3. Unterrichtsvorhaben in der Q2-Phase Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung

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1 3. Unterrichtsvorhen in der Q2-Phse Stetige Zufllsgrößen - Normlverteilung φ μ,σ (x) = σ 2π e H (μ/ σ 2π ) 2 (x μ σ )2 W (μ ± σ/ σ 2π e 2) Jörn Meyer joernmeyer@we.de

2 Inhltsverzeichnis Stetige Zufllsgrößen Integrle esuchen die Stochstik Guß sche Glockenfunktion und Normlverteilung Kontrollufgen... 6 Lösungen... 9

3 2 Stetige Zufllsgrößen Integrle esuchen die Stochstik Einführungsufge (Mnipuliertes Glücksrd ) ) Ein Glücksrd wird gedreht. Als Ergenis knn ein Winkel zwischen und 2 gedreht werden (vgl. folgende Aildung). Der Winkel,5 knn lso genuso gedreht werden wie der Winkel 3 =, 3 oder 2. Wie hoch er die Whrscheinlichkeit, eines dieser drei Ergenisse zu drehen? Begründe Deine Antwort. ) Es wird nun ein mnipuliertes Glücksrd mittels eines Computerprogrmms simuliert. Dei wird gezählt, wie oft ein Winkelergenis in einem estimmten Winkelereich erscheint. Für eine Unterteilung des Winkelereichs [; 2π] in gleich große Intervlle [; π], 5 [ π; 2 π], 5 5 [9 π; 2π] 5 erhält mn zum Beispiel folgendes Drstellung der reltiven Häufigkeiten für diese Bereiche. 6% 5% 8% 9% % % 8% 8% 9% 7% [; π] 5 [9 π; 2π] 5 Gi die reltive Häufigkeiten für den Winkelereich [ 7 π; 8 π], 5 5 [2 π; π] und [; 2π] n. 5 Idee von Michel Rüsing (Essen)

4 3 c) Alterntiv können die Ergenisse uch mit der sogennnten Dichtefunktion ngezeigt werden. Dei werden die reltive Häufigkeiten von oen durch die Länge der zehn gleichgroßen Intervlle dividiert (in unserem Fll durch π). Mn erhält so einen Grfen einer Funktion mit folgender 5 Drstellung: 6% 5 π,25 5% 5 π,24 f(x) ቂ Reltive Häufigkeit Winkelereich ቃ π 2 2π 5 5 π Schon nch Versuchen erkennt mn, dss der nfängliche Winkelereich is 2 5 π deutlich üerrepräsentiert ist. Winkelereich x () Vervollständige mithilfe des reltiven Häufigkeiten des vorherigen Säulendigrmms in der oigen Grfik die Achseneintrgungen und die gestrichelten Linien. (2) Gi die Bedeutung des Flächeninhlts unterhl des Grfen der Dichtefunktion und der x- Achse üer dem Intervll [; 2π] n. (3) Ermittle den Flächeninhlt zwischen Dichtefunktion und x-achse üer dem Intervll [; 2π]. d) Die Anzhl der Versuche wird nun erhöht. Die Intervlllänge zur Dichtefunktion wird uf 5 π verkleinert. Auf der nächsten Seite wird ds Ergenis für Versuche ngezeigt. () Begründe, wrum die Dichtefunktion ei Versuchen sttt der reltiven Häufigkeiten die Whrscheinlichkeiten für ds Eintreten estimmter Winkelereiche repräsentiert. (2) Bestimme die Funktionsgleichung der Dichtefunktion. Erläutere Dein Vorgehen. [Tipp: Der Flächeninhlt zwischen Grf der Dichtefunktion und x-achse üer dem Intervll [; 2π] eträgt.] (3) Interpretiere ds Ergenis des Zufllsexperiments ei Wiederholungen im oigen Schkontext.

5 4 f(x) ቂ Whrscheinlichkeit ቃ Winkelereich 45 % der lngen gestrichelten Linie 5 5 π 2π Winkelereich x Zur Lösung der nchfolgenden Aufgen enötigt mn einige Definitionen: () Eine Funktion f heißt Whrscheinlichkeitsdichte ( zw. Dichtefunktion) üer einem Intervll I = [; ], wenn gilt: () f(x) für lle x us I und (2) f(x) dx =. (2) Eine reellwertige Zufllsgröße X mit Werten im Intervll I heißt stetig verteilt mit der Whrscheinlichkeitsdichte f, wenn für lle c < d us I gilt: P(c X d) = f(x) dx (3) Anlog zur Definition im diskreten Fll z. B. ei Binomilverteilungen lässt sich festlegen: Für eine stetig verteilte Zufllsgröße X mit Werten zwischen und und der Dichtefunktion f gilt: Erwrtungswert: μ = E(X) = x f(x) dx Vrinz: V(X) = s²(x) = [(x μ) 2 f(x) ]dx Stndrdweichung: σ = s(x) = s²(x) = [(x μ) 2 f(x)] dx d c Aufge (Mnipuliertes Glücksrd 2) Gegeen ist die Dichtefunktion eines Glücksrds. Dei sind die Funktionswerte m Anfng doppelt so hoch wie m Ende. Die rechts efindliche Grfik eschreit den Grfen der Dichtefunktion f. ) Bestimme die Funktionsgleichung von f. ) Berechne die Whrscheinlichkeiten dfür, dss ds Glücksrd im ngegeenen Winkelereich stoppt: (i) [; ] (ii) [,5; 2,5] (iii) [3; 4]. 3 4 π 2π

