Integration Teil 2: Flächenberechnungen

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1 Integtion Teil : Fläcenbeecnungen Dtei N. 8 Stnd Febu 7 Fiedic Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inlt Dtei 8. Rectecksmetoden. Ein estes goßes Beispiel. Heleitung eine Fläceninltsfomel. Wictige Bemekungen 8 Aufgbe Lösung de Aufgben Dtei 8. Fläcenbeecnung mit dem Integl. Wie km mn uf die Ableitung. Huptstz de Diffeentil- und Integlecnung. Eine gute Integlfomel fü Ku-Li-Tps 6. Aufgben zu Fläcenbeecnung 9.5 Lösungen - Dtei 8.6 Ku-Li-Tps unte de -Acse 5.7 Es get dunte und dübe 5.8 Fläcen zwiscen zwei Kuven 5.9 Fläcen, die bis uns Unendlice Reicen 55. Fläcen zwiscen zwei Kuven 57. Zusmmengesetzte Fläcen 59. Abscätzung von Fläcen 6 Dtei 85. Näeungsvefen zu Fläcenbeecnung 6. Rectecksvefen 6. Senen-Tpez-Regel 6. Simpson-Regel 65. Zustz: Acus-Tngens ls Stmmfunktion 67

3 8 Fläcenbeecnungen. Fläcenbeecnung mit Integl. Wie km mn uf die Ableitung? Um im Anscluss den entsceidenden Gednkengng ncvollzieen zu können, benötigen wi die Gundkenntnisse übe die Definition de Ableitung. Dzu eine Kuzwiedeolung. Nebensteendes Scubild stellt die Funktion f = + d. Die Aufgbenstellung lutet: Bestimme die Tngentensteigung im Punkt P f. ( ) De Recenweg bestet us dem Tick: Wi bucen fü eine Gedengleicung zwei Punkte, die wi bei de Tngente nict kennen. De wälen wi einen Ncbpunkt Q zu P, mit dessen Hilfe wi die Steigung de Seknte (P Q) beecnen können. Wie dict dbei die Punkte P und Q beismmen liegen, ist uneeblic. Legen wi sie so dict zusmmen, dß sie nict me untesceidb sind, dnn ben wi im Gunde die Tngente gewonnen. Ic nenne dieses Pinzip Entsteen us de Null. Hie die Recnung dzu. P Q Δ = Δy T Gegeben: ( ) lso P( ) Speziell fü die gegebene Funktion: P f Ncbpunkt Q( + f( + ) ) + und Q fü kleines be. Beecnung de Sekntensteigung: Δy yq y P ( ) m() s = = = Δ ( + ) m() s = = = = + Wi müssen jetzt dn denken, dß = veboten w, denn sonst ätten wi keine zwei vesciednen Punkte und uc bis zum voletzten Tem unsee Beecnung stünde = veboteneweise im Nenne. In unsee Abbildung ist =, und =. Dies liefet m s = + = Nun unse Pinzip: Wi lssen Q nc P gleiten, dies gelingt mtemtisc dduc, dß gegen Null get. Nemen wi =, dnn folgt: ms = +,=,5. Geen wi noc dicte n die en, näet sic die Sekntensteigung noc me dem Wet. So könne wi sgen. Im Genzfll fü elten wi die Tngentensteigung ls m T =.

4 8 Fläcenbeecnungen Nemen wi nun nict den speziellen Punkt P us de Zeicnung, sonden den P( f( ) ) llgemeinen Punkt, dnn elten wi dot die Tngentensteigung so: m = lim m = lim + = T s Lässt mn den Inde weg, dnn entstet dus, und diesen Tem nennt mn die Ableitungsfunktion f () zu f(). y = f Gegeben sei die Funktion Allgemeine Beecnung: P( f( ) ) Gesuct die Tngentensteigung im Punkt ( ) Dzu wält mn einen Ncbpunkt Q + f( + ). fü. Beecnung de Steigung de Seknte (P Q): Δy yq y f P ( + ) f m() s = = = Δ f( + ) f Wenn fü lim de folgende Genzwet eistiet:, dnn nennt mn f n de Stelle diffeenzieb und diese Buc stellt dnn die Tngentensteigung in P d: f( + ) f mt = lim Lässt mn den Inde weg, dnn entstet dus ein Funktionstem, den mn die Ableitungsfunktion f () nennt: f' = lim ( + ) f f () Die Funktionswete von f stellen dnn Tngentensteigungen d. ( + ) f f Den Buc nennt mn den Diffeenzenquotient, seinen Genzwet f( + ) f lim den Diffeentilquotienten. Und mn sollte wissen: De Genzwet des Diffeenzenquotienten ist de Diffeentilquotient, und e stellt die Ableitungsfunktion d. Rückblick: Wi bingen die Stecke PQ zum Vescwinden, indem wi gegen geen lssen, und dbei entstet us de Seknte die Tngente. Diese Pinzip: Mn lässt geen und eält dmit eine neue Aussge, ist ds Pinzip Entsteen us de Null. Es wid uns jetzt im folgenden uf ds Egebnis bei de Fläcenbeecnung füen.

