Induktivität und Energie des Magnetfeldes

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Kasimir Gerber
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1 Induktivität und Enegie de Mgnetfelde 1. D CMS (Compct Muon Solenoid) m CERN it ein ieige Teilchendetekto fü den HC (ge Hdon Collide). D Kentück de CMS it ein upleitende Elektomgnet de änge = 13m und mit de Induktivität = 14H. Bei de Stomtäke I 0 = 1, A duch die Wicklungen betägt die Kftfludichte im Mittelpunkt de Spule B 0 = 4,0T. 0 () Beechne die Windungzhl n und den Rdiu 0 de Spule. (b) Zu Tetzwecken wid ein von de Spnnug U p bechleunigte Poton enkecht zu den Feldlinien in d Mgnetfeld im Inneen de Spule gechoen. In einem geeigneten Koodintenytem wid d Poton n folgenden Oten egitiet: P 1 (2,25cm 4,00cm), P 2 (2,25cm 4,00cm) und P 3 (10,50cm 6,50cm). Zeichne die dei Punkte in ein Koodintenytem (Mßtb 1:1), emittle duch Kontuktion und duch Rechnung den Rdiu de Potonenbhn und beechne dnn U p. (c) Welchen Enegieinhlt W 0 ht d Mgnetfeld de Spule? Wie lnge knn mn tuend 100-Wtt-mpen mit diee Enegie beteiben? (d) Duch einen Unfll wid zu Zeit t = 0 die Spnnungquelle de Spule kuzgechloen. Dduch bicht die Spnnung zummen und zwichen den Enden de Spule liegt de Widetnd R = 0,10 mω (huptächlich de Widetnd de Zuleitungen, die Wicklungen ind j upleitend). Stelle die Diffeentilgleichung fü den Stom I(t) uf (kuze Begündung!) und zeige, d R I(t) = I 0 e t eine öung mit den penden Anfngbedingungen it. Zu welche Zeit t 1 it de Enegieinhlt de Spulenfelde noch W 1 = 1,0MJ? Wie goß it die Stomtäke zu diee Zeit? (e) Zu Übewchung de Feldtäkebfll nch dem Unfll wid eine qudtiche Spule mit de Kntenlänge b = 1,0m und n = 10 4 Windungen enkecht zu den mgnetichen Feldlinien in Innee de Spule gebcht. Beechne denbetgu (t) deinduktionpnung n den Enden de qudtichen Spule. Beechne uch U 0 = U (0). b b U 0 1

2 (f) Zu Zeit t 2 = 10h nch dem Unfll wid die qudtiche Spule duch einen Stoß um ϕ 0 = 5 u de vetiklen Poition ugelenkt und kippt dnn um. Nebentehende Digmm zeigt den Kippwinkel ϕ in Abhängigkeit von de Kippzeit t = t t 2. Zeige, d wähend de Kippen die Induktionpnnung ( ) R U = b 2 n B coϕ+ ϕinϕ it und emittle nhnd de Digmm und eine geeigneten Näheung ihen mximlen Wet. ϕ ,25 0,50 0,75 0,95 t öung: () B 0 = µ 0 ni 0 = µ 0 n2 A = n = B 0 µ 0 I 0 = 2, = A = µ 0 n 2 = 32m2 = 0 = A π = 3,2m (b) y = 8,25cm x P 3 x 2 +(4cm) 2 = 2 y 2 +(6,5cm) 2 = (8,25cm x) 2 +(6,5cm) 2 = 2 (8,25cm) 2 16,5cm x+x 2 +(6,5cm) 2 = x 2 +(4cm) 2 P 2 4 x y 6,5 x = (8,25cm)2 +(6,5cm) 2 (4cm) 2 16,5 cm = x 2 +(4cm) 2 = 6,98cm = 5,72cm P 1 mv 2 = evb 0 = v = eb 0 m = 2, m eu p = m 2 v2 = U p = mv2 2e = e2 B 2 0 2m = 3,7 106 V (c) W 0 = A B2 0 2µ 0 = 1 2 I2 0 = 2,7 109 J, t = W P = 2,7 109 J (d) Spnnung m Widetnd gleich Induktionpnnung: RI = I = I = R I 10 5 J I(t) = d ( I 0 e R t) = R dt I 0e R t = R I(t) = 2, = 7,5h Die Anfngbedingung I(0) = I 0 pt. R = = 1 7, W(t 1 ) = 1 2 I(t 1) 2 = 1 2 I2 0e 2R t 1 = W 0 e 2R t 1 = W 1 2