6 5 Aufge 2 (Glückspiel), flls x,2 flls < x < 3 Durch die Funktion f mit f(x) = { ist im Intervll [; 6] eine Funktion gegeen.,3 flls 3 x 4, flls 4 < x 6 ) Skizziere den Funktionsgrfen. ) Weise nch, dss es sich um eine Dichtefunktion hndelt. c) Bestimme die Whrscheinlichkeit für ein Ergenis im Intervll [2; 5]. d) Ein Glücksspiel werde durch diese Dichtefunktion eschrieen. Der Spieler zhlt einen Einstz von. Flls ds Ergenis zwischen und 3 liegt, ekommt er 3 usgezhlt. Sollte der Spieler ds Spiel kzeptieren? Begründe Deine Antwort. e) Untersuche, ei welchem Gewinn ds Spiel us Teil d) fir wäre. Aufge 3 (Nicht mnipuliertes Glücksrd) Bestimme die Gleichung der Dichtefunktion für ein nicht mnipuliertes Glücksrd. Aufge 4 (Herstellung von Metllstiften) Eine Mschine stellt Metllstifte her, die zur Verindung zweier Buteile dienen. Die Produktion ist nicht so perfekt, dss lle Stifte vollkommen gleich usfllen. Deshl ist der Durchmesser X (in mm) der Metllstifte eine Zufllsgröße, von der wir nnehmen, dss sie die Verteilung mit der Dichte f ht: für x < 9 f(x) = { (x 9) (x ) für 9 x für x > ) Bestimme den Wert für die Konstnte R, so dss f die eiden Bedingungen für eine Whrscheinlichkeitsdichte erfüllt. ) Stelle die Dichte f grfisch dr. c) Ermittle den Erwrtungswert µ und die Stndrdweichung σ der Zufllsgröße X. d) Metllstifte, die mehr ls,6 mm von mm weichen, sind Ausschuss. Berechne die Whrscheinlichkeit, mit der ein Stift Ausschuss ist. Stelle die Whrscheinlichkeit in Deiner Aildung us Teil () dr. e) Bestimme eine Aweichungsgrenze x, so dss die Whrscheinlichkeit für den Ausschuss nicht größer ls, wird. Aufge 5 (Gnzrtionle Dichtefunktion) Gegeen ist im Intervll [; 2] eine Funktion gnzrtionle Funktion f dritten Grdes durch die Gleichung f(x) = k x x 2 x +,2. Bestimme k so, dss es sich um eine Dichtefunktion hndelt.

7 6 Aufge 6 (Dichtefunktion und Steckriefufge) ) Gegeen ist im Intervll [; 5] der Grf einer gnzrtionlen Funktion dritten Grdes (Bild rechts). Dei gelten folgende Bedingungen: () Der Funktionswert ei x = ist dreiml so groß wie ei x = 5. (2) An den Stellen und 5 ist die Steigung Null. (3) Es hndelt sich um eine Dichtefunktion. Bestimme eine Gleichung für die Funktion f. ) Berechne die Whrscheinlichkeit für ein Ergenis im Intervll [2; 3]. Aufge 7 (Duer von Telefonten) Die Duer X (in min) von Telefonten in einer Firm wird für x (x R) durch die Whrscheinlichkeitsdichte f mit f(x) = e x eschrieen. ) Begründe: f ist üer R + eine Whrscheinlichkeitsdichte. ) Berechne und deute P( < X < 2). c) Berechne den Erwrtungswert µ und die Stndrdweichung σ. d) Wie whrscheinlich ist es, dss ein Gespräch genu eine Minute duert, wenn mn die Gesprächsduer uf Minuten zw. Sekunden zw. gr nicht rundet? Begründe. Aufge 8 (Funktionenschr) 2 Betrchte die Funktionenschr f, (x) = 2π e 2 (x )2 ( R, ). ) Bestimme die Extrem- und die Wendepunkte der Schr. ) Bestimme die Asymptoten der Schr. c) Stelle den Grfen zu f, sowie f 2, grfisch dr. d) Beschreie den Einfluss der Prmeter und uf die Grfen der Schr. 2 Aufge 8 ist für er-kndidten. Wer diese Aufge lösen knn, ist wirklich fit im Bereich der Kurvenuntersuchung exponentieller Funktionsschren.

8 7 2 Guß sche Glockenfunktion und Normlverteilung Anlysis der Guß schen Glockenkurve Aufge (Guß sche Glockenfunktion) Betrchte die Funktionenschr φ μ,σ mit φ μ,σ (x) = σ 2π e 2 (x μ σ )2 (μ R, σ ). ) Untersuche φ, und φ 3,2 uf Extrem- und Wendepunkte. ) Stelle die Grfen zu φ, und φ 3,2 mit dem GTR grfisch dr und untersuche, durch welche einfche Trnsformtionen der Grf von φ, us dem Grfen von φ 3,2 hervorgeht. Vergleiche Deine Ergenisse mit der unten efindlichen Aildung. c) Bestimme φ, (x)dx und φ 3,2 (x)dx. Zeige, dss die φ, undφ 3,2 Dichtefunktionen sind. d) Trnsformiere den Grfen von φ μ,σ ncheinnder mit den Trnsformtionen (), (2) und (3): () Mn verschiet um μ nch links. (2) Mn streckt um den Fktor σ in x-richtung. (3) Mn streckt um den Fktor σ in y-richtung. Beweise: Ds Ergenis der drei Trnsformtionen ist der Grf von φ,. e) Begründe mit Hilfe der folgenden Aildungen, dss folgende Integrlgleichheit gilt: 6 φ 3,2 (x)dx = φ,2 (x)dx = φ, (x)dx und llgmeiner: φ 3,2 (x)dx = φ, (x)dx 5 2 3, Mit der gleichen Üerlegung gilt noch llgemeiner: φ μ,σ (x)dx = φ, (x)dx μ σ μ σ Zeige mit dieser Gleichung und Aufgenteil ), dss φ μ,σ eenflls eine Dichtefunktion ist.

9 8 Guß sche Glockenfunktion () Die Funktion φ μ,σ mit φ μ,σ (x) = σ 2π e 2 (x μ σ )2 heißt Guß sche Glockenfunktion. Sie esitzt eine glole Extremstelle ei x = μ und die eiden Wendestellen x = μ ± σ. (2) Die Funktion φ = φ, (x) = 2 x2 wird mit Stndrd-Glockenfunktion ezeichnet. 2π e (3) Beide Funktionen sind Dichtefunktionen und lssen sich durch einfche Trnsformtionen ineinnder üerführen: Durch Linksverschieung des Grfen von φ μ,σ um μ und Streckung in y-richtung mit entsteht der Grf von φ. σ H (μ/ σ 2π ) W (μ ± σ/ σ 2π e 2) Aufge 2 (Guß sche Glockenfunktion skizzieren) Skizziere die Grfen der Funktion mithilfe der Hoch- und Wendepunkte des oigen Kstens mit Ppier und Bleistift. Erläutere Dein Vorgehen. ) φ, ) φ 2, c) φ,2 d) φ 2, e) φ 2,4 f) φ 3,,5 g) φ 4,,2 h) φ 4,, Aufge 3 (Guß sche Glockenfunktion mit GTR zeichnen) Stelle den Grfen von φ 2,,5 smt erster und zweiter Aleitung mit dem GTR dr und estätige die Aussgen us dem oigen Ksten üer die Lge der Extrem- und Wendepunkte. Aufge 4 (Zeit zu üerprüfen) ) Bestimme die Hoch- und Wendepunkte von φ 2,,5 und skizziere den Grfen zu φ 2,,5. 3 ) Schätze ohne zu rechnen: φ 2,,5 (x)dx. c) Üerprüfe Deine Skizze und Schätzung mit dem GTR.