5 8 Fläcenbeecnungen. Huptstz de Diffeentil- und Integlecnung Aufgbe: Beecne den Inlt de Fläce, die von de Kuve, de -Acse und den Geden t = und t = b begenzt wid. Vobemekungen:. Um m Ende uf ein venünftiges Egebnis zu kommen, müssen wi ls vible Genze eines Fläcenstückes vewenden können. Ds get jedoc nu, wenn die Funktionsvible t sttt eißt.. Die.-Acse tägt de die Bezeicnung t.. Wi müssen fü die folgende Recnung voussetzen, dß die Funktion f im Intevll [ ; b ] monoton steigt.. Unsee Beispielfunktion t die Gleicung () y = f t = t +. Eine Fläce, die von eine Kuve, de -Acse und zwei Pllelen zu y-acse begenzt wid, eißt ein kummliniges Tpez 5. Mit A bezeicnen wi den Inlt des Fläcenstücks, dessen linke Rnd ist, und dessen ecte Rnd ist. Mn liest dies etw so: Fläce von bis. Wi bescäftigen uns mit zwei Fläcen: Die scon gennnte Fläce A liegt, und die Fläce A ( + ), die us A, deen ecte Rnd bei dduc entstet, dß i ecte Rnd um die Stecke nc ects vescoben woden ist. Beides sind kummlinige Tpeze. Dmit ben die beiden Fläcen eine Diffeenz, die in de Abbildung fblic gu evogeoben ist und die Bezeicnung Δ A tägt. Fü die Recnung geen wi jetzt gnz änlic vo wi zuvo in. : Wi lssen den Punkt R nc Q gleiten, ds gesciet, indem gegen get. De Fläcenuntescied Δ A get dnn ntülic uc gegen. In. ging gegen und ls Folge dvon Δ y. Jetzt ist es eben Δ A. Beecnung von Δ : A Δ A = A + A () (Goße Fläce minus kleine Fläce!) P A Q ΔA R + b Wi vewenden jetzt zwei Rectecke. Ds este Recteck beginnt uf de -Acse, get fot von bis + und eict inuf bis zum Punkt Q. Dieses untee Recteck liegt lso gnz innelb de guen Fläce und beüt den Kuvenbogen in Q. Sein Inlt ist Au = f(), denn ist die Rectecksbeite und f() ist die Höe, nämlic die y-koodinte von Q. Ds zweite Recteck t dieselbe Gundseite wie ds este, get jedoc inuf bis zum Punkt R. Es beinltet lso die gnze kummlinige Fläce Δ A. Sein Inlt ist Ao = f(+ ). Die ecte Abbildung zeigt noc einml ds untee Recteck und ds gesmte Receck, welces ds untee beinltet. f() + f( + )

