2009 AI f : x f x, ID f. f x. f x x x ax b Nun setzt man die Koordinaten des Punktes P ein, so folgt: f 0 b

Transkript

1 009 AI f : x f x, ID f.0 Von der ganzrationalen Funktion f x x gegeben. Ableitung 9 Der Graph P 0. G f schneidet die x-achse an der Stelle f x. Bestimmen Sie den Funktionsterm IR dritten Grades ist die zweite x und die y-achse im Punkt ( BE) f x x 9 f x x x a 9 9 f x x x ax b Nun setzt man die Koordinaten des Punktes P ein, so folgt: f 0 b 9 Man erhält nun: f x x x ax Jetzt weiß man noch, dass die Funktion f die Nullstelle x hat, somit folgt: f 0 9 a 0 9 a 0 a 9 Somit folgt für f(x): f x x x x.0 Gegeben sind die Funktionen g a : x x x 0x a a IR a 0.. Zeigen Sie, dass sich darstellen lässt und dass für a Teilaufgabe. mit ID g a IR und ga x auch in der Form g a x x 9x ax 0x a g x x x 0x a a g x x 0x ax x 0x a a g x x 9x ax 0x a a gilt: g x f x mit der Funktion f aus ( BE) 9 g x x 9x x 0x x 9x x x x x f x. Berechnen Sie, für welche Werte von a der Graph der Funktion g a keinen Extrempunkt besitzt. (6 BE) Lösungen by W. Stark

2 g x x 9x ax 0x a a g x x 8x a 0 0 a Damit der Graph der Funktion g a keine Extrema besitzt muss gelten: D 0 (Für D 0 würde man einen Terrassenpunkt erhalten und dieser ist ja auch kein Extrempunkt!) D 8 a 0 a 0 a 0 a 7 Für die folgenden Teilaufgaben ist a mit g x x 9x x.. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion g. ( BE) g x x x 0x x x 0 x x x x. Ermitteln Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion g. (6 BE) g x x 8x x 6 g x 6x 8 g 0 rk g 8 g 0 lk g 0 HP 8 TP 0. Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion g rechtsbzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten seines Wendepunktes. ( BE) g x 6x 8 0 x y G g G g ist rechtsgekrümmt für x ; G g ist linksgekrümmt für x ; g WP Lösungen by W. Stark g Gg rk lk WP

3 .6 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g im Bereich x 7 mit Hilfe vorliegender Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: LE = cm ( BE) HP G g WP N TP N.0 Gegeben ist weiter die Funktion p : x x x mit ID p IR.. Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen g und p. (7 BE) g x p x x x x x x x x x 0 x x x x 0 x x x x 0 x x x 0 x x x x 0 6 g 0 S 0 g S g 8 S 8 Lösungen by W. Stark

4 . Zeichnen Sie den Graphen der Funktion p im Bereich 0 x 0 in das vorhandene Koordinatensystem ein. ( BE) G g G p. Die Graphen der Funktionen g und p schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des weiter links liegenden Flächenstücks. ( BE) A g x p x dx A x x x dx A x x x x x 0 dx A x 0x 9x 0 dx A x x x 0x A A Lösungen by W. Stark

5 Gegeben ist nun die Funktion g x für x h : x px für x Die Funktion h ist stetig bei x0 (Nachweis nicht erforderlich!). Untersuchen Sie, ob h an der Stelle x0 differenzierbar ist. ( BE) x 9x x für x h : x x x für x h : x h : x h : x x x 9x x für x x 0x x für x x 9x x für x x x für x x 8x für x x für x lim h (x) lim h 8 h 0 h0 0 h0 lim h (x) lim h x f ist nicht diffbar an der Stelle x.0 Eine zylinderförmige Trommel (siehe Skizze) besitzt die Gesamtoberfläche 00 cm. Der Klang der Trommel r hängt auch von der Oberfläche und dem Volumen ab. Die Boden- und Deckfläche der Trommel sind mit Fell h bespannt. Durch die erhältlichen Fellgrößen ergibt sich, dass ein Radius r von cm bis 0 cm möglich ist. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch. V r der Trommel in Abhängigkeit von r. Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen auf. Teilergebnis : V r 00r r Für das Volumen gilt: V r h Z ( BE) Lösungen by W. Stark

6 Für die Oberfläche gilt: O 00 r r h 00 : Kreisfläche Mantelfläche r rh 00 rh 00 r : r 00 h r r Oben eingesetzt erhält man: V r r 00 r 00r r r mit der Definitionsmenge: ID ;0 V. Berechnen Sie r so, dass das Volumen der Trommel den größten Wert (und damit die Trommel den tiefsten Ton) annimmt. ( BE) V r 00r r V r 00 r 0 00 r 0 r 00 r 00 r 0ID V r 0 ID V V r 6r V rk rel. Max. V 67 V Vmax 6000 für r 0 V Lösungen by W. Stark 6