3 t 1 = 2R ln W 1 W 0 = 2R ln W 0 W 1 = 5, = 1, h I 1 = I(t 1 ) = I 0 e R t 1 = 3, A (e) B(t) = µ 0n I(t) = µ 0n I 0e R t R = B 0 e t = U (t) = Φ(t) = U 0 e R t mit U 0 = b2 n B 0 R = 0,29V (f) Φ(t) = b 2 n B(t)coϕ = ϕ Φ(t) = b 2 n B(t) = b 2 n R B 0 e t U = Φ = b 2 n (Ḃcoϕ B ϕinϕ) = ( ) R = b 2 n B coϕ+ ϕinϕ Im Intevll 0 < t < 0,95 it coϕ fllend, inϕ teigend und B(t) B(t 2 ) = 3,1T pktich kontnt. Mximle ϕ: π 2 ϕ 0,29 = 5,4 1 R U mx b 2 n B(t 2 ) ϕ = 1, V ,25 0,50 0,75 t 0,95 2. In de nebentehenden Zeichnung ind zwei tomduchfloene, gedlinige eite bbgebildet (Blickichtung in Richtung de eite; e it die techniche Stomichtung eingezeichnet). Begünde, d ich die beiden eite nziehen. öung: Ein tomduchfloene eite it von einem keifömigen Mgnetfeld umgeben. Diee Mgnetfeld it uch m Ot de jeweil ndeen eite vohnden. Ein tomduchfloene eite efäht in einem Mgnetfeld eine Kft, die ogennnte oentzkft. Ihe Richtung emitteln wi mit de Rechten Hnd Regel. B 2 F 21 F 21 B 1 3. Ein zylindefömige Spule, deen Quechnittfläche einen Rdiu von 3,8 cm beitzt, ht eine änge von 750mm und eine Windungdichte von Welche Induktivität beitzt die Spule? m öung: 1,0 mh. 3

4 4. Duch eine Spule de Induktivität 120 mh teigt die Stomtäke beginnend bei 0 line mit de Zeit uf 6,0 A n. Beechne die Induktionpnnung, die zwichen den Enden de Spule uftitt. öung: 4,8 V. 5. In de nebentehend bgebildeten Schltkizze liefet die Btteie eine Spnnung von 24V. Zu Zeit 0 wid de Schlte S gechloen. () Beechne die mximle Stomtäke die ich (nch hineichend lnge Zeit) eintellt. (b) Nch welche Zeit betägt die Stomtäke 90% (99%) de mximlen Stomtäke? S R = 20Ω R = 100Ω, = 0,30H öung: 0,20A;5,8m;12m. 6. Um den Widetnd und die Induktivität eine Spule zu emitteln wude in dem Veuch, deen zugehöige Schltkizze unten link wiedegegeben it, de Schlte S zum Zeitpunkt 0 gechloen. De zeitliche Veluf de Stomtäke I wude dbei mit einem Meßwetefungytem ufgenommen und it unten echt wiedegegeben. I A R, 0.25 I U 0 = 2,0V S t Beechne R und. Dbei ind die Wete lle benötigten Gößen de Schltkizze und dem t I Digmm zu entnehmen. öung: R = 8,0Ω, = 0,33H 4

5 7. Eine Spule de änge = 21cm mit keifömigem Quechnitt ( = 2,0cm) und de Windungzhl n = 2, wid vom Stom I 0 = 8,0A duchfloen. () Beechne die im Mgnetfeld de Spule gepeichete Enegie W 0. (b) Zu Zeit t 0 = 0 wid die Spule von de Stomquelle getennt und ihe Enden übe den Widetnd R = 0,301Ω kuzgechloen. Zu welche Zeit t 1 fließt de Stom I 1 = 0,1I 0 duch die Spule? öung: () = µ 0n 2 2 π = 3,0 Nm A 2 = 3,0H, (b) I(t 1 ) = I 0 e R t 1 = I 0 e 0,10 1 t 1 = 0,1I 0 W 0 = 1 2 I2 0 = 96J = 0,10 1 t 1 = ln10 t 1 = 10ln10 = 23 5

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