6 8 Fläcenbeecnungen Wi ben nun die beiden Rectecke genu so gelegt, dß ds untee Receck innelb de kummlinigen Fläce Δ A liegt, ds äußee be seineseits diese Fläce beinltet, lso gilt: Au < Δ A < Ao f < Δ A < f + Wi dividieen die Ungleicung duc, ws j möglic ist, weil vousgesetzt w: ΔA f < < f( + ) Nun müssen wi uns dn einnen, dß ds Fläcenstück mit dem Inlt von us geende Fläcen w: Setzen wi dies ein, dnn folgt: Δ A = A + A () A + A () < < ( + ) () f f Δ A j die Diffeenz zweie We den Abscnitt.. gut ducgebeitet t; dß b jetzt gezubet wid. Wi müssen unse Pinzip Entsteen us de Null zum Einstz bingen. Wi lssen lso jetzt R nc Q gleiten (imme vousgesetzt, dß die Funktion bv stetig ist und somit keine Kompliktionen entsteen). Fü und ntülic uc get diese Post b! Dnn be wid f( ) f + =!. J und unsee Fläcen A u, A o Δ A weden zu Null. Und dus entstet jetzt gnz scnell unse Egebnis. Seen wi uns Gleicung () n. Fü De Buc in de Mitte (es ist ein Diffeenzenquotient!) ist imme zwiscen dem Wet f() de linken Seite und dem Wet f(+) de ecten Seite eingesclossen. Dies gilt ntülic uc noc bei etem kleinem!. Nu ws pssiet beim Genzübegng fü gegen? Dnn wid, wie eben scon festgelten, de ecte Wet gleic dem linken: f + = f und folglic wid uc de eingesclossene Buc denselben Wet nnemen. Jetzt be kommt ein Einwnd: De mittlee Buc nimmt fü = den unbestimmten Wet n, weslb wi die Limes-Sceibweise vewenden müssen. Und die siet dnn so us: A + A () lim = f () Mn muß diesen Scitt vestnden ben De Buc stebt fü gegen einem Wet zu de genu gleic goß ist wie f(), und weil bei im = nict eingesetzt weden df, ilft de Limes weite. Vegleicen Sie nun bitte die Fomel () uf Seite mit de Fomel () ie, lso f' = lim ( + ) f f A + A () mit lim. Anstelle von f eißt jetzt die Funktion A. Diese Genzwet ist lso nicts ndees ls die Ableitung A de Funktion A. Dmit lutet ds endgültige Egebnis: A ' = f. ()

7 8 Fläcenbeecnungen 5 Dies eißt im Kltet: Leitet mn die Fläceninltsfunktion A () b, dnn entstet die Rndfunktion f(). Also wissen wi jetzt: Die Fläceninltsfunktion des kummlinigen Tpezes ist eine Stmmfunktion de Rndfunktion Zu unsee Beispielfunktion: y = f t = t + Wi wollen die Fläceninltsfunktion beecnen. D sie eine Stmmfunktion von f ist, vewenden wi dzu ds unbestimmte Integl: A ( ) = f()d = + d = + + C () Nun kennen wi C noc nict. Abe Sie wissen es scon, uc dfü gibt es einen mtemtiscen Tick. Es ist wiede die Null, die uns weiteilft. Scuen Sie sic einml die Abbildung n. Die Fläceninltsfunktion A ( ) beecnet uns zu jedem > einen Fläceninlt. Und wenn wi Jetzt gegen geen lssen, dnn wid die Fläce imme dünne und enttet scließlic zu eine Stecke mit dem Inlt. Wi ben lso die Rndbedingung: A = A Dies wenden wi uf die Gleicung () n: A () = + + C= C= Egebnis: A = + In de Abbildung liegt de ecte Fläcennd bei =. 7 7 A = + = + = + = + =,(FE) Dmit folgt: Wi tten in Kpitel mittels Untesummen eine Fläce beecnet. Diese tte die Rndfunktion: f =. Beecnen wi dmit die Fläceninltsfunktion uf die bise eeicte At, dnn folgt zunäcst ls Stmmfunktion: A () = d = + C 6 Übe die Rndbedingung A () = folgt () = + = = 6 6 A C C Also: A =. 6 6 Die dgestellte Fläce ist dnn 7 6 A = = = = Dieses Egebnis tten wi dmls scon! Huptstz de Diffeentil- und Integlecnung Es sei f stetig im Intevll [ ; b], dnn ist die Fläceninltsfunktion eines kummlinigen Tpezes eine Stmmfunktion de Rndfunktion