10 9 Normlverteilung () Eine stetige Zufllsgröße X heißt normlverteilt mit den Prmetern σ und μ, wenn sie die Guß sche Glockenfunktion φ μ,σ mit φ μ,σ (x) = σ 2π e 2 (x μ σ )2 ls Dichtefunktion esitzt. (2) Der Prmeter μ eschreit den Erwrtungswert und der Prmeter σ die Stndrdweichung der der normlverteilten Zufllsgröße X. x (3) Die dzugehörige Integrlfunktion Φ μ,σ mit Φ μ,σ (x) = φ μ,σ (t)dt heißt Verteilungsfunk- φ ; (t)dt. Of- tion von φ μ,σ. Im Flle μ = und σ = wird sie mit Φ ezeichnet: Φ(x) = fenr gilt: φ μ,σ (t)dt = Φ μ,σ () Φ μ,σ () zw. φ(t)dt = Φ() Φ(). x Der GTR ht eine Tschenrechnerfunktion für die Berechnung von φ μ,σ (x). Üer OPTN, F5 (STAT), F3 (DIST), F (NORM) findet mn sie mit F ls Npd. Mn notiert nch Npd( zuerst ds Argument x, dnn die Stndrdweichung σ sowie den Erwrtungswert μ: Npd(x, σ, μ). (A. unten links) Beispiel: φ 2;2 (9),76 Will mn ds Intergrl φ μ,σ (t)dt erechnen, enötigt mn den Befehl Ncd, den mn nlog wie oen Npd erhält. Mn notiert nch Ncd( zuerst die eiden Integrtionsgrenzen und und dnn die Stndrdweichung σ sowie den Erwrtungswert μ: Ncd(,, σ, μ). (A. unten links) Beispiel: 22 8 φ 2;2 (x)dx,683. Üer den Befehl InvN knn in einem Integrl die untere Grenze zw. in μ+c μ c φ μ,σ (t)dt die oere Grenze, in + φ μ,σ (t)dt φ μ,σ (t)dt ds symmetrische Intervll um den Erwrtungswert usgerechnet werden, wenn der Flächeninhlt (= Integrlwert) eknnt ist. Dfür git mn nch InvN( - (linkes Intervll: ] ; ] ), + (rechtes Intervll: [; + [ ) zw. (symmetrisches Intervll um μ: [μ c; μ + c]) ein und dnn den Flächeninhlt F sowie die Stndrdweichung σ und den Erwrtungswert μ: InvN(- oder + oder, F, σ, μ). (A. unten rechts) Beispiele: + μ+c μ c φ 2;2 (t)dt =,25 8,65; GTR 2,35. φ 2;2 (t)dt =,25 GTR φ 2;2 (t)dt =,683 c 8 GTR Im Anwendungsezug wird zu einer normlverteilten Zufllsgröße X mit der Stndrdweichung σ und dem Erwrtungswert μ durch P( X ) = φ μ,σ (t)dt die Whrscheinlichkeit erechnet, dss die Zufllsgröße X im Intervll [; ] liegt. Beispiel: Ds Gewicht G von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit dem Erwrtungswert μ = 32 g und der Stndrdweichung σ = 8 g. Bestimme die Whrscheinlichkeit, dss ein Kind zwischen 3 und 32 g schwer ist. Gesucht ist lso P μ=32;σ=8 (3 G 32). Der GTR liefert P μ=32;σ=8 (3 G 32) 9,87%. Fst jedes zehnte Neugeorene ist lso zwischen 3 und 32 g schwer.

11 Grundufgen zur Normlverteilung Sei X normlverteilte Zufllsgröße mit der Stndrdweichung σ und dem Erwrtungswert μ. Grundufgen zur Normlverteilung können durch folgende Telle festgelegt werden, woei eine gegeene Größe und die gesuchte Größe repräsentieren: Grundufge Intervllgrenze Intervllgrenze Stndrdweichung σ Erwrtungswert μ Gesmtwhrscheinlichkeit P Im Folgenden wird ei der Whrscheinlichkeit P σ,μ der Index teilweise weggelssen, wenn Stndrdweichung σ und Erwrtungswert μ eide eindeutig festgelegt wurden. Bevor Du einige Üungsufgen erledigst, sollen die fünf Grundufgen mit Beispiel und GTR-Anwendung drgestellt werden. Vollziehe sie unter Nutzung des GTR nch. Notiere Unklrheiten. Grundufge : Gesmtwhrscheinlichkeit P gesucht Ds Gewicht von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit μ = 32 g und σ = 8 g. Ermittle die Whrscheinlichkeit, dss ds Gewicht eines zufällig usgewählten Kindes weniger ls 3 g [mehr ls 4 g; zwischen 3 g und 34 g] eträgt. Entscheide egründend, o es ungewöhnlich ist, wenn ein Kind 22 g wiegt. Gegeen: Ds Gewicht G sei normlverteilt mit der Stndrdweichung σ = 8 g und dem Erwrtungswert μ = 32. Gesucht: P( G 3); P(+ G 4); P(3 G 34); P( G 222) Hier knn in MENU gereitet werden mit der dem Befehl NormCD (,, σ, μ): Für die uneschränkten Grenzen git mn Werte n, die weit vom Erwrtungswert entfernt liegen Es gilt für die gesuchten Whrscheinlichkeiten: P(G 3) 4,3%; P(G 4) 5,87%; P(3 G 34) 9,74%. P(G 222),56%: Es nicht esonders ungewöhnlich, wenn ein Kind 22 g wiegt, d c. jedes. Kind höchsten 22 g wiegt.

