Geometrie in der Ebene und im Raum

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1 KAPITEL 1 Geometrie in der Eene und im Rum 1. Koordinten Wir eschreien nch einer Idee von René Descrtes ( ) jeden Punkt in der Eene durch ein Pr reeller Zhlen. Die Menge der Pre reeller Zhlen küren wir mit oder 2. x yx und y. Für ds Pr x y schreien wir uchx, y. Aus der folgenden Skie ist ersichtlich, wie wir jeden Punkt durch ein Zhlenpr (seine krtesischen Koordinten) eschreien x x y y Vektoren Wo liegt der Punkt C im Prllelogrmm ABCD, dessen Punkte A, B und D durch A 1 1, B 7 2, D 3 4 gegeen sind? 1

2 2 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM C? D 3 4 B 7 2 A 1 1 Um von A nch B u kommen, müssen wir 6 nch rechts und 1 nch oen gehen. AB Wenn wir von D strten und um 6 nch rechts und 1 nch oen gehen, lnden wir ei C. C D AB Wir emerken, dss wir ein Pr reeller Zhlen, wie etw 6 1, verwenden, um wei verschiedene Dinge u eschreien: Den Punkt, der um 6 Längeneinheiten rechts und um 1 Längeneinheit üer dem Punkt 0 0 liegt. Den Weg (Vektor) von 1 1 nch 7 2. In Mthemtic werden Vektoren ls Listen drgestellt. In[1]:= 1, 1 In[2]:= 7, 2 In[3]:= d 3, 4 In[4]:= Out[4]= 6, 1 In[5]:= c d Out[5]= 9, 5

3 Wir lösen folgendes Beispiel: 3. DIE LÄNGE EINES VEKTORS 3 3. Die Länge eines Vektors Herr A geht von 3 2 us 1 Einheit in Richtung Südosten. Wo lndet er? Richtung Südosten heißt in Richtung1 1. Allerdings ht 1 1 die Länge Dher ht v die Länge 1 und eigt uch in Richtung Südosten. Herr A lndet lso im Punkt Z, den wir uns mit Z usrechnen. Wir üerlegen uns jett, wie lnge der Vektor ist. Ds heißt, wir wollen wissen, wie lnge in einem Dreieck, in dem die Seiten mit den Längen und einen rechten Winkel einschließen, die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite ist. Vergessen wir kur unsere klssische Bildung, und eichnen wir ein Qudrt mit Seitenlänge. Jett unterteilen wir jede der vier Qudrtseiten in ein Stück der Länge und ein Stück der Länge.

4 4 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Wir verinden die vier Teilungspunkte. Ds innere jett eingeeichnete Viereck ist ein Qudrt. Ds knn mn so egründen: wenn mn die gne Zeichnung um 90 gegen den Uhreigersinn dreht, kommt ds innere Viereck uf sich selst u liegen: dher sind lle vier Winkel des inneren Vierecks gleich groß. In jedem Dreieck ist die Winkelsumme 180, und dher ist in jedem Viereck die Winkelsumme 360. Also ist jeder Winkel des inneren Vierecks gleich Sei x die Länge des Vektors 4. Dnn ht ds innere Viereck die Fläche x 2. Jedes der vier rechtwinkeligen Dreiecke ht die Fläche. 2

5 4. TRIGONOMETRIE 5 Fläche 2 Fläche x 2 x Ds innere Viereck und die vier rechtwinkeligen Dreiecke ergeen usmmen die Fläche des großen Qudrts mit der Seitenlänge, lso gilt Ds heißt lso x x , x Mit diesem Zusmmenhng, dem St des Pythgors (Pythgors von Smos, 6. Jh. v. Chr), können wir die Länge x des Vektors usrechnen. Wir küren die Länge des Vektors mit. Es gilt dnn Trigonometrie In der Trigonometrie geht es drum, wie mn rechnerisch us den gegeenen Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks die restlichen Seitenlängen und Winkel estimmen knn. Wenn mn etw von einem Dreieck die Längen der drei Seiten kennt, dnn ist ds Dreieck ddurch eindeutig estimmt: die Winkel des Dreiecks sind lso durch die Längen der drei Seiten festgelegt. (Wie konstruiert mn ein Dreieck, ds durch die drei Seitenlängen gegeen ist?) Eenso ist ein Dreick ddurch estimmt, dss mn eine Seite und die eiden drn nliegenden Winkel kennt. (Wie konstruiert mn dieses Dreieck?) Uns geht es jett drum, die fehlenden Seitenlängen und Winkel usurechnen. Dei geht mn so vor:

6 6 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM (1) Mn telliert den Zusmmenhng wischen den Seitenlängen und den Winkeln für rechtwinkelige Dreiecke. Du rucht mn die Winkelfunktionen sin (Sinus) und cos (Cosinus). (2) Mn ut sich lle nderen Dreiecke us rechtwinkeligen Dreiecken usmmen. D dieses Zusmmenuen er immer gleich funktioniert, mcht mn es einml für lle Dreiecke. Mn gewinnt so wei Zusmmenhänge wischen Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks: den Cosinusst und den Sinusst. Diese eiden Säte reichen us, um lle trigonometrischen Proleme u lösen Winkel. Winkel misst mn nicht nur in Grd (), sondern uch in Rdint (rd). Dei wird der Winkel durch die Länge des ugehörigen Bogens m Einheitskreis, dem Kreis mit Rdius 1, ngegeen. Α Länge des Bogens 1 Dei entsprechen 180 dem WinkelΠrd. Demufolge ist 1 Π rd, und 1 rd 4.2. Winkelfunktionen.

7 4. TRIGONOMETRIE 7 P2Π 3 cos120 sin120 sin cos120 1 Gegeen ist ein Winkel x. Der uf dem Kreis mit Mittelpunkt 0 0 und Rdius 1 liegende Punkt P x ht dnn die Koordinten cosx sinx. Nch dem St des Pythgors gilt für jeden Winkel x: sinx 2 cosx 2 1. In einem rechtwinkeligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite uch Hypotenuse, die eiden dem rechten Winkel nliegenden Seiten heißen Ktheten. C ccosα csinα Α A c B ÜBUNGSAUFGABEN 1.1. (1) Ein Kletterer knn Wände mit einer Neigung von mximl 65 esteigen. Schfft er eine Pyrmide mit einer qudrtischen Grundfläche von 784 m 2 und einer Höhe von 40 m? 4.3. Zusmmenhng wischen Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks. Wir sgen, dss drei Punkte ein Dreieck ilden, wenn sie nicht lle drei uf einer Gerden liegen. In einem Dreieck eeichnet mn oft die Längen der Seiten mit,, c, und den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitα, den der den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitβ, und den der den der Seite mit Länge c gegenüer liegenden Winkel mit Γ. Die Seiten sind ülicherweise gegen den Uhreigersinn mit,, c eschriftet.

8 8 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM C Γ Α A c Β B Der Cosinusst löst folgendes Prolem: Gegeen: Seitenlängen, eines Dreiecks und der eingeschlossene Winkel Γ. Gesucht: Die fehlende Seitenlänge c. C Γ Α Β A c B Wir etrchten unächst den FllΓ 90,Α 90. Wir eichnen in ein solches Dreieck die Höhe uf B und erhlten us dem St des Pythgors: lso c 2 cosγ 2 sinγ 2, c cosγ 2 sinγ 2 2 cosγ 2 c cosγ 2 sinγ 2 cosγ 2 c cosγ1 2 c cosγ. Für den FllΓ 90 undα > 90 eichnen wir die Höhe uf A und erhlten: c 2 cosγ 2 sinγ 2 c cosγ 2 sinγ 2 2 cosγ 2 c cosγ 2 sinγ 2 cosγ 2 c cosγ1 2 c cosγ.

9 4. TRIGONOMETRIE 9 Zulett etrchten wir den FllΓ > 90. Wir eichnen in ein solches Dreieck die Höhe uf B und erhlten: c 2 cos180 Γ 2 sin180 Γ 2 c 2 cosγ 2 sinγ 2 c cosγ 2 sinγ 2 2 cosγ 2 c cosγ 2 sinγ 2 cosγ 2 c cosγ1 2 c cosγ. Insgesmt hen wir folgenden St ewiesen: SATZ 1.2 (Cosinusst). Wir eeichnen die Längen der Seiten eines Dreiecks mit,, c, und wir eeichnen den der Seite mit Länge c gegenüer liegenden Winkel mit Γ. Dnn gilt c cosγ. Mn findet mit dem CosinusstΓ, wenn, und c gegeen sind. Zu jedem y 1, 1 git es genu ein x 0,Π, sodss cosx y Der Sinusst. Der Sinusst löst folgendes Prolem. Gegeen:Α,Β,. Gesucht:. C Γ h Α A F c Β B Wir etrchten ds rechtwinklige Dreieck AFC und erhlten Mit dem Dreieck FBC finden wir h sinα. h sinβ. Es gilt lso sinα sinβ. Sowohl sinα lso uch sinβ sind ungleich 0, d in einem Dreieck kein Winkel 0 oder 180 sein knn. (Wir hen Dreiecke so definiert, dss die drei Punkte nicht uf einer Gerden liegen). Es gilt lso sinα sinβ.

