Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Das Wurzelwerk ein Spiel. Dr. Heinrich Schneider, Wien

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1 Reihe S 1 Verluf Mteril Ds Wurzelwerk ein Spiel Dr. Heinrich Schneider, Wien Klsse 10 Duer Inhlt Ihr Plus vriel, weil Sie Spielkrten weglssen können (Gesmtumfng: 9 Stunden) Wurzeln in jeglicher Form; teilweise die Wurzel ziehen; Wurzelwerte vergleichen; mgische Produktqudrte us Wurzeln; Wurzelgleichungen; irrtionle Zhlen; Kettenwurzeln; Diophntsien; er uch: inomische Formeln; qudrtische Gleichungen ein Spiel us 95 Frgen / Aufgen Didktisch-methodische Hinweise Wurzeln hen eine große Bedeutung in Wissenschft und Technik. Trotzdem erstrrt ds Rechnen mit Wurzeln sehr rsch in Routine. Dei ietet gerde die Beschäftigung mit Wurzeln vielfältige Möglichkeiten für die unterschiedlichsten Schülerktivitäten. Hier wird ein Spiel vorgestellt, ds den Umgng mit Wurzeln vertieft. Neen Routineufgen enthält ds Spiel Wurzelwerk viele nspruchsvolle Aufgen, die mn mit verschiedenen Methoden ngehen knn (z.b. durch geschicktes Rten, systemtisches Proieren, Gegeneispiele...). Viel Wert wird uf Verllgemeinern, Argumentieren zw. Beweisen gelegt. Die Areitsufträge sind gelegentlich ewusst unpräzise formuliert ( vergleiche ), um Lösungsspielrum zu lssen. Im Rhmen des hypothetischen Denkens tstet mn sich uch n den Grenzwertegriff hern. Innermthemtische und nturwissenschftliche Anwendungen inden ihren Pltz. Viele der Aufgen esonders jene, die ein Entdecken verlngen sind für Prtner- und Gruppenreit geeignet. Vorereitung und Aluf Kopieren Sie die Seiten uf festen Krton. Schneiden Sie die Spielkrten us und lminieren Sie sie. Kopieren Sie uch die Tippkrten und Lösungsseiten für den Spiele-Mster. Jeder Spieler hält Stift und Block zw. sein Heft für Notizen und Rechnungen ereit. Die Krten mit den 95 Frgen und Aufgen werden gemischt und verdeckt ls Stpel in die Mitte des Tisches gelegt. Jeder Spieler zieht reihum eine Krte und entwortet die entsprechende Frgestellung, woei er sich Notizen in sein Heft mchen drf. Die Lösungen kontrolliert ein Spiele-Mster. Er verteilt uch die Tipps, die ls seprte Krten ereitliegen. Jede richtige Antwort zählt einen Punkt. Die Experten-Aufgen zählen drei Punkte. Ds Glück spielt insofern eine Rolle, ls mnche Krten mehr Aufgen enthlten ls ndere. Jeder einzelne gelöste Aufgenteil (), ), c) usw.) ringt einen Punkt ein. Auch sind nicht lle Aufgen gleich schwierig. D es er insgesmt 55 Krten git, erhält z.b. ei fünf Spielern m Tisch jeder elf Krten, sodss sich die Chncen gerecht verteilen. Nur Krten, deren Frgen richtig und vollständig entwortet wurden, werden eiseitegelegt. Die nderen kommen wieder unter den Stpel. D Sie ds Spiel Wurzelwerk jederzeit unterrechen können, lässt es sich sowohl m Stundennfng zw. -ende gewinnringend zur Wiederholung einsetzen ls uch in Vertretungsstunden. Sie können uch einzelne Krten uswählen und so nur ein estimmtes Them üen. Auslick: In der Oerstufe lssen Sie die Schülerinnen und Schüler zu Beginn jeder Stunde jeweils ein Kärtchen ereiten und so die Alger der Mittelstufe wiederholen. 6 RAAits Mthemtik Juni 010