12 Grundufge 2: Erwrtungswert μ gesucht Ds Gewicht von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit σ = 5 g. Jedes dritte Kind ht ein Gewicht zwischen 275 g und 325 g. Ermittle mögliche Erwrtungswerte. Gegeen: Ds Gewicht G sei normlverteilt mit der Stndrdweichung σ = 5 g. Es gilt P σ=5;μ (275 G 325) = 3. Gesucht: Mögliche Erwrtungswerte μ Mn definiert in MENU 5 unter Y die Funktion f mit f(μ) = P σ=5;μ (275 G 325) = 3 sowie unter Y2 die konstnte Funktion g mit g(μ) =. Die Schnittstelle eider Funktionen liefert mögliche 3 Erwrtungswerte. Antwortstz: Mögliche Erwrtungswerte sind c g oder 3274 g. Grundufge 3: Stndrdweichung σ gesucht Ds Gewicht von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit μ = 32 g. Mit einer Whrscheinlichkeit von 95 % hen die Kinder ein Gewicht zwischen 28 und 36 g. Ermittle die Stndrdweichung. Gegeen: Ds Gewicht G sei normlverteilt mit dem Erwrtungswert μ = 32. Es gilt dei P σ; μ=32 (28 G 36) =,95. Gesucht: Stndrdweichung σ. Auch hier können in MENU 5 üer die Terme Y: NormCD (28, 36, x, 32) und Y2:,95 zwei Grfen erstellt werden, deren Schnittstelle die gesuchte Stndrdweichung ngit.

13 Mthemtisch exkt usgedrückt: Die Funktion f mit f(σ) = P σ; μ=32 (28 G 36) ht mit der Funktion g mit g(σ) =,95 die Schnittstelle σ 24. Für σ 24 g gilt us diesem Grund P σ; μ=32 (28 G 36) =,95 Antwortstz: Die gesuchte Stndrdweichung eträgt c. 24 g. 2 Grundufge 4: Eine Intervllgrenze gesucht Ds Gewicht von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit μ = 32 g und σ = 8 g. Untersuche, wie schwer ds Neugeorene mindestens sein, wenn es zu den 5% schwersten Kindern gehört. Gegeen: Ds Gewicht G sei normlverteilt mit der Stndrdweichung σ = 8 g und dem Erwrtungswert μ = 32. Es gilt: P(G ) =,5. Gesucht: Intervllgrenze. Hier können in MENU 5 üer die Terme Y: NormCD (x,, 8, 32) und Y2:,5 zwei Grfen erstellt werden, deren Schnittstelle die gesuchte Intervllgrenze ngit. Mthemtisch exkt usgedrückt: Die Funktion f mit f() = P(G ) ht mit der Funktion g mit g() =,5 die Schnittstelle 456. Für 456 gilt dher P(G ) =,5. Antwortstz: Ein Neugeorenes muss mindestens 456 g schwer sein, um zu den 5 % schwersten Kindern zu gehören. Grundufge 5: Beide Intervllgrenzen gesucht Ds Gewicht von neugeorenen Kindern sei normlverteilt mit μ = 32 g und σ = 8 g. Untersuche, in welchem zum Mittelwert symmetrischen Bereich 95% der Neugeorenen liegen. Gegeen: Ds Gewicht G sei normlverteilt mit der Stndrdweichung σ = 8 g und dem Erwrtungswert μ = 32. Es gilt: P(32 G 32 + ) =,95. Gesucht: Intervllgrenzen 32 und In MENU 5 können üer die Terme Y: NormCD (32 - x, 32 + x, 8, 32) und Y2:,95 zwei Grfen erstellt werden, deren Schnittstellen die gesuchte Intervlllänge ngit.

14 3 Mthemtisch exkt usgedrückt: Die Funktion f mit f(x) = P(32 x G 32 + x) ht mit der Funktion g mit g(x) =,95 die Schnittstelle x 568. Es gilt dher für die Whrscheinlichkeit: P(632 G 4768) =,95. Antwortstz: 95 % der Neugeorenen liegen im zum Erwrtungswert μ = 32 symmetrischen Intervll [632; 4768]. Alterntivlösungen zu Grundufgen 4 und 5 mithilfe von InvN: Üer den Befehl InvN knn in ei vorgegeener Whrscheinlichkeit P( G ) zur normlverteilten Zufllsgröße G mit eknnter Stndrdweichung σ und vorgegeenen Erwrtungswert μ die rechte Grenze, ei P( G + ) die linke Grenze zw. ei P(μ c G μ + c) ds symmetrische Intervll um den Erwrtungswert usgerechnet werden. Dfür git mn nch InvN( - (linkes Intervll: ] ; ] ), (rechtes Intervll: [; + [ ) zw. (symmetrisches Intervll um μ: [μ c; μ + c]) ein und dnn den Wert für die Whrscheinlichkeit P sowie die Stndrdweichung σ und den Erwrtungswert μ: InvN(- oder + oder, P, σ, μ). Die Anzeige eim GTR ist folgendermßen drgestellt: Aufge 5 Die Dicke von Sthllech sei normlverteilt mit =,75 mm und =,3 mm. Bestimme die Whrscheinlichkeit, dss die Blechdicke im Intervll [,7 mm;,8 mm] liegt. Aufge 6 Die Duer einer Schwngerschft ist ngenähert normlverteilt und eträgt im Mittel 278 Tge ei einer Stndrdweichung von 9,69 Tgen. Berechne die Whrscheinlichkeit, dss ein zufällig usgewähltes By ei einer Spontngeurt ereits nch einer Schwngerschft von weniger ls 25 Tgen georen wird.

