Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!"

Transkript

1 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Ohne Anpuch uf Volländigkei!!! ANALYSIS: Funkionuneuchung Funkionen: gnzionle Funkionen b e-funkionen c igonomeiche Funkionen Tngenen- und Nomlenbeimmung Okuven Gemeinme Punke von Kuvenchen Inegle und Flächenbeechnung Mielwe / Roionköpe Eemweufgben Aufellen von Funkiongleichungen LINEARE ALGEBRA: De Rng eine Mi Löbkeikieien von lineen Gleichungyemen Homogene linee Gleichungyeme Inhomogene linee Gleichungyeme Übe- und unebeimme Gleichungyeme ANALYTISCHE GEOMETRIE: Vekoen im R Linee Un- Abhängigkei Geden und Ebenen im R Pmee- und Koodinendellung Schni von Geden und Ebenen im R Voeile de Koodinenfom WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG: LAPLACE-Whcheinlichkeien Mehufige ZE / Pfdegel Bedinge Whcheinlichkei / Viefeldefel Unbhängigkei von Eeignien Zufllviblen Ewungwe und Vinz

2 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe FUNKTIONSUNTERSUCHUNG Nu bei e-funkionen ineen: Aympoen wgeche Aympoen, wenn lim f > Aympoe: y po. -Beeich lim f b > Aympoe: y b neg. -Beeich Eiie kein Genzwe, dnn gib e uch keine wgeche Aympoe. b evl. be eine chiefe Aympoe, wenn f eine Summe von Audücken i, von denen eine gegen geh, z.b. f e - lim f d e - gegen geh! > y i chiefe Aympoe Fü - e. hie kein Genzwe > keine A. im neg. -Beeich Ableiungen f, f, f Ableiungegeln bechen: Poenzegel : f n f n n- Podukegel : f uv f u v uv Keenegel : f uv f v u v Symmeie f - -f f - f Punkymmeie zu O Upung Achenymmeie zu y-ache Nullellen f Eempunke f f Egebni > > Tiefpunk f Egebni < > Hochpunk f Egebni > Selpunk Wendepunke f f Egebni > Wendepunk f Egebni > KEIN Wendepunk Alenive Kieien fü f : Vozeichenwechel von f n de Selle, wo f i ode noch bee!!!: b Egebni i nu einfche Löung von f > Wendepunk Egebni i mehfche Löung von f > KEIN Wendepunk We liefe w? - f liefe den y-we n de Selle - f liefe die Seigung n de Selle f > > f i monoon eigend, f < > f i monoon fllend - f liefe die Kümmung n de Selle f > > f i linkgekümm, f < > f i echgekümm,

3 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe D de göße Teil de Kuvendikuion mi dem GTR gemch weden knn, wid e imme wichige, Schubilde nich zu zeichnen, onden zu inepeieen. Ein p Beipiele dzu: Beipiel : Die Abbildung zeig d Schubild eine Eponenilfunkion. Diee knn duch einen de dei folgenden Funkioneme bechieben weden: g -b.e g -b.e - g b.e Begünde, welche Teme zu Becheibung ungeeigne ind! Löung: Fü g gil z.b.: g i fü b< eng monoon wchend, fü b> eng monoon fllend. D Schubild i wede d eine noch d ndee. Fü g gil z.b.: g fü - und g fü, w beide beim Schubild nich de Fll i. Alo knn d Schubild nu duch g bechieben weden Beipiel : E ei f-³ ²-, Gib n, welche de beiden folgenden Schubilde nich zu eine Smmfunkion von f gehöen knn und begünde die Anwo. Schubild von f Schubild ode Schubild Löung: f h z.b. bei, eine Nullelle mi Vozeichenwechel von nch -. D.h., d F bei ew, einen Eempunk Hochpunk hben mu! Schubild h kuz vo einen Hochpunk und knn dehlb nich zu eine Smmfunkion von f gehöen Beipiel : Gegeben ind die Schubilde eine Funkion f, ihe Ableiung f und eine Smmfunkion F. Odne die Schubilde jeweil zu. S S S Löung: Wäe S f, dnn müe F bei - einen Eempunk hben. Die h keine de Schubilde, lo i S nich d Schubild von f. Wäe S f, dnn müe wegen de Tiefpunke bei f do eine Nullelle hben. Die h ebenfll keine de ndeen Schubilde, lo knn S uch nich d Schubild von f ein. S i d Schubild von f Dmi mu f bei - eine Nullelle hben > S i d Schubild von f S i d Schubild von F Eempunk, wo f eine Nullelle h, lo bei -!

4 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe TANGENTEN- UND NORMALENBESTIMMUNG Beimme die Gleichung de Tngene im Punk Pf de Kuve. y m b wobei m f > Punk und m einezen > b uechnen Beipiel : Beechne die Gleichung de Tngene n d Schubild von f n de Selle. Löung: f ' P m f b b - > Tngenengleichung: y Viionen: Wendengene, Tngene im Schnipunk mi de y-ache, Tngene in den Nullellen. Fü NORMALEN gil de gleiche Rechenweg, e i lediglich zu bechen, d m Nomle m f ' ode m m Nomle Tngene Tngene Lege von einem Punk Pb ußehlb de Kuve die Tngenen n d Schubild von f. Mn nimm n, de Beühpunk ei beknn: Bu f u. Die Seigung de Tngenen i eineei: m f u und ndeeei m f u b Gleichezen > f u f u b u Tngene in B beechnen iehe. u > uflöen nch u > B Beipiel : Von P - ollen die Tngenen n d Schubild von f geleg weden. Löung: I m u II m u u u u u u u > u u u u u u > u u u u Dmi ind Beühpunke: B B und die Tngenen: : y : y

5 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe ORTSLINIEN ORTSKURVEN Olinien können imme nu dnn enehen, wenn eine Kuvench gegeben i. Beimme die Okuve lle???-punke. Gewünchen Punk je nch Aufgbe llgemein in Abhängigkei vom Kuvenpmee mei uechnen. b Zwei Gleichungen ufellen I eechnee -Koodine II y eechnee y-koodine c I nch dem Pmee uflöen und in II einezen > Gleichung de Okuve Beipiel : Gegeben i die Kuvench f mi R und R Auf welche Kuve liegen lle Eempunke de Sch? Löung: f ' E I u I : in II : y II y Beipiel : Gegeben i die Funkion f e, mi R und R Auf welche Kuve liegen lle Wendepunke, wenn lle zuläigen Wee duchläuf? Löung: f ' e Wendepunk beide W I II y ind Okuve e : e e : W, einfche f ' ' ± u I : Löungen, e lo ind in II e : y e beide Wendepunk e!