8 8 Fläcenbeecnungen 6 Ncbemekungen:. Diese Huptstz ist zunäcst ie nu fü monoton steigende Funktionen bewiesen woden. Mn knn in genuso fü fllende Funktionen beweisen. Dzu ist lediglic die Lge de beiden Rectecke ndes.. Ic be ie se nsculic gebeitet und nict lle Voussetzungen festgelten. Ziel diese Abeit ist es, möglicst viel Veständnis zu vemitteln. Ein Beispiel fü eine Voussetzung ist es, dß de begenzende Kuvenbogen (selbstveständlic) obelb de -Acse liegen muß, denn sonst stimmt j die Beecnung z.b. de Rectecksinlte g nict.. Jetzt müssen wi festlten. Wi ben geseen, dß die Fläcenbeecnung fü Ku-Li-Tps (kummlinige Tpeze) übe Stmmfunktionen bläuft. Zwei Beispiele ben dnn uc scon gezeigt, wie mn dbei zu Zlenweten kommt. Doc dies ist noc zu umständlic. De näcste Abscnitt födet nun die pssende Metode zutge.. Eine gute Integlfomel fü Ku-Li-Tps. Gegeben ist eine stetige Funktion f. Und dzu ein kummliniges Tpez wie bgebildet. Sein Fläceninlt ist jetzt noc eine Funktion, weil de ecte Rnd vibel ist: A (). Lut Huptstz us. können wi diese Fläceninltsfunktion A () ls Stmmfunktion von f() beecnen. Tun wi ds: A = f d = F + C () Dbei wude mit F() die Stmmfunktion one Absolutglied bezeicnet (wie mn es beim bestimmten Integl vewendet) und die Konstnte C wude et ngescieben, dmit mn sie siet und mit i beiten knn. Aus. kenne wi die Rndbedingung: De Fläceninlt wid null, wenn de ecte Rnd uf den linken Rnd zustebt: A ( ) = Dies wenden wi uf () n: A ( ) = F( ) + C= C= F( ) Also folgt: A = F F() Wollen wi nun eine fest definiete Fläce (one viblen Rnd) beecnen, dnn sucen wi die Fläce von bis b: A ( b) = F( b) F() Ds ist jetzt die Diffeenz zweie Stmmfunktionswete, wofü es die Sceibweise des bestimmten Integls gibt: b b = = = A b f d F F b F Ode zu Abbildung (Beispiel ) ( ) 8 A = + d = + = + =... = = 7,5. A f() = + 8 b

9 8 Fläcenbeecnungen 7 Beispiel : 9 Gegeben ist die Funktion = + f ) Beecne die Fläceninltsfunktion fü ds kummlinige Tpez, dessen linke Rnd = ist. b) Welce Fläce scließt die Kuve mit de -Acse ein? Lösung: ) Zu Beecnung de Fläceninltsfunktion müssen wi de Funktion die 9 Vible t geben: f() t = t t + t sonst ben ecte Rnd und Funktionsvible dieselben Bezeicnungen! 9 9 = = + = + 8 Dnn folgt: A f t dt t t t dt t t t A = + + = + b) Hiezu muß mn zuest die Nullstellen beecnen: Ds Egebnis ist = und =. Dnn folgt: = ( + ) = + 8 = + 8 [ ] = 8 A d 7 8 Beispiel : Gegeben ist die Funktion f = +. Beecne den Inlt de Fläce, die von de Kuve, de -Acse und de Geden = 6 begenzt wid. A = d du A = = lnu = ln ln = ln = ln Substitution: [ ] u u= + du= d 8 d = du