15 4 Aufge 7 Die Körpergröße von Kindern eines Jhrgngs sei normlverteilt mit = 9 cm und = 8 cm. Untersuche, wieviel Prozent dieser Kinder () höchstens 87 cm groß sind. (2) mindestens 86 cm und höchstens 95 cm groß sind. (3) 9 cm groß sind ei Rundung uf cm, mm zw. ohne Rundung. Aufge 8 Die mittlere Brutduer für Eier in einem Inkutor ei 38 eträgt 2 Tge. Angenommen, die mittlere Brutduer ist ngenähert normlverteilt ei einer Stndrdweichung von einem Tg. ) Ermittle die Whrscheinlichkeit, dss die Brutduer eines zufällig usgewählten Eies () weniger ls 2 Tge eträgt. (2) mehr ls 22 Tge eträgt. (3) zwischen 9 und 2 Tgen eträgt. ) Beurteile, o es ungewöhnlich ist, wenn ein Küken nch 8 Tgen geschlüpft ist, wenn die Brutduer uf Tge gerundet wird. Aufge 9 Die Leensduer eines Lptops sei normlverteilt mit einem Erwrtungswert von 42 Monten und einer Stndrdweichung von 2 Monten. ) Die Grntiezeit eträgt 8 Monte, d. h. der Hersteller führt in dieser Zeit nfllende Reprturen kostenlos durch. Für jede Reprtur klkuliert der Hersteller Kosten in Höhe von 25. Untersuche, mit welchen Kosten pro verkuftem Computer der Hersteller rechnen muss. ) Der Hersteller möchte die Grntiezeit so usdehnen, dss 5% mehr Kunden in den Genuss der Grntie kommen. Ermittle die Duer der neuen Grntiezeit. Aufge 3 Nch dem Hnduch des Institutes zur Förderung hochegter Vorschulkinder ist der Intelligenzquotient in der Bevölkerung normlverteilt mit =. 68,3% der Bevölkerung ht einen Intelligenzquotienten zwischen 85 und 5. ) Bestimme us den Angen die Stndrdweichung der Normlverteilung. ) Ermittle ds mit P(μ G μ + ) =,95 und formuliere ds Ergenis in Worten. 3 In Anlehnung n Aufge us Fokus Mthemtik LK in NRW (S. 9) und (st-8-)

16 c) Nch Angen des sttistischen Bundesmtes gingen 34 % eines Jhrgnges von der Grundschule ins Gymnsium üer. Angenommen (ws eknntermßen nicht der Fll ist!) ei diesen 34 % hndelt es sich um die Kinder mit dem höchsten Intelligenzquotienten. Untersuche, welches der kleinsten IQ wäre, der n einem Gymnsium nzutreffen wäre. Die folgende Aildung 4 stellt die oige Normlverteilung grfisch dr. 5 d) Prüfe ei llen ngegeenen Whrscheinlichkeitsdten, o sie zur Normlverteilung us den Aufgenteilen ) is c) pssen. e) Untersuche, wie häufig durchschnittliche Intelligenz ist. f) Prüfe, o die Angen zu is 3 und üer 3 pssen. g) In einer Klsse finden sich IQ-Werte zwischen 5 und 25. Untersuche, wie viel Prozent der Bevölkerung sie in diesem Bereich liegen. h) Stelle die oige Normlverteilung mit dem GTR dr. ABITUR 27 Auszug us LK HT B5 5 d) Die Indiktormenge uf den Teststreifen ist normlverteilt mit einem Erwrtungswert von 2 mg und einer Stndrdweichung von 4, mg. Ein Teststreifen ist unruchr, wenn die Indiktormenge uf dem Teststreifen kleiner ls 5 mg ist. () Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein Teststreifen unruchr ist. [Kontrolllösung:,56 %] (2) Durch eine Veresserung konnte die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein zufällig usgewählter Teststreifen ufgrund der Indiktormenge unruchr ist, hliert werden. Der Erwrtungswert für die Indiktormenge lie dei unverändert. Bestimmen Sie die geänderte Stndrdweichung durch systemtisches Proieren uf eine Nchkommstelle genu. 4 mßstäe (PTB Physiklisch Technische Bundesnstlt), Heft : Mi 2, Seite 54 5 Auszug us einer Aiturufge des Lndes NRW 27 LK HT B5

17 6 3 Kontrollufgen Kompetenzrster Ohne Hilfsmittel Ich knn Wo? sicher ziemlich sicher unsicher sehr unsicher zeigen, dss eine Funktion eine Dichtefunktion ist. den Erwrtungswert für ein Glücksspiel erechnen. eine Auszhlungsverteilung für ein fires Spiel ngeen. Whrscheinlichkeiten mittels Dichtefunktion und Integrlen erechnen. zeigen, dss eine zusmmengesetzte Funktion Stmmfunktion ist. den Erwrtungswert einer Zufllsgröße mittels Integrl zu erechnen. die Stndrdweichung einer Zufllsgröße mittels Integrl erechnen., Unter Zuhilfenhme von Hilfsmitteln Ich knn Wo? sicher ziemlich sicher unsicher sehr unsicher zeigen, dss eine Funktion eine Dichtefunktion ist. Whrscheinlichkeiten mittels Dichtefunktion und Integrlen erechnen. den Erwrtungswert einer Zufllsgröße mittels Integrl zu erechnen. die Stndrdweichung einer Zufllsgröße mittels Integrl erechnen. einen Prmeter k estimmen, dmit eine Funktion Dichtefunktion ist. die Stndrdweichung einer normlverteilten Zufllsgröße erechnen (G3). Whrscheinlichkeiten einer normlverteilten Zufllsgröße erechnen (G). ein symmetrisches Intervll um den Erwrtungswert estimmen (G5). eine Intervllgrenze einer normlverteilten Zufllsgröße estimmen (G4). den Erwrtungswert einer normlverteilten Zufllsgröße erechnen (G2) eine Normlverteilung grfisch mit dem GTR drstellen c 3c 3d 4 4 4c 4d,e 4f 4g

