Einheitsvektoren: e. -Satzes berechnen: a a a (Quadratwurzel aus a x Quadrat plus a y Quadrat). Es ist leicht zu beweisen, dass der Vektor e

Transkript

1 NHNG: MHEMIK Vektoren und Vektoropertionen Sklre Größe: eine geometrische oder phsiklische Größe die durch eine voreichenehftete reelle Zhl und eine Mßeinheit chrkterisiert ist Vektorgröße: eine gerichtete geometrische oder phsiklische Größe die durch eine Länge (Betrg) ihre Richtung ihren Richtungssinn (Voreichen) und eine Mßeinheit chrkterisiert ist Die Kenneichnung ls Vektor erfolgt im Folgenden durch einen üer den Buchsten gesetten feil ) nge eines Vektors: e O e e Einheitsvektoren: e e (Vektor e ) Die Einheitsvektoren hen eine Länge (Betrg) von eins: e e (Betrg von Vektor e ist gleich eins) nge eines elieigen Vektors mittels Einheitsvektoren: e e Wenn mn die Länge / den Betrg und den Winkel wischen der chse und dem Vektor kennt dnn folgt us dem vorherigen Zusmmenhng: cos e sin e (cos e sin e ) e (Betrg von Vektor ml in Klmmern Kosinus lph ml Vektor e plus ) Die Länge des Vektors knn mn mit Hilfe des thgors -Stes erechnen: (Qudrtwurel us Qudrt plus Qudrt) Es ist leicht u eweisen dss der Vektor e ein Einheitsvektor ist: e cos sin Die Vektoropertionen sind unhängig vom ngriffspunkt und der Wirkungslinie gültig ) ddition/summtion von Vektoren: Zwei Vektoren sind eknnt: e e e e Berechnung der Summe weier Vektoren: ( e e ) ( e e ) ( ) e ( ) e c (Vektor plus Vektor ) c c Drstellung der Summe weier Vektoren: c c Dreieck-Regel c) Sutrktion von Vektoren: rllelogrmm-regel Zwei Vektoren sind eknnt: e e e e Smos thgors (BC ) lt-griechischer Mthemtiker und hilosoph 86

2 Die Berechnung der Differen weier Vektoren: ( e e ) ( e e ) ( ) e ( ) e d (Vektor minus Vektor ) Drstellung der Sutrktion weier Vektoren: d ( ) d d d) Sklre Multipliktion von Vektoren (ds sklre rodukt von Vektoren): Ds Ergenis der sklren Multipliktion ist eine sklre Größe) Die Definition der sklren Multipliktion: d d cos Die Berechnung eines sklren roduktes: Die ussprche der Beeichnung : Vektor sklr multipliiert mit Vektor Die sklre Multipliktion der Einheitsvektoren: e e e e e e e e 0 e e 0 e e 0 Die Verllgemeinerung der Ergenisse: und 0 ( 0 0 ) Die ussprche der Beeichnung : Vektor ist senkrecht u Vektor e) Ds Kreuprodukt von Vektoren (die vektorielle Multipliktion von Vektoren): Ds Ergenis des Kreuproduktes ist eine Vektorgröße Die Definition des Kreuproduktes: Die Größe des Ergenisvektors: sin (Vektor Kreu Vektor Betrg ist sin Ds Kreuprodukt von Einheitsvektoren: e e e die Höhe des rllelogrmms d gleich ) Die Richtung des Ergenisvektors erhält mn mit Hilfe der sogennnten Rechtehndregel: Streckt mn im Winkel von 90 Grd ueinnder den Zeigefinger (Vektor ) und den Mittelfinger (Vektor ) der rechten Hnd us dnn eigt der im Winkel von 90 Grd u den nderen eiden Fingern usgestreckte Dumen in Richtung des Ergenisvektors / Wenn mn uf der rechten Hnd den usgestreckten Zeigefinger (Vektor ) in den 90 Grd du gespreiten Mittelfinger (Vektor ) dreht dnn eigt der 90 Grd u den eiden Fingern usgestreckte Dumen in Richtung des Ergenisvektors w einer sich drehenden Rechtsschrue Der Ergenisvektor ist u den eiden Vektoren und senkrecht e e 0 e e e e e e e e 0 e e e e e e e e 0 e e e e e e 87

3 Regel: - Wenn mn wei Einheitsvektoren in der Reihenfolge (in der Richtung) des im Bild drgestellten feiles multipliiert dnn erhält mn den dritten Einheitsvektor mit positivem Voreichen - Wenn mn wei Einheitsvektoren in der umgekehrten Reihenfolge (in der Gegenrichtung) des im Bild drgestellten feiles multipliiert dnn erhält mn den dritten Einheitsvektor mit negtivem Voreichen Die Berechnung eines Kreuproduktes: e e e e ( ) e ( ) e ( ) Die Verllgemeinerung der Ergenisse: 0 ( 0 0 ) f) Doppeltes Kreuprodukt von Vektoren: Ds Ergenis dieser Opertion ist ein Vektor ( ) c oder ( c) Für die Berechnung git es wei Möglichkeiten: - die usführung der wei Kreuprodukte in der durch die Klmmern estimmten Reihenfolge - die nwendung der Berechnungsregel für ds doppelte Kreuprodukt: ( ) c ( c) ( c) eiehungsweise ( c) ( c) c( ) g) Gemischtes rodukt von Vektoren: Ds Ergenis dieser Opertion ist eine sklre Größe Definition: c c c ( ) c Berechnung: ( c) c c c c c Eigenschft: c c c c c c ( ) Die Folge: Wenn 0 0 und c 0 sowie ( c) 0 Eene Die Vektoren liegen in der gleichen Üungen u den Vektoropertionen ufge: Bestimmung von Ortsvektoren Berechnung von Summen und Beträgen D O usreitung: G C B F E e H Gegeen ist: Ein rism und der Ort des unktes H: B 8 m BE 3 m D 6 m FH 05 BF ) Die Bestimmung des Ortsvektors r H des unktes H: ufge: ) Die Bestimmung des Ortsvektors r H des unktes H ) Die Ermittlung des Ortsvektors r HB der vom unkt H um unkt B eigt 88

4 rh rof rfh r r (8e 6 e ) m OF F rbf e ( 3 e 6 e ) m r 45 rbf ( 3e 6 e ) m BF r m BF BF BF r m FH 45 rfh r FH e ( 3 e 6 e ) ( 5 e 3 e ) m 45 r (8e 6 e ) ( 5 e 3 e ) ( 5 e 8e 9 e ) m H ) Die Ermittlung des Ortsvektors r HB der vom unkt H um unkt B eigt: 3 3 rhb r BF e 45 ( 3e 6 e ) m rhb (45e 9 e ) m 45 ufge: Die ddition und die Sutrktion von Vektoren der Winkel wischen den Vektoren F F F Gegeen: F (40e 50 e ) N F ( 0e 4 e) N ufge: F F 0 F ) Die Bestimmung des resultierenden Krftvektors F0 F F ) Die Berechnung des Differen-Vektors F* F F c) Die Ermittlung des Winkels wischen den wei Krftvekto- F ren F und F usreitung: ) Die Bestimmung des resultierenden Krftvektors F0 F F : F0 F F (40e 50 e ) ( 0e 4 e ) (0e 54 e) N ) Die Berechnung des Differen-Vektors F* F F : F* F F (40e 50 e ) ( 0e 4 e) (60e 46 e) N c) Die Ermittlung des Winkels wischen den wei Krftvektoren F und F : F F F F F F cos cos F F F F 40( 0) N F F F N 600 cos F F F N rccos( ) ufge: Koordinten und Komponenten eines Vektors Gegeen: (0e 5 e ) m ufge: ) Die Bestimmung der Koordinten des Vektors in - und -Richtung 89

5 ) Die Ermittlung der Komponenten des Vektors in Richtung der Koordintenchsen usreitung: ) Die Bestimmung der Koordinten des Vektors in - und -Richtung: Die Koordinten eines Vektors sind sklre Größen us der Definition der sklren Multipliktion: e e cos cos e e cos cos Die Berechnung der sklren Koordinten: e (0e 5 e ) e 0e e 5e e 0 m 0 e (0e 5 e ) e 0e e 5e e 5 m ) Die Ermittlung der Komponenten des Vektors in Richtungen der Koordintenchsen: Die Komponenten eines Vektors sind Vektorgrößen e (0 e ) m e (5 e ) m 4 ufge: Koordinten und Komponenten eines Vektors Gegeen: (6e 6 e ) m (e 4 e ) m ufge: ) Die Bestimmung der Koordinte in Richtung und der Koordinte vom Vektor senkrecht uf den Vektor ) Die Ermittlung der Komponente in Richtung und der Komponente vom Vektor senkrecht uf den Vektor usreitung: ) Die Bestimmung der Koordinten in gegeenen (elieigen) Richtungen: Die Koordinte des Vektors in Richtung (rojektion uf ): cos cos m m m Die Koordinte des Vektors in Richtung der Senkrechten von uf (rojektion senkrecht uf ): sin sin e e e 4 0 (7 4) (48 ) m e e m m 65 m ) Die Bestimmung der Komponenten in gegeenen (elieigen) Richtungen: Die Komponente des Vektors in Richtung : 90

6 e ( e 4 e ) ( e 0 36 e ) 65 e 759(0 9486e 036 e ) (7e 4 e ) m Die Komponente des Vektors in Richtung der Senkrechten uf : ( ) sin sin sin e ( ) (48 e ) (e 4 e ) ( 9e 576 e ) m 3 9e 576e ( e 36 e)m 60 Kontrolle: (7 e 4 e ) ( e 3 6 e ) (6e 6 e )m 5 ufge: Sklre Multipliktion von Vektoren Gegeen: F (40e 8e 6 e ) kn F ( e e 3 e ) kn F3 ( F3e ) Frge: Wie groß muß die Koordinte usreitung: Wenn um Vektor F steht? ist dnn gilt F 3 sein wenn mn erreichen will dß der Vektor F F3 0 cos 0 o 90 Deshl muss der Zusmmenhng ( F F3 ) F 0 erfüllt werden ( F F3 ) F 40 e (8 F3 ) e 6 e ( e e 3 e ) 0 40 (8 F3 ) F F F3 6kN 3 6 ufge: Koordinten und Komponenten von Vektoren ( ) senkrecht Gegeen: (3 e e) N (4e e) N ufge: ) Die Bestimmung der Koordinte in Richtung und der Koordinte des Vektors in Richtung der Senkrechten uf ) Die Ermittlung der Komponente in Richtung und der Komponente des Vektors in Richtung der Senkrechten uf Ergenisse: ) Die Bestimmung der Koordinte in Richtung und der Koordinte des Vektors in Richtung der Senkrechten uf : 35 N 35 N ) Die Ermittlung der Komponente in Richtung und der Komponente des Vektors in Richtung der Senkrechten uf : ( e e) N ( e e) N 9

7 3 Kure Zusmmenfssung ur Mtrienlger ) Definition und Beeichnung von Mtrien: Die Mtri: Eine Menge von sklren Größen Zhlen die nch einer gegeenen Regel in eine elle geordnet sind 3 Die Beeichnung der Mtri: ( doppelt unterstrichen in eckigen Klmmern) 3 Die Mtrien werden mit doppelt unterstrichenen Buchsten eeichnet B: usw Die Elemente (die Koordinten) der Mtri werden mit unter indiierten Buchsten eeichnet B: 3 usw Ds Mtrienelement 3 steht in der ersten Zeile und in der dritten Splte der Mtri Die Dimension der Mtri: Die oige Mtri vom Formt 3 ht wei Zeilen und 3 Splten Ds ussprechen der Beeichnung des Mtrienelementes 3 erfolgt in der Form: eins drei Spltenmtri: Zeilenmtri: 3 3 Die Spltenmtri ht immer nur eine Splte und die Zeilenmtri ht immer nur eine Zeile Die Zeilenmtri ist die rnsponierte derselen Spltenmtri Die Zeilenmtri wird immer mit einem Buchsten ls oeren Inde gekenneichnet ) Mtriopertionen: Die Opertionen werden hier mit Mtrien vom Formt ( ) () und () erklärt - rnsponierung - rnsponierte Mtri (Spiegelung n der Huptdigonlen): Die Elemente mit gleichen Indies ilden die Huptdigonle der Mtri ( ) ( ) Die Kenneichnung der rnsponierten erfolgt mit dem Buchsten (ls oeren Inde der Mtri) Mittels der rnsponierung erhält mn us einer Zeilenmtri eine Spltenmtri und umgekehrt Ds ussprechen der Beeichnung ist trnsponiert - ddition und Sutrktion von Mtrien: Die ddition und Sutrktion knn mn nur mit Mtrien gleicher Dimension durchführen B C ( ) ( ) c c ( ) ( ) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Multipliktion von Mtrien (Komintion von Zeilen und Splten): Die Mtrimultipliktion knn mn nur dnn durchführen wenn die nhl der Splten der ersten Mtri mit der nhl der Zeilen der weiten Mtri üereinstimmt B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

8 c ( ) c ( ) c () () () () B d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) c) Speielle Mtrien: 0 - Einheitsmtri: E 0 Eigenschft: E E Die Einheitsmtri enthält in der Huptdigonlen Elemente der Größe und ußerhl der Huptdigonlen die Werte 0 Die Multipliktion mit einer Einheitsmtri ändert die Elemente der Mtri nicht - Smmetrische Mtri: Die Elemente der Mtri sind den Elementen der trnsponierten Mtri gleich Zum Beispiel 9 ist eine smmetrische Mtri - ntismmetrische Mtri: Die Elemente der Mtri sind den negtiven Elementen der trnsponierten Mtri gleich 0 3 Zum Beispiel 3 0 ist eine ntismmetrische Mtri 4 Sklre doppelte vektorielle gemischte und ddische Multipliktion von Vektoren Bestimmte Multipliktionen wischen Vektoren können uch in der Form von Mtrimultipliktionen durchgeführt werden ) Sklre Multipliktion von Vektoren: Definition der sklren Multipliktion: cos ( ist der Winkel wischen den eiden Vektoren) Durchführung der sklren Multipliktion mittels Mtrimultipliktion: Der erste Vektor wird in der Form einer Zeilenmtri der weite Vektor er in der Form einer Spltenmtri ufgeschrieen und mit diesen Mtrien wird die Mtrimultipliktion (Komintion von Zeilen und Splten) durchgeführt Ds Ergenis der sklren Multipliktion ist eine sklre Größe ) Doppelte vektorielle Multipliktion von Vektoren: ( ) c oder ( c) Für die Berechnung git es wei Möglichkeiten: - Durchführung der eiden vektoriellen Multipliktionen in der gekenneichneten Reihenfolge 93

9 - Berechnung mit der usführungsregel: ( ) c ( c) ( c) eiehungsweise ( c) ( c) c( ) c) Die gemischte Multipliktion von Vektoren: Definition und Beeichnung der gemischten Multipliktion: ( c) ( c) ( c) Berechnung der gemischten Multipliktion: - ls Erstes wird die vektorielle Multipliktion vorgenommen und dnch wird die sklre Multipliktion mit dem dritten Vektor usgeführt - Berechnung mittels Determinnte: ( c) det ( c c ) ( c c ) ( c c ) c c c d) Ddische (llgemeine) Multipliktion von Vektoren: Gegeen sind die elieigen Vektoren und c Die Kenneichnung der ddischen Multipliktion weier Vektoren: ussge: Vektor ddisch multipliiert mit Vektor Ds ddische rodukt wird mittels nge der Eigenschften der ddischen Multipliktion definiert: - die ddischen und sklren Multipliktionen sind ssoitiv (ds heißt die Reihenfolge der eiden Opertionen knn vertuscht werden): ( ) c ( c) - ds ddische rodukt ist in Beug uf die sklre Multipliktion nicht kommuttiv (es ist nicht egl o mn ein ddisches rodukt von der linken oder von der rechten Seite mit einem dritten Vektor sklr multipliiert weil die Ergenisse der eiden Multipliktionen unterschiedlich sind) c ( ) ( ) c Wenn die Multipliktion die oigen eiden Zusmmenhänge erfüllt dnn knn mn von einer ddischen Multipliktion sprechen Berechnung der ddischen Multipliktion weier Vektoren in krtesischen Koordinten: Der erste Vektor wird in der Form einer Spltenmtri der weite Vektor jedoch in der Form einer Zeilenmtri ufgeschrieen und mit diesen Mtrien wird die Mtrimultipliktion (Komintion von Zeilen und Splten) durchgeführt Ds Ergenis der Multipliktion ist eine Mtri mit neun sklren Elementen Ddische Multipliktion der Einheitsvektoren: e e e e e e e e 94

10 e e e e e e e e e e Die Multipliktion mit einer sklren Größe ist immer ddisch oder nders usgedrückt llgemein 5 Eigenwerte und Eigenvektoren von Mtrien ) Zielstellung der Eigenwertufge: Gesucht ist eine Spltenmtri n die die folgende Bedingung erfüllt: Ds rodukt us der qudrtischen Mtri und der Spltenmtri n soll gleich dem rodukt us einem sklren Koeffiienten und der Spltenmtri n sein n n Wenn solch eine Spltenmtri eistiert dnn eeichnet mn die Spltenmtri n ls Eigenvektor der qudrtischen Mtri und der sklre Koeffiient heißt Eigenwert der qudrtischen Mtri ) Lösung der Eigenwertufge: Die Lösung der Eigenwertufge wird hier für eine () Mtri geeigt Die oige Gleichung wird usführlich ufgeschrieen und eide Multipliktionen werden uf eine Seite der Gleichung gercht: n n n n n n 0 n n 0 Nch der usführung der Multipliktionen erhält mn für die Uneknnten n n ein homogenes lineres lgerisches Gleichungssstem: ( ) n n 0 n ( ) n 0 Die Vorussetung für eine nichttrivile (von Null weichende) Lösung des Gleichungssstems ist dß die Determinnte der Mtri verschwinden muss: ( ) 0 ( ) Berechnet mn die Determinnte dnn erhält mn die chrkteristische Gleichung: ( ) ( ) 0 Die Lösungen der chrkteristischen Gleichung sind die Eigenwerte der Mtri: ( ) ( ) 4( ) Ds homogene linere lgerische Gleichungssstem ht nur in den Fällen und nichttrivile Lösungen 95

11 Die üliche Numerierung der Eigenwerte der Mtri erfolgt in ufsteigender Reihenfolge Wenn mn die Eigenwerte i (i=) in ds homogene linere lgerische Gleichungssstem einsett knn mn ds Gleichungssstem nch den Uneknnten n n uflösen: ( i ) ni ni 0 ni ( i ) ni 0 n n i i i i woei i= Beim Einseten der Eigenwerte i (i=) sind die Gleichungen jedoch nicht voneinnder unhängig In diesem Fll muss mn die eine Gleichung weglssen und knn us der nderen Gleichung den Quotienten n / n oder n / n (i=) estimmen i i i i Die Werte von n i und n i erhält mn eindeutig wenn mn von den Eigenvektoren ni n i die Erfüllung einer Einheitsedingung fordert: n n i= i i n i 6 Bildung von ensoren ) Definition und Eigenschften von ensoren: Der ensor: Eine ildung (Zuordnung) die durch eine homogene linere Vektor-Vektor-Funktion relisiert ist w f ( v) v O v v Zuordnung ildung O w w Der ensor ordnet einem elieigen Vektor v einen Bildvektor w u Die Vektor-Vektor-Funktion stellt einen Zusmmenhng dr ei dem sowohl der Deutungsereich v ls uch der Wertevorrt w Vektorgrößen sind Die Eigenschften des ensors: - Homogen liner: Wenn ein Vektor ls eine linere Komintion weier Vektoren geildet wird dnn sind die Linerkomintionen des Vektors v und des Bildvektors w gleich Wenn v v v und w f ( v) w f ( v) dnn w f ( v) f ( v v ) f ( v ) f ( v ) w w In dem Zusmmenhng sind und elieige sklre Koeffiienten Folge: Die ildung ordnet einem Null-Vektor einen weiteren Null-Vektor u: 0 f (0) - Der ensor ist eine vom Koordintensstem unhängige phsiklische (geometrische mechnische) Größe ) Bildung des ensors in krtesischen Koordinten: - Die Formulierung des ensors erfolgt: - mittels der Koordinten des ensors (ls Mtri) und - mit dem Koordintensstem - nordnung der Koordinten des ensors in einer Mtri:

12 - Bildung des ensors in krtesischen Koordinten: St : - Jeder ensor knn im 3D Fll mit drei ueinnder senkrechten Einheitsvektoren und mit ihren Bildvektoren (drei Wertepre) eindeutig ngegeen werden - Jeder ensor knn im D Fll mit wei ueinnder senkrechten Einheitsvektoren und mit ihren Bildvektoren (wei Wertepre) eindeutig ngegeen werden St : - Jeder ensor knn im 3D Fll in Form einer Summe dreier Dden geildet werden - Jeder ensor knn im D Fll in Form einer Summe weier Dden geildet werden Beknnt sind drei Wertepre: e f ( e ) e e e e f ( e) e e e e c f ( e ) c ce ce ce Ddische Bildung des ensors: ( e e c e ) Die Mtri des ensors: c c c Die Mtri des ensors erhält mn nch usführung der ddischen Multipliktionen und dditionen Die Splten der Mtri enthlten die Koordinten der Bildvektoren c In der ersten Zeile der Mtri stehen die -Koordinten der Bildvektoren in der weiten und dritten Zeilen stehen er die - und - Koordinten c) Doppelte sklre Multipliktion von ensoren Beknnt sind: und B usführung der doppelten Multipliktion: e e e e e 3 e e e e e e 3 e 3 e e 3 e e 3 e e B e e e e e e Doppelte sklre Multipliktion von Dden: Es wird die folgende Regel ngewendet: o c d c o d 3 97

13 3 B e e e e e e 0 0 e e e e 3 e e e e 3 e e 3 3 e e ufgen u Mtri- und ensor-opertionen ufge 7: Mtrien-Opertionen Beknnt: B 6 3 ufge: ) Bestimmung der trnsponierten Mtrien und B ) Berechnung der Summe B und der Differen B c) Bestimmung des roduktes B usreitung: ) Bestimmung der trnsponierten Mtrien B und B : ) Berechnung der Summe B und der Differen B: B B c) Bestimmung des roduktes B: 4 4 ( ) ( 4)( 6) 4 ( 4)3 B ( ) 3( 6) ufge 7: Sklre ddische rodukte durch Mtrienmultipliktion: Gegeen: (4 e 6 e e ) ufge: usreitung: m 3 e e e m c e 6e ) Bestimmung der rodukte und ) Berechnung der rodukte ( ) ) Bestimmung der rodukte und : ( 3) 6 ( ) ( ) 5 m e e e e e e m c und c ( ) 98

14 e 8e 3e e 4 e 6e e e 4 6 e e e e m Die Koordinten der ersten Multipliktionskoeffiienten der Dden in der rechteckigen Klmmer erscheinen in den einelnen Splten der Mtri des ensors: m 3 ) Berechnung der rodukte ( ) c und c ( ) : - Berechnung unter nwendung der Regel: ( ) c ( c) 4 e 6e e 3 e e e e 5 e 4 e 6e e 5 e 8e 3e m 3 - Berechnung mittels Mtrienmultipliktion: ( ) c m Die Ergenisse der eiden Berechnungen stimmen ntürlich üerein - Berechnung unter nwendung der Regel: e 5 e 4 e 6e e 3 e e e 5 3 e e e (e 7e 7 e ) c ( ) ( c ) - Berechnung mittels Mtrienmultipliktion: 4 4 c( ) (36 5) ( 5) ( 5) 7 7m Die Ergenisse der eiden Berechnungen stimmen ntürlich üerein ufge 73: Bestimmung der u einer gegeenen Richtung prllelen und senkrechten Komponente eines Vektors Beknnt: (0e 40e 30 e ) m ufge: e (08e 06 e ) ) Berechnung der u dem Einheitsvektor e prllelen Komponente des Vektors ) Bestimmung der u dem Einheitsvektor e senkrechten Komponente des Vektors mittels des doppelten Kreuproduktes c) Bestimmung der u dem Einheitsvektor e senkrechten Komponente des Vektors mittels der usführungsregel O e 99

15 usreitung: ) Berechnung der prllelen Komponente : 0 ( e ) e e (3 8) e 50 e e 50(08e 06 e ) (4e 30 e ) m ) Bestimmung der senkrechten Komponente mittels des doppelten Kreuproduktes: ( e ) e e e e ( e ) e ( 4 4) e () e ( 6) e e e ( e ) e 0 6 e (7 8) e (0) e (0) ( e ) e (0 e ) m c) Bestimmung der senkrechten Komponente mittels der usführungsregel: ( e ) e ( e e ) e ( e ) (0e 40e 30 e ) (40e 30 e ) (0 e) m ufge 74: Gemischte Multipliktion von Vektoren ds Volumen eines Heeders m c usreitung: m V Gegeen: Drei Vektoren c die nicht in einer Eene legen: (5e 3 e e ) m (e 4e 3 e ) m c (3e e 6 e ) m ufge: Die Berechnung des Volumens des mit den Vektoren c ngegeenen Heeders Ds Volumen V des Heeders der durch die drei Vektoren c estimmt ist knn mn mit der gemischten Multipliktion der Vektoren erechnen c c c V c m Nchweis: V c c c m cos cos = sin m woei die Fläche die Oerfläche des durch die Vektoren gegeenen rllelogrmms ist 00

16 ufge 75: Bildung eines ensors Beknnt: r (4e e ) m O r r ufge: ) Bestimmung der Mtri des ensors der den Ortsvektoren r der -Eene die durch Spiegelung im Ursprung O des Koordintensstems entstndenen Vektoren r uordnet ) Berechnung des Vektors r der der um Vektor r im Ursprung O gespiegelte Vektor ist usreitung: ) Bildung des ensors: Ein ensor ist im eenen Fll durch seine wei Wertepre estimmt: e e e e Der ensor us den wei Wertepren: ( e e ) 0 Die Mtri des ensors: 0 ) Berechnung des Bildvektors r : r r 0 0 r ( 4e e ) m ufge 76: Bildung eines ensors Beknnt: r (4e 3 e ) m O r r ufge: ) Bestimmung der Mtri des ensors der den Ortsvektoren r der -Eene die durch Spiegelung n der -Koordintenchse entstndenen Vektoren r uordnet ) Berechnung des Vektors r der durch Spiegelung des Vektors r n der -chse entsteht usreitung: ) Bildung des ensors: Ein ensor ist im eenen Fll durch seine wei Wertepre estimmt: e e e e Der ensor us den wei Wertepren: ( e e ) Die Mtri des ensors: 0 0 0

17 ) Berechnung des Bildvektors r : r r ufge 77: Bildung eines ensors Beknnt: o 30 r (4 e e ) m r usreitung: r ) Bestimmung der Mtri des ensors: e e Berechnung der Dden: e 0 ufge: r (4e 3 e ) m ) Bestimmung der Mtri des ensors der us den um den Winkel verdrehten Ortsvektoren der -Eene geildet wird ) Berechnung des Vektors r den mn durch eine Verdrehung des Vektors r um den Winkel erhält Ein ensor ist im eenen Fll durch seine wei Wertepre estimmt: e (cose sin e ) e ( sine cos e ) Der ensor us den wei Wertepren: ( e e ) 0 cos 0 0 sin sin e cos cos sin Die Mtri des ensors: sin cos ) Berechnung des verdrehten Vektors r : cos sin r r sin cos r (964 e 866 e ) m ufge 78: Bildung eines ensors Beknnt: u o 45 r (5e e ) m ufge: r r 0

18 ) Bestimmung der Mtri des ensors der den Ortsvektoren r der -Eene die Verschieungsvektoren der Endpunkte der Ortsvektoren ei einer Verdrehung um den Winkel uordnet ) Berechnung des Verschieungsvektors u des Endpunktes des Vektors r ei einer Verdrehung um den Winkel usreitung: ) Bestimmung der Mtri des ensors : e e Die Mtri des ensors: ) Berechnung des Verschieungsvektors u : u r ufge 79: Bildung eines ensors Beknnt: usreitung: Ein ensor ist im eenen Fll durch seine wei Wertepre estimmt: e ( cos ) e sine e sin e ( cos ) e Der ensor us den wei Wertepren: ( e e ) (cos) sin sin (cos) n ( e e) r (5e e 0 e ) m ufge: r r S ) Bestimmung der Mtri des ensors : n r u ( 879 e 949 e ) m Der rojektionsvektor w uf die Eene S eines elieigen Vektors v : ) Bestimmung der Mtri des ensors der jedem Ortsvektor des -Rumes einen rojektionsvektor uordnet der in der Eene S mit dem Normlenvektor n liegt ) Berechnung des rojektionsvektors r in der Eene S mit dem Normlenvektor n des Vektors r Den rojektionsvektor r erhält mn indem der Endpunkt des Vektors r senkrecht uf die Eene S projiiert wird w n ( v n) v ( n n) n( n v) v n( n v) Ein ensor ist im räumlichen Fll durch seine drei Wertepre estimmt: e e n ( n e ) e e 0 n e n ( n e ) e e e e e e 03

19 e n c e n ( n e ) e e e e e e Der ensor us den drei Wertepren ( e e c e ) Der Mtri des ensors: ) Berechnung des rojektionsvektors r in der Eene S mit dem Normlenvektor n vom Vektors r uf die Eene S: r r m r (5e 6e 6 e ) m ufge 70: Bildung eines ensors O r r D Beknnt: r (4e 4e 8 e ) m ufge: ) Bestimmung der Mtri des ensors der jedem Ortsvektor des - Rumes den rojektionsvektor in der -Eene uordnet ) Berechnung des rojektionsvektors r in der Eene S mit dem Normlenvektor n vom Vektors r uf die Eene S Den rojektionsvektor r erhält mn indem der Endpunkt des Vektors r senkrecht uf die -Eene projiiert wird Der unkt D ist der Schnittpunkt/Durchstoßpunkt der rojektionslinie mit der -Eene Der rojektionsvektor ist der Ortsvektor des unktes D usreitung: 0 0 ) Die Mtri des ensors: ) Der rojektionsvektor r : (4 4 ) r e e m ufge 7:Bildung eines ensors Beknnt: r (3 e 4e 6 e ) m O r r D ufge: ) Bestimmung der Mtri des ensors der jedem Ortsvektor des - Rumes einen Spiegelvektor ur Eene S mit dem Normlvektor n uordnet ) Berechnung des Spiegelvektors r ur Eene S mit dem Normlvektor n vom Vektors r uf die Eene S Den Spiegelvektor erhält mn folgenderweise: Im ersten Schritt estimmt mn den rojektionsvektor Der unkt D ist der Schnittpunkt/Durchstoßpunkt der rojektionslinie mit der -Eene Den Spiegelpunkt ekommt mn wenn der stnd D in rojektionsrichtung ngetrgen wird 04

20 usreitung: 0 0 ) Die Mtri des ensors: ) Der Spiegelvektor r : r (3e 4e 6 e ) m ufge 7: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren eines ensors (einer Mtri) Beknnt: Die Mtri in krtesischen -Koordinten des ensors : 3 3 ufge: Bestimmung und Vernschulichung der Eigenwerte und der Eigenvektoren n n des ensors usreitung: Die untersuchte Mtri ist smmetrisch deshl erwrtet mn wei rele Eigenwerte und wei ueinnder senkrechte Eigenvektoren Die chrkteristische Gleichung: n n E n E n 0 Dmit hen wir ein homogenes lineres lgerisches Gleichungssstem für die Koordinten n n des Vektors n erhlten Ds Gleichungssstem ht nur in dem Fll eine nichttrivile (von Null verschiedene) Lösung nur in dem Fll wenn die Determinnte der Koeffiientenmtri des Gleichungssstems verschwindet: det E 0 Es werden die Elemente der Mtri eingesett und die Determinnte erechnet: 3 3 det Nch der Durchführung der Multipliktionen erhält mn die chrkteristische Gleichung: Die Lösungen der chrkteristischen Gleichung dß heißt die Eigenwerte: Bestimmung der Eigenvektoren: - Bestimmung des Eigenvektors n der um Eigenwert gehört: Mn sett den Eigenwert in ds Gleichungssstem ein: 3 3 n n 0 3 n 3 3 n 0 Nch der Mtrimultipliktion erhält mn ds folgende Gleichungssstem mit wei Uneknnten: 05

21 n 3n 0 3n 3n 0 Diese Gleichungen sind jedoch nicht voneinnder unhängig Wenn mit 3 multipliiert wird dnn erhält mn die weite Gleichung Deshl git dieses Gleichungssstem nur ds Verhältnis der Koordinten (dß heißt nur die Richtung) des Eigenvektors n Wir ruchen noch eine Bedingung: wir wollen den Eigenvektor ls Einheitsvektor definieren: n n n 3n n n Es ist numerken dß wir dementsprechend ds Voreichen wählen können Wenn mn den Wert 3 n wählt dnn ist n e e - Bestimmung des Eigenvektors n der um Eigenwert gehört: n n 0 3 n 3 n 0 Nch der Mtrimultipliktion erhält mn wieder ein Gleichungssstem mit wei Uneknnten: 3n 3n 0 3n n 0 Diese Gleichungen sind er uch in diesem Fll nicht voneinnder unhängig Der Multipliktor ist hier 3 3 Nch der Wiederholung der oigen Vorgehensweise: n e e Die Vernschulichung der Lösung: Mn sieht uch im Bild dß die Eigenvektoren ueinnder senkrecht sind: n n 3 3 n n 0 Es ist im llgemeinen whr dß die Eigenvektoren eines smmetrischen ensors ueinnder senkrecht sind wenn mn wei unterschiedliche Eigenwerte ht Beweis der ussge: Multipliieren wir ds rodukt us der Eigenwertufge mit dem Eigenvektor n von der linken Seite: n n n n Berücksichtig mn die Smmetrie des ensors: n n n n n n n n Umgeformt: n n 0 us dieser Gleichung folgt dß die Eigenvektoren ueinnder senkrecht sind 8 Doppeltes sklres rodukt von ensoren Jeder ensor knn ls eine Summe dreier Dden drgestellt werden Ds doppelte sklre rodukt wird mit Hilfe von Dden definiert: 06

22 c d c d c d d c Ds Ergenis der doppelten sklren Multipliktion weier ensoren (weier Dden) ist eine sklre Größe Die doppelte sklre Multipliktion wischen wei ensoren (wei Dden) knn mn uch in unterschiedlicher Weise vornehmen Dmit ekommt mn uch unterschiedliche Ergenisse Ds Ergenis ist er im Fll von smmetrischen ensoren diesele sklre Größe Beispiel: Berechnung der speifischen Formänderungsenergie mit doppelter sklrer Multipliktion: u F e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Sowohl der Vererrungstensor ls uch der Spnnungstensor sind smmetrisch Deshl erhält mn für die Formänderungsenergie einen Wert 9 Differentilgleichungen (DG) Differentilgleichung: Eine mthemtische Gleichung die den Zusmmenhng wischen einer Funktion mit einer oder mehreren Veränderlichen und ihren leitungen ngit Die wichtigeren / wichtigsten pen: - gewöhnliche Differentilgleichungen - prtielle Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen: Mthemtische Gleichungen die den Zusmmenhng wischen einer Funktion mit einer einigen Veränderlichen und ihren leitungen ngeen d ZB m F wo t dt (ds II Newtonsche Geset) rtielle Differentilgleichungen: Mthemtische Gleichung die den Zusmmenhng wischen einer Funktion mit mehreren Veränderlichen und ihren prtiellen leitungen ngeen ZB u Die Eulersche gewöhnliche Differentilgleichung 0; die Lösung ist u u f Unter den lineren Differentilgleichungen n -ter Ordnung mit veränderlichen Koeffiienten knn mn die Differentilgleichungen vom Eulerschen p verhältnismäßig einfch lösen Die Koeffiienten hen die Form von otenfunktionen (olnomen): i i 0 n; und konstnt i i i Die llgemeine Form der Eulerschen Differentilgleichung: ) Lösung der homogenen Differentilgleichung: n n n n n n n 0 e R 07

23 Mn erhält ds Bsis-Sstem der Differentilgleichung mit dem Lösungsnst Nch dem Einseten der leitungen r p r r r p in die homogene Glei- r r chung erhält mn die folgende Form: e g r 0 n p r p r n In diesem usdruck ist gnr nr r r n r 0 ds sogennnte chrkteristische olnom der Eulerschen Differentilgleichung Den Fll 0 usgeschlossen erhält mn us der Gleichung gn r 0 (us der chrkteristischen Gleichung) ds Bsis-Sstem der Differentilgleichung mit der folgenden Vorgehensweise - Die chrkteristische Gleichung ht Einelwureln: Wenn die chrkteristische Gleichung Einelwureln ht (seien die Einelwureln mit r r r n eeichnet) dnn enthält ds Bsis-Sstem der Differentilgleichung die Funktionen r r r n - Die chrkteristische Gleichung ht Multiwureln: Wenn die chrkteristische Gleichung uch Multiwureln ht dnn erhält mn ds Bsis-Sstem folgenderweise: Seten wir vorus dß die Wurel r rk eine Multiwurel von s k ist In diesem Fll erhält mn die u dieser Multiwurel gehörenden Funktionen des Bsis-Sstems wie folgt sk rk rk rk ln ln Ntürlich knn es uch in eiden Fällen vorkommen dß es unter den Wureln uch komplee Zhlen git Mn knn er uch in diesem Fll ein reles Bsis-Sstem finden Bei der oigen Vorgehensweise knn mn mittels der Wronskischen Determinnte eigen dß die gegeenen Funktionen wirklich ein Bsis- Sstem ilden ) llgemeine Lösung der inhomogenen Differentilgleichung: Die Lösung knn mn mittels der oen drgelegten Vorgehensweise eugen c) Beispiele ur Lösung von homogenen Eulerschen Differentilgleichungen: Beispiel : Die DG ist gegeen: Lösung: Die roelösung / Der Lösungsnst: Beispiel : r Nch dem Einseten erhält mn ds chrkteristische olnom: Die Wureln des chrkteristischen olnoms Ds Bsis-Sstem: 5 0 g r : r 5 r g r r 4r 5 0 Die llgemeine Lösung des homogenen Gleichungssstems: C C Die Koeffiienten C C knn mn us Rndedingungen estimmen Die DG ist gegeen: Lösung: Die roelösung / Der Lösungsnst: r 5 Nch dem Einseten erhält mn ds chrkteristische olnom: Die Wureln des chrkteristischen olnoms Ds Bsis-Sstem: ln 0 Die llgemeine Lösung des homogenen Gleichungssstems: g r : r r g r r 4r 4 0 C C ln 08

24 Die Koeffiienten C C knn mn us Rndedingungen estimmen 0 Koordinten-rnsformtion ) 3D räumlicher Fll: e e e O e e e Beknnt sind ein - und ein -Koordintensstem die eide einen gemeinsmen Ursprung O hen und ueinnder verdreht sind Koordinten-rnsformtion: Der Zusmmenhng wischen den gegeenen Größen (Vektorgrößen ensorgrößen) ufgeschrieen in einem - und einem -Koordintensstem - rnsformtion von Vektoren: v K v v - die Spltenmtri mit den Vektorenkoordinten im -Koordintensstem v - die Spltenmtri mit den Vektorenkoordinten im -Koordintensstem e e e e e e e e e e e e K e e e e e e Eine ndere Form der rnsformtionsmtri: Die Eigenschft der rnsformtionsmtri: Definition: Wenn K K - die rnsformtionsmtri cos cos cos K cos cos cos cos cos cos v K v K v gilt dnn ist K eine orthogonle Mtri K K K K K K K K E - rnsformtion von ensoren Zusmmenhng wischen wei Vektoren im -Koordintensstem: w v Zusmmenhng wischen wei Vektoren im -Koordintensstem: w v 09

25 rnsformtion: wir wollen den Zusmmenhng wischen den ensoren und estimmen Der uf der Bsis von Vektoren ufgeschrieene rnsformtionsusmmenhng wird in die erste Gleichung eingesett und die Gleichung wird von der linken Seite mit der rnsformtionsmtri K multipliiert: Nch der Durchführung der Opertionen: Die rnsformtion eines ensors: K / K w K v w K K v = K K Definition des ensors: Eine us neun Zhlenwerten estehende Größe (B eine Mtri vom Formt 3 3) knn in einem gegeenen Koordintensstem einen ensor drstellen den mn mit dieser Regel in ein nderes Koordintensstem trnsformieren knn ) D eener Fll: e O e e e Die rnsformtionsmtri im eenen Fll: Nch Umformung: Beknnt sind ein - und ein -Koordintensstem die einen gemeinsmen Ursprung O hen und ueinnder verdreht sind Koordinten-rnsformtion: Der Zusmmenhng wischen den gegeenen Größen (Vektorgrößen ensorgrößen) ufgeschrieen in dem - und - Koordintensstem e e e e e e e e cos cos K cos cos cos cos cos sin K sin cos cos cos 0