10 8 Fläcenbeecnungen 8 Beispiel : Gegeben ist die Funktion f = Diese Kuve t die -Acse ls wgeecte Asymptote. Wi definieen ein kummliniges Tpez duc die Kuve, die -Acse und die Geden = und =, wobei eine Zl göße ls sein soll. 5 () = = = = A d d A () = = 5 5 Dies ist eine Fläceninltsfunktion, denn de ecte Rnd ist vibel. Jetzt ben wi nict mit t gebeitet, sonden gnz noml mit. Dnn be mussten wi den ecten Rnd z.b. mit bezeicnen. Jetzt wollen wi de Sce ncgeen, ws diese Fläce mct, wenn wi nc unendlic geen lssen. Die Fläce wid imme länge und de Inlt lässt sic mit einem Genzwetvefen beecnen: 5 A* = lim A () = lim 5 = 5, denn lim =. Wi stellen lso fest: Die Fläce wid imme göße, je göße wid, be sie eeict nict den Inlt 5, kommt diesem be beliebig ne. Beispiel 5: Wi untesucen dieselbe Sitution bei de Funktion f = Zunäcst beecnen wi die Fläceninltsfunktion von bis : A () = d = [ ln ] = ln ln= ln = Wenn wi jetzt nc Unendlic geen lssen, lso den ecten Rnd beliebig nc ects vescieben, dnn wid de Logitmus uc imme göße und get selbst nc Unendlic. Obwol uc diese Kuve die -Acse ls wgeecte Asymptote t, knn mn de ins Unendlice eicende Fläce keinen (endlicen) Genzwet me zuodnen! Beecnung von Fläceninltsfunktionen: A = f( t) dt = F F( ) Beecnung von Ku-Li-Tp-Inlten: A ( b) = f d = F( b) F( ) b

11 8 Fläcenbeecnungen 9. Aufgben Beecne die Fläcen zwiscen de Kuve und de -Acse. () f 9 () f () f 5 () t 8 = + (Egebnis: A = 6 ) 6 = + (Egebnis: A = ) 6 = (Egebnis: A = ) f = t + t (Egebnis: A = t ) () () () () (5) f (6) f (7) f f (8) = Fläce A () zwiscen K, de -Acse und den Geden = lim A. und =. Beecne uc = Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 6 + = Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 5 sowie zwiscen K, de -Acse und = = Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 6 + (5) (6) (7) (8)

12 8 Fläcenbeecnungen (9) f = Fläce zwiscen de Kuve und den Koodintencsen. () f = 6 Fläce zwiscen de Kuve und de -Acse. + Fläce zwiscen K, de -Acse und = 5. f = 9 Fläce zwiscen de Kuve und de -Acse () f = () (9) () () () () f e () f e (5) (6) = Fläce A() zwiscen K, den Koodintencsen und de A* = lim A Geden =. Beecne uc = Fläce zwiscen K und den Koodintencsen. f = e Fläce zwiscen de -Acse, de Kuve und =. Knn mn de Fläce uc dnn noc einen endlicen Wet zuodnen, wenn mn den ecten Rnd ins Unendlice vesciebt? f e = e + Fläce zwiscen de Kuve und den Koodintencsen und de Geden = -. Knn mn de Fläce uc dnn noc einen endlicen Wet zuodnen, wenn mn den linken Rnd ins Unendlice vesciebt? (5) () () (6)

13 8 Fläcenbeecnungen (7) f = ln( 6 ) Fläce zwiscen K und den Acsen. (8) f ln( ) (9) f ln( ) () f = + + Fläce zwiscen K, den Acsen und = = Fläce zwiscen K, de -Acse und = + ln = Fläce zwiscen K, de -Acse und = e (7) (8) (9) () () f = sin Fläce siee Abbildung. () f = cos( + ) Fläce siee Abbildung. () f = sin Fläce siee Abbildung. () f = sin + sin Fläce siee Abbildung. () () () ()

14 8 Fläcenbeecnungen

15 8 Fläcenbeecnungen.5 Lösungen Lösung N. f = + 9 Beecne die Fläcen zwiscen de Kuve und de -Acse. + 9 = Hie liegt eine biqudtisce Gleicung vo. Die llgemeine Gleicung + b + c = b± b c t die Lösung = d.. ie ± 9 9 = = ± = 6 d.. es gibt zwei doppelte Nullstellen N =± 6. Nullstellenbedingung: f( N ) = d.. Fläcenbeecnung: ( ) 6 A = + 9 d = Diese Anstz ist umständlic. 6 D die Funktion nu gede Hoczlen ufweist, ist ds Scubild K symmetisc zu y-acse, die folglic uc die zu beecnende Fläce lbiet. Also beecnen wi nu die Fläce von bis 6 und vedoppelt ds Egebnis: 6 ( 6 ) 5 [ ] A = + 9 d = + 9 = A = = 6 = 6 FE Nebenecnung: 6 = = = 6 6 usw. Die künstlice Mßeineit FE = Fläceneineiten bleiben in Zukunft ie weg. Lösung N. Nullstellenbedingung: f( N ) = d.. + = + = (). (sog doppelte= Lösung: =, weitee Lösungen: ± 6 6 ( + ) =, = = d.. uc die. Nullstelle ist doppelt: =. Bemekung. Den Tem + + knn mn uc so sceiben knn: (+), Dnn folgt us () Fläcenbeecnung: = und mn t sofot die beiden Lösungen. ( ) ( 5 ) A = + d = + = + = + A = 6 = 6 = f = + Hinweis: In vielen Aufgben lont es sic, die Potenzen zuest ufzusceiben und dnn nscließend zu Veeinfcung uszuklmmen.

