M A T H E M A T I K B A S I C S

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1 M A T H E M A T I K B A S I C S Mr Peter Arithmetik und Alger Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersonen Impressum Internet: Folienvorlgen und Lernkontrollen hepode: Mthemtik ISBN (Shüleruh: ISBN ). Auflge 006 Alle Rehte vorehlten 006 h.e.p. verlg g Bildung.Medien.Kommuniktion, Bern/Shweiz h.e.p. verlg g Bildung.Medien.Kommuniktion Brunngsse 6 CH-0 Bern Bildungsentwiklung, Mittelshul- und Berufsildungsmt des Kntons Zürih ILeB, Institut für Lehrerildung und Berufspädgogik, eine Bildungsstelle des Kntons Zürih

2 Mthemtik Bsis Mr Peter Arithmetik und Alger Mterilien zu diesem Buh unter hepode: Mthemtik

3 Mr Peter Arithmetik und Alger ISBN Reihe: Mthemtik Bsis Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersonen (Folienvorlgen) ISBN Internet: Zustzmterilien unter: hepode: Mthemtik Umshlg: Wiggenhuser & Woodtli, Zürih Biliogrfishe Informtion Der Deutshen Biliothek. Die Deutshe Biliothek verzeihnet diese Puliktion in der Deutshen Ntionliliogrfie; detillierte iliogrfishe Angen sind im Internet unter rufr.. Auflge 006 Alle Rehte vorehlten 006 h.e.p. verlg g h.e.p. verlg g Bildung.Medien.Kommuniktion Brunngsse 6 CH 0 Bern

4 Vorwort In vielen Berufen gehört ds mthemtishe Grundwissen in der Arithmetik zur Ausildung. Dieser Bnd ietet Ihnen die Möglihkeit, in Form eines progrmmierten Unterrihts die wihtigsten Regeln der Arithmetik der. und. Stufe gezielt zu lernen und einzuüen. Sie werden dei die Regeln lernen, wie mn mit Vrilen ddiert, sutrhiert, multipliziert und dividiert. Vielleiht hen Sie vor längerer Zeit in Ihrer Shullufhn diese Grundopertionen shon einml gelernt. Für diesen Fll ietet Ihnen dieses Lernprogrmm die Möglihkeit, in. 0 Lektionen die vielleiht shon etws vergessenen Kenntnisse wieder ufzufrishen und einzuüen. Eines der wihtigsten Anwendungsgeiete der Arithmetik ist die Alger, die Lehre von den Gleihungen. Es ist deshl sehr empfehlenswert, die erworenen Kenntnisse der Arithmetik gleihzeitig in der Alger nzuwenden. Nh einer kurzen Einführung in die Gleihungslehre im zweiten Teil des Lernprogrmms können Sie die der Themtik der Arithmetik entsprehenden Gleihungen lösen. Areiten Sie lso immer n zwei Fronten: n der Arithmetik und gleihzeitig n der Alger. Mit Hilfe der Lösungen m Shluss dieses Lernprogrmms können Sie Ihre Resultte kontrollieren. Ih wünshe Ihnen viel Erfolg. Mr Peter, Berufsshullehrer

5 Inhltsverzeihnis Rehenrten, Grundsätzlihes zum Rehnen mit Vrilen Seite 6 Opertion. Stufe: Addition und Sutrktion Seite 8. Addition und Sutrktion mit vershiedenen Vorzeihen Seite 0. Ds Rehnen mit Klmmern Seite Multipliktion Seite. Definition und Eigenshften Seite. Multipliktion «Zhl ml Klmmer» Seite 5. Multipliktion «Klmmer ml Klmmer» Seite 6.4 Die drei inomishen Formeln Seite 8.5 Ausklmmern oder Vorklmmern Seite 0.6 Anwendung Fktorzerlegung: Ds Kürzen von Brühen Seite 4 Division Seite 5 4. Definition und Eigenshften Seite 5 4. Dividieren mit lgerishen Summen Seite 7 4. Erweitern von Brühen Seite Ds kleinste gemeinsme Vielfhe (kgv) Seite Addieren und Sutrhieren von Brühen Seite 4.6 Multiplizieren von Brühen Seite Dividieren von Brühen Seite 7 5 Alger: Die Lehre von den Gleihungen Seite 4 5. Zhlengleihungen Seite 4 5. Formeln umstellen Seite 50 Lösungen zu den Üungen Seite 54