2 Reihe S Verluf Mteril Bezug zu den Bildungsstndrds der Kultusministerkonferenz Allg. mthemtische Kompetenz Leitidee Inhltsezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler Anforderungsereich K, K 5, K 6 L 1 ziehen durch geschickte lgerische Umformung Wurzeln, I, III K 1, K, K 6 L 1 vervollständigen mgische Produktqudrte us Wurzeln, K, K L 1 lösen Wurzelgleichungen und Anwendungsufgen mit Wurzeln, K 1, K, K, K 5 L 1 eschäftigen sich mit irrtionlen Zhlen (indirekte Beweise), K, K 5, K 6 L 1 lernen Kettenwurzeln und Diophntsien kennen. Akürzungen Kompetenzen K 1 Mthemtisch rgumentieren; K Proleme mthemtisch lösen; K Mthemtisch modellieren; K Mthemtische Drstellungen verwenden; K 5 Mit symolischen, formlen und technischen Elementen der Mthemtik umgehen; K 6 Kommunizieren Leitideen L 1 (Zhl und Zhlereich); L (Messen und Größen); L (Rum und Form); L (Funktionler Zusmmenhng); L 5 (Dten und Zufll) Anforderungsereiche I Reproduzieren; II Zusmmenhänge herstellen; III Verllgemeinern und Relektieren Auf einen Blick I, III II, III I, III I, III Nr. der Aufge Them 1 8 Durch geschickte lgerische Umformung Wurzelusdrücke vereinfchen, Heron sche Formel 9 15 Wurzeln und Folgen, Grenzwert, Anwendungen us Geometrie und Physik 16 Teilweise die Wurzel ziehen, Wurzelwerte vergleichen 6 Mgische Produktqudrte us Wurzeln vervollständigen 7 Gleichungen lösen, die Wurzeln enthlten 5 Irrtionle Zhlen, Intervllschchtelung 5 58 Kettenwurzeln Diophntsien Vermischtes 6 RAAits Mthemtik Juni 010

3 Reihe Verluf Mteril S 1 Die Spielkrten Durch geschickte lgerische Umformung Wurzelusdrücke vereinfchen 1. Üerrschende Ergenisse! Berechne, ohne den Tschenrechner zu verwenden. Beispiel: = = = ) =? ) 9 =? c) n =? n n 1. Vereinfche, so weit dies ohne Tschenrechner möglich ist. ) 16 =? ) 15 =? c). Vereinfche die Wurzeln soweit wie möglich. 56? = d) x =? ) =? ) =? c) =? d) =?. Die folgenden Produkte hen jeweils ein einfches Ergenis. )? + = ) ( ) ( ) =? 5. Ordne die Rdiknden geeignet um und erechne. )? 6. Es soll gelten: + = ) n n = (n ). 1? + + = c) Welcher Zusmmenhng esteht zwischen und (, > 0)? 7. Ws hen die folgenden Zhlen gemeinsm? =? ) 51, 91, 58, , ) 01, 56, 90 65, ) Berechne für n = 1,,, und 5 den Term A(n) = (n + 1) + (n + ) n + (n + 1) + (n + ) n + (n + 1). ) Versuche, dein Ergenis zu verllgemeinern. Für Experten: Vereinfche die Heron sche Formel A = s (s ) (s ) (s c) mit s = + + c und c² = ² + ². 6 RAAits Mthemtik Juni 010

4 Reihe Verluf Mteril S Wurzeln und Folgen, Grenzwert, Anwendungen us Geometrie und Physik 9. Wurzeln und Folgen: Iteriere: Setze in die folgenden Formeln zunächst für x k den Wert x 1 ein und erechne x. Dnn setze x ein und erechne x usw. Welchem Wert scheint sich die Folge x 1, x, x nzunähern? Versuche, deine Ergenisse zu verllgemeinern. 1 ) x k+1 = xk + x, x = 1 ) x = 1 x 1 k+1 k + x, x = 1 k 1 5 c) x k+1 = xk + x, x =, d) x = 1 x 1 k+1 k + x, x = 1 1 k 10. Für welche reellen Werte von x (x R) gilt: x + 1 x 1 x 1 + x + =? 11. Der Flächeninhlt A eines Qudrts etrge ) 169 cm² ) 6,5 dm² c),5 m² d) 1 h Wie lng ist jeweils die Seite des Qudrts? 1. Die Länge der Digonle d eines Qudrts etrge ),5 cm ),5 dm c) 10 m d) 1,1 km Wie lng ist jeweils eine Seite des Qudrts? Üerlege nhnd einer Skizze. 1. Ds Volumen V eines Würfels etrge ) cm³ ) 0,06 dm³ c) m³ d) 10 hl Wie lng ist die Würfelknte? 1. Drücke die Oerläche O eines Würfels ) durch ds Volumen V, ) durch die Flächendigonle d us. Berechne in Teil c) und d) die gesuchte Größe. c) O = 16 dm², V =? d) d = 1 m, O =? k k 15. Eine Frgestellung us der Physik 1 s Für den freien Fll gilt: s = gt t =, g woei die Erdeschleunigung g = 9,81 m/s² ls konstnt ngenommen wird. s ist hierei der zurückgelegte Weg, t die Fllzeit. Wie lnge duert der Fll eines Steins ) us 10 m, ) us 100 m, c) us 810 m (Mont Blnc) Höhe? 6 RAAits Mthemtik Juni 010

