Was ist ein mathematisches Verhältnis?

Transkript

1 Der Begriff Verhältnis im Alltgsleben Aus unserem täglichen Leben kennen wir den Begriff Verhältnis sicherlich schon gnz gut. Wer wurde nicht schon gefrgt, wie denn ds Verhältnis zu den Eltern, oder ds Verhältnis zu einem nderen Schüler, zum Lehrer oder wem uch immer sei? Und in der Kltschpresse ist uch immer wieder zu lesen, dss zwei Promis ein heimliches Verhältnis hben. Verhältnisse prägen ber uch sonst unser Leben, so spielen wir z. B. Fussbll, um ein möglichst positives Torverhältnis zu hben, um mehr Tore ls der Gegner zu erzielen etc. Nun streiten sich zwei Freunde um die Frge, welche ihrer Mnnschften in Bezug uf die kssierten Tore denn nun besser sei. Mnnschft A gewnn mit 5 Toren und musste 3 Gegentore hinnehmen. Mnnschft B gewnn mit 2 Toren und htte Gegentor. Wie knn mn nun den zwei Freunden helfen? Die vermledeite Mthemtik ht eine einfche und konkrete Antwort: VERHÄLTNISSE usrechnen und vergleichen!!! Schuen wir uns zuerst ml die Sitution im Alltgsleben n. Ein Sprecher würde in den Nchrichten die Ergebnisse folgendermßen vorlesen: Die Mnnschft A spielte gegen FC Holzbein mit 5 zu 3. Die Mnnschft B spielte gegen FC Holzbein mit 2 zu. In der Spieltbelle im Fernsehen oder im Internet würden die Ergebnisse wie folgt präsentiert: Mnnschft A FC Holzbein 5 : 3 Mnnschft B FC Holzbein 2 : Der Mthemtiker würde ds so usdrücken: Die geschossenen Tore von Mnnschft A stehen zu ihren kssierten Toren in einem Verhältnis von 5 : 3 (oder ls Bruch) 5 3 Oder er würde sgen: Die geschossenen Tore von Mnnschft B verhlten sich zu ihren kssierten Toren wie 2 : (oder ls Bruch) 2

2 Die Lösung der zwei Freunde ist denkbr einfch: 5 2 Die Brüche von 3 und werden einfch usgerechnet und miteinnder verglichen. Ergebnis: 5 : 3,66 bzw. 2 : 2 Antwort: Mnnschft B ht ein besseres Torverhältnis ls Mnnschft A. Andere Ausdrucksweise: Die Quotienten von 5 : 3 und 2 : werden ermittelt. Beispiel Prfümverbruch Zwei junge Dmen sind sich uneins drüber, wer von ihnen mehr Prfüm benutzt. Jennifer sgt : In 2 Tgen verbruchte ich eine Prfümprobe mit nur 20 ml Inhlt. Ev meint weniger zu verbruchen. Sie erwidert: Im gnzen Mont April verbruchte ich nur 50 ml Prfüm. Im Flcon wr zwr mehr drin, dfür ist ber uch der Zeitrum viel größer gewesen. Wer von den beiden verbrucht weniger Prfüm? Die jeweilige Verbruchsmenge wird ins Verhältnis zu den Tgen gesetzt und dnn miteinnder verglichen. Oder nders usgedrückt: Ich ermittle den Prfümverbruch für einen Tg, indem ich die Gesmtmenge durch die Anzhl der Tge teile. Dnn vergleiche ich. Jennifer: 20 ml : 2 Tge,66 ml pro Tg Ev: 50 ml : 30 Tge,66 ml / Tg Antwort: Beide verbruchen gleich viel Prfüm. Frge: Schut Euch die Verhältnisgrößen vom Torbeispiel und Prfümbeispiel genu n. Worin besteht der Unterschied bezüglich der Art der Größen, die zueinnder ins Verhältnis gesetzt werden? Antwort: 2

3 Aufgbe : Mit seinem Porsche Crrer GT fuhr Fernndo Alonso 2004 uf dem Nürnburgring eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 64 km/h. Krlchen Schmidt schffte es mit seinem Privt-PKW uf erstunliche 0 km/h. Um welches Vielfche wr Alonso schneller? Die Geschwindigkeiten von Alonso und Krlchen Schmidt werden in ein Verhältnis gesetzt. Ds Ergebnis (die Verhältniszhl) gibt n, um wie viel (entspricht dem Fktor) Alonso schneeler wr. 64 km/h : 0 km/h,49 (denn,49 0 km/h 64 km/h) Antwort: Alonso ist um ds,49 fche schneller ls Krlchen Schmidt. Aufgbe 2: Der 0 kg schwere sowjetische Weltrekordler Leonid Trnenko hob 988 ein Gewicht von 266 kg. Die Ameise Le wiegt 0 mg und ist 5 mm lng. Sie knn ein Bltt trgen, ds 0,6 g schwer ist. Knn eine Ameise reltiv zu ihrem Körpergewicht (oder: in Bezug zu ihrem Körpergewicht; oder im Verhältnis zu ihrem Körpergewicht) mehr heben ls ein Gewichtheber reltiv zu seinem Körpergewicht? Vorussetzung: Die Einheiten in einem Verhältnis müssen gleich sein. 266 kg : 0 kg 2, mg : 0 mg 60 Antwort: Der Gewichtheber knn ds 2,42 fche seines Körpergewichts trgen, die Ameise ds 60 fche. Die Ameise knn reltiv zum Körpergewicht mehr trgen ls der Gewichtheber. Aufgbe 3: Der Mßstb uf einer Wnderkrte beträgt :. Von der Mühle Sufgrund bis zum Aussichtsturm Höllenblick sind es uf der Krte. Wie lng ist der Wnderweg? Der Mßstb : bedeutet, dss cm uf der Krte cm in der Relität entsprechen. oder: ds Verhältnis Krtengröße zur Relgröße entspricht :. Es gilt die Verhältnisgleichung: : : oder Nch der Unbeknnten uflösen:,44 km Antwort: Der Wnderweg ist,44 km lng. 3