10 10 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Wenn mn die gleiche Üerlegung mit der Höhe uf mcht, erhält mn sinβ c sinγ. SATZ 1.3 (Sinusst). Wir eeichnen die Längen der Seiten eines Dreiecks mit,, c, den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitα, den der den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitβ, und den der den der Seite mit Länge c gegenüer liegenden Winkel mit Γ. Sei d der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks. Dnn gilt: sinα sinβ c sinγ d. Wir üerlegen uns jett, wie mn Sinus- und Cosinusst enuten knn, um die fehlenden Winkel und Seitenlängen eines Dreiecks u erechnen. In den Dreiecken der folgenden Beispiele eeichnen wir die Längen der Seiten mit,, c, und wir eeichnen den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitα, den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mitβ, und den der Seite mit Länge c gegenüer liegenden Winkel mitγ. Die Seiten seien dei gegen den Uhreigersinn mit,, c eschriftet. (1) Es sind die Seitenlängen,, c gegeen: Es git so ein Dreieck, wenn < c, < c, und c <. Der WinkelΑist dnn durch 2 2 c 2 2 c cosα eindeutig estimmt. (2) Es sind eine Seitenlänge und wei Winkel gegeen: D die Winkelsumme 180 ist, kennt mn ttsächlich lle drei Winkel. Sind lso c, Α, und Β gegeen, so git es so ein Dreieck, wennαβ <Π. Mn erechnetγ ΠΑΒ, und dnn und mithilfe des Sinusstes. (3) Es sind wei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel gegeen: Es sind lso um Beispiel, c, undαgegeen. Wenn und c positive reelle Zhlen sind, und 0 <Α<Π gilt, so git es sicher ein solches Dreieck. Mn erechnet dnn mithilfe des Cosinusstes; dnn kennt mn lle drei Seitenlängen und knn mit dem Cosinusst die verleienden Winkel usrechnen. (4) Es sind wei Seitenlängen gegeen, und ein Winkel, der nicht der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel ist: Es sind lso um Beispiel c, Α und gegeen. In diesem Fll knn es sein, dss es gr kein, genu ein oder genu wei Dreiecke mit dem vorgegeenen c,αund git. Es git mehrere Fälle: () Es giltα < 90 : (i) Es gilt c: Es git genu ein Dreieck. Wir erhlten ls die einige positive Lösung von Es gilt lso c 2 x 2 2 c x cosα 2. c cosα c cosα 2 2 c 2.

11 4. TRIGONOMETRIE 11 (ii) Es gilt c sinα < < c: Es git genu wei Dreiecke. Wir erhlten die eiden Möglichkeiten für ls die Lösungen der Gleichung lso c 2 x 2 2 c x cosα 2, 1,2 c cosα± 2 c sinα 2. (iii) Es gilt c sinα: Es git genu ein Dreieck. Wir erhltenγ Π 2 und c cosα. (iv) Es gilt < c sinα: Es git kein Dreieck. () Es giltα 90 : (i) Es gilt > c: Es git genu ein Dreieck, und 2 2 c 2 nch dem St des Pythgors. (ii) Es gilt c: Es git kein Dreieck. (c) Es giltα > 90 : (i) Es gilt > c: Es git ein Dreieck. Die Länge ist die einige positive Lösung von lso c 2 x 2 2 c x cosα 2, c cosα c cosα 2 2 c 2. (ii) Es gilt c: Es git kein Dreieck. Tückischerweise knn die Gleichung c 2 x 2 2 c x cosα 2 trotdem positive Lösungen hen. ÜBUNGSAUFGABEN 1.4. Wir eeichnen die Längen der Seiten eines Dreiecks mit,, c, und wir eeichnen den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mit Α, den der Seite mit Länge gegenüer liegenden Winkel mit Β, und den der Seite mit Länge c gegenüer liegenden Winkel mit Γ. (Die Seiten seien dei gegen den Uhreigersinn mit,, c eschriftet.) (1) Berechnen Sie sinγ für ein Dreieck mit c 10, 10 3,Β 30. Ds Dreieck ist mit diesen drei Bestimmungsstücken c,, Β noch nicht eindeutig festgelegt. Wrum nicht? (2) Wie groß knn in einem Dreieck mitα 45, c 1, 2 6 sein? (Git es mehr ls eine Lösung?) (3) Geen Sie eine Whl von n, sodss es genu ein Dreieck mit den BestimmungsstückenΑ 45, c 1, und Ihrem gewählten git! (4) Von einem Dreieck ABC hen Sie folgende Informtion: AB 10 cm, der WinkelΑwischen AB und AC ist 30, BC 10 cm. 2 () Stellen Sie diese Dten in einer Skie dr. () Welchen Winkel schließen CB und CA ein? Git es mehr ls eine Lösung? Berechnen Sie in den folgenden Beispielen jeweils die nicht ngegeenen Seitenlängen und Winkel. (5) () c 4, 5, 3. () c 4, 5, 10. (6) () c 5, 3,Α Π 4. () Git es für jede Whl von c > 0, > 0,Αmit 0 <Α<Π ein Dreieck mit den gewählten Bestimmungsstücken?