16 8 Fläcenbeecnungen Lösung N. f = Nullstellenbedingung: f( N ) = d =. Pobielösung: etw =, denn f() = = (ode sttt uc - ). Dnn muss mn mittels Hone-Scem ode Polynomdivision den Fkto ( ) Ausklmmen: Polynomdivision: = ( ) ( 5 ): + 5 ( + 6) + ( + ) Hone-Scem: Koeffizientenscem von f : = Beide Metoden füen zum Zwiscenegebnis ( )( - ) = Die este Klmme entält die scon beknnte Lösung =. Die weiteen Lösungen folgen us - = d = + = = Fläcenbeecnung: 5 A = d = A = = = = + = Lösung N. Nullstellenbedingung: f( N ) = d.. t + t = t+ t = ode t ± t t, = Fläcenbeecnung: t = + f t t t = = t = t t 6 6 A = t + t d = t + t = 56t t 6t + t 6t A = 6t t + t = 8t t = t = t

17 8 Fläcenbeecnungen 5 Lösung N. 5 Fläce A () zwiscen K, de -Acse und den Geden = und =. = f Fläcenbeecnung: A = d = = = [ ] = lim A () =, denn lim =. Lösung N. 6 f = Nullstelle: (Zäle = und Nenne ): =. Fläcenbeecnung: Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 6: A = d= [ ln] [ 6 ln6] [ ln] = = 6 A = ln 6 + ln = ( ln 6 ln ) = ln = ln = ln 9 Lösung N. 7 f = + = Nullstellenbedingung: ± + ±, = = = Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 5: A = d = d ln + = + + = 8 A = 5+ ln5+ 5 [ + ln+ ] = + ln5 denn ln =. 5 Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = -6: + + A = d = d ln + = + + = 6 6 A = + ln 6+ ln6 = + ln+ 6 ln [ ] [ ] A = + ln ln 6 = + ln = + ln = ln = ln = ln Nict vegessen: Nu bei positiven Genzen und b knn mn den Betg weglssen! b d = ln b

18 8 Fläcenbeecnungen 6 Lösung N. 8 = f 6 + Fläce zwiscen K, de -Acse und de Geden = 6 A = d Substitution: u= +, lso du = d 6 d = 8 du 8 du A = = 8 lnu = 8 ln ln = 8 ln = 8 ln [ ] u Lösung N. 9 f = Nullstelle: N = Fläce zwiscen de Kuve und den Koodintencsen: A = d 8 Substitution: u = du = d d = du A = udu = u du = u = u u = = Lösung N. Nullstellen: =, = 6 Fläce zwiscen de Kuve und de -Acse. 6 A = 6 d f = 6 Hie muss mn gelent ben, dss es zwei Möglickeiten zu Substitution gibt:. Mn setzt u = Rdiknd = 6 ode. Mn setzt u= 6, ws de bessee Weg ist. Beide Wege zum Anscuen: () Substitution: u = 6 folgt du = - d und d = - du sowie = 6 u A = 6 u u du= 6u u du= 6 u u u u u u 5 = A = = 6 = () Substitution: u= 6 u = 6 = 6 u d = u du A = 6 u u u du = 6u u du = u u = = 6 = 6 = 6.