18 7 Hilfsmittelfreie Aufgen Aufge,5x flls x Gegeen ist die Funktion f mit f(x) = {,6 flls < x,5.,3 flls,5 < x 3 ) Zeige, dss f üer [; 3] eine Dichtefunktion ist. ) Ein Spielutomt, der eine Zhl zwischen und 3 nzeigt, wird durch die oige Dichtefunktion simuliert. Der Einstz pro Spiel eträgt. Im Flle einer Zhl x zhlt der Automt 2 us, d. h. der Spieler gewinnt. Im Flle < x,5 geht der Einstz verloren. Kommt eine Zhl,5 < x 3 erhält der Spieler seinen Einstz zurück. () Weise nch, dss ds Spiel unfir ist. (2) Gi eine Auszhlungsverteilung n, die ein fires Spiel ermöglicht. Aufge 2 Gegeen ist für x + und k > die Funktion f mit f k (x) = ke kx. ) Zeige, dss f eine Whrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) ist. ) X k sei die Zufllsgröße mit der Dichtefunktion f k. () Gi Terme n für P(X 2 < 2) und für P(X 2 3). (2) Zeige, dss G k (x) = ( x ) k e kx eine Stmmfunktion zu g k (x) = x ke kx ist. (3) Weise mit (2) und der Formel für den Erwrtungswert 6 nch, dss μ = μ(x k ) =. k (4) Zeige, dss S k (x) = ( x 2 k 2) e kx eine Stmmfunktion zu s k (x) = (x k )2 ke kx ist. (5) Weise mit (3), (4) und der Formel für die Stndrdweichung 7 nch, dss σ = σ(x k ) = k. 6 μ = [x f(x)] dx 7 σ = [(x μ) 2 f(x)] dx

19 8 Aufgen unter Zuhilfenhme des GTR Aufge 3 Niki wirft Münzen so, dss sie möglichst nhe n der Wnd zu liegen kommen. Die Münzen prllen er oft und rollen zurück. Der Astnd X (in Metern) von der Wnd ist eine Zufllsgröße, die mn mithilfe der der Whrscheinlichkeitsdichte f(x) = 3x 2 6x + 3 üer [; ] eschreien knn. ) Begründe 8 rechnerisch, dss f eine Whrscheinlichkeitsdichte üer [; ] ist. ) Bestimme 9 (gerne unter Zuhilfenhme des GTR) die Whrscheinlichkeit, dss eine Münze weniger ls, m von der Wnd liegen leit. c) Für den Erwrtungswert μ und Stndrdweichung σ der stetig verteilten Zufllsgröße X mit Werten zwischen und und der Dichtefunktion f gilt llgemein: μ = [x f(x)] dx und σ = [(x μ) 2 f(x)] dx Bestimme unter Zuhilfenhme des GTR den Erwrtungswert μ und Stndrdweichung σ des Astndes X des oigen Münzwurfs. d) Gegeen sei die Funktion g mit g(x) = k (x x 3 ) mit dem konstnten Fktor k. Untersuche, wie der Prmeter k gewählt werden muss, dmit g eine Dichtefunktion üer dem Intervll [; ] wird. Aufge 4 Eine Bekleidungsfirm geht dvon us, dss die Körpergröße junger Fruen normlverteilt ist mit einem Erwrtungswert = 66 cm. Die Körpergröße von 95 % der Fruen liegt zwischen 79 cm und 53 cm. ) Ermittle die Stndrdweichung dieser Normlverteilung. [Kontrollergenis: 6,63 cm] ) Berechne den für eine Körpergröße von 53 cm is 56 cm usgelegte Wrennteil. c) Untersuche, in welchem symmetrischen Intervll um den Erwrtungswert die Körpergröße von 5 % der Fruen liegt. d) Bestimme die Mindestkörpergröße einer Fru, die zu den 5 % größten Fruen gehört. e) Untersuche, mit welcher Höchstkörpergröße eine Fru zu % kleinsten Fruen zu zählen ist. f) Untersuche, welcher Erwrtungswert einer normlverteilten Verteilung der Körpergrößen vorgelegen hen könnte, wenn ei gleicher Stndrdweichung 95 % der Fruen zwischen 8 cm und 54 cm groß wären. g) Stelle die oigen Normlverteilungen grfisch dr. 8 Hier muss neen dem Anstz eine Rechnung ngegeen werden. 9 Hier drf nch Ange des Anstzes der GTR enutzt werden.

20 9 Lösungen Stetige Zufllsgrößen Integrle esuchen die Stochstik Erkundungen: ) Die Whrscheinlichkeit, einen estimmten Winkel zwischen und 2π zu drehen, eträgt Null, d es üerzählr viele Zhlen zwischen und 2π git. ) () Für die Werte uf der y-achse dividiert mn die reltiven Häufigkeiten für die zehn Winkelereiche jeweils durch π. Auf der x-achse werden lle Vielfchen von π mrkiert, is mn zu 2π 5 5 gelngt. (2) Die Flächen unter dem Grfen git die reltiven Häufigkeiten für den entsprechenden Winkelereich n. (3) Der Flächeninhlt zwischen Grf der Dichtefunktion und der x-achse üer dem Intervll [; 2π] eträgt % =. c) () Gemäß dem Gesetz der großen Zhlen nähern sich die reltiven Häufigkeiten für große n der ttsächlichen Whrscheinlichkeiten n. (2) Die Dichtefunktion ht folgenden Gleichung: flls x 5 π 5 f(x) = {,45 flls 5 π < x 2π. 5 Ferner eträgt der Flächeninhlt zwischen Grf und x-achse üer dem Intervll is 2π gleich. Also gilt: 5 85 π +,45 π = 23 π = = 2,3 und,45, π (3) Zhlen us dem Winkelereich is 5 π werden deutlich häufiger gedreht wie Zhlen us dem 5 ürigen Winkelereich. Mit einer Whrscheinlichkeit von c. 28 % stmmt eine Zhl us dem deutlich kleineren Winkelereich is 5 5 π. ) Die Fläche unter der Treppenfunktion muss genu etrgen. Mit den drgestellten Bezeichnungen ergit sich: 3 π π = π = = 4 und dmit die Funktion f π mit 8 π f(x) = {,23 für < x 3 π 2,36 4 4,5 für 3 π < x 2π π 4 ) (i) P( X ) = 8 = 8,23 π π (ii)p(,5 X 2,5) = 8 π (3 π,5) + 4 (2,5 3 π),25 4 π 4 (iii) P(3 X 4) = 4 = 4,6 π π 2) Treppenfunktion skizzieren 2) Bedingungen für Dichtefunktion prüfen: (I) f(x) für lle x [; 6] (klr) und (II) f(x)dx = gilt? Nchrechnen: 6 f(x)dx =, +,2 2 +,3 +, 2 =. 6