5 Reihe Verluf Mteril S. Vergleiche die eiden Terme A und B. (Tipp: Verwende zunächst spezielle Werte.) ) A =, B = + ) A = +, B = + c) A = + 1, B = + + d) A = x + y, B = ( + ) (x + y) unter der Bedingung = (,, x, y > 0) x y. Vergleiche die eiden Terme A und B. (Tipp: Verwende zunächst spezielle Werte.) ) A = 1+ t, B = (1+ t + t²) (1 t + t²) ) A = + (> 0), B = + c) A = (u² v²)² + (uv)², B = u² + v² d) A = y(y + 1)(y + )(y + ) + 1, B = y² + y + 1 (y > 0) Mgische Produktqudrte us Wurzeln vervollständigen. Vervollständige die drei mgischen Produktqudrte. Lies erst die Tippkrte! Vervollständige die drei mgischen Produktqudrte. Lies erst die Tippkrte! x y y x y 6. Vervollständige die eiden mgischen Produktqudrte. Lies erst die Tippkrte! RAAits Mthemtik Juni 010

6 Reihe Verluf Mteril S 6 7. Vereinfche zunächst die gegeene Gleichung und löse sie dnn. ) 11 x = 1 x 7 ) x x 1 = x + 6 x Ermittle die Deinitionsmenge und die Lösung der Gleichung. ) 16x + x + = 1,5 ) 9x + 7 x + 1 = 1 c) 8x + x = 6 d) 8 = x x + 9. Löse die Gleichungen. Vergiss nicht die Proe. ) x x + 11 = 6 ) x + + x + 1 = 5 c) x + 7 x + 11 = d) x + 1 x + = e) x 0 + x = x + 10 f) 8x + 1 x + = x 0. Forme die Gleichung zuerst um ( > 0) und löse sie dnn. x 1 ) (x + ) (x + ) = 1 ) + = x 1. Vereinfche durch Anwendung der logrithmischen Rechengesetze. Löse dnn. ) lg x = ) lgx + lg x = c) lg x + lg x = 5 (lg x := log 10 x). Berechne x und y. Löse die Aufge durch systemtisches Proieren ) x y = 1 ) 8 x + y = c) x + = y 1 97 x + y = 9 x + y = 1 5 x = y Irrtionle Zhlen, Intervllschchtelung. Zeige, dss die folgenden Zhlen irrtionl sind. Führe einen indirekten Beweis. ) ) 5 c) d) e) f) 1 6 RAAits Mthemtik Juni 010

7 Reihe Verluf Mteril S 8 Kettenwurzeln 5. Berechne zunächst die ersten Werte der Zhlenfolge und dnn den Wert von n + n + n Ausdrücke dieser Art heißen Kettenwurzeln. ) für n = 1 ) für n = c) für n = d) für n = e) für n = 6 f) für n = 8 g) für n = 1 Betrchte die positive Lösung der Gleichung n + x = x. 5. Berechne llgemein den Wert von n + n + n Welches Prolem hst du? 55. ) Üerprüfe: Für lle n = k + k² (k = 1,,,, 5 und 6) ht die Kettenwurzel n + n + n +... eine ntürliche Zhl ls Wert. Ordne die Ergenisse in einer Telle n. Welche Vermutung für den Wert der Kettenwurzel in Ahängigkeit von k drängt sich uf? ) Beweise deine Vermutung llgemein. 56. Eine Streichholzufge: V I I = I Durch Umlegen eines Hölzchens knn mn eine richtige Aussge erreichen. Wie? 57. Berechne den Wert von n n n ) Berechne den Wert von n n n... = x ( 0). ) Für welche Werte von n ist x gnzzhlig? Für Experten: Diophntsien Für die Vrilen sind nur ntürliche Zhlen zugelssen. Finde die Lösung durch systemtisches Proieren! 59. Die Qudrtwurzel welcher Zhl x ist ) um 1, ) um 0, c) um 0, d) um, e) um 56 kleiner ls x? 60. Die Qudrtwurzel welcher Zhl x ist ) gleich 1 x, ) gleich 0 x, c) gleich 0 x, d) gleich x, e) gleich 56 x? 61. Vergleiche die Lösungen von Aufg. 59 und 60. Welche Vermutung hst du? Für die Vrilen sind nur ntürliche Zhlen zugelssen. Finde die Lösung durch systemtisches Proieren! 6. Für welche ntürliche Zhl n gilt ) n n = 16? ) n n = 178? c) n² n = 10? 6. Für welche ntürliche Zhl n gilt ) n = 1 n? ) n = k n? 6. Für welche ntürlichen Zhlen n > 0 ist n³ eine ntürliche Zhl? 6 RAAits Mthemtik Juni 010