12 12 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM (7) () c 5, 10,Β Π 6. () c 5, 3,Β Π 6. (8) () c 5, 2 5,Β Π 6. () c 5, 2,Β Π 6. (9) () c 5, 3,Β 5Π 6. () c 5, 10,Β 5Π 6. (c) c 4, 5,Β Π 2. (10) Fssen Sie Ihre Beochtungen us den letten Beispielen usmmen: Unter welchen Vorussetungen n c,, Β git es () gr kein Dreieck () genu ein Dreieck (c) genu wei Dreiecke (d) mehr ls wei Dreiecke mit den Bestimmungsstücken c > 0, > 0,Β 0,Π? (11) () c 5,Α 3Π 4,Β Π 8. () c 5,Α 3Π 4,Β Π 4. (c) c 5,Α 3Π 4,Β Π 2. (12) Fssen Sie Ihre Beochtung us dem letten Beispiel usmmen: Unter welchen Vorussetungen n c,α,βgit es () gr kein Dreieck () genu ein Dreieck (c) genu wei Dreiecke (d) mehr ls wei Dreiecke mit den Bestimmungsstücken c,α,β? (13) Bestimmen Sie für lle Dreiecke mit c 4,Α 60, 13. (14) Bestimmen Sie ein, sodss es kein Dreieck mit c 4,Α 60 und Ihrem gewählten git. (15) Bestimmen Sie ein, sodss es genu ein Dreieck mit c 4,Α 60 und Ihrem gewählten git. (16) Bestimmen Sie c für lle Dreiecke mit 2,Β 45, 4. 6 (17) Bestimmen Sie ein, sodss es kein Dreieck mit 2,Β 45 und Ihrem gewählten git. (18) Bestimmen Sie ein, sodss es genu ein Dreieck mit 2,Β 45 und Ihrem gewählten git. (19) Sie möchten die Entfernung eines Punktes B n einem Ufer eines Flusses u einem Punkt C uf der nderen Seite des Flusses estimmen. Du gehen Sie folgendermßen vor: Sie messen n Ihrem Flussufer die Strecke von B u einem weiteren Punkt A. Diese Strecke ist 500 m lng. Der Winkel wischen BC und BA ist 60, der Winkel wischen AB und AC ist 30. () Stellen Sie diese Dten in einer Skie dr. () Wie lng ist die Strecke BC? (c) Um die Breite des Flusses u estimmen, wollen Sie wissen, wie weit C von der Strecke AB entfernt liegt. Bestimmen Sie du den Normlstnd von C uf die Gerde durch A und B. (20) Sie gluen dem itlienischen Tourismusvernd nicht und wollen selst herusfinden, wie schief der Turm von Pis ist. Du entfernen Sie sich in Neigerichtung des Turms 50 Meter vom Fußpunkt des Turms und licken (vom Boden us, dmit Sie es später eim Rechnen einfcher hen) ur Turmspite, wleche nun unter einem Winkel Α erscheint. Sie stellen fest, dssαgenu eträgt, und dss der Turm 45 m lng ist. Um wieviel Grd ist der Turm gegen die Vertikle geneigt? (21) Sie möchten die Entfernung eines Punktes A n einem Ufer eines Flusses u einem Punkt B uf der nderen Seite estimmen. Du können Sie folgendermßen vorgehen: Messen Sie n Ihrem Flussufer die Strecke A u einem Punkt C, und estimmen Sie dnn mit Hilfe eines Kompsses den WinkelΑwischen der Strecke AB und AC, sowie den WinkelΓ wischen AC und CB. Ws ergit sich für die Entfernung AB ei AC 27.5 m undα 73, Γ 65? (22) Sie verlssen eine gerde Strße, die die eiden Orte A und B verindet, 20 km evor Sie B erreichen und gehen gerdeus, is es Ihnen nch 10 km keinen Spß mehr mcht. Dnn drehen Sie sich um 30 o nch rechts und erlicken nun den Ort B gerde vor sich. Wie weit müssen Sie jett noch wndern, um nch B u gelngen, wenn Sie jett den gerden Weg nch B einschgen? 5. Der Winkel wischen wei Vektoren Wir erechnen den Winkel, den die Vektoren 1 2 und 1 2 miteinnder einschließen. Du nehmen wir n, dss keiner der eiden Vektoren der Nullvektor ist.