6 Rehenrten, Grundsätzlihes zum Rehnen mit Vrilen Unter Arithmetik versteht mn ds Rehnen mit Zhlen oder Vrilen. 4 4,8 6?? 6 8 7?? Es git drei Opertionsstufen: Opertion. Stufe Addition Sutrktion 4r 6 r Opertion. Stufe Multipliktion Division Potenzieren y Opertion. Stufe Rdizieren 5 Logrithmieren lg 5 lg Arithmetik und Alger Seite 6

7 Vrilen sind Stellvertreter für estimmte Zhlen oder Grössen (z.b. Flähe A). Dmit können mthemtishe Gesetzmässigkeiten gnz llgemein ls Rehenregel oder ls Formel usgedrükt werden. Bei der Rehenregel stehen die Vrilen n Stelle von Zhlen, ei Formeln n Stelle von Grössen. Rehenregel Formel A h Kommt die gleihe Vrile ei einer estimmten Rehenregel oder Formel mehrmls vor, so ist sie Stellvertreter für stets die gleihe Zhl oder Grösse. Hier einige grundsätzlihe Vereinrungen und Begriffe, die ds Rehnen mit den Vrilen etreffen: Ein Mlzeihen zwishen Beizhl und Vrile oder uh zwishen den Vrilen lässt mn weg. Ist die Beizhl, so wird sie niht geshrieen. Sind die Beizhlen Bruhzhlen, ehten Sie, dss es zwei gleihwertige Shreiweisen git. Bei den und Zeihen untersheidet mn zwishen Opertionszeihen und Vorzeihen. Vorzeihen werden in Klmmern geshrieen (usser m Anfng). Es gilt weiter die Regel, dss positive Vorzeihen niht geshrieen werden. Üung Shreien Sie die Ausdrüke in der gleihwertigen Shreiweise. ) 5 ) y 4 ) 5 d) 5 e) Arithmetik und Alger Seite 7

8 Opertion. Stufe: Addition und Sutrktion Addieren heisst Zusmmenzählen und edeutet ein Vorwärtsshreiten nh rehts uf dem Zhlenstrhl Es gelten folgende Bezeihnungen: Bei der Addition gilt ds Vertushungsgesetz: Eine Summe ehält ihren Wert, wenn die Summnden vertusht werden. Arithmetik und Alger Seite 8

9 Die Sutrktion ist die Umkehrung der Addition: Die Vertushungsregel gilt ei der Sutrktion niht:... Es lssen sih nur gleihrtige Zhlen (dmit sind Zhlen gemeint, die genu dieselen Vrilen hen) ddieren und sutrhieren. Mn ddiert oder sutrhiert ihre Beizhlen. ) ) ) Zusmmengesetzte Ausdrüke, in denen Summnden und Sutrhenden neeneinnder vorkommen können (z.b. 5 ), ezeihnet mn gnz llgemein ls eine «lgerishe Summe». Dieser Oeregriff knn uh für nur eine Summe oder eine Differenz geruht werden. Arithmetik und Alger Seite 9

10 . Addition und Sutrktion mit vershiedenen Vorzeihen Für die Addition und die Sutrktion von Zhlen mit vershiedenen Vorzeihen gelten die folgenden Regeln: ) ),5 4 ) 4z,4 z z Üung Addieren und sutrhieren Sie. ) 9 6y y 9 ) 0, 0,7, 0, ) d) Arithmetik und Alger Seite 0

