > w) PX > w)py > w) Fw)) 2 +2Fw) Fw) 2 2Fw) Fw) 2. Dmit ergeben sich die Verteilungsfunktionen F V, F W wie folgt: v 2 flls v [0,] 2w w 2 flls w [0,] F V v) flls v > und F W w) flls w > Aus ) erhält mn die Dichten f V und f W von V,W: Dmit folgt f V v) 2v 0,) f W w) 2 w) 0,). EV) EW) 0 0 2v 2 dv 2 3 2w 2w 2 dv

3 Zu c) Sei ω. Im Fll Xω) Yω) gilt Vω) Yω) und Wω) Xω), und dmit Xω)Yω) Vω)Wω). Im Fll Xω) Yω) ergibt sich nlog Xω)Yω) Vω)Wω). Zu d) Wegen b), c) und der Unbhängigkeit von X,Y gilt CovV,W) EVW) EV)EW) EXY) 2 9 EX)EY) Zu e) V und W sind nicht unbhängig, d sonst die Kovrinz verschwinden würde. Aufgbe 3 6 Punkte) Die Zufllsvrible A sei U[,b] verteilt und die Zufllsvrible X sei unter A bedingt Preto verteilt, d.h., für A α > 0 besitzt X die Verteilungsfunktion F X x) x α x. ) Bestimmen Sie den bedingten Erwrtungswert EX A α). Für welche α existiert er? [ ] Kontrollergebnis EX A) + A b) Bestimmen Sie EX). c) Sind die Zufllsvriblen X und A unbhängig? d) Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit PX x). Zu ) Die bedingte Dichte von X gegeben A α erhält mn durch Ableitung von F X nch x: { αx α x > fx α). Drus folgt EX A α) αxx α dx α x α dx. Ds uneigentliche Integrl existiert nur für α > und in diesem Fll gilt EX A α) α α + α. 3

4 Mit dem Stz vom iterierten Erwrtungswert gilt EX) EEX A)) E + A ) )+ln b ) + α dα + b ln. Zu c) Die Zufllsvriblen X und A sind nicht unbhängig, d sonst EX A) EX) gelten würde, ws offensichtlich nicht der Fll ist. Zu d) PX > x) PX > x A α)dα e αlnx dα lnx x x b ) lnx e αlnx x α dα b b lnx x α Aufgbe 4 8 Punkte) SeienX N,σ 2) mitσ 2 > 0. Es sei eine Stichprobe vom Umfngndurch unbhängige Relisierungen x,...,x n gegeben. Bestimmen Sie einen Mximum- Likelihood-Schätzer für den Prmeter σ 2. Wegen der Unbhängigkeit ist die Likelihood gegeben durch Lσ 2 ) Somit folgt für l : lnl lσ 2 ) n 2 n exp x i ) 2 ) 2πσ 2 2 σ 2 ) ) n/2 exp 2πσ 2 x i ) 2 2 σ 2. l σ 2 ) n 2σ 2 + 2σ 2 ) 2 l σ 2 ) ln2π)+lnσ 2 ) ) 2σ 2 n 2σ 2 ) 2 σ 2 ) 3 x i ) 2 x i ) 2 x i ) 2 Aus der zweiten Gleichung ergibt sich durch Nullsetzen und Auflösen ˆσ 2 n x i ) 2 4

5 und wegen l ˆσ 2 ) n 2ˆσ 2 ) 2 ˆσ 2 ) 3 x i ) 2 n 2ˆσ 2 ) 2 n ˆσ 2 ) 2 n 2ˆσ 2 ) 2 < 0 folgt, dss in ˆσ 2 ein Mximum vorliegt. Der gesuchte Schätzer ist n X i ) 2. Aufgbe 5 24 Punkte) Es liegen 20 Dten vor, die Tempertur-Jhresmittelwerte der Jhre Folgende Zusmmenfssung wird geliefert: Zeitrum Mittelwert empirische Stndrdbweichung ,5 C 0,60 C ,4 C 0,75 C ,7 C 0,73 C Wir gehen dvon us, dss die Jhresmitteltempertur eines Jhres normlverteilt ist und die Jhresmitteltemperturen jeweils unbhängig voneinnder sind. ) Wie beurteilen Sie die Behuptung, dss die Jhresmitteltempertur in den Jhren gegenüber den Jhren nicht gestiegen ist? Geben Sie ds Ergebnis zu einem Signifiknzniveu von 5 % n. Welche Annhmen treffen Sie? Begründen Sie ihr Vorgehen. b) In den folgenden Grphiken sind die Jhresmittel der Jhre und drgestellt zusmmen mit den Ausgleichsgerden. Eine Sttistiksoftwre liefert noch die folgenden Werte: y i ŷ i ) 2 3,63, y i ŷ i ) 2 3,7, 980 j j98 j 935,5) ,5 j 995,5) ,5 5