13 5. DER WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN 13 φ Für den eingeschlossenen Winkelφgilt nch dem Cosinusst: Diese Formel können wir vereinfchen: cosφ 2. 2 cosφ cosφ cosφ cosφ cosφ Wir erhlten cosφ Die Zhl eeichnet mn ls ds Sklrprodukt von und, und mn kürt es mit,. Die Winkelformel heißt jett:, 1 2, cosφ,. Außerdem gilt für jeden Vektor In[6]:= 3, 4.5, 2 Out[6]= 7 In[7]:= Lengev_ Sqrtv.v In[8]:= Lenge2, 3 Out[8]= 13, 2.

14 14 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM Die Vektoren und stehen ufeinnder norml, wenn, 0. Dmit erhält mn, dss (wenn 0 0 ) der Vektor mit den Vektoren und einen rechten Winkel einschließt. ÜBUNGSAUFGABEN 1.5. (1) Von einem gleichschenkeligen Dreieck sind wei Bsiseckpunkte 2 3 und 11 4 eknnt. Ergänen Sie diese Punkte mit einer Spite, sodß ds entstehende Dreieck die Höhe 5 esitt. Wie viele verschiedene Lösungen git es? (Sie ruchen nur eine wirklich usurechnen.) (2) Berechnen Sie den Cosinus des Winkels wischen x und y für x 3 2, y 6 4. (3) Berechnen Sie jeweils den Winkel wischen folgenden eiden Vektoren. Geen Sie die Ergenisse in Grd und in Rdint n! () 3 2, 3 2. () 3 4, 3 4. (c) 3 4, 6 8. (d) 3 4, (4) Zeigen Sie, dss ds Sklrprodukt im 2 folgende Eigenschften erfüllt: (),, 2,,. (),,,. (5) Verwenden Sie ds Sklrprodukt, um folgenden geometrischen St u eweisen. In einem Prllelogrmm mit Seitenlängen,, und Digonlenlängen e, f gilt: e 2 f Gerden in der Eene Wir üerlegen uns, wie mn Gerden in der Eene eschreien knn Gerden, die durch einen Punkt und eine Richtung gegeen sind. r P P 2 3, r 3 1. Die Gerde g ist die Menge ller Punkte, die mn erreicht, indem mn von P ein Stück in Richtung r geht. g PΛ rλ.

15 6. GERADEN IN DER EBENE 15 Lies: g ist gleich der Menge ller Punkte PΛ ml r, woeiλeine reelle Zhl ist. Mit den Zhlen für P und r: oder, nders geschrieen, Mn knn g uch so schreien: g 2 3 Λ3 1 Λ, g 23Λ 3Λ Λ. g x y 2 es gitλ, sodss x y 2 3 Λ3 1. Lies: g ist gleich der Menge ller Punkte x y inhoch 2, für die es einλin den reellen Zhlen git, sodss x y gleich 2 3Λ ml3 1 ist. Diese Drstellung von g durch Punkt und Richtungsvektor heißt Prmeterdrstellung der Gerde g. Mn schreit oft kur: oder g x y 2 3 Λ3 1 g X 2 3 Λ3 1. Wir üerprüfen, o der Punkt 4 5 uf der Gerden g liegt. Er liegt uf g, flls es eine reelle ZhlΛgit, sodss 4 5 gleich 2 3 Λ3 1 ist. Wir suchen lso einλ, ds die Gleichungen 4 23Λ I 5 31Λ II erfüllt. Aus der Gleichung I erhlten wirλ 2; d uch gilt, istλ 2 eine Lösung des Gleichungssystems. Dher liegt der Punkt 4 5 uf g; wir schreien dfür 4 5 g Gerden, die durch eine Gleichung gegeen sind. Wir hen im letten Beispiel üerprüft, o ein Punkt uf einer Gerden liegt. Dei wr die Gerde in Prmeterform gegeen. Zur Üerprüfung wr es notwendig, festustellen, o es einen Wert für den Prmeter Λ git, der uns genu den getesteten Punkt liefert. Wir mussten lso für jeden Punkt ein Gleichungssystem (mit wei Gleichungen und einer Vrile) lösen. Wir testen nun wieder, o x y uf der Gerden g liegt, die durch gegeen ist. g X 2 3 Λ3 1