19 8 Fläcenbeecnungen 7 Lösung N. = f + Fläce zwiscen K, de -Acse und = 5. 5 A = d Substitution: + u= + du= d d = du du 9 u u A = = u du= = u = 9 Lösung N. Nullstellen: = und = ± f = 9 Fläce zwiscen de Kuve und de -Acse 5 A 9 d 9 d = = = 9 d 7 A = 9 = A = 6 7 = 8 = 7, Lösung N. = e f Fläce A() zwiscen K, den Koodintencsen und de Geden =. A () e d e e e e e e e = = = + = = e A* = lima = e, denn Dus folgt Lösung N. Nullstelle: N = =. e lim lim e e = = ln = ln= ln6 Fläce zwiscen K und den Koodintencsen. f = e ln ln ln A = e d = e = ln6 e e = ln6 6 eln =

20 8 Fläcenbeecnungen 8 Lösung N. 5 = e f Fläce zwiscen de -Acse, de Kuve und =. A = e d Ptielle Integtion: u' = e u = e v = v' = A = e d = e + e d = e e = e + = A = e 5+ e = e 5e Knn mn de Fläce uc dnn noc einen endlicen wet zuodnen, wenn mn den ecten Rnd ins Unendlice vesciebt? Dzu nennt mn den ecten Rnd = und beecnet die Fläceninltsfunktion lim( + ) e =, denn nc de L Hospitl gilt A = e d =... = e + = e + + e= e + e + lim( + ) e = lim = lim = lim e =, lso ist lim A () = e. e e Lösung N. 6 f Fläce zwiscen de Kuve und den Koodintencsen und de Geden = -. = e e + A = e e + Substitution: d u= e + du= e d e d = du e du e A = d = = ln = ln ln + e = ln e + u + e + e Knn mn de Fläce uc dnn noc einen endlicen Wet zuodnen, wenn mn den linken Rnd ins Unendlice vesciebt? Dzu nennt mn den ecten Rnd = und beecnet die Fläceninltsfunktion e du A() = d = = ln = ln ln ( + e ) = ln e + u + e + e + e lim A () = lim = = 6 + e

21 8 Fläcenbeecnungen 9 Lösung N. 7 Nullstelle: Bed.: Agument = : 6 - = Also n = 5 Fläce zwiscen K und den Acsen. 5 A = ln 6 d Substitution: u = 6 du = d d = du 5 [ ] A = ln 6 d = ln u du = u ln u u = 6 ln 6 6 ln + = 6 ln6 5 6 f = ln( 6 ) 6 Lösung N. 8 = + ( + ) f ln Fläce zwiscen K, den Acsen und = ( ) ( ) A = + ln + d = + d ln + du = Substitution des. Teilintegls: u= + du= d 6 6 [ ] A = + lnu du = + u ln u u = [ ] [ ] 9 A = ln + ln = + 6 ln 6 + = ln 6 9, 7 6 Lösung N. 9 = ln( ) f Nullstellen: = d.. N =± Fläce zwiscen K, de -Acse und = [ ] A = ln d = ln d = ln A = [ ln ] ln = 6 ln 6+ = 6 ln = + ln Lösung N. f = Nullstelle: ln = ln = N = e Fläce zwiscen K, de -Acse und = e e + ln A = d Subst.: e 8 8 A = u du = u = =,5 u = + ln du = d d = du

22 8 Fläcenbeecnungen Lösung N. f = sin Nullstellen: sin = d.. =, = Fläce siee Abbildung. [ ] [ ] = = A = sin d = + cos = + cos cos = Lösung N. : Die Nullstellen de Kosinus-Funktion liegen bei ±, ±,... d.. und = = = + = = = Fläce siee Abbildung. f = cos( + ) 5 Substitution: [ ] A = cos( + )d A = cosu du = sinu = sin sin = = u= + du= d d = du Lösung N. : f = sin Nullstellen: =, = usw. Fläce siee Abbildung. A = sin d Ptielle Integtion: u' = sin u = cos v = v' = A sin d [ cos ] cos d [ cos sin ] cos sin = = + = + = + = =

23 8 Fläcenbeecnungen Lösung N. : D sin f = sin + sin = sin cos folgt: f = sin + sin cos Nullstellen: sin + sin cos = Fläce siee Abbildung. sin ( + cos ) = d.. sin = ode cos = Dus folgen die fü diese Fläce elevnten Nullstellen: = und = =. ( ) A = sin + sin d = sin d + sin d Substitution des. Integls: u= du= d d = du [ ] [ ] [ ] A = cos + sinu du = cos cosu A = cos + cos cos + cos = + + =