Der Goldene Schnitt. Gliederung: 1. Definition 2. Beweis 3. Konstruktion 4. Didaktik 5. Praxis: Das Goldene Rechteck 6. Hilfreiche Quellen

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Herta Gerda Seidel
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1 Der Goldene Schnitt Gliederung: 1. Definition. Beweis 3. Konstruktion 4. Didktik 5. Pris: Ds Goldene Rechteck 6. Hilfreiche Quellen

2 1. Definition Eine Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinnder verhlten wie ds längere Teilstück zur gnzen Strecke. Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe us beiden zur größeren. Vernschulichung: =+(-) - Die längere Teilstrecke (hier ) wird Mjor gennnt, die kürzere Teilstrecke (hier -). Goldener Schnitt Ä (Phi): Gesmtstrecke Mjor Ä = Mjor Ä = Å ( 5 Ç1) = 1,618 oder genuso der Kehrwert Mjor Gesmtstrecke Ä = Mjor Å Ä = ( 5 Å1) = 0,618. Beweis Wie teilt mn nun eine beliebige Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnitts? Å Ä oder Ä Å Ä É Å ( ) Ä Å Ç Å Ä 0 (Bestimmungsgleichung des Goldenen Schnittes) Lösen der Qudrtischen Gleichung: p,q-formel: 1, p Ñ p Ö Ä Å Ü q á Å â ä hier mit p= und q=-²

Vernschulichung: =+(-) - Die längere Teilstrecke (hier ) wird Mjor gennnt, die kürzere Teilstrecke (hier -).

3 1, Ñ Ö Ä Å Ü á Ç â ä 4 5 = Å Ü Ç = Å Ü = Å Ü Å 1 Ä Å Ç 5 = 5 Å = ( 5 Å 1) ( 5 Å = = É 1) ã É0,618 bleibt unberücksichtigt, d es keine negtiven Strecken gibt.) ( Also: ( 5 Å1) = É = ( 5 Å 1) (Goldener Schnitt) q.e.d. 3. Konstruktion Heute gebräuchlichste Konstruktion: Konstruktionsbeschreibung: 1) Mn zeichne AB Ä. ) Mn errichte ds Lot von in B mit der Länge BC Ä. 3) Mn zeichne uf AC den Punkt D mit DC Ä ein. 4) Der Kreis mit dem Rdius AD schneidet AB im Punkt S. Dieser Punkt S schneidet AB Ä im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Also gilt: AB AS Ä AS SB bzw. Mjor Mjor Ä 3

Konstruktion Heute gebräuchlichste Konstruktion: Konstruktionsbeschreibung: 1) Mn zeichne AB Ä. ) Mn errichte ds Lot von in B mit der Länge BC Ä.

4 Erklärung: É 5 Nch Stz des Pythgors gilt: Ñ Ö Ç á Ä É 5 Ä AC â ä Außerdem wissen wir: Ñ Ö Ñ Ö Ç á Ä Ç á â ä â ä Ñ Ö Ñ Ö Ç á Ä Ç Ç á â ä â ä Ñ Å á â Ö ä Ä Ç 0 Ä Ç Å (Bestimmungsgleichung des Goldenen Schnittes) Also: ( 5 Å1) = É = ( 5 Å 1) (Goldener Schnitt) q.e.d. Sehen wir uns ußerdem einml die Teilstrecken von AC genuer n: AC = É 5 =+ ( 5 Å 1) = É( 5 Å1) Ç É( 5 Å1Ç 1) É + = = = É 5 q.e.d. 4. Didktik Der Goldene Schnitt ist Stoff für die 9. bis 10. Klsse. In Schleswig-Holstein wird er normlerweise nur n Gymnsien unterrichtet, wenn überhupt. Ds Them wird in SH nur im Lehrpln für die 9. Klsse m Gymnsium erwähnt. Dort heißt es: Historische Bezüge ergeben sich bei der Behndlung des Goldenen Schnitts. Ds ist lles. Mn knn es lso 4

e.d. 4. Didktik Der Goldene Schnitt ist Stoff für die 9. bis 10. Klsse. In Schleswig-Holstein wird er normlerweise nur n Gymnsien unterrichtet, wenn überhupt.