16 16 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM P 2 3 x y n Ansttt u frgen, o x y uf g liegt, frgen wir, o x y 2 3 norml uf n steht. Ds ist nämlich genu für die Punkte x y uf g der Fll. Zunächst finden wir den Vektor n. Auf den Vektor steht immer der Vektor norml, denn ds Sklrprodukt, ergit 0. Also finden wir n durch n 1 3. Nun üerprüfen wir, o x y 2 3 norml uf1 3 steht. Ds gilt genu dnn, wenn x2 y3, Wir rechnen ds Sklrprodukt us und erhlten x3 y11 0. Ein Punkt x y liegt lso genu dnn uf der Gerden, wennx3 y11 0 ist. Wir können lso jett viel einfcher üerprüfen, o ein Punkt uf der Gerden g liegt. Wir erechnenx3y11. Ist ds 0, so liegt der Punkt uf der Gerden, und sonst nicht. Außerdem können wir die Gerde jett kürer ngeen durch g x y 2 x3 y 11 (lies: g ist gleich der Menge ller x y inhoch 2, für diex3 y gleich11 ist. ) Ds kürt mn uch u g x3 y 11.x3 y 11 heißt Gleichung der Gerden, diese Drstellung der Gerden Gleichungsform oder impliite Drstellung der Gerden Verwndlung wischen Gleichungs- und Prmeterform Verwndlung von prmetrisierter in impliite Drstellung. Wir verwndeln g X 2 3 Λ3 1 in g x3 y 11 so, wie ds in oigem Beispiel erklärt worden ist.

17 6. GERADEN IN DER EBENE Verwndlung von impliiter in prmetrisierte Form. Wir verwndeln g 5 x2 y 1 in prmetrisierte Form. Du seten wir y t und rechnen uns us diesem y ds x us. Wir erhlten x 1 2 t. Somit ist für jedes t der Punkt t t ein Gerdenpunkt. Die Gerde ht lso die prmetrisierte Drstellung g X t Eine ndere Drstellung derselen Gerden ist g X t 2 5, oder g X 1 2 t Speilfll: Wir verwndeln g y 1 in Prmeterform. Du seten wir x t, und rechnen uns dnn ds y us. Ds ist er immer1. Für jedes t ist lso1 t ein Gerdenpunkt. Die Gerde ht die prmetrisierte Drstellung ÜBUNGSAUFGABEN 1.6. g X 0 1 t 1 0. (1) Geen Sie die Gerde durch die Punkte 3 2 und 3 3 in Prmeterform und in impliiter Form n! (2) Bestimmen Sie jeweils eine Prmeterform (= Punkt-Richtungs-Form) folgender Gerden. () 3 x4 y 17. () x 1. (c) y 4. (3) Bestimmen Sie eine Gleichung, deren Lösungsmenge die Gerde X 3 6 Λ1 2 ist. (4) Bestimmen Sie die impliite Drstellung jener Gerden, die prllel ur Gerden g mit g X 2 1 t 3 4 sind und von dieser Astnd 10 hen. (5) Ein Rdfhrer strtet im Punkt 2 3 und fährt uf den Punkt 8 0 u. Ein Fußgänger strtet im Punkt 3 4 und geht uf den Punkt 10 4 u. In welchem Punkt schneiden sich die Wege der eiden? (6) Ein Rdfhrer im Punkt 3 3 und ein Fußgänger im Punkt 5 9 ewegen sich ufeinnder u, der Rdfhrer mit 20 km/h, der Fußgänger mit 5 km/h. Wnn und wo treffen die eiden einnder? (7) Vom Qudrt ABCD hen wir folgende Angen: A 1 2. B liegt uf der Gerden g B X 1 2 Λ 4 3. Die Seitenlänge des Qudrts ist 10. Die Eckpunkte sind gegen den Uhreigersinn mit A, B, C, D eschriftet. Berechnen Sie die Koordinten des Eckpunktes C! (8) Vom Qudrt ABCD hen wir folgende Angen: A 1 2. B liegt uf der Gerden g B X 1 2 Λ 4 3. Die Seitenlänge des Qudrts ist 15. Die Eckpunkte sind gegen den Uhreigersinn mit A, B, C, D eschriftet. Berechnen Sie die Koordinten des Eckpunktes C! (9) Zeigen Sie, dss sich die Schwerlinien des Dreiecks ABC mit A 2 1, B 5 1 und C 3 5 in einem Punkt schneiden, und erechnen Sie diesen Schnittpunkt.