21 2 2c) P(2 X 5) =,2 +,3 +, =,6 2d) Erwrtungswert für den Gewinn gesucht. Gewinntelle: Ergenis x < x < 3 3 x 4 4 < x 6 Gewinn in Dmit ergit sich für den Erwrtungswert μ = ( ), + 2,2 2 + ( ),3 + ( ), 2 =,2. D μ > ist uf lnge Sicht, ist der Spieler im Vorteil. 2e) Ds Spiel ist fir, wenn μ = ist. Mn setzt den Gewinn uf den Wert g und erhält die folgende Gewinntelle: Ergenis x < x < 3 3 x 4 4 < x 6 Gewinn in - g - - Es ergit sich die Gleichung: = ( ), + g,2 2 + ( ),3 + ( ), 2,4 g =,6 g = 3. Bei einem Gewinn von,5, lso ei einer Auszhlung von 2,5, wäre ds Spiel 2 fir. 2π 3) Die Dichtefunktion ist eine Konstnte f(x) = k > mit mit k dx 4) Für jedes x R gilt f(x), wenn < ist. Mit f(x)dx = erhält mn den Wert für : 9 = f(x)dx [(x 9)(x )]dx = 4 3 Drus folgt = -,75 4) Dichte und Verteilungsfunktion (Bild rechts) 4c) Erwrtungswert und Stndrdweichung dürfen mit der Integrlfunktion des GTR erechnet werden. Für den Erwrtungswert erhält mn mit der Definition im Ksten:μ = [x f(x)] dx = 9 Den Erwrtungswert setzt mn in die Formel für die Stndrdweichung ein: s(x) = 9 [(x μ) 2 f(x)]dx =,2,447. 9,4 4d) P(Ausschuss) = P(x < 9,4) + P(x >,6) = f(x)dx + 9 f(x)dx,6 = 2πk = k = 2π =,4 +,4 =,28 4e) Wird die mximle zulässige Aweichung mit m ezeichnet, muss z. B. mit dem GTR (üer MENU 5) die Gleichung +m m f(x)dx,9 gelöst werden. Es ergit sich m =, ) f(x)dx = ቂ k 4 x x3 2 2 x ,2xቃ = 4k + 2 +,4 = k = 3 6 +x Der GTR versteht nur den Ausdruck f(x)dx x mit der doppelten Vrilenelegung von x.

22 6) Anstz einer gnzrtionlen Funktion dritten Grdes: f(x) = x 3 + x 2 + cx + d. Die Bedingungen luten: () f() = 3k; (2) f () = ; (3) f(5) = k; (4) f (5) = ; (5) f(x)dx =. Mn erhält ds folgende 5x5-LGS: () d 3k = ; (2) c = ; (3) c + d k = ; (4) c = ; (5) ,5c + 5d =. Mithilfe des GTR folgt: = ; = 3 ; c = ; d = 3 ; k =, Dmit folgt f(x) = x x ) Mit dem GTR folgt: P(2 x 3) = f(x) dx 2 7) e x R > und e x dx = 5 = [ e x ] R = e R ( e ) = e R R + 2 7) P( < X < 2) = f(x)dx = e e 2,2325 Mit c. 23%iger Whrscheinlichkeit duert ein Gespräch zwischen einer und zwei Minuten. + 7c) Mit dem GTR (jeweils große Zhl für oere Grenze einsetzen) folgt μ = [x f(x)]dx σ = + [(x μ) 2 f(x)]dx = 7d) Es ergeen sich mit dem GTR folgende Whrscheinlichkeiten:,5 e x dx,3834,5 + 6 ; e x dx,22 6 und e x dx =. 5 2 = und 8) Zur Ermittlung der Extremstellen erechnet mn zunächst die Nullstellen der ersten Aleitung. Nch der Ketten- und Fktorregel gilt: f, (x) = 2π e 2 (x )2 ( 2 2 (x ) ) = x 3 2π e 2 (x )2 = x =. Wegen f (x) < für x > und f (x) > für x <, liegt ei x = ein VZW von f von + nch vor. Insgesmt erhält mn wegen f() = und lim [ 2π x ± 2π e 2 (x )2 ] = den glolen HP ( ). 2π Zur Bestimmung der Wendestellen erechnet mn zunächst die Nullstellen der zweiten Aleitung. Mit der Produkt-, Fktor- und Kettenregel gilt: f, (x) = 3 2π e )2 + ( x 3 2π ) e 2 (x 2 (x )2 ( x 2 ) = + (x ) 2 ( 2 ) e 5 2 (x )2 = 2π 2 + (x ) 2 = (x ) 2 = 2 x = oder x = x = ±. Mn prüft einen VZW der zweiten Aleitung ei ± nch, indem mn z. B. x = 2, x = und x = + 2 in die zweite Aleitung einsetzt: f, ( 2) > ; f, () < ; f, ( + 2) >. Es liegen lso der Li-Re- WP WP ( 2π e 2) und der Re-Li-WP WP 2 ( + 2π e 2) vor. 8) Die Asymptote ist die x-achse. 8c) 8d) Der Prmeter verschiet den Grfen nch rechts. Der Prmeter streckt die Prel in x- und in y-richtung (je kleiner, desto größer ist die Streckung in x und y-richtung).