4 Ausrechnen einer Verhältnisgleichung Nchtrg zur Aufgbe 3: Es gibt verschiedene Rechenwege für die Verhältnisgleichung: ) Produkt der Innenglieder Produkt der Außenglieder bei der Divisionschreibweise: : : : : Innenglieder Außenglieder 2) Kreuzprodukt bei der Bruchschreibweise: 3) Nch der Unbeknnten uflösen bei der Bruchschreibweise: cm : 00 in Meter umwndeln 44 0 m : 000 in Kilometer umwndeln,44 km 4

5 Teilungsverhältnis Goldener Schnitt Seitenverhältnis nch dem Goldenen Schnitt Der Goldene Schnitt bezeichnet mthemtisch gesehen zunächst einml ein Teilungsverhältnis. Er ist die Teilung einer Strecke in zwei Teile, bei dem ds Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (uch Minor gennnt) dem Gnzen zu seinem größeren Teil (Mjor) entspricht. Am Beispiel Goldener Rechtecke: b Mjor b Minor + b b U,68 +b Die Hrmonie des Goldenen Schnitts Der Goldene Schnitt besgt, dss der Mensch die Aufteilung einer Fläche oder Strecke im Verhältnis von etw 3 : 5 (bzw. genuer [b]:,68 []) ls besonders hrmonisch empfindet. Ein symmetrisches Teilungsverhältnis, ds den Prinzipien des Goldenen Schnittes folgt, wird vom Betrchter uch ls ntürlich, ds heißt in Übereinstimmung mit der Ntur, bewertet. Bereits die Griechen knnten dieses idele Teilungsverhältnis, ds sich ihnen zufolge nicht nur in der Ntur, sondern uch in den einzelnen Proportionen des menschlichen Körpers wiederfindet. Dies sei uch der Grund dfür, weshlb wir gerde dieses Teilungsverhältnis ls besonders ngenehm empfinden. Schnitt nicht gnz genu berechnen, sondern ist mit einem ngenäherten Wert zufrieden, knn mn sich wie folgt helfen: Wird ein Bildformt in Länge und Breite in fünf gleiche Teile geteilt, ergeben sich in der Mitte des Bildes vier Schnittpunkte. Verbindet mn jeweils zwei dieser Schnittpunkte durch eine Horizontle oder Vertikle, so entstehen insgesmt vier Linien, die jeweils nnähernd im Goldenen Schnitt liegen und einen Anhltspunkt zur Orientierung geben. Die Gestltungsnwendung des Goldenen Schnitts Angewndt wird der Goldene Schnitt u.. in den zweidimensionlen Bildkünsten, ber uch in Plstik und Architektur (unter nchstehendem Link finden Sie rchitekturbezogene Beispiele). In Mlerei, Zeichnung und Grfik Design bezieht sich der Goldene Schnitt sowohl uf die Reltionen von Bild- oder Seitenformten ls uch uf die Positionierung dominnter Linien (z.b. die Horizontlinie) und die Anordnung des Motivs innerhlb des Bildformtes. Er besgt lso, dss die motiv- oder kompositionsbestimmende Bildteile nicht in die Bildmitte gesetzt werden sollen, sondern mehr nch links oder rechts ußen oder mehr ins obere bzw. untere Bilddrittel. Ds Bild erhält ddurch mehr Spnnung, ls wenn sich ds Motiv genu in der Mitte befindet. Eine Vereinfchung für die Pris In der Gestltung zählt ds Augenmß und nicht die mthemtische Genuigkeit! Will mn den Goldenen Aufgben: ) Teile die Seite c 2cm nch dem Goldenen Schnitt uf. Wie groß ist der Mjor und der Minor b? 2) Der Designer möchte ds Seitenverhältnis seines Lyouts nch dem Goldenen Schnitt setzen. Die Breite beträgt 4cm. Wie groß ist die Höhe? 3) Bestimme nch dem Goldenen Schnitt die Länge von b (kürzere Strecke Minor), wenn der Mjor mit 42cm gegeben ist. 4) Bestimme in Photoshop Bildusschnitte, die den Rum nch dem Goldenen Schnitt ufteilen. 5