18 18 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM (10) Berechnen Sie den Umkreismittelpunkt U u 1 u 2 des Dreiecks ABC mit A 2 1, B 5 1 und C 3 5, indem Sie die Bedingung, dss U gleich weit von A, B und C entfernt ist, in Gleichungen in den Vrilen u 1 und u 2 umwndeln. Verwenden Sie ur Lösung der uftretenden Gleichungen den Mthemtic-Befehl Solve. (11) Bestimmen Sie die impliite Drstellung jener Gerden, die prllel ur Gerden g mit g X 2 0 t 3 4 sind, und von dieser Astnd 10 hen. (12) Berechnen Sie den Durchschnitt der Gerden h und j, woei und (13) Bestimmen Sie die Schnittmenge der Gerden und h X 1 2 t 2 5 j 10 x4 y 0. g 1 X 3 4 t2 1 g 2 2 x4 y 22. (14) Bestimmen Sie den Cosinus des Schnittwinkels der Gerden und g 1 X 0 4 t 3 4 g 2 12 x5 y Vektoren im n Bisher hen wir uns uf die Geometrie in der Eene eschränkt. Anlog knn mn den Rum mit Tripeln reeller Zhlen, lso mit Elementen us 3, koordintisieren. Die Konvention ist es, die Richtungen der Koordintenchsen wie in folgenden Skien u wählen: y x oder y x

19 7. VEKTOREN IM n 19 Hält mn Dumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hnd so, dss sie prweise im rechten Winkel ufeinnder stehen, dnn eigen sie jeweils in die Richtung der positiven x-achse, y-achse und -Achse. Wir definieren die Opertionen, die im 2 hilfreich wren, llgemein für woei n eine elieige ntürliche Zhl ist. n x 1 x x 1,, x n, n DEFINITION 1.7. Seien 1, 1 in n. Wir definieren: n n (1) 1 1. n n (2)Λ Λ 1 fürλ. Λ n (3), 1 1 n n (Sklrprodukt). (4), (Länge). (5) Der Winkelφwischen und ist gegeen durch cosφ, Ds Kreuprodukt in 3. Wir eginnen mit einer vorerst unmotivierten Definition und eigen dnn einige ihrer nütliche Eigenschften. DEFINITION 1.8. Der Vektor ist ds Kreuprodukt von 1 2 und 1 2 in Für 1 2 und 1 2 in 3 gilt: 3 3 (1) ist norml uf und uf. Beweis: Es gilt , (2) ist die Fläche des Prllelogrmms, ds von den Vektoren und ufgespnnt wird. Beweis:

20 20 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM h φ Wir erhlten für die Höhe h uf und für den Flächeninhlt Somit gilt h sinφ F h sinφ. F sinφ 2, 2 2 1cosφ 2, 2 2, 2. Einseten von 1 2 für und 1 2 für ergit jett 3 3 F 2 2. Durch diese eiden Bedingungen n Richtung und Länge ist der Vektor fst schon eindeutig estimmt. Zusätlich gilt: Zeigt der Dumen der rechten Hnd in Richtung, der Zeigefinger in Richtung, und ist der Mittelfinger norml uf und, dnn eigt er in die Richtung von. In[9]:= Kreuprodukt1_, 2_, 3_,1_, 2_, 3_ ,1 33 1, In[10]:= Kreuprodukt1,2, 3,0, 2,1 Out[10]= 4, 1, 2 8. Gerden und Eenen im Rum 8.1. Prmeterdrstellung einer Gerden. Genu wie im 2 lässt sich eine Gerde im 3 durch eine Prmeterdrstellung mit einem Punkt und einem Richtungsvektor ngeen. Zum Beispiel, g x y 2 3Λ

21 8. GERADEN UND EBENEN IM RAUM 21 r P 8.2. Prmeterdrstellung einer Eene. Wie knn mn die Eene e eschreien, die die drei Punkte P 2 3 1, Q 3 2 2, und R enthält? R n P Q Die Eene e ist die Menge ller Punkte, die mn erreicht, indem mn etw von P us ein Stück in Richtung uf den Punkt Q und ein Stück in Richtung uf den Punkt R u geht. e PΛ PQΜ PRΛ,Μ,