23 22 2 Guß sche Glockenfunktion und Normlverteilung 5 P (,7 X,8),944 6 P (X 25),2. Spontne Geurten innerhl der ersten 25 Tge sind lso sehr selten. 7 ) P (X 87),3538 ) P (86 X 95),4255 c) P (89,5 X 9,5),5; P (89,95 X 9,5),5; P (X= 9) = 8) () P (X < 2),587 (2) P (X > 22) = P (X 22),587 (3) P (9 X 2) = P (X 2) P (X< 9),47725 ) P (7,5 X 8,5),6. Die Whrscheinlichkeit für dieses Ereignis eträgt c.,6 %, dher ist es ungewöhnlich. 9 ) P(X 8),225. Erwrtete Kosten: E(X) =, ,63. ) P (X x) =,225 +,5 =,725 x 24,5. Dher müsste die Grntiezeit uf 25 Monte usgedehnt werden. ) = ; = 5 ) P(7,6 G 29,4) =,95 (üer InvNormCD (,.95,5,)). 95 % der Menschen hen einen Intelligenzquotienten zwischen 7 und 3 c) Gesucht ist ds kleinste mit P(G ),34. (üer InvNormCD (,.34,5,) lösen) Mn erhält für 6 P(G ),34. Der Aufnhme-IQ müsste mindestens 6 etrgen, dmit die intelligentesten 34 % zum Gymnsium gingen. d) X: Zhl des IQ (Verwende NormCD (untere Grenze, oere Grenze, Stndrdweichung, Erwrtungswert)) P(X 55),3 %; P(X 7),228 2,28 % und P(55 X 7) 2,5 % P(X 85) 5,87 % und P(7 X 85) 3,59 %; P(X ) 5 % und P(85 X ) 34,3 % P(X 5) 84,3 % und P( X 5) 34,3 %; P(X 3) 97,72 % und P(5 X 3) 3,59 %; P(X 45) 99,87 % und P(3 X 45) 2,5 %; P(X > 45) = - P(X 45) - 99,87 %,3 %. Die ngegeenen Prozentsätze pssen. e) P(85 X 5) = 2 34, % = 68,2 %. Norml intelligent sind rund 68 % der Bevölkerung, häufig gerundet zu 2 oder 7 %. 3 f) P(5 X 3) = 3,6 %. Ds sind knpp 4 %. P(X > 3) 2, % +, % 2,2 % Ds liegt nur etws üer 2 %. g) P(5 X 25) 32,32 % Knpp der Bevölkerung ht einen IQ-Wert zwischen 5 und h)

24 23 Aiturufge d) (): Die Zufllsgröße Z eschreit die Indiktormenge uf einem Teststreifen in mg. Für einen Erwrtungswert von 2 mg und eine Stndrdweichung von 4, mg gilt für die gesuchte Whrscheinlichkeit: P(Z < 5),56%. (2): Mn definiert die Funktion f mit f(σ) = P σ;μ=2 (Z < 5) sowie die konstnte Funktion g mit g(σ) =,528. Die Schnittstelle eider Funktionen liefert die gesuchte Stndrdweichung von σ 3, mg. Alterntiv (im Sinne der Aufgenstellung) knn uch mit einer Wertetelle (MENU 7) gereitet werden, in der ei der Funktion f der Wert für σ vriiert wird. Die dzugehörigen GTR-Eingen werden durch folgende Aildung dokumentiert: Nicht sinnvoll im Sinne der Aufgenstellung

25 24 3 Kontrollufgen Ohne GTR Aufge ) Die Fläche unter dem Grfen der Dichtefunktion üer dem Intervll [; 3] lässt sich in ein Dreieck und zwei Rechtecke zerlegen. Für die Gesmtwhrscheinlichkeit gilt: P[; 3] = P[; ] + P[;,5] + P[,5; 2] =,25 +,3 +,45 =. ) () Für den zu erwrtenden Gewinn gilt μ =,25 +,3 ( ) +,45 =,5. Dher ist ds Spiel unfir. (2),25 +,3 ( ) +,45 = =,2 Aufge 2 + ) ke kx dx = lim R + [ e kx R ] = lim R + ( e kr + ) = Gegeen ist für x + und k > die Funktion f mit f k (x) = ke kx. 2 ) () 2e 2x dx + 3 2e 2x dx = e ,7% = lim R + [ e 2x ] R 3 = lim R + ( e 2R + e 6 ) = e 6,25% (2) G k (x) = ( x k ) e kx G k (x) = e kx + ( x k ) ( k) e kx = ( + kx + ) e kx = kxe kx = g k (x) + (3) μ = [x f k (x)] dx + = g k (x) dx = lim ቂ( x ) R R + k e kx ቃ = lim ቂ( R ) R + k e kr + ቃ = k k (4) S k (x) = ( x 2 k 2) e kx S k (x) = 2xe kx + ( x 2 k 2) ( k) e kx = (kx 2 2x + k ) e kx = (x 2 2 k x + k 2) k e kx = (x k )2 k e kx = s k (x) + (5) σ = [(x μ) 2 f k (x)] dx = lim R + ቂ( R2 k 2) e kr + k 2ቃ = k 2 = k + = s k (x) dx = lim R + [( x2 ) e kx R k ] 2

26 25 Mit GTR Aufge 3 ) (3x 2 6x + 3) dx = [x 3 3x 2 + 3x] = f(x) = 3x 2 6x + 3 x 2 2x + (x ) 2, d. h. f(x) für lle x, lso uch für lle x zwischen und. (Grf von f ist nch oen geöffnete Prel, die die x-achse ei x = erührt.), ) P[;,] = (3x 2 6x + 3) dx = 27, % c) μ = (3x 3 6x 2 + 3x) dx =,25 (mittlerer Astnd von der Wnd) σ = [(x,25) 2 f(x)] dx = 3 8,9 d) k (x x 3 ) dx = k ቂ 2 x2 4 x4 ቃ = k = k = 4 4 Aufge 4 ) Die Größe G von Fruen sei normlverteilt mit = 66 cm. Gesucht ist die Stndrdweichung σ mit P μ = 66 cm;σ (53 G 79). Sie ergit sich die sich ls Schnittstelle der Funktionen f und g mit f(σ) = P μ = 66 cm;σ (53 G 79) und g(σ) =,95. Mn erhält σ 6,63. ) P μ = 66 cm;σ 6,63 (53 G 56) 4,% der Wren sind uf Körpergrößen von 53 cm is 56 cm usgerichtet. c) Es gilt P μ = 66 cm;σ 6,63 (6,5 G 7,5),5. d) Es gilt P μ = 66 cm;σ 6,63 (G 76,9),5. e) Es gilt P μ = 66 cm;σ 6,63 (G 57,5),.

27 f) Gesucht ist der Erwrtungswert μ mit P μ ;σ 6.63 (54 G 8) =,95. Er ergit sich die sich ls Schnittstelle der Funktionen f und g mit f(μ) = P μ ;σ 6.63 (54 G 8) und g(μ) =,95. Mn erhält μ 66,8. Alterntivlösung üer Tellenfunktion und systemtisches Proieren. 26 g)