11 . Ds Rehnen mit Klmmern Soll eine lgerishe Summe ls geshlossenes Gnzes ehndelt werden, so shliesst mn sie in eine Klmmer ein. Beim Weglssen einer Klmmer oder umgekehrt eim Einklmmern gelten die folgenden Gesetze: Steht ein Pluszeihen vor der Klmmer, so knn mn die Klmmer weglssen. Die Rehenzeihen in der Klmmer verändern sih niht. d d Steht ein Minuszeihen vor der Klmmer, so müssen eim Weglssen der Klmmer lle Rehenzeihen umgekehrt werden. d d ) 7 8 ) Setzen Sie eine Klmmer unmittelr hinter ein Minuszeihen, so müssen Sie die Zeihen in der Klmmer umkehren: ) 4 5 ) y Arithmetik und Alger Seite

12 Mnhml sind Klmmerusdrüke von nderen Klmmern umshlossen. Mn löst dnn zunähst die inneren Klmmern uf. Dnn werden nheinnder die äusseren Klmmern ufgelöst. ) ) ) 7 Stehen die Klmmern direkt neeneinnder, so gilt ds Rehenzeihen nur für die erste Klmmer. Vor den nhfolgenden Klmmern steht ein positives Vorzeihen, ds niht geshrieen wird. d) Arithmetik und Alger Seite

13 Üung Lösen Sie die Klmmern uf und fssen Sie zusmmen. ) 9 5 ) 4y 7z 6y 5z 7 ) 9 9k 4 k 0 d) 50k 9 8k 44 7k 6 e),7 0 4,5 9 f) d d 6 y 0 y 9 Multipliktion. Definition und Eigenshften Eine wiederholte Addition des gleihen Summnden ergit die Multipliktion. In einem Produkt sind die Fktoren vertushr. Wird eine Vrile mit multipliziert, so ändert sih der Wert der Vrile niht: Arithmetik und Alger Seite

14 Wird eine Vrile mit multipliziert, so ändert sih ds Vorzeihen der Vrile: Ist in einem Produkt mindestens ein Fktor Null, so ist ds gnze Produkt Null: 0 0 Bei der Multipliktion gelten die folgenden Vorzeihenregeln: Arithmetik und Alger Seite 4

15 Arithmetik und Alger Seite 5 Sind ei einer Multipliktion die Vrilen gleih, so entsteht eine Potenz: n... Dei ist die Bsis oder Grundzhl, n der Eponent oder die Hohzhl. Ds Potenzieren gehört zur. Opertionsstufe.. Multipliktion «Zhl ml Klmmer» Mn multipliziert eine Zhl mit einer Klmmer, indem mn jedes Glied der Klmmer unter Behtung der Vorzeihenregeln mit der Zhl, die vor der Klmmer steht, multipliziert. d d ) y z 6 5 ) y z 5 4

16 Bei der nhstehenden Rehnung mit estimmten Zhlen könnte mn vershiedene Ergenisse erhlten, je nhdem, wie mn rehnet: 6? Die Rehenrt höherer Stufe geht immer der niederen Stufe vor. Ist eine Klmmer vorhnden, so ist diese zuerst uszurehnen. Sonst gilt «Punkt vor Strih».. Multipliktion «Klmmer ml Klmmer» Klmmern werden miteinnder multipliziert, indem mn unter Behtung der Vorzeihenregeln jedes Glied der einen Klmmer mit jedem Glied der nderen Klmmer multipliziert. d d d ) 8 5y y ) d 5 Arithmetik und Alger Seite 6

17 Auh hier: Die Rehenrt höherer Stufe geht immer der niederen Stufe vor! Klmmern muss mn wie ülih von innen nh ussen uflösen. d) Üung 4 Multiplizieren Sie und fssen Sie wenn möglih zusmmen. ) 4 8 ) n 4n ) 6 r d) y e) 8,5, 6 f) n n n 5 6 n g) p q r q p r r p q h) 6 i) m n5 u k) Arithmetik und Alger Seite 7

18 .4 Die drei inomishen Formeln Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruk, z.b.. Die drei erühmten inomishen Formeln luten:. inomishe Formel:. inomishe Formel:. inomishe Formel: Es ist sinnvoll, sih diese drei inomishen Formeln gut einzuprägen, denn sie kommen sehr oft zur Anwendung. Arithmetik und Alger Seite 8