22 22 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM ds heisst, die Punkte der Eene sind von der Form e x y Λ Μ Eine Eene lässt sich lso durch einen Punkt und 2 Richtungsvektoren eschreien Impliite Drstellung einer Eene. Es sei e die Eene durch den Punkt 1 2, die norml uf den Vektor n 1 3 ist. Wir nennen n den Normlvektor von 4 2 e. Die Eene e ist die Menge ller Punkte x y, sodss der Vektor x y norml uf n ist, lso x y 2 1 4, n 0. Einseten der Werte ergit die impliite Drstellung der Eene, e x y 3 x3y2 9. Ein Normlvektor von e lässt sich direkt us den Koeffiienten der Eenengleichung lesen Verwndlung von Prmeterdrstellung in impliite Drstellung. Wir verwndeln e x y 2 3Λ1 1 Μ in impliite Form Du suchen wir uerst einen Vektor n, der uf eide Richtungsvektoren der Eene norml ist. Dnn ist n uf die gne Eene norml. Wir eschreien 2 Möglichkeiten einen solchen Normlvektor u finden: (1) Wir suchen n n 1 n 2 n 3 so, dss 1 1 3, n 0 und 2 1 3, n 0. Ds heisst, wir müssen ds linere Gleichungssystem n 1 n 2 3n 3 0 2n 1 n 2 3n 3 0 lösen. Klrerweise ist n 1 n 2 n 3 0 eine Lösung, er wir wollen einen Vektor n, der nicht der Nullvektor ist. Wie mn lle Lösungen eines lineren Gleichungssystems findet, werden wir im nächsten Kpitel sehen. (2) Alterntiv finden wir n uch ls Kreuprodukt der eiden Richtungsvektoren. n

23 8. GERADEN UND EBENEN IM RAUM 23 Der Vektor n ist norml uf die Eene. Ein Punkt x y liegt lso genu dnn in e, wenn der Vektor x y norml uf n ist. Wir erechnen x y 2 3, n 0 1 und erhlten 6x9y 38. Somit ht die Eene e die impliite Drstellung e x y 3 6x9y Verwndlung von impliiter Drstellung in Prmeterdrstellung. Wir verwndeln e x3y2 9 in prmetrisierte Form. Wir eschreien die Lösungsmenge der Gleichung, indem wir Μ und y Λ seten und dnn x durchλundμ usdrücken. Wir erhlten x 93Λ2Μ. Somit liegt für lle WerteΛ,Μ der Punkt 93Λ2Μ Λ in der Eene. Die Eene ht lso die prmetrisierte Drstellung Μ e x y Λ3 1 Μ Impliite Drstellung einer Gerden. Offenr knn mn eine Gerde im Rum nicht durch eine einige linere Gleichung in x, y, eschreien. Solche Gleichungen eschreien nämlich Eenen im Rum. Jede Gerde knn mn er impliit ls Schnitt weier Eenen, d.h., ls Lösungsmenge von 2 lineren Gleichungen eschreien. Beispielsweise ist g x y 3 2xy3 1, x4y2 3. die Gerde, die sowohl in der Eene mit der Gleichung 2xy3 1 ls uch in der Eene mit der Gleichung x4y2 3liegt. Zwei Eenen im Rum, die nicht prllel sind, schneiden sich immer in einer Gerden. Prllele Eenen erkennt mn drn, dss ihre Normlvektoren in diesele Richtung eigen. Also sind etw 2xy3 1 und4x2y6 3prllel Verwndlung von Prmeterdrstellung in impliite Drstellung. Wir verwndeln g x y Λ in impliite Form. Du suchen wir 2 Eenen, die die Gerde enthlten. Liegt g in einer Eene mit Normlvektor n, dnn ist n norml uf den Richtungsvektor der Gerden. Zusätlich liegt der Punkt in der Eene. Auf einen Vektor c sind eispielsweise 0, c 0 und 0 c norml. Wir wählen n und n ls Vektoren, die im rechten Winkel uf stehen. Dmit

24 24 1. GEOMETRIE IN DER EBENE UND IM RAUM liegt g in den Eenen durch den Punkt 2 3 1, die norml uf n 1 w. n 2 sind. Die Gerde ist lso der Durchschnitt der eiden Eenen Wir hen e 1 xy 5, und e 2 3x 7. g x y 3 xy 5, 3x Verwndlung von impliiter Drstellung in Prmeterdrstellung. Um eine Prmeterdrstellung von g x y 3 2xy3 1, x4y2 3 u erhlten, lösen wir ds linere Gleichungssystem 2xy3 1, x4y2 3. Eine Methode dfür werden wir im Kpitel 3 vorstellen.