6 Wie beurteilen Sie ufgrund dieser Dten mit dem Modell der einfchen lineren Regression die Behuptung, dss ds Jhresmittel der Jhre i) ii) nicht vom Jhr bhängt? Verwenden Sie ds Signifiknzniveu von 5 %. Beschreiben Sie ds von Ihnen verwendete Modell. c) Ist Ihr Vorgehen in ) im Lichte Ihrer Ergebnisse von b) gerechtfertigt? d) Untersuchen Sie den lineren Trend im Zeitrum Stützen die Dten die Behuptung, dss er i) 0,3 C ii) 0,2 C iii) 0,4 C pro Jhrzehnt beträgt? Verwenden Sie ds Signifiknzniveu von 5 %. e) Eine Kliminititive stellt folgende Behuptungen uf: ) Die Tempertur der Jhre ist im Vergleich zu den Jhren ngestiegen. 2) Der linere Erwärmungstrend über die vergngenen 30 Jhre ) liegt bei 0,3 C pro Jhrzehnt. Kommentieren Sie kurz die Behuptungen der Kliminititive? Zu ) Sei t i ds Jhresmittel des Jhres i 89,...,200. Dnn wird ngenommen, dss die t i unbhängige Relisierungen von Zufllsvriblen T i sind mit T i iid X wobei X Nµ,σ 2 ), i 89,...,980 T i iid Y wobei Y Nµ2,σ 2 2), i 98,...,200. Nullhypothese ist hier H 0 : µ µ 2. Es wird der einseitige t-test verwendet, d die Vrinzen unbeknnt sind. Die Testgröße ist T y x mn s m+n, s2 n )s2 x +m )s 2 y. m+n 2 Konkret ergibt sich mit y 0,4, x 9,5, n 90, m 30 T 0, s 20 6, 67. s 89 0, , ,64 Die Hypothese wird wegen 6,67 > t 8,0.95,65 verworfen. Bemerkung zu H 0 : Die Whrscheinlichkeit fälschlicherweise nzunehmen, dss die mittlere Tempertur gestiegen ist beträgt bei diesem Vorgehen 5 %. Würde mn µ µ 2 testen, wäre keine Aussge über diese Whrscheinlichkeit möglich. Es werden die Modelle T i + bx i + ε i für i 89,...,980 bzw. i 98,...,200 getrennt untersucht. Die T i sind die Jhresmittelwerte, x i die 6

7 Jhre und ε i sind in jedem der beiden Modelle jeweils unbhängig, identisch normlverteilt mit Erwrtungswert 0. Die Nullhypothese lutet jeweils H 0 : b 0. Zu i) Die Testgröße lutet ˆb seb) 0, ,00243, 53. mit seb) 3, 63/ ,5 0,00243 Die Hypothese wird wegen t 88,0.95,96 nicht verworfen. Zu ii) Die Testgröße lutet ˆb seb) 0, ,0476 2, 23. mit seb) 3, 7/ ,5 0,0476 Die Hypothese wird wegen t 28,0.95 2,048 verworfen. Zu c) Ds Vorgehen in ) ist nicht korrekt, d die Annhme, dss die Jhresmittel der Jhre identisch verteilt sind, verletzt ist: der Erwrtungswert ist über die Jhre nicht konstnt. Zu d) Zu untersuchen sind die Nullhypothesen i)h 0 : b 0,03 ii)h 0 : b 0,02 iii)h 0 : b 0,04 Mit den Zhlen us b) lso seb) 0,0476 ergeben sich die Testgrößen 0, ,2 0,0476 i) 0, ,88 0,0476 ii) 0, ,48 0,0476 iii) Somit knn keine der ngegebenen Hypothesen verworfen werden. Zu e) Es fehlt die Angbe des Signifiknzniveus. Ferner wäre bei 2) die Angbe eines Schätzintervlls sinnvoller gewesen. Alle drei Behuptungen können ber bei einem Niveu von 5 % nicht verworfen werden. 7