Übungen zu Ingenieurmathematik I

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1 Otbyeriche Techniche Hochchule Regenburg Fkultät Infortik / Mthetik Prof Dr M Leitz WS 2013/14 Bltt 1 / II Übungen zu Ingenieurthetik I (Bchelor-Studiengänge: Mikroytetechnik / Senorik und Anlytik) Theengebiet: Vektoren i Ru [Ü] Aufgbe , 2 7, 3 8, c Zerlegen Sie den Vektor c in Koponenten k 1 und k 2 und k 3 it c k1 k2 k 3, wobei k 1 die Richtung von 1, k 2 die Richtung von 2 und k 3 die Richtung von 3 hben oll [Ü] Aufgbe , b Betien Sie: ) die Längen der Vektoren und b und die Winkel, den diee Vektoren it den poitiven Koordintenchen bilden b) den Winkel zwichen den Vektoren und b c) die enkrechte Projektion p de Vektor b uf den Vektor und die länge p diee Projektionvektor d) d Vektorprodukt v b e) die Fläche de von den Vektoren und b ufgepnnten Prllelogr

2 [Ü] Aufgbe , 2 1, c ) Überprüfen Sie, dß die Vektoren 1 und 2 enkrecht ufeinnder tehen und betien Sie einen dritten Vektor 3, der owohl enkrecht uf 1 l uch enkrecht uf 2 teht b) Betien Sie uf öglicht einfche Weie die Beträge k1, k 2 und k 3 der Koponenten k1, k 2 und k 3 it c k1 k2 k 3, wobei k 1 die Richtung von 1, k 2 die Richtung von 2 und k 3 die Richtung von 3 hben oll und zwr ohne den Weg über ein linere Gleichungyte zu gehen (Wru it d hier nder l etw in der Aufgbe 1 o öglich?) enkrechte Projektion [Ü] Aufgbe , 2 0, 3 5, ) Betien Sie: (i) d Voluen de von 1, 2, 3 ufgepnnten Spt (ii) d Voluen de von 1, 2, 4 ufgepnnten Spt b) Sind die Vektoren 1, 2, 3 bzw 1, 2, 4 koplnr? [Ü] Aufgbe b 1, c Betien Sie ätliche Löungvektoren x der Gleichung xb c Die Löungvektoren zeigen (ufgefßt l Ortvektoren) ätlich zu einer betiten Gerden hin Geucht it lo die Gleichung dieer Gerden in Preterfor 2

3 [T] Aufgbe 6 Die x-ache zeige nch Süden, die y-ache nch Oten und die z-ache enkrecht nch oben Eine Militärchine befindet ich zur Zeitpunkt t 0 n der Stelle A (6400,19500,1335) und fliegt bei gleichbleibender Höhe it 250 direkt in wetliche Richtung Ein Verkehrflugzeug, d ich zur Zeit t 0 n der Stelle B (0,0,1000) befindet, fliegt it einer Abolutgechwindigkeit von 170, wobei die Steiggechwindigkeit 10 beträgt, in üdötliche Richtung x Süden z Oben y Oten ) 1) Wie luten die Gechwindigkeitvektoren v M und v V der beiden Flugzeuge? 2) Stellen Sie die Gleichungen der beiden Flugrouten jeweil it der Zeit t l Preter dr?? v V, 10 v V ; 170 x M( t) t, x V ( t) t b) b1) Drücken Sie den Abtnd d(t ) der beiden Flugzeuge in Abhängigkeit von der Zeit t u b2) Betien Sie die Abtände der beiden Flugzeuge zu den Zeitpunkten t 40, t 50 und t 60 b3) Zu welche Zeitpunkt hben die beiden Flugzeuge den geringten Abtnd voneinnder? b4) Wie groß it der inile Abtnd zu de in b3) berechneten Zeitpunkt? b5) Betien Sie die Ortkoordinten der beiden Flugzeuge zu in b3) berechneten Zeitpunkt Beerkung: Die beiden Flugzeuge ollen vereinfchend l Punkte ohne Audehnung ngenoen werden 3