5 unterrichten, muß es ber nicht. Anzusiedeln ist ds Them mthemtisch bei den Eigenschften zentrischer Streckungen (siehe S. 73 im Lehrpln Mthemtik SH für Sek. 1). Der Goldene Schnitt wird gerne ls Projektthem unterrichtet, d mn sehr schön fächerübergreifend (Mthe, Kunst, Geschichte, Biologie, Philosophie, Musik, Technik) rbeiten knn. Beispiele dfür sind in der Quellenngbe zu finden. Um den Goldenen Schnitt einzuführen, sollte folgendes Grundwissen d sein: Konstruieren mit Zirkel und Linel; Lösen Qudrtischer Gleichungen; Stz des Pythgors. Ein sinnvolles Untersuchungsobjekt für den Goldenen Schnitt ist uch ds regelmäßige Fünfeck (Pentgon) bzw. dessen Pentgrmm. Dfür sollten die Schüler mit Ähnlichen und Kongruenten Dreiecken vertrut sein. Auch läßt sich m Pentgon die Irrtionlität gut vernschulichen. Der Goldene Schnitt ht eine sehr große Bedeutung in der Mlerei (seit der Renissnce) und Architektur (schon in der Antike und sogr bei den Ägyptischen Pyrmiden). Heute ist der Goldene Schnitt ußerdem Bestndteil der Bildkomposition im Foto- und Filmbereich. Auch in der Biologie läßt sich ds Verhältnis des Goldenen Schnittes oft entdecken (Pflnzenwchstum). Der Goldene Schnitt ist ein weites Feld. Mn knn ihn finden in Frktlen, in Fibonccio- Folgen, Kettenbrüchen, im Pentgon, in der Goldenen Geometrie, in pltonischen Körpern, in Spirlen, in Spieltheorien, in den menschlichen Proportionen, in der Ntur und Kunst. Einiges dvon knn mn in der Sekundrstufe 1 unterrichten, vieles ber uch erst in der Sekundrstufe. Wirklich tiefgehend knn nur der Projektunterricht sein. 5. Pris: Ds Goldene Rechteck Die Seitenlängen eines Goldenen Rechteckes entsprechen dem Goldenen Schnitt. Mjor+ Mjor Mjor Ä =1,618 Mjor Teilt mn ds Goldene Rechteck so, dß der ein Qudrt ergibt, entsteht wieder ein Goldenes Rechteck beim übrigen Teil. Dieses knn mn wiederum so teilen, dß ein kleineres Goldenes Rechteck entsteht (siehe Abbildung unten). Die Viertelkreise der Qudrte ergeben eine Goldene Spirle. 5

Beispiele dfür sind in der Quellenngbe zu finden.

6 Quelle: ( ) 6

7 Origmi: Ds Goldene Rechteck us einem Qudrt flten Aus jedem beliebigen Qudrt knn mn ein Goldenes Rechteck flten. Anleitung: å Nehmt ein Bltt Ppier und schneidet ein Qudrt (möglichst groß) us. å Fltet ds Qudrt möglichst ekt nch folgender Fltbeschreibung: Quelle: Wlser, H.: Der Goldene Schnitt, Seite 63 å å å å Nun könnt Ihr ds Goldene Rechteck usschneiden. Wenn Ihr dnn drus ein Qudrt der kleineren Seite bteilt, solltet Ihr ungefähr die Seitenverhältnisse des Goldenen Schnittes wiederfinden. Meßt eure Seiten nch und teilt sie im Goldenen Schnitt. Welche Ergebnisse bekommt Ihr? 7

å Fltet ds Qudrt möglichst ekt nch folgender Fltbeschreibung: Quelle: Wlser, H.

8 6. Hilfreiche Quellen Theoretisches Hintergrundwissen: Beutelspcher, A. u. Petri, B.: Der Goldene Schnitt. BI Wissenschftsverlg, Mnnheim 1988 å Deutschsprchiges Stndrtwerk. Sehr theoretisch und umfssend. Sehr viele geometrische Beweise und Zusmmenhänge. Wlser, H.: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgrt, Leipzig 1993 å Sehr nschulich und umfssend. Viele Denkufgben und Anregungen zum Ausprobieren. Konkrete Unterrichtsgestltung: Schupp, H.: Geometrie in der Sekundrstufe 1. BELTZ, Weinheim 1971 (Seite ) å Ausgerbeitete Unterrichtseinheit zum Them. Goldener Schnitt wird m Pentgon verdeutlicht. Brth, E.: Anschuliche Geometrie. Ehrenwirth, 1994 (Seite ) å Schulbuch für die 9. Klsse. Einführung des Thems mit dem Pentgon und dem Goldenen Rechteck, inklusive Aufgben. Ministerium für Bildung, Wissenschft, Forschung und Kultur des Lndes Schleswig- Holstein: Lehrpln für die Sekundrstufe I der weiterführenden llgemeinbildenden Schulen Huptschule, Relschule, Gymnsium, Gesmtschule, Mthemtik. Kiel 1997 å Them wird nur kurz erwähnt uf Seite 73. Them unverbindlich und nicht konkret. Zeitschriften: Mthemtik lehren, Heft 55, 199 å Fst die gesmte Ausgbe widmet sich dem Goldenen Schnitt. Hintergründe und konkrete Arbeitsvorlgen. Fächerübergreifend und inklusive Vorstellung eines Projektunterrichts. Mthemtik lehren, Heft 11, 003 å Zweiseitiger Artikel. Ein pr kurze Anregungen für die Unterrichtsgestltung. Internet: Projekt Goldener Schnitt : ( ) å Vorstellung einer 3-wöchigen, fächerverbindenden Unterrichtseinheit in Klsse 9. Der Goldene Schnitt: ( ) å Sehr nschuliche, interktive Einführung ins Them, inklusive Aufgben. Sehr empfehlenswert für einen Ausflug in den Computerrum. Toll! Wikipedi: ( ) å Viele Teilspekte. Zum Nchschlgen geeignet. Geonet: ( ) å Geometrisches Zeichenprogrmm für den Browser. Kein etr Progrmm nötig. 8

Viele Denkufgben und Anregungen zum Ausprobieren. Konkrete Unterrichtsgestltung: Schupp, H.: Geometrie in der Sekundrstufe 1.

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