19 ... ) ) ) 9r d) uv 5y e) y 7 6 f) e 4e 4... Stehen in einer Klmmer drei oder mehr Glieder, so muss ds Qudrt nh der Regel «Multipliktion von Klmmern» erehnet werden Üung 5 Berehnen Sie mit Hilfe der inomishen Formeln. ) d ) 4 5n4 5n ) 6n d) 6 e) f) Arithmetik und Alger Seite 9

20 .5 Ausklmmern oder Vorklmmern Durh ds Ausmultiplizieren einer Klmmer erhält mn us einem Produkt stets eine lgerishe Summe. Eine lgerishe Summe knn wieder in ein Produkt verwndelt werden, wenn es gelingt, einen gemeinsmen Fktor uszuklmmern. Die Klmmer wird ddurh wieder eingeführt, die durh ds Ausmultiplizieren weggefllen ist. «Ausklmmern» oder «Vorklmmern» oder «Zerlegen in Fktoren» sind gleihedeutende Begriffe. Für ds Kürzen von Brühen und eim Lösen von Gleihungen ist ds Ausklmmern sehr wihtig. Die folgenden Beispiele von Aufgentypen zeigen Ihnen die wihtigsten Vorgehensmöglihkeiten für ds Vorklmmern. Typ Leiht ersihtlih, die gemeinsmen Fktoren lssen sih vorklmmern. ) ) ) Arithmetik und Alger Seite 0

21 Typ Vorklmmern von Klmmern d) y y e) 7 7 f) 5 5 g) 4m u v 8u v Typ Zuerst Klmmern setzen, diese dnn usklmmern h) i) s s k) 4 Typ 4 Mit Hilfe der inomishen Formeln l) y y... m) Arithmetik und Alger Seite

22 n) o) u p) 49 p 4 p Typ 5 Durh «Proieren mit Klmmernstz» ei dreigliedrigen Summen q) r) s) Typ 6 Unzerlegre Ausdrüke oder shwierige Fktorzerlegungen t) u)... v) Arithmetik und Alger Seite

23 Üung 6 Shreien Sie die Ausdrüke ls Produkte. ) 8d ) 4 ) m d) 5e 5e e) f) t 5 ty 5y g) 6r 60mr 5m h) 0 5 i) 6s 9 k) r.6 Anwendung Fktorzerlegung: Ds Kürzen von Brühen Einen Bruh kürzen heisst, Zähler und Nenner durh die gleihe Zhl zu dividieren. Der Wert des Bruhes ändert sih durh ds Kürzen niht. Ein Bruh lässt sih lso nur dnn kürzen, wenn Zähler und Nenner us gleihen Fktoren estehen. Sind Zähler und Nenner lgerishe Summen, so muss mn, wenn möglih, gemeinsme Zhlen oder Vrilen vorklmmern und mit diesen den Bruh kürzen. Flls mn keine Fktorzerlegung hinkriegt, lässt sih der Bruh niht kürzen. Arithmetik und Alger Seite

24 ) ) ) d) e) f) Üung 7 Klmmern Sie vollständig us und kürzen Sie die Brühe. ) y y y ) 7r 4 8 ) 7 4 d) 9d 9f 8d 8df e) 6 4y 6y 4 5 f) Arithmetik und Alger Seite 4

25 4 Division 4. Definition und Eigenshften Die Division ist die Umkehropertion der Multipliktion. Werden Zähler und Nenner vertusht, entsteht der Kehrwert oder «reziproke Wert» des Bruhes. Bei den Bruhzhlen gelten die folgenden Sonderfälle: Eine Bruhzhl mit dem Zähler Null ht den Wert Null. 0 0 Arithmetik und Alger Seite 5

26 Arithmetik und Alger Seite 6 Eine Bruhzhl mit dem Nenner ist gleih ihrem Zähler. Eine Bruhzhl, ei der Zähler und Nenner gleih sind, ht den Wert. Die Division durh 0 ist niht definiert. 0 niht definiert Vorzeihenregeln:

27 Arithmetik und Alger Seite 7 ) 7 ) 4. Dividieren mit lgerishen Summen Eine lgerishe Summe wird durh eine «Zhl» dividiert, indem mn jedes Glied unter Berüksihtigung der Vorzeihenregeln durh diese Zhl dividiert. Die erhltenen Brühe werden druf ddiert oder sutrhiert.