8 Reihe Verluf Mteril S 10 Vermischtes Für die Vrilen sind nur ntürliche Zhlen zugelssen. Finde die Lösung durch systemtisches Proieren! 77. Löse durch schrfes Hinschuen. Du drfst er uch die Gleichung qudrieren. ) + x = x + 1 ) x 6 + x = x + c) x + + x + = x x + 1 d) x 6 x 9 = x + 6 x Berechne 9 + x² 6 x für x. 79. Die Oerläche eines Würfels eträgt O = 0,5 m². Wie groß ist die Länge seiner Rumdigonle d? (Tipp: d = ) 80. Für welche x gilt: + x = x ( > 0)? 81. Ergänze ds mgische Produktqudrt Vergleiche die Werte A und B. A = , B = Berechne x ( > 0) us: x = x 8. Ermittle den Zusmmenhng zwischen x und y. x + 10 x = 1 (x y, 0 x, y 10) y + 10 y 85. Ist 00 rtionl oder irrtionl? Begründe deine Vermutung. 86. Mche im Bruch ( > 0 rtionl, 1) den Nenner rtionl Berechne.... Es wird vorusgesetzt, dss die so deinierte Folge einen endlichen (Grenz-)Wert ht. 6 RAAits Mthemtik Juni 010

9 Reihe Verluf Mteril S 1 Tippkrten Wurzeln ziehen 1. Verwende die Formel. Verwende die Formeln n n = ( 0). 1 r s n n r s = ; =. Du ziehst us einer Wurzel die Wurzel, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst. Die Wurzeln sind Zhlen mit gerochenen Exponenten. n n n. Verwende die Formel =.. Verwende die. inomische Formel ( + ) ( ) = ² ². 5. Verwende die inomischen Formeln: [1. ( + ) = ² + + ²;. ( ) = ² + ²;. ( + ) ( ) = ² ²] 7. Betrchte die Quersumme (Summe der Ziffern) des Rdiknden. 8. ) Addiere den 1. und den letzten Summnden, den. und den vorletzten usw. Mgische Produktqudrte Ein mgisches Produktqudrt n-ter Ordnung [ ij ] esteht us n² verschiedenen Zhlen ij. Jede der n Zeilen zw. Splten und die eiden Digonlen ergeen den gleichen Produktwert. Beispiel: 9 1 Alle 8 Produkte ergeen den Wert Die Zhlen sind so einzutrgen, dss jeweils ds Produkt ller Zhlen ) in einer Zeile, ) in einer Splte und c) in einer Digonle konstnt ist. Hinweis: Die folgende Frik liefert elieig viele weitere Produktqudrte: Mn ermittelt die 9 Teiler von x²y² (x > 0, y > 0) und ordnet sie geeignet n. Beispiel: x y² x²y x²y² xy 1 y x² xy² Zieht mn nun us jedem Element die n-te Wurzel, so erhält mn entsprechende Wurzelterme, die mn uch um ± 90 zw. ± 180 drehen oder n der Mittelsenkrechten oder Digonlen des mgischen Qudrts spiegeln knn. (Wrum soll z.b. x = y² vermieden werden?) Nch dieser Methode ildet mn die folgenden Qudrte:. ) x =, y = ; n = 5. ) x =, y = 5; n = 5. c) n = 6. ) x =, y = 5; n = 6 RAAits Mthemtik Juni 010

10 Reihe Verluf Mteril S 1 Lösungen für den Spiele-Mster Wurzelusdrücke vereinfchen 1. ) ) c). ) = = 0 7 n 9 = = 0 n n = = 0 n n 1 n n 1 16 = = = 6 ) c) d). ) ) c) d) 6 15 = 5 = 5 56 = = = 1 8 x = 7 x = 7x 1 = = = 8 = = = = = = = = ) + = + = = = 0 (. inomische Formel) ) ( + + ) ( + ) = ² + + ² = ² + ² (1. +. inomische Formel) 5. ) + = (² ) 1. Lösung: für oder. Lösung: für Für = stimmen die 1. und. Lösung üerein. 6. = = ( ) = ( ) = ( ) n n n 1 n n n ( ) = 1 = 7. ) 51 = 8; = 8 91 = 17, = = 18; = = 6; = = 7; = 7 6 RAAits Mthemtik Juni 010