4 [T] Aufgbe 7 Ein Menpunkt ht zur Zeit t 0 die Koordinten P0 (2,0,2 ) it 0 Er bewegt ich it g kontnter Gechwindigkeit it der Ulufzeit T uf d einer Kreibhn Die Rottionche (Gerde, die durch den Mittelpunkt der Ulufkreicheibe geht und uf dieer enkrecht teht) it gegeben durch P 0 l 2 l l g: x d ( ) it d 2 Beerkung zu Ulufinn de Menpunkt: Blickt n entgegen der Richtung de Vektor d uf die Kreicheibe dnn erfolgt der Uluf in thetich poitive Sinn, lo entgegen de Uhrzeigerinn, o wie in der Grfik ngedeutet ) Betien Sie den Gechwindigkeitvektor v de Menpunkt zu Zeitpunkt t 0 und die bolute Gechwindigkeit v v Nch Lehrbüchern der Mechnik gilt v ( dr0 ) Dbei bezeichnet 2 die d T ogennnte Winkelgechwindigkeit und r 0 den Ortvektor zu Punkt P 0 b) b1) Welche Koordinten ht der Menpunkt nch eine hlben Uluf, lo zur Zeit t T? 2 b2) Welche Koordinten ht der Menpunkt nch eine viertel Uluf, lo zur Zeit t T? 4 Betien Sie zunächt die Hilfvektoren p (enkrechte Projektion von r 0 uf d ) und h 0 geäß nebentehender Drtellung Sodnn betie n die Vektoren h T / 2 und h T / 4, welche die Stellung de Vektor h 0 zur Zeit t T / 2 bzw zur Zeit t T / 4 udrücken r 0 h 0 O p r 0 : Ortvektor zu Punkt P 0 p : enkrechte Projektion von r 0 uf d d 4

5 [T] Aufgbe 8 Auf der Erdoberfläche wird i Punkt P it der geogrphichen Breite und der geogrphichen Länge ein krteiche ---Koordintenyte errichtet, wobei die -Ache enkrecht zur Erdoberfläche nch ußen weit und die -Ache nch Oten, die -Ache nch Norden gerichtet it ) Geben Sie die Koordinteneinheitvektoren e 1, e 2 und e 3 de krteichen --- Koordintenyte in Koordinten bezüglich de x-y-z-koordintenyte n 1 Zur Vereinfchung gebe ich Ihnen den Vektor e 3 n Dieen dürfen Sie i Folgenden verwenden co( ) co( ) e 3 co( ) in( ) in( ) (Überlegen Sie elbt, wie e 3 zutnde kot) 2 Die z-koordinte von e 1 it gleich 0; e 1 ht lo die For u e 1 v 0 Außerde teht e 1 enkrecht uf e 3 und ht die Länge 1 Betien Sie jetzt e 1, lo u und v 3 Die Vektoren e 1, e2, e3 tehen prweie enkrecht ufeinnder und hben ätlich die Länge 1 Betien Sie nun den Vektor e 2 b) E ei 60 und 70 ; der Erdrdiu it R 6370k Ein Punkt A i Weltru hbe die Koordinten x 20000k, y k, z 70000k Geucht ind die Koordinten diee Punkte i ---Koordintenyte Mn etze den Vektor PA l Linerkobintion von e 1, e2, e3 n und bechte, d diee drei Vektoren prweie enkrecht ufeinnder tehen 5

6 [Ü] Aufgbe 9 Auf einen i Ru frei beweglichen (keiner Schwerkrft unterworfenen) Würfel von der Kntenlänge 1 wirken drei Kräfte it den Beträgen FA 2kN, FB 2kN und FC 1kN in den Angriffpunkten A,B und C in Richtungen wie nebentehend drgetellt ) Geucht it eine vierte Krft F und ihr Angriffpunkt P Würfel o, d dnn z Gleichgewicht herrcht (Würfel bleibt unbewegt) B F F F F 0 F B A B C MA MB MC M 0 (Moente bezüglich de Koordintenurprung) b) Die Krft FC 1kN werde nunehr bgeändert uf FC 2kN Läßt ich dnn uch unter dieen Utänden durch Anbringen einer einzigen vierten Krft F ein Gleichgewichtzutnd hertellen? x F C C F A A F y [Ü] Aufgbe 10 Eine Klppe it einer Gewichtkrft G 1kN wird durch ein Seil, d über der Mitte der Drehche in der Höhe h 080 befetigt it, i Gleichgewichtzutnd gehlten Die Abeungen der Klppe ind 1 und b 2 D Lger A it dreiwertig (rdil und xil geführt), Lger B zweiwertig (chverchieblich, y-koponente von F B gleich 0) Geucht ind die Lgerkräfte F A und F B owie die Seilkrft F S und die Beträge F A, F B und F S dieer Kräfte FA FB FS G 0 MA MB MS M 0 (Moente bezüglich A) x S A z F S F A b h Klppe G Wnd B F B y [T] : Aufgbe für d Tutoriu [Ü] : Übungufgbe zur elbtändigen Berbeitung [zuen it StudienkollegInnen] 6