28 8mn 4m mp ) 4m ) Umgekehrt drf mn eine Zhl durh die einzelnen Summnden einer Summe niht dividieren. Mn knn nur, flls möglih, kürzen. y y y Für die Division von lgerishen Summen durh lgerishe Summen gilt ds Gleihe. uv ur 5v v 5r r... Üung 8 Dividieren Sie die Brühe. ) 9y 5y y 9y ) ) d) 48 6y 48 e) 85 0z 95y 4 yz f) u v u v uv Arithmetik und Alger Seite 8

29 4. Erweitern von Brühen Ds Erweitern von Bruhzhlen ist qusi ds «Gegenteil» des Kürzens. Einen Bruh erweitern heisst: Zähler und Nenner mit der gleihen Zhl zu multiplizieren. Der Wert der Bruhzhl ändert sih durh ds Erweitern niht. Ist eim Erweitern der Zähler, Nenner oder der Erweiterungsfktor eine lgerishe Summe, so muss diese in Klmmern gesetzt werden. Zum Beispiel wird der Ausdruk d mit erweitert: Arithmetik und Alger Seite 9

30 Üung 9 Erweitern Sie die Brühe und Zhlen uf den vorgegeenen Nenner. ) v ; 0uv ; y 4u? 60u v ) d ; ; 8 9? 8 y 4.4 Ds kleinste gemeinsme Vielfhe (kgv) Um ds kleinste gemeinsme Vielfhe kgv mehrerer Zhlen zu finden, zerlegt mn diese zunähst in Primzhlen. Eine Primzhl ist nur durh sih selst und durh teilr. Die ersten Primzhlen luten:... Müssten die nhfolgenden Brühe ddiert werden, dnn müssten sie lle zuerst gleihnmig gemht werden. Mn erweitert in einem solhen Fll die Brühe uf den Huptnenner, der ds kgv ller Nenner ist ? Jetzt suht mn von jeder vorkommenden Primzhl die grösste Anzhl herus und multipliziert diese miteinnder. Ds Produkt ist dnn ds kgv ller Nenner. kgv Arithmetik und Alger Seite 0

31 Für einzelne Vrilen und niht zerlegre lgerishe Summen gelten die gleihen Üerlegungen. Bei der Zerlegung in Primzhlen werden die Vrilen und Klmmerusdrüke ls Primzhlen etrhtet. Soll lso von mehreren lgerishen Summen ds kgv erehnet werden, so müssen die lgerishen Summen zunähst vollständig in Primzhlen zerlegt werden. 54y ; ; 6 Behten Sie unedingt, dss Sie ei der Ange des kgv die Klmmern us prktishen Gründen eim Bruhrehnen niht usmultiplizieren. Üung 0 Erweitern Sie uf ds kgv ller Nenner. ) 5 ; ; ) ; 7 0d 9 ) ; ; d) 4 4 ; ; u v e) ; ; 4 u v v u 7 f) ; ; Arithmetik und Alger Seite

32 Arithmetik und Alger Seite 4.5 Addieren und Sutrhieren von Brühen Gleihnmige Brühe werden ddiert (sutrhiert), indem mn die Zähler ddiert (sutrhiert) und die erhltene lgerishe Summe durh den gemeinsmen Nenner dividiert. 7 Ist der Zähler eines Sutrhenden eine lgerishe Summe, so muss er in eine Klmmer eingeshlossen werden, wenn die Brühe uf einen gemeinsmen Bruhstrih geshrieen werden. ) 6 ) 5 4

33 Üung Addieren und sutrhieren Sie die Brühe. Kürzen Sie dnn so weit wie möglih. ) 5 5 ) ) u u v u v v d) e) d f) y y 5 g) h) i) k) d d d l) 7 u u 4 8u 4u 4u 4u 5 m) 4 Ungleihnmige Brühe muss mn vor dem Addieren oder Sutrhieren zuerst gleihnmig mhen. Brühe gleihnmig mhen heisst, dss in dem neuen Nenner, dem Huptnenner, lle vorhndenen Nenner enthlten sind. Der Huptnenner ist ds kgv ller Einzelnenner. Ds Vorgehen ist wie eim Rehnen mit estimmten Zhlen Mn geht deshl nh folgendem Lösungsshem vor:. Bestimmen des Huptnenners (kgv). Bestimmen der Erweiterungsfktoren (EF) der einzelnen Nenner. Durh Erweitern Brühe gleihnmig mhen 4. Gleihnmige Brühe ddieren oder sutrhieren, wenn möglih kürzen Arithmetik und Alger Seite

34 Ds kgv der Nenner knn oft direkt ngegeen werden. Wenn niht, müssen die Nenner in Primfktoren zerlegt und ds kgv muss systemtish gefunden werden. Arithmetik und Alger Seite 4

35 Arithmetik und Alger Seite 5 Üung Addieren und sutrhieren Sie die Brühe. Kürzen Sie wenn möglih. ) 7 5 ) v u v u ) 0 d) 4 e) 4 5 f) d d d g) y y y y 9 6 h)

36 4.6 Multiplizieren von Brühen Brühe werden miteinnder multipliziert, indem mn ds Produkt der Zähler durh ds Produkt der Nenner dividiert. d d Gnze Zhlen hen den Nenner. ) 6y 48 ) 7 7 Arithmetik und Alger Seite 6

37 4.7 Dividieren von Brühen Mn dividiert einen Bruh durh einen Bruh, indem mn den ersten Bruh mit dem Kehrwert des zweiten Bruhes multipliziert. : d d d Bruh dividiert durh eine gnze Zhl: : : Arithmetik und Alger Seite 7

38 Gnze Zhl dividiert durh einen Bruh: y : y : y y Arithmetik und Alger Seite 8

39 Arithmetik und Alger Seite 9 Bei einem Doppelruh knn der Huptruhstrih durh ds Divisionszeihen ersetzt werden. Dnh knn die Divisionsregel gewöhnlih ngewendet werden : ) n m ) ) d)

40 Stehen im Zähler oder Nenner lgerishe Summen, so müssen diese zuerst usgerehnet oder durh Erweitern uf einen Bruhstrih geshrieen werden. y e) y Üung Multiplizieren und dividieren Sie die Brühe und kürzen Sie. ) 8 9 9z ) 4 4y ) d) y y n 7n : f) : 9yz 9yz e) p 8 5 g) : 4 p h) 5f n n 4 i) Arithmetik und Alger Seite 40

41 5 Alger: Die Lehre von den Gleihungen Eine Gleihung esteht us zwei Seiten, die durh ein Gleihheitszeihen verunden sind. Mn knn eine Gleihung mit einer Wge vergleihen, die im Gleihgewiht ist. Gleihgewiht esteht er nur dnn, wenn eide Wgshlen gleih elstet sind Zhlengleihungen Unter Zhlengleihungen versteht mn Gleihungen, in denen nur eine Art von Vrilen, oft ls ezeihnet, vorkommt. 7 8 Arithmetik und Alger Seite 4

42 Eine solhe Zhlengleihung lösen edeutet: Alle Zhlen zu estimmen, welhe n die Stelle von gesetzt, zu einer whren Aussge führen. Dmit mn erehnen knn, muss es ds Ziel sein, dss links vom Gleihheitszeihen und lleine steht. Mn sgt dnn: «ist isoliert» Eine Gleihung leit im «Gleihgewiht», wenn eide Seiten in gleiher Weise verändert werden. Mn knn lso uf eiden Seiten die gleihe Zhl ddieren oder sutrhieren, mit der gleihen Zhl multiplizieren oder durh die gleihe Zhl dividieren (usser durh Null) Zudem können jederzeit die Seiten vertusht werden. Arithmetik und Alger Seite 4

43 Beispiel Mn vertusht hier zuerst die Seiten und ddiert dnn eide Seiten mit 6. Ddurh ist isoliert. Beispiel Eine Beizhl vor dem eseitigt mn, indem mn eide Seiten der Gleihung durh die gleihe Beizhl (hier durh 4) dividiert. Beispiel Um us dem Nenner zu ringen, muss die Gleihung mit multipliziert werden. Dmit mn hier erehnen knn, muss die Gleihung mehrmls umgeformt werden. Üung 4 Berehnen Sie. ) 0 6 ) ) 5 7 d) 0 Arithmetik und Alger Seite 4

44 Oft kommt die Vrile in mehreren Gliedern vor. Dnn ordnet mn zunähst die Gleihung, d.h. mn fsst die Glieder und die Zhlen uf eiden Seiten so weit wie möglih zusmmen. Erhält mn ei einer Proe eine whre Aussge, so weiss mn, dss die Lösung rihtig ist. Bei einer Proe drf die Lösung nur ei der Ausgngsgleihung (Aufgenstellung) eingesetzt werden. Üung 5 Berehnen Sie. Mhen Sie jeweils eine Proe. ) 4 6 ) 9 9 ) 8 5 d) 9 5 e) f) Arithmetik und Alger Seite 44

45 Kommen in einer Zhlengleihung Klmmern vor, so müssen diese zuerst ufgelöst werden Gleihung mit Klmmern in Klmmern Arithmetik und Alger Seite 45

46 Üung 6 Berehnen Sie die Uneknnte und mhen Sie ei jeder zweiten Aufge eine Proe. ) 8 6 ) ) d) e) f) Kommen in einer Zhlengleihung Produkte vor, so müssen diese zuerst usgerehnet werden. Dnh knn die Gleihung wie ülih gelöst werden Arithmetik und Alger Seite 46

47 Bei einer Gleihung können uh noh ndere Vrilen vorkommen. Diese werden wie Zhlen ehndelt, und mn ekommt ls Lösung für in der Regel niht nur eine Zhl, sondern einen Ausdruk mit Vrilen Üung 7 Berehnen Sie die Uneknnte. ) ) ) 44 d) n p e) 5 f) 5 g) 4 7 h) i) k) Arithmetik und Alger Seite 47

48 Bei Bruhgleihungen müssen Sie die Nenner zuerst eseitigen. Sie gehen dei wie folgt vor:. Bestimmen des kgv. Alle Glieder der Gleihung uf ds kgv erweitern. Die gnze Gleihung mit dem kgv multiplizieren 4. Ds nshliessende Kürzen ergit eine Gleihung ohne Nenner, die dnn wie ülih gelöst werden knn Arithmetik und Alger Seite 48

49 Die eiden Shritte, Multipliktion mit dem kgv und Kürzen, lssen sih in der Regel in einem Rehnungsgng durhführen Arithmetik und Alger Seite 49

50 Üung 8 Berehnen Sie die Uneknnte. ) 4 ) ) d) 4 4 e) f) 7, 5 g) h) i) k) Formeln umstellen Ds Umstellen von Formeln edeutet mthemtish nihts nderes, ls eine Zhlengleihung nh ufzulösen. Doh n Stelle von Zhlen kommen ei einer Formel Grössen mit den entsprehenden Einheiten vor. Eine Formel umstellen heisst lso, eine gegeene Formel mthemtish so «umzuuen», dss eine gesuhte Grösse (z.b. Zeit, Volumen, Länge, Krft usw.) uf der einen Seite des Gleihheitszeihens steht und lle nderen Grössen uf der nderen Seite. Für ds Umstellen von Formeln git es ein einfhes «Rezept», ds us höhstens fünf Shritten esteht. Dieses Rezept kennen wir shon von den Zhlengleihungen. Mn geht dei Shritt für Shritt diesem Rezept nh. Je nh Formel knn mn er uh einen oder sogr mehrere Shritte uslssen. Arithmetik und Alger Seite 50

51 . Brühe vershwinden lssen. Klmmern usrehnen. Glieder mit der Uneknnten nh links, Rest nh rehts 4. Ausklmmern 5. Dividieren, evtl. noh kürzen U Beispiel R R I? I Arithmetik und Alger Seite 5

52 Beispiel A h? Beispiel s v t v v? Arithmetik und Alger Seite 5

53 Beispiel 4 v e m v m v m? m m Üung 9 Stellen Sie die Formeln nh jeder Grösse in der Gleihung um. ) s v ) t A ) 4r s q d) 80 n e) n s vt v0 f) D d Arithmetik und Alger Seite 5

54 Lösungen zu den Üungen Üung ) 5 ) y 4 ) 5 d) 5 e) Üung ) y ) 0,5, 4 ) 5,5 d) Üung ) 6 ) 8 0y z ) k 7 d) 5k 7 e) 8, 6 7 f) 4y 7 Üung 4 ) ) 8n ) 6 r d) y y e) 60 f) n 6 g) 0 h) 6 4 i) 0m 4mu 5mn mnu k) 40 7 Üung 5 ) 4d 4d ) 6 5n ) 6n 6n 9 d) e) 4 f) Arithmetik und Alger Seite 54

55 Üung 6 ) 7 4d ) 4 ) m d) 5e e) 54 7 f) t 5 y g) 6r 5m h) 5 i) 4s 4s k) r r Üung 7 ) y ) r 4 ) d) d e) y 7 f) 5 Üung 8 5 ) 7 ) 5 ) 4 d) 4 y 4 e) 5 6z f) Üung 9 ) 60u 60u v 0u ; u 60u v ; 45uvy 60u v ) 8 y dy ; 8 y 8 y ; 7 8 y y Arithmetik und Alger Seite 55

56 Üung 0 ) ; 9 ; 5 ) 5d 0d ; 7 0d ) 9 ; ; d) 44 ; ; 9 e) u ; uv 4u u vu v u vu v u vu v v ; 4v f) 5 ; 0 ; 45 Üung ) 5 ) ) d) e) d f) 4 y g) 4 h) i) k) l) u u m) Arithmetik und Alger Seite 56

57 Üung ) 45 4 u ) u v ) 7 0 d) e) f) g) 5 6 9y y h) 5 Üung ) 6 ) z ) y d) 6 y e) f) 6n g) h) 5 0f n i) 8 48 Üung 4 ) 6 ) ) d) 6 7 Üung 5 ) ), 5 ) 0 d) 0, 5 e) 4 f) 8 Arithmetik und Alger Seite 57

58 Üung 6 ) 6 ) ) d) 8 e) 7 4 f) 5 Üung 7 ) 7 ) ) d) n p e) 6 f) 4 g), 4 h) 8 i) 0 k) 5 Üung 8 ) 0, 48 ) 7 ), 5 d) 5 e) 5 f) 8 g), 5 h) i) 4 k) 60 Üung 9 ) s s vt, t ) v r 4A, 4Ar, 4Ar, 4Ar ) q s d) s n e) v t 0 v s 0 vt s v 0 v vt s f) D d d D D d Arithmetik und Alger Seite 58

59 Weitere Titel in der Reihe «Mthemtik Bsis» Mr Peter Prozente. korrigierte Auflge Seiten, A4, roshiert Riner Hofer Grundlgen der Mehnik. Auflge Seiten, A4, roshiert Mr Peter / Riner Hofer Alger rehnerishe und grphishe Lösungen von Gleihungen. Auflge 00 5 Seiten, A4, roshiert Mr Peter Arithmetik und Alger. Auflge Seiten, A4, roshiert Mr Peter / Riner Hofer Potenzen, Wurzeln und Logrithmen. Auflge Seiten, A4, roshiert Mr Peter Bruhrehnen. Auflge Seiten, A4, roshiert Mr Peter Trigonometrie. Auflge Seiten, A4, roshiert Mr Peter Flähenerehnungen. Auflge Seiten, A4, roshiert Riner Hofer Grössen, Einheiten und Figuren. Auflge Seiten, A4, roshiert