6 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe GEMEINSAME PUNKTE VON KURVENSCHAREN Zeige, d lle Kuven de gegebenen Sch... Punke gemeinm hben. Zwei Kuven mi und mieinnde chneiden mei fäll dnn u, wobei of die. bin. Fomel benuz wid: - - gemeinme Punke lle Kuven leniv: Die llgemeine Kuve f mi eine beimmen chneiden z.b. ode gemeinme Punke lle Kuven Beipiel : Zeige, d ich je Schubilde de Sch f,, R, in genu Punken chneiden. Löung: [ ]!!! i weil D geh, :!!! S und S Beipiel : Zeige, d die Schubilde de Funkionen f e,, R, nu einen gemeinmen Punk beizen. Löung: S keine weieen gemeinmen Punke uße! w be lu Vouezung nich ein df!!! e e e e e e d e e ni Neue Beipiel : Uneuche, ob die Schubilde de Funkion f ²-.in -, R, R gemeinme Punke beizen. Löung: ²-.in - ²-.in - > ²- in - mi GTR > keine Löung > keine gemeinmen Punke vohnden

7 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe INTEGRALE UND FLÄCHENBERECHNUNG Beimme die Fläche, die K f mi de -Ache im Beeich von bi b einchließ. Enwede ind und b gegeben ode e hndel ich um die Nullellen von f. A b b f d [ F ] F b F Funkionem genu nchuen! Beipiel : Beechne die Fläche, die d Schubild von f mi de -Ache einchließ. Löung: Nullellen: ±, [ ] A d FE Beimme die Fläche, die K f mi K g im Beeich von bi b einchließ. Enwede ind und b gegeben ode e hndel ich um die Schnipunke von f und g. Beche: E wid imme von link nch ech inegie! b Geuche Fläche A obee Kuve - unee Kuve d.... o. Beipiel : Zeige, d F e e eine Smmfunkion von b Die Schubilde von f e und g e Fläche. Beechne deen Inhl Au owie lim A u. u f e i. owie die Gede u mi u< begenzen eine Löung: Schnipunk von f und g : e : e e e A u u [ e e ] lim A u u e e u d Smmfunkion mu ngegeben ein e e e u u e u e e u u e u

8 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe MITTELWERT / ROTATION VON FLÄCHEN De Mielwe m de Funkionwee eine Funkion f uf einem Inevll [;b] wid beechne duch m f d b. b Beipiel: De Tempeuveluf in C eine beimmen Vognge in Abhängigkei von de Zei in h wid duch eine Kuve näheungweie dgeell. Die Beobchung begnn zum Zeipunk und wude Sunden lng duchgefüh. Die Tempeu- Kuve h die Gleichung f-,²,. Beimme die Duchchniempeu wähend de Beobchungzeiume. Löung: m, ², d,, C D Flächenück, d f mi de -Ache einchließ, oie von bi b um die -Ache. Beechne d Volumen de enehenden Dehköpe. b > V π [ f ] d Beipiel : Die Fläche zwichen dem Schubild von f mi fin uf [;,π] und de -Ache oie um die -Ache. Becheibe den enehenden Roionköpe und beechne deen Volumen. Löung: De Roionköpe h die Fom eine liegenden Blumenve und d Volumen,π V π [ in ] d, FE mi GTR Beipiel : Ein Sekgl eneh duch Roion de Schubilde de Funkion f im Beeich von bi um die -Ache. Eelle eine Skizze. Wie viele Volumeneinheien VE Sek gehen in d Gl, wenn e ndvoll gemch wid? Die Klugcheiße -Anwo lue nülich, d lle heuläuf, be d Gl wid elbveändlich vohe ufgeell!!! b In welche Höhe vom Glboden u gemeen müe de Eichich ngebch weden, dmi bi dohin genu VE im Gl ind? Löung: π V π d, VE mi GTR ode ohne! u b V π d hie veg leide de GTR!!! π u u u u u, u < De Eichich müe in, LE Höhe ngebch weden. π

9 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe EXTREMWERTAUFGABEN Beimme u o, d igendw miml ode miniml wid wie müen beimme Punke liegen, dmi igendw miml wid beimme den mimlen??? von igendw. ode ode W oll eeml weden? Secke, Deieckfläche, Recheckumfng,... Zielfunkion Zu fü d "W" ufellen evl. Nebenbedingungen bechen. - Definiionbeeich de Zielfunkion beimmen fll nich ngegeben! Eem de Funkion Z beechnen iehe Funkionuneuchung Rndwee beimmen Fgeellung de Aufgbe nchuen und evl. die gefge Göße noch beechnen, bzw. die geellen Fgen benwoen! Beipiel : Die Gede u chneide d Schubild de Funkion f im Punk P, die -Ache im Punk Q. Beechne u o, d de Deieckinhl ein Mimum nnimm und gib den mimlen Flächeninhl de enpechenden Deieck n. W oll eeml Deieckfläche g u und h weden? f u g h A u u f u u u u Zielfunkion : A u u u A' u u u A' ' u u Definiionbeeich Genzen fü Rndwee : u Eem beimmen : A' u ' A' ' u u > Minimum u < Mimum u u Rndwee Wee m Rnd de Definiionbeeiche : A A Mimle Fläche : A m A FE

10 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Beipiel : De Punk Puv mi u lieg uf dem Schubild von f e. Die Tngene in P n d Schubild begenz mi den Koodinenchen ein Deieck. Beechne u o, d de Inhl diee Deieck eeml wid. Um w fü ein Eemum hndel e ich? W oll eeml weden? Deieckflä che g h wobei g - We de Tngenenchnipunke mi de - Ache und h y - Achenbchni de Tngene e ind zunä ch die Gleichung de Tngene und deen Nullelle zu beechnen u Tngene: Pu e m f ' u e einezen in y m b u u u u u u u e e u b b e [ h!!!] y e e u Schnipunk de Tngenen mi de - Ache: y u [ g!!!] Zielfunkion: u A u u e e u u u u u u A' u e Definiionbeeich: u Eem beechnen: e u u u u, u A de Eemum zu Abwechlung einml mi Vozeichenwechel von f ' ' : f ' e > zwichen und Vozeichenwechel von f ' von nch - f ' e < A de Eemum: Mimum Rndwee: A lim A u!!! D keine eche Genze ngegeben i!!! u Mimle Flä che: A A, FE m

11 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe AUFSTELLEN VON FUNKTIONSGLEICHUNGEN E ind vechiedene Bedingungen ngegeben Eine Funkion?-en Gde h... vechiedene Bedingungen. Eine Funkion h die Fom.... Sie... vechiedene Bedingungen. Beimme die Funkiongleichung. ode. Allgemeinen Funkionem incl.. und. Ableiung ufcheiben fll nich ngegeben!. Bedingungen uween und Gleichungen mi f, f ode f bilden. Linee Gleichungyem ufellen. Linee Gleichungyem löen. Funkiongleichung hincheiben Bedingungen bechen!... geh duch P,... i Hoch-, Tief-, Eem-, Wendepunk,... beüh,... h die Seigung,... i pllel zu,... Beipiel : D Schubild K eine gnzionlen Funkion. Gde f h im Upung eine wgeche Tngene und im Punk P, [ ], die Seigung. Beimme f. Allgemeine Fom de Funkion: f b c d f ' b c f ' ' b I f d II f ' c III f b IV f ' b b u III: in IV: b - -b f Beipiel : In de Funkion f b e die -Ache bei - beüh. ind und b o zu beimmen, d d Schubild de Funkion Allgemeine Fom de Funkion: f b e f ' b e I f - b e b u I: b in II: b II f ' - - b f e ********************************************************************* E i eine Reihe von Punken ngegeben Weebelle mi Punkepen Die Löung ehäl mn duch REGRESSION! - Die geh mi dem GTR!

12 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Beipiel: Gegeben i die Weebelle,,,,,,,,, E oll nun eine Funkion gefunden weden, die diee Wee möglich gu epäenie. Dzu lä mn ich die Punke e einml ufzeichnen Die Eingbe de Wee in Lien m been L und L! efolg mi ; b - WICHTIG: Nülich müen in beiden Lien gleich viele Wee eingegen weden! Mi -. chle mn nun Plo uf On: b b - Alenive:. mi $ uf Plo b Plo wid dunkel und dmi eingechle Ein Duck uf zeig jez die Lge de eingegebenen Punke Jez mu mn ich fü die A de Regeionkuve encheiden. Welche e gib, zeig ;š Von de Lineen Regeion : LinReg Gede geh e bi C: SinReg eine Sinu-Funkion. Fü une Beipiel wählen wi eine Funkion. Gde, lo :CubigReg. Am Bildchim eh jez lediglich: Bemekung: Mn könne jez dhine noch, mi Komm geenn, zwei Lien ngeben lo ew o: CubicReg L,L, mi denen de GTR echnen oll, be wenn wi L und L benuzen, buchen wi d nich, denn diee beiden weden uomich benuz!!! Dück mn jez b, o beechne de TI die Regeionkuve und zeig die Koeffizienen unee Kuve. Gde n. Seh Nüzlich: Gib mn hine dem noch eine y-vible n, lo z.b. o wid die Funkion in diee y-vible gepeiche! y-viblen ehäl mn übe "b Eigenlich unnöig, be Mnchml will mn wien, ob die beechnee Kuve die gegebenen Punke gu ode wenige gu epäenie. Dzu gib e Mßzhlen ie heiß, ² und R². Snddmäßig weden diee nich beechne, mn knn ie be im Funkionen-Clog einchlen: -_ CATALOG und dnn bi zum Befehl unecollen. Füh mn jez die Regeion duch, echeinen une den Koeffizienen de Funkion je nch de A de Regeion, die mn gewähl h noch Wee, ² und/ode R². Bei un i R². w eh, eh gu i. R² heiß Beimmheimß. Allgemein gil: Je nähe diee Dignoewee bei liegen, deo bee i die Regeion. Wee >, ind gu, dune nich. We meh wien will TI-Hndbuch, Seie - Bemekung: Diee Mß d in uneen Aufgben keine Rolle piel i hie nu de Volländigkei hlbe ewähn.

13 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe DER RANG EINER MATRIX Welchen Rng h die Mi A? De Rng eine Mi i die kleine Anzhl de vom Nullveko vechiedenen Zeilenvekoen von A, die duch die elemenen Umfomungen ezeug weden können! Beimmung de Rnge: Mi uf Deieckfom bingen und die Zeilen zählen, die keine Nullzeilen ind. Beipiel: Welchen Rng h die Mi A? Die leze Zeile wid zu eine Nullzeile De Rng von A i Rg A

14 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe LÖSBARKEITSKRITERIEN VON LGS Wnn i d LGS Ab mi n Unbeknnen eindeuig, mehdeuig ode unlöb? Mn vegleich den Rng de Koeffizienenmi A Rg A mi dem Rng de eweieen Koeffizienenmi Rg Ab. Fü inhomogene LGS gil dnn: D LGS i eindeuig löb wenn Rg A Rg A b n mehdeuig löb wenn Rg A Rg A b < n unlöb wenn Rg A < Rg A b Fü homogene LGS gil dnn: D LGS i eindeuig löb wenn Rg A n mehdeuig löb wenn Rg A <n d bei homogenen LGS imme Rg A Rg A b, enfäll die. Möglichkei Löungweg: Gleichungyem uf Deieckfom bingen. Nullellen de linken Tem de lezen Zeile beechnen Püfen, ob fü die ugeechneen Wee uch de eche Tem Null wid. voläufige Egebni Evenuelle Aunhmewee fü einzeln püfen Digonle!. Endgülige Egebni fomulieen. Beipiel: Fü welche Wee von h d LGS genu eine unendlich viele Löungen? keine

15 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe D - ebenfll Fü -i Tem NICHT LGS unlöb fü -!!! Hinchuen!!! Hinchuen!!!!!! Tem Tem Nullellen von Tem ind - und - Nullelle von Tem i fü - egib ich eine Nullzeile LGS mehdeuig löb fü - Ein Blick uf d milee Elemen de. Zeile zeig, dß fü eh! Dmi egib ich die Fge, ob mi Zeile und eine Nullzeile ezeug weden knn!!!!! Fü egib ich : do eine Null unlöb fü Meke: Imme, wenn l ee Elemen in eine Zeile de Deieckmi ein Auduck mi Pmee eh, knn e weiee Sondefälle mehdeuig ode unlöb geben!!! Egebni: D LGS i mehdeuig löb fü - unlöb fü - und ode {- ; } eindeuig löb fü R\{- ; - ; }

16 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Fü welche Wee von i d homogene LGS... nichivil löb? Beondeheien von homogenen LGS: E gib IMMER eine Löung, nämlich die "Tivillöung", den Nullveko! EIN HOMOGENES LGS KANN NIE UNLÖSBAR SEIN!!! Al zweie Möglichkei bleib nu noch de Fll, d e viele Löungen gib d.h. e i nichivil löb!!! Beipiel: Fü welche Wee von i d hom. LGS o nichivil löb? Gib die Löung fü n. und viele Löungen fü LGS h D!!! ± Sondefälle: löb nu ivil - : löb nu ivil : Dmi i d Gleichungyem nichivil löb fü {;} - Zeile Die in die. - Zeile eingeez In die. Nullzeile i Zeile eine d die. Wi ezen : Löung fü HINWEIS: Die Löung enpich geomeich eine Geden im R³!!!

17 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Fü welche Wee von h d inhomogene LGS... genu eine, unendlich viele, g keine Löung? Inhomogene Gleichungyeme können uch unlöb ein! Beipiel: Fü welche Wee von h d inhom. LGS Löung? genu eine, unendlich viele, keine!!! Tem Tem Sondefll : D inhomogene linee Gleichungyem i lo kein ein! mehdeuig löb fü LGS mehdeuig löb { ;-;} eindeuig löb fü lle ndeen Wee von. De Fll, dß d LGS unlöb i i fü und Nullellen von Tem ind - und. D die ebenfll Nullellen von Tem ind fü - und egib ich eine LGS mehdeuig löb fü Nullzeile - und Ein Blick uf den We in de Mie de Mi egib fü einen weieen Sondefll.o. bei Löbkei kieien von LGS!

18 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe ÜBER- UND UNTERBESTIMMTE LGS Übebeimme Gleichungyeme Gib den Löungveko de LGS... n. Ein übebeimme i ein LGS mi meh Gleichungen l Unbeknnen. D mn keine qudiche Fom h, knn mn diee nu dnn eeichen, wenn die "übezähligen" Zeilen duch die elemenen Mizenumfomungen zu Nullzeilen gemch weden können! I die nich möglich, o i d LGS unlöb, i die möglich, dnn gib e die chon beknnen Möglichkeien! eindeuig löb, mehdeuig löb ode unlöb! Beipiel : Fü welche Wee von h d LGS eine Löung? De Sondefll - muß päe mi diee Mi geonde uneuch weden! Nullzeile nu fü - - w be ugechloen woden > fü - i d LGS nich löb! Püfung fü - egib zwei Nullzeilen D Syem i nu fü - löb. Beipiel : Welche Löungen h d LGS? D LGS i unlöb gemch weden Zeile knn nich zu Nullzeile Die.

19 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Unebeimme Gleichungyeme Gib den Löungveko de LGS... n. Ein unebeimme i ein LGS mi wenige Gleichungen l Unbeknnen. D mn keine qudiche Fom h, knn mn diee höchen duch Egänzen von Nullzeilen heellen. Nullzeilen bedeuen be f * imme unendlich viele Löungen! ein unebeimme LGS h f * imme unendlich viele Löungen! Mn bing lo d LGS o wei l möglich uf "Deieckfom" und beechne dnn wie üblich den Löungveko. Achung: * Diee f bedeue, d e Aunhmen gib! Ein LGS mi eine Nullzeile knn uch unlöb ein; wenn ich nämlich bei de Beechnung de Deieckfom eine Zeile egib, die in de Koeffizienenmi nu Nullen h, im Egebniveko jedoch nich! Siche i nu eine: Ein unebeimme LGS knn nie eindeuig löb ein! Beipiel: Gib den Löungveko de LGS n. Dmi die Zhlen kleine weden! : : Dmi i de Löungveko Nullzeile wäe! Zeile eine d die. Wi ezen

20 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe VEKTOREN IM R W ind Vekoen? - Vekoen knn mn l Vechiebungen Tnlionen nehen. Ein Veko h eine Länge und eine Richung wie eine Schiebung. - Ovekoen ind olche, die vom Upung ugehen und dmi Punke im Koodinen- yem felegen. Jede Punk P leg lo einen Oveko fe. - Vekoen weden uch duch Punke Anfng- und Endpunk fegeleg. Punkkoodi- nen weden wgeech, Vekokoodinen enkech gechieben [P ]. - Eine Linekombinion von Vekoen, b, c i eine Summe/Diffeenz von Vielfchen diee Vekoen, lo z.b. b c ode, -b c ode - c ode b c - Vekoen ind nich ndee l -Mizen, lo Zeilen und nu eine Sple, dhe knn mn mi Vekoen echnen wie mi Mizen und e gelen die gleichen Rechenegeln wie fü Mizen! Beipiel : Beimme die Koodinen de Veko vom Punk A - zum Punk B -. Beimme ebenfll den Veko b von B nch A. Löung:! BA AB b Beipiel b: Beimme den Oveko de Mielpunke de Secke pq mi P, und Q -,. Löung:, -, M,,, Mielpunk de Secke PQ: M M M M

21 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe LINEARE UN- ABHÄNGIGKEIT W i und wnn ind Vekoen line bhängig line unbhängig? Zwei Vekoen und b ind line bhängig kuz: l.., wenn eine ein Vielfche de ndeen i, d.h. wenn e eine Zhl R gib, od gil b Dei Vekoen, b, c ind l.., wenn eine de dei l Linekombinion de beiden ndeen dellb i, d.h. wenn e Zhlen und R gib, od gil c b ode c b ode b c Meke: Nich jede de dei, onden nu eine mu duch die ndeen dellb ein!!! D die in de Pi hieße, d mn dei LGS wenn uch einfche zu löen häe, übelege mn ich ew ndee: b Dei Vekoen, b, c ind l.., wenn ich de Nullveko u den deien uf nichivile Weie ezeugen lä, d.h. wenn d homogene LGS b c o unendlich viele Löungen beiz. Nülich gil: ie ind line unbhängig kuz l.u., wenn nu die Tivillöung eiie! Die i be genu dnn de Fll, wenn und d i nun endgülig d einfche! c de Rng de u den dei Vekoen gebildeen Mi < i!!! Vie und meh Vekoen ind im R!! imme line bhängig! D ieh im R ode R nülich gnz nde u! Folgeungen:. De Nullveko i imme line bhängig!!! d e ich uf nichivile Weie mi ich elb dellen lä, z.b.: o o. Ein einzelne Veko oi imme line unbhängig. d de Nullveko ich nu ivil u ezeugen lä, denn nu o Beipiel : Püfe, ob die Vekoen, c b und line unbhängig ind. Löung: line bhängig,, lo ind c b A A < Rg Beipiel b: Fü welche Wee von ind die Vekoen,,, c b nich line unbhängig? Löung: l.. wenn,, A Sondefll: in die ee Mi eingeez egib > Rg A > die dei Vekoen ind l.u. ERGEBNIS:, b, c ind nich line unbhängig lo line bhängig! nu fü. Puh, d w jez ein pchfomulieechnicheweie geehen nich gede unchwe!

22 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe GERADEN UND EBENEN IM R Pmeefom von Geden. Geden weden dgeell duch einen Oveko Aufpunk und einen Richungveko : R Fü jeden We von egib den Oveko eine Punke, de uf de Geden lieg. BEACHTE: Jede Punk de Geden knn l Aufpunk benuz weden! Jede Vielfche de Richungveko knn ebenfll l Richungveko benuz weden! > E gib unendlich viele Pmeegleichungen eine Geden Beipiel : Beimme eine Gleichung fü die Gede g, die duch die Punke P und Q - geh. Löung: AlAufpunk nimm mn einen de beiden Punkewelche i egl!,gen wi P. AlRichungveko nimm mn den Veko vonp nch Q,nennen wiihn : Dmi i einegleichungde Geden g: R Pmeefom von Ebenen. Ebenen weden dgeell duch einen Oveko Aufpunk und zwei Richungvekoen, b und c b c, R Fü lle Weepe von und egib den Oveko eine Punke, de in de Ebene lieg. BEACHTE: Jede Punk de Ebene knn l Aufpunk benuz weden! Jede Linekombinion de Richungvekoen knn ebenfll l Richungveko benuz weden! > E gib unendlich viele Pmeegleichungen eine Ebene Beipiel : Beimme eine Pmee- Gleichung de Ebene E duch die Punke P, Q - und R-. Löung: Al Aufpunk nimm mn wiede einen de dei Punke welche i egl, gen wi P. Al Richungvekoen nehme ich die Vekoen von P nch Q und von P nch R b. Von Q nch R ginge nülich uch, wichig i nu, d ingem lle dei Punke benuz weden! von vohin b Dmi i eine Gleichung de Ebene:, R

23 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Koodinenfom von Ebenen. Zu Einneung: Die Gleichung b c d becheib eine Ebene, fll die Koeffizienen, b, c nich lle ind. Die Fge i, wie komm mn von de Pmeedellung mi Vekoen uf die Koodinendellung mi Punkkoodinen und umgekeh? PARAMETERDARSTELLUNG KOORDINATENDARSTELLUNG. Binge ubhiee den Oveko Aufpunk nch link.. Fe d Gnze l übebeimme! LGS mi den Viblen und uf, und mch u de dien Koeffizienen-Zeile eine Nullzeile.. Die die Zeile de Eweieung mu ein, dmi eh do im Pinzip die Koodinengleichung.. Scheibe die koeke Koodinengleichung de Ebene hin Konne ech von. KOORDINATENDARSTELLUNG PARAMETERDARSTELLUNG. Löe die Koodinengleichung nch, ode uf w m leicheen geh!.. Seze fü die ndeen beiden und.. Scheibe den Veko hin d Geü eine Ebenengleichung.. Tenne die Vekoen in Aufpunk und Richungvekoen, o d ich die Pmeegleichung egib. Beipiel : Beimme die Koodinengleichung de Ebene Löung: > i eine Ebenengleichung! ode bee E: Beipiel : Beimme die Koodinengleichung de Ebene. Löung: E : ode bee i eine Ebenengleichung!

24 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Beipiel : Beimme eine Pmeegleichung de Ebene - Löung : * - und in * eingeez egib - l Veko gechieben: - - Löung : ** - > und in ** eingeez egib l Veko gechieben: " "!!! eweien E i leich zu zeigen, d beide Löungwege dieelbe Ebene egeben! Schni de beiden Ebenen egib ihe Gleichhei! E i lo egl, nch welche Viblen mn uflö. Beipiel : Beimme eine Pmeegleichung de Ebene Löung: > mi und egib ich Beipiel : Beimme eine Pmeegleichung de Ebene Löung: Jez müen und ein, d fe i!!! > ode bee Beipiel : Beimme eine Pmeegleichung de Ebene - Löung:!!! Mi und egib ich > ode bee

25 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe SCHNITT VON GERADEN UND EBENEN IM R Beimme die Lge de Geden g und g zueinnde? Zunäch püf mn, ob de Richungveko von g ein Vielfche de Richungveko von g i ob ie l.. ind. I die de Fll, dnn ind die Geden pllel ode idenich! b Lieg dnn z.b. de Aufpunk von g uch uf g > g g on > g g Sind die Richungvekoen l.u., dnn ez mn g und g gleich und lö d enehende Gleichungyem. An de Anzhl de Löungen i dnn bzuleen, ob die Geden ich in einem Punk chneiden ode windchief liegen. Beipiel : Püfe die Lge von g : und g : zueinnde. Löung: zueinnde. Sie liegen windchief chneiden ich nich und g g unlöb - Pmee vechieden ein müen!!! dß die beiden Geden - Beche, b gleichezen Dmi ind die Geden wede idenich noch pllel. keine ein Vielfche de ndeen i. d ind l.u., und Die Richungvekoen Beipiel b: Gegeben ind g : und h : mi R. Beimme o, d ich die Geden chneiden. Welche Koodinen h de Schnipunk S? Löung: : * fü chneiden ich : - eindeuig löb wenn * S S S unlöb Sondefll

26 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Welche Lge h die Gede g bezüglich de Ebene E? Die i de einfche??? Fll von Schnipoblemen, d keine Sondefälle und Aunhmen zu püfen ode zu beückichigen ind! Mn ez g und E gleich und lö d enehende Gleichungyem. An de Anzhl de Löungen i dnn bzuleen, wie g zu E lieg. Fälle ind möglich: unlöb > g E kein Schnipunk mehdeuig löb > g E g lieg in E eindeuig löb > g chneide E in einem Punk dem Duchoßpunk Beipiel : Zeige, d die Gede g: nich in de Ebene E: lieg. Gib den Duchoßpunk von g duch E n. Löung: -. Dmi i de Duchoßpunk P- ukommen. E muß dnn de gleiche Oveko jez zu Pobe uch noch uechnen und in die Gleichung von E einezen. und könne mn S in g eingeez um in g einzuezen!!! eich chon, d und denn komm l ee Pmee u Jez wik ich de Tick vom Anfng u, P : Duchoßpunke Beechnung de Dmi chneide die Gede g die Ebene in einem Punk. eindeuig löb! LGS i D! Diee Tick " bechleunig" m Ende! dß de Gedenveko n leze Selle eh Mn beche, Beipiel b: Gib die Duchoßpunke von g: duch die Koodinenebenen n. Löung: Koodine muß ein - die : Schni mi Koodine muß ein - die : Schni mi Koodine muß ein - die : Schni mi, : : : mi mi ein, muß mi : welche de Koodinenebenen mn chneide mi je nchdem, jeweil eine de Schnipunkkoodinen ein muß, dß wenn mn beückichig, geh e, Um diee Duchoßpunke zu beechnen könne mn g mi jede de Ebenen chneiden mühm.schnelle Die Gleichungen de K.ebenen : S E S E S E E E E b E b E b E

27 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Wie liegen Ebenen E und E zueinnde? Mn ez wiede E und E gleich und lö d enehende Gleichungyem. Nogedungen eneh dduch ein unebeimme Gleichungyem, d.h. imme? unendlich viele Löungen!?! - E gib Möglichkeien:. Die Ebenen ind pllel. Die Ebenen ind idenich. Die Ebenen chneiden ich in eine Geden! I d enehende Gleichungyem unlöb, dnn ind die Ebenen pllel. I d Gleichungyem löb, dnn ekenn mn m Rng de enehenden Deieckmi, wie die Ebenen liegen: Rng > E E g Schnigede Rng > E E idenich Beipiel : Gegeben ind E : q p und E : mi R. Fü welchen We von ellen beide Gleichungen dieelbe Ebene d? Löung: ind die Ebenen gleich. fü i die Schnimenge eine Ebene nu fü i de Rng de Koeffizienenmi nu fü beliebig ind de Pmee p,q,, nu fü egib ich noch eine Nullzeile Nu fü q p q p Beipiel b: Fü jede R i duch E : q p eine Ebene gegeben. Zeige, d lle Ebenen eine Gede g gemeinm hben und gib eine Gleichung von g n. Löung: p q p q : g de Schnige einezen E in! de Schnige eine imme e gib dhe, imme i diee M Rng i de ung Vouez nch d

28 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe VORTEILE DER KOORDINATENFORM KF Schni von Ebenen wid leiche nu ein unebeimme LGS zu löen Beipiel: Uneuche die gegeneiige Lge de Ebenen E : - und E : - - Löung:,, Schnigede,,,,,,,,,, Schni von Ebene in KF und Gede in PF wid uf eine einfche Gleichung eduzie Geden cheiben in die Ebenengleichung einezen Beipiel: Uneuche die Lge von g: und zu Ebene E: - Löung: Von de Geden: - in die Ebene einezen -- Mi dieem knn de Schnipunk Duchoßpunk duch die Ebene beechne weden: S Spupunke, bzw. Spugeden ind eh leich beimmb Beipiel: Wo duchoßen die dei Koodinenchen die Ebene E: -? Löung: -Ache: S -Ache: - S -Ache: S Die Spugeden egeben ich u den Geden duch je zwei Spupunke!

29 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe LAPLACE- WAHRSCHEINLICHKEITEN Von Lplce-Whcheinlichkei pich mn bei Zufllepeimenen, bei denen lle Egebnie die gleiche Whcheinlichkei hben Gleichveeilung. Z.B. Münzwuf mi idele Münze, Wüfeln mi idelem Wüfel, uw. E gil fü ein Eeigni A: P A Anzhl lle fü A "günigen" Egebnie Anzhl lle möglichen Egebnie Beipiel: Eine Loommel enhäl Loe, jede. dvon i ein Gewinn. Mi welche Whcheinlichkei i d. gezogene Lo ein Gewinn? b Wie goß i diee Whcheinlichkei, wenn mn beei Loe gezogen h und lle Nieen wen? c Wieviele Nieen müe mn mindeen heunehmen, dmi die Whcheinlichkei fü einen Gewinn beim een Lo göße l % i? Löung: P. Lo i ein Gewinn b P Nieen gezogen,. i ein Gewinn Anzhl Gewinne c PGewinn Anzhl Loe n und d oll > % lo >, ein n >, -> >,.-n -> > -,n ->,n > -> n> Mn müe lo mindeen Nieen heunehmen!

30 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe MEHRSTUFIGE ZE / PFADREGEL Füh mn bei einem Zufllepeimen eine Täigkei mehfch hineeinnde u, o pich mn von einem mehufigen Zufllepeimen. Z.B. mehfche Ziehen eine Kugel u eine Une, mehfche wüfeln,... Solche Epeimene ell mn m been in einem Bum d. WICHTIG: E i dbei zu unecheiden, ob mi ode ohne zuücklegen gie wid! Dbei gil die Pfdegel: Im Bumdigmm i die Whcheinlichkei eine Pfde gleich dem Poduk de Whcheinlichkeien uf den Teilecken de Pfde. Beipiel: Au eine Une mi weißen und chwzen Kugeln weden dei Kugeln gezogen. mi Zuücklegen b ohne Zuücklegen w weiße Kugel, chwze Kugel w w w w w w w w w w w w w w Beipiele fü die Pfdegel: Pwww Pww Pwww Pww Um z.b. die Whcheinlichkei zu beechnen, d mn genu weiße Kugeln zieh, mu mn mehee Pfde de Bume ddieen. Pgenu Kugeln ind w Pww Pww Pww

31 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT / VIERFELDERTAFEL Bedinge Whcheinlichkei heiß, d mn die Whcheinlichkei eine Eeignie A wien will, une de Bedingung, d ein ndee Eeigni B chon eingeeen i. Nich zu vewecheln dmi, d die zwei Eeignie A und B gleichzeiig eineen müen! PA B P A B PA i die Whcheinlichkei fü B une de Bedingung, d A chon eingeeen i Beipiel : In eine Une befinden ich oe Kugeln, die die Zhlen bi gen und weiße Kugeln, die die Zhlen bi gen. E wid ein Ml eine Kugel gezogen. Pe i eine Pdie Kugel i o Pe i eine oe beide gleichzeiig eingeoffen!!! D ind lle noch keine bedingen Whcheinlichkeien!!! Abe jez: Mn weiß, d die gezogene Kugel die äg > Mi welche W. i ie o? P mn zog eine, die zudem noch o w P mn zog eine mn zog eine oe Kugel P mn zog eine Wenn mn chon weiß, d die Kugel eine i, dnn gib e nu noch Möglichkeien, nämlich o ode weiß ode ndeheum: Mn weiß, d die gezogene Kugel o i > Mi welche W. äg ie die? P mn zog eine, die zudem noch o w P mn zog eine oe Kugel mn zog eine P mn zog eine oe Kugel Wenn mn hingegen weiß, d die Kugel o i, dnn gib e immehin noch Möglichkeien, nämlich,,,,, Beipiel : Bei de lezen Whl enfielen % de Simmen uf die Pei Fochi, % de Simmen uf die Pei Geechigkei und % uf die Pei Zukunf. Une den Wählen wen Jungwähleinnen und - wähle und Alwähleinnen und -wähle. Jungwähleinnen und -wähle wen bei de Pei Fochi % ihe Wähle, bei de Pei Geechigkei % ihe Wähle und bei de Pei Zukunf % ihe Wähle. Mn h eine Jungwählein vo ich. Wie goß i die Whcheinlichkei, d ie die Pei Zukunf gewähl h? Löung: F: Pei Fochi J: Jungwähleinnen und -wähle G: Pei Geechigkei A: Alwähleinnen und -wähle Z: Pei Zukunf F G Z J A J A J A geuch: P J Z P J Z P Z J P J, %

32 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe Viele Aufgben zu bedingen Whcheinlichkei len ich eh leich mi eine VIERFELDERTAFEL löen. Vouezung i, d mn eine olche Tfel migeliefe bekomm ode genügend Infomionen h, eine olche zu eellen! Dnn jedoch mu mn d Egebni nu u de Tbelle bleen. Wichig: E geh imme um zwei Mekmle in zwei Aupägungen! Beipiel : Zweihunde Peonen wuden uf Tiellegie uneuch. D Egebni zeig nebenehende Tbelle. E bedeue H: Hundellegie, K Kzenllegie. Diee u de Guppe geh mi einem Hund pzieen, l e Heidi die uch in de Guppe w iff, die uf eine Pkbnk mi eine Kze chmu. Wie goß i die Whcheinlichkei, d e ich zu ih ezen knn? Wie goß i die Whcheinlichkei, d Heidi fluchig wegenn? H H K K Wi gehen nülich dvon u, d dzuezen bzw. wegennen uchließlich llegiebeding vokomm! ;- Löung: Diee knn ich ezen mi: P K % H Heidi mu flüchen mi: P H % K Beipiel : In % eine Podukionmenge von Ü-Eien befinde ich ein eineilige Spielzeug, in einem Fünfel dvon i die eine Figu u dem neuen Dineyfilm. % de Eie enhlen ein meheilige Spielzeug, d nich mi dem Film zu un h. Duch Schüeln knn mn bei einem Ei feellen, d e mehee Teile enhäl. Wie goß i die Whcheinlichkei, d diee Ei ew u dem Dineyfilm enhäl? b Wie goß i die Whcheinlichkei, igendew u einem Kinofilm zu bekommen, wenn mn Eie kuf? Löung: E eineilig D u einem Diney-Film Mmeheilig Nnich u einem Diney-Film P mehee Teile Film b Pmind. Film -Pkein Film-, in % D N E M

33 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe UNABHÄNGIGKEIT VON EREIGNISSEN Au de Fomel zu bedingen Whcheinlichkei egib ich diek de ogennne llgemeine Muliplikionz: PA B PA.P A B lo nich goßig Neue. Diee benuz mn nun, um zu püfen, ob zwei Eeignie voneinnde unbhängig ind! Zwei Eeignie A und B heißen voneinnde unbhängig, wenn gil PA B PA.PB ndenfll heißen A und B voneinnde bhängig. Die nenn mn wegen de Hekunf von oben uch den peziellen Muliplikionz. Beipiele: Ein idele Wüfel wid zweiml gewofen. E ei A: Die Augenumme i und B: Zweiml dieelbe Augenzhl. Dnn i PA ; PB ; PA B D be PA.PB vechieden von PA B i, ind die Eeignie A und B voneinnde bhängig. b E ei C: Eine im zweien Wuf und D: Die Augenumme i Dnn i PC ; PD ; PC D Hie gil lo PC.PD PC D, d.h. die Eeignie C und D ind unbhängig voneinnde. De Englände GALTON übigen ein Vee von Chle Dwin, de ich une ndeem uch mi Whcheinlichkeiechnung befe uneuche den Zummenhng de Augenfbe n Ve-Sohn- Pen. Seine Egebnie gib die Tbelle wiede. Sind A und B unbhängig voneinnde? B B A A A: Ve helläugig B: Sohn helläugig PA ; PB ; PA.PB, PA B lo ind A und B voneinnde bhängig.

34 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe ZUFALLSVARIABLEN Viele Zufllepeimene liefen l Egebni Zhlen, wehlb mn uf die Idee km, Zufllviblen einzufühen. Eine Zufllvible X nimm bei jedem Egebni einen Zhlenwe i n, odne lo jedem Egebni eine Zhl zu. An PEeigni g mn dnn PX... Beipiele: E wid ein Ml mi einem idelen Wüfel gewüfel. Die Zufllvible X gebe die gewüfele Zhl n. Fü die Whcheinlichkei, d eine gewüfel wid g mn jez n P : PX b Die Zufllvible Y gebe die Anzhl de Wüfe n, bi eine gewüfel wid. PX hieße lo Pim een Wuf komm eine c Die Zufllvible Z gebe die Summe de gewüfelen Zhlen n, bi eine gewüfel wid. D Eeigni X hieße hie: beim zweien Wuf km eine nchdem im een Wuf eine km ode beim dien Wuf km die, nchdem zue eine und dnn eine km ode beim dien Wuf km die, nchdem zue eine und dnn eine km Eine Une enhle oe und weiße Kugeln, die ncheinnde ohne Zuücklegen gezogen weden. Die Zufllvible X gebe die Zhl de Züge n, bi beide oen Kugeln gezogen ind. Die Veeilung de Zufllviblen X knn mn gu in eine Tbelle dellen: Egebnie e i ww ww ww ww ww ww We von X Pe i D egib die Veeilung de Zufllvible X mi i PXi Fü die Whcheinlichkeiveeilung eine Zufllviblen X mu lo e geklä weden: - W oll X ein? Wie i X definie? - Welche Wee knn X nnehmen? Ein Spochüze iff mi de Whcheinlichkei, die Scheibe. E h höchen Veuche und hö nch dem een Teffe uf. Mi welche Whcheinlichkei chieß e -, -, -, -, ml dneben? XAnzhl de Fehlchüe i,,.,,².,,³.,, PX i,,,,

35 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ A Ewungwe Vo llem bei Glück- Spielen ineeie, ob die Chncen, ew zu gewinnen göße ind, l die, ew zu velieen. D die nich imme o einfch zu gen i, wie bei einem einfchen Münzwuf, h mn den ERWARTUNGSWERT eingefüh, de einem g, welchen Gewinn mn ewen knn wenn mn eh, eh of une ek gleichen Bedingungen piel!!!. E gib o ew wie den duchchnilich zu ewenden Gewinn n! Definiion: I X eine Zufllvible, welche die Wee,,..., n nnehmen knn, o heiß die eelle Zhl EX mi EX.PX.PX... n.px n Ewungwe de Zufllviblen X. De Ewungwe wid of uch mi dem giechichen Buchben µ lie: Mü bezeichne. Meke: Ein Glückpiel i fi, wenn de Ewungwe de Gewinn fü jeden Spiele gleich Null i. D bedeue, d die Whcheinlichkei zu gewinnen fü lle Spiele gleich goß i. Beipiel: Ein Spiele zhl einen Euo Einz und wif dei idele Wüfel. Echein dbei die ein-, zwei- ode deiml, o ehäl e einen Einz zuück und ußedem einen Gewinn von bzw. bzw. Euo. Echein keine, o i de Einz veloen. Zeige, d d Spiel nich fi i. b Wie hoch müe de Einz ein, dmi d Spiel fi wid? Löung: Wi beechnen den Ewungwe mi Hilfe eine Tbelle. X ei de Gewinn. Anzhl de Sechen i Gewinn - Einz i weg.. PX i i.px i Summe, -,,,,,,, EX-, D EX< i, i lohn ich d Spiel fü den Spiele nich, bzw. e i zu einen Ungunen nich fi. b Dmi EX i, echnen wi mi einem llgemeinen Einz z. E mu gelen: -,.z,,, und dmi z, und d Spiel wäe fi.

36 Mhemik Veuch eine Zummenfung de Abiu-Soffe B Vinz Die Vinz bzw. die Snddbweichung i ein Pmee, um die Quliä de Abweichung von einem zu ewenden Mielwe zu beueilen. I X eine Zufllvible, die die Wee i nnimm, o heiß die eelle Zhl VX mi VX -EX².PX -EX².PX... n -EX².PX n die Vinz de Zufllviblen X, wobei Bemekung: SX V X heiß Snddbweichung von X und wid uch mi dem giechichen Buchben σ lie: Sigm bezeichne, die Vinz heiß enpechend σ². Beipiel: Zwei Mchinen A und B chneiden Shlife uf vogechiebene Längen zu. Bei eine Einellung de Mchinen uf eine Solllänge von, mm egben Uneuchungen übe ufeende Abweichungen folgende Whcheinlichkeiveeilungen fü die nfllenden Längen: Mchine A: i,,,, P i,,,,, Mchine B i,,,, P i,,,,, Welche de Mchinen beie zuveläige, bzw. welche wüde du kufen? Löung: Beechne mn fü beide Mchinen den Ewungwe, o egib ich in beiden Fällen, mm. D.h. bei beiden Mchinen i uf lnge Sich die Länge de Sife mm. Mn buch ein weiee Encheidungkieium. Die Vinzen beide Mchinen egeben V A X,-².,,-²., -².,,-².,,-².,, und V B X,-².,,-²., -².,,-².,,-².,,. Mn wid lo Mchine A voziehen, denn die einzelnen Solllängen weichen wenige vom Ewungwe b l bei Mchine B. Mchine A beie lo zuveläige. Al Snddbweichung egib ich: σ X, und σ Y,. De We de Snddbweichung fü Mchine A i kleine l fü B.

Affine Geometrie 11. Jahrgang

Affine Geometrie 11. Jahrgang Affine Geomeie. Jhgng Gliedeung. Vekoen. Dellung von Vekoen. Rechnen mi Vekoen. Linee Ahängigkei. Geden- und Eenengleichungen. Gedengleichungen. Eenengleichungen in Pmeefom. Inzidenzpoleme. Punk und Gede

Mehr

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik)

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik) Physik EI1 Mechnik - Einfühung Seie I MECHNIK 1. EINÜHRUNG Gundlgen, Kinemik, Dynmik (Wiedeholung de Schulphysik) _Mechnik_Einfuehung1_Bneu.doc - 1/9 Die einfühenden Kpiel weden wi zunächs uf dem Niveu

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

4 ARBEIT UND LEISTUNG

4 ARBEIT UND LEISTUNG 10PS/TG - MECHANIK P. Rendulić 2008 ARBEIT UND LEISTUNG 27 4 ARBEIT UND LEISTUNG 4.1 Mehnihe Abei 4.1.1 Definiion de Abei enn ein Köpe une de Einwikung eine konnen Kf die Seke in egihung zuükleg, dnn wid

Mehr

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen

Mehr

Lösen einer Gleichung 3. Grades

Lösen einer Gleichung 3. Grades Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt

Mehr

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn bochdt.tthis@t-online.de Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind

Mehr

Kapitel 5: Koordination der Personalführung im Führungssystem

Kapitel 5: Koordination der Personalführung im Führungssystem Kpitel 5: Koodintion de Peonlfühung im Fühungytem 5. Beziehungen zwichen Contolling und Peonlfühung Kpitel 5 5. Koodintion de Peonlfühung mit dem Infomtionytem 5.3 Koodintion de Peonlfühung mit Plnung

Mehr

Formelsammlung Mechanik

Formelsammlung Mechanik oellun Mechnik Beufliche Gniu chobechule oellun Phik Mechnik Heinich-Enuel-Meck-Schule Dd Snd: 8..8 oellun Mechnik Beufliche Gniu chobechule Gößen und Einheien de Mechnik oel e de Einheien Beziehun zwichen

Mehr

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte Einfühung in die Phsik I Kinemik de Mssenpunke O. von de Lühe und U. Lndgf O und Geschwindigkei Wi bechen den O eines ls punkfömig ngenommenen Köpes im Rum ls Funkion de Zei Eindimensionle Posiion O O

Mehr

PN Handwerk. GC-Online UGL-Schnittstelle Schnelleinstieg

PN Handwerk. GC-Online UGL-Schnittstelle Schnelleinstieg PN Handwek GC-Onine UGL-Schniee Schnenieg Inha GC-Onine UGL-Schniee... 3 Gundneungen fü den auomaichen Daenauauch... 3 Daanom-Daen aben... 4 Akionen de Handweke... 7 Beeung (Liefeaag)... 7 Abaag... 7 Abaag

Mehr

Analytische Geometrie Übungsaufgaben 1 gesamtes Stoffgebiet

Analytische Geometrie Übungsaufgaben 1 gesamtes Stoffgebiet Analyiche Geomeie Übungaufgaben geame Soffgebie Pflicheil (ohne GTR und ohne Fomelammlung): P: Zeichne die folgenden Ebenen mi Hilfe ihe Spugeaden in ein kaeiche Koodinaenyem ein: a) E: b) E: 8 c) E: P:

Mehr

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE Vektoechnung Anltische Geometie 7. VEKTORRECHNUNG ANALYTISCHE GEOMETRIE 7.1. Vektoen () Definition Schiet mn einen Punkt P 1 im Koodintensstem in eine ndee Lge P so ist diese Schieung duch Ange des Upunktes

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen:

Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen: Die Schwingungs-Differenilgleichung Freie ungedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Federschwinger Bei Auslenung des Mssenpunes: Hooesches Gesez F - Federonsne Die Bewegungsgleichung lue dher: d m oder m

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen Wichfwienchfliche Fkulä de Ebehd-Kl-Univeiä Tübingen Die individuelle Voeilhfigkei de iven Renenveicheung - Seuevoeile, Lebenewung und Sonoiiken Michel Thu Tübinge Dikuionbeig N. 264 Juli 2003 Wichfwienchfliche

Mehr

1. Klausur Physik Leistungskurs: Kinematik Klasse Dauer: 90 min

1. Klausur Physik Leistungskurs: Kinematik Klasse Dauer: 90 min 1. Kluur Phyik Leiungkur: Kineik Kle 11 1.1.13 Duer: 9 in 1. Mx und Mäxchen chen ein Werennen über 1. Mx gewinn d Rennen i en 5 Vorprung. U Mäxchen bei Lune zu hlen, ren ie einen Rencheluf, bei de ber

Mehr

6. Numerische Filterung: Polfilter, Diffusion und Lärmfilter. 6.1 Polfilter

6. Numerische Filterung: Polfilter, Diffusion und Lärmfilter. 6.1 Polfilter 6. Numeice Fileug: Polfile Diffuio ud Lämfile 6. Polfile De e geige zoale ieuabad i Poläe efode eie e uze Zeici de da Modell ieffizie mac. Diee Naceil wid veige idem ma ab eie beimme Beie die ieue albie

Mehr

Messgrößen und gültige Ziffern 7 / 1. Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit 7 / 2

Messgrößen und gültige Ziffern 7 / 1. Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit 7 / 2 Die Genauigkei einer Megröße wird durch die güligen Ziffern berückichig. Al gülige Ziffern einer Maßzahl gelen alle Ziffern und alle Nullen, die rech nach der eren Ziffer ehen. Megrößen und gülige Ziffern

Mehr

Gebiet Basisgröße Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen

Gebiet Basisgröße Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen 141 Phik I Einfühun Die Phik i ein Teilebie de Nuwienchfen und bechäfi ich mi de lebloen Umwel. In de Phik wid euch, die Geezmäßikeien de unbeleben Meie duch Beobchunen und Meunen zu efen und in eine mhemichen

Mehr

C Die Gleichung. Passive Netzwerke Differentialgleichungen H. Friedli. Darstellung der passiven Bauelemente Widerstand Kondensator Spule

C Die Gleichung. Passive Netzwerke Differentialgleichungen H. Friedli. Darstellung der passiven Bauelemente Widerstand Kondensator Spule Passive Neweke Diffeenialgleichungen H. Fiedli Dasellung de passiven auelemene Widesand Kondensao Spule du U R I( ) I U& di( ) ( ) U L L I& d d Mi diesen Definiionen lassen sich alle passiven Kombinaionen

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Übungen: Extremwertaufgaben

Übungen: Extremwertaufgaben Übungen: Extemwetufgben.0 Eine Stenwte ht meist die Fom eines Zylindes (Rdius, Höhe h) mit eine oben ufgesetzten Hlbkugel (siehe z. B. die im Bild unten gezeigte Fitz-Weiths-Stenwte in Neumkt). Die gesmte

Mehr

Unterlagen Fernstudium - 3. Konsultation 15.12.2007

Unterlagen Fernstudium - 3. Konsultation 15.12.2007 Untelagen Fenstudium - 3. Konsultation 5.2.2007 Inhaltsveeichnis Infomationen u Püfung 2 2 Aufgabe 7. Umstömte Keisylinde mit Auftieb 3 3 Aufgabe 8. Komplexes Potential und Konfome Abbildung 0 Infomationen

Mehr

Schaltwerke. e = 0 z. e = 0 1 z. z neu. z = z = z???? z(t + ) = z neu = z(t) Schaltnetze und Schaltwerke

Schaltwerke. e = 0 z. e = 0 1 z. z neu. z = z = z???? z(t + ) = z neu = z(t) Schaltnetze und Schaltwerke Schaltweke Schaltnete und Schaltweke Schaltnete dienen u Becheibung deen, wa innehalb eine Poeotakt abläuft. Die akteit de Poeo mu imme etwa göße ein al die Signallaufeit de Schaltnete. Damit wid ichegetellt,

Mehr

Bestimmung der Erdbeschleunigung g

Bestimmung der Erdbeschleunigung g Beiun der Erdbechleuniun Mai G 68 uorin: Cornelia Sin eilneher: Daniel Guyo Diana Bednarczyk Fabian Fleicher Heinrich Südeyer Inkje Dörin Rain orabi René Könnecke Galileo Galilei G 68: rookoll zur Beiun

Mehr

Zeitabhängige Felder, Maxwell-Gleichungen

Zeitabhängige Felder, Maxwell-Gleichungen Zeiabhängige Felde, Mawell-Gleichungen Man beobache, dass ein eiabhängiges Magnefeld ein elekisches Feld eeug. Dies füh.. u eine Spannung an eine Dahschleife (ndukion). mgekeh beobache man auch: ein eiabhängiges

Mehr

Einführung in die Schaltalgebra

Einführung in die Schaltalgebra Einführung in die chltlger GUNDBEGIFFE: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 ECHENEGELN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Mehr

Mathematik in eigenen Worten Arbeitsblätter und Kopiervorlagen

Mathematik in eigenen Worten Arbeitsblätter und Kopiervorlagen Mthemtik in eigenen Woten Abeitsblätte und Kopievolgen Abeitsblätte und Kopievolgen stehen unte www.klett.ch/spektumschule kostenlos ls Downlod zu Vefügung. Ihe Vewendung fü den eigenen Unteicht wid vom

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+LehrerInnenteam ARBEITSBLATT 6-13 ERMITTELN DER KREISGLEICHUNG

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang+LehrerInnenteam ARBEITSBLATT 6-13 ERMITTELN DER KREISGLEICHUNG ahemaik: ag. Schmid WolfgangLehrerInneneam ARBEITSBLATT - ERITTELN DER KREISGLEICUNG Wir wollen un nun bemühen, die Gleichung pezieller Kreie zu ermieln. Beipiel: Ermile die Gleichung jene Kreie mi dem

Mehr

Abstand von 4,5 cm von der Mitte. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand? (in km/h)

Abstand von 4,5 cm von der Mitte. Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand? (in km/h) Aufgaben zu Roaion 1. Die Spize de Minuenzeige eine Tuuh ha die Gechwindigkei 1,5-1. Wie lang i de Zeige?. Eine Ulazenifuge eeich 3 940 Udehungen po Minue bei eine Radiu von 10 c. Welchen Weg leg ein Teilchen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G

Abiturprüfung Mathematik 2011 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1. gegeben durch. auf der y-achse und schneidet G wwwmhe-ufgbencom Abiurprüfung Mhemik 0 (Bden-Würemberg) Berufliche ymnsien Anlysis, Aufgbe Für jedes mi > is die Funkion g gegeben durch x g (x) = e, x Ds Schubild von g is ( Punke) Nennen Sie drei gemeinsme

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Pives Gymsim Mies J Mhemik Alyishe Geomeie Ueihsfzeihe de Mhemikleisskse / i de Shljhe / d / Noe Mez Am Solz He Ihlsvezeihis LÄNG BTRAG) INS VKTORS INHITSVKTOR SKALARPRODUKT WINKL ZWISCHN ZWI VKTORN NORMALNFORM

Mehr

1. Klausur Physik Leistungskurs Klasse

1. Klausur Physik Leistungskurs Klasse 1. Kluur Phyik Leiungkur Kle 11 1.1.1 1. uf einer gerden, horizonlen Srße fähr ein Moorrd i der konnen Gechwindigkei 9kh -1. pier zur Zei eine Mrke M. Zu elben Zeipunk re i Punk P ein Moorrd (Me einchließlich

Mehr

Grundwissen 9. Jahrgangsstufe (G 8) Mathematik. In der Jahrgangsstufe 9 erwerben die Schüler folgendes Grundwissen:

Grundwissen 9. Jahrgangsstufe (G 8) Mathematik. In der Jahrgangsstufe 9 erwerben die Schüler folgendes Grundwissen: Gundwien 9. Jhgngtufe (G 8) Mthemtik In de Jhgngtufe 9 eweben die Schüle folgende Gundwien: Sie ind ich de Notwendigkeit von Zhlenbeeicheweiteungen bewut und können mit Wuzeln und Potenzen umgehen. Sie

Mehr

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie

Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie Elektostatik. Ladungen Phänomenologie. Eigenschaften von Ladungen 3. Käfte zwