(1 + h) 2 + (1 + h) 2 (1 + h) 1. + h) = lim. die Definititionslücke. (1 + 2h + h 2 ) h 2. = lim. 3h + h 2 = lim. h(3 + h) = lim.

Transkript

1 Grenzwerte an ebbaren Deinitionslücken Musterbeispiel: Berecne den Grenzwert an der Deinitionelücke, bzw. den elenden Punkt des Grapen von, von der Funktion (x) = x + x x Scritt : Deinitionslücke bestimmen, dazu die Nullstelle der Nennerunktion: x = x = Deinitionslücke: x = Deinitionsmene: D = R\{} Scritt : Grenzwert berecnen: lim ( die Deinititionslücke Erebnis: Der Gernzwert von bei x = ist (y =). Der elende Punkt im Grapen von ist ( ) + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) = + = Auabe : Macen Sie das leice mit den olenden Funktionen: a) (x) = x x x b) (x) = 8x x x + c) (x) = x + x d) (x) = x + 8x + x +

2 Auabenblatt: Ableitun und Tanenten Auabe : Die olenden Auaben bezieen sic au die Funktion: (x) = (x ) +. a) Berecne Sceitelpunkt und eebenenalls Nullstellen. b) Zeicne den Grapen von über dem Intervall [, ;, ] (Maßstab LE = cm). c) Bescreibe den Grapen in Worten, denke dabei an eine Person, die den Beri Parabel nict kennt. d) Zeicne die Tanenten an den Grapen von an den Stellen x =,,,,. e) Berecne die Ableitun von und zeicne die Ableitun in dasselbe Koordinatensystem. ) Berecne die Werte von an den Stellen x =,,,,. ) Was bedeuten die Erebnisse von Teilauabe ) ür die jeweilien Tanenten? ) Was ilt ür und die Tanente links des Sceitelpunktes. Kannst Du das beründen? i) Was ilt ür und die Tanente am Sceitelpunkt? Kannst Du das beründen? j) Was ilt ür und die Tanente rects des Sceitelpunktes. Kannst Du das beründen? Auabe : Berecne die. Ableitun a) (x) = x x + x + b) (x) = x + x c) (x) = x x + x d) (x) = x + x x e) (x) = (x + x + x + ) ) (x) = (x ) ) (x) = (x ) ) (x) = (x 7) Auabe : Berecne die. Ableitun der Funktionenscar a) a (x) = ax + (a + )x + a + b) k (x) = kx + k Die Tanente einer Funktion y = (x) an der Stelle x (bzw. im Punkt (x (x )) ) at die Geradenleicun: y = (x )(x x ) + (x ) Auabe : Berecne die Gleicun der Tanente im Punkt P (x y ) a) (x) = x, P ( y ) b) (x) = x +, P (, y ) c) (x) = x +, P (, y )

3 Auabenblatt: We-Zeit-Gesetz We-Zeit-Gesetz u r die leicma ßi bescleunite Beweun: We-Zeit-Gesetz : s(t) = a t + v t + s Gescwindikeits-Zeit-Gesetz : v(t) = s (t) = at + v Bescleuniun : a(t) = v (t) = s (t) = a ist konstant! s : We-Anansbedinun, v : Anansescwindikeit, a: Bescleuniun, t: Zeit. Auabe : a) s(t) = m + ms t. Was ist die We-Anansbedinun, was ist die Gescwindikeit? b) s(t) = m + ms t sm t. Bestimme die Anansbedinun s, Das GescwindikeitsZeit-Gesetz, die Anansescwindikeit v, und die Bescleuniun (Verzo erun). c) Fu r den zuru ckeleten We eines Farzeus elte s(t) =, sm t + ms t. Berecne die Momentanescwindikeit v(t) als Funktion der Zeit und zum Zeitpunkt t = Sekunden. Was ist die Bescleuniun? d) Ein Farzeu bremst mit der konstanten Verzo erun a =, sm von der konstanten Gescwindikeit v = ms ab, so daß u r den We ilt: s(t) = ms t, sm t. Berecne die Gescwindikeit als Funktion der Zeit, wie scnell ist das Farzeu noc nac, s? Wann stet es? e) Ein Motorradarer bescleunit aus dem Stand mit der Bescleuniun a =, sm. Stellen Sie das We-Zeit-Gesetz au. Ermitteln Sie die Gescwindikeitsunktion v(t). Welce Gescwindikeit at er nac Sekunden (in km / )? Cristina Birkenake - Maßstab in cm:.: (x),.9: (y) Auabe : k Welce der Funktionen ist die Ableitun von? Beru ndun! Cristina Birkenake, Version vom 8. Dezember

4 Cristina Birkenake - Maßstab in cm: : Auabenblatt: Ableitunen, Monotonieesetz Cristina Birkenake - Maßstab in cm: : Auabe : Bestimmen Sie unter den einezeicneten Grapen und den Grapen der Ableitun von b) a) Cristina Birkenake - Maßstab in cm: : istina Birkenake-- Maßstab in cm: : c) - d) Cristina Birkenake, Version vom 8. Dezember

5 Cristina Birkenake - Maßstab in cm: : Auabe : Skizziere den Grapen der Ableitun a) Cristina Birkenake - Maßstab in cm: : Cristina Birkenake, Version vom 8. Dezember b)

6 ''(x )= s.m.. '( x)< ''(x )< Maximum Vorzeicenwecsel '(x )= Cristina Birkenake, Version vom 8. Dezember s.m.. '( x)< Sattelpunkt kein Vorzeicenwecsel '(x )= s.m.s '( x)> s.m.. s.m.. '( x)< '( x)< ''(x )> Minimum Vorzeicenwecsel n '(x )= s.m.s. '( x)>

7 7 Auabenblatt: Stammunktion x x x x x x + x x x x x x x x x x x x x xn Cristina Birkenake, Version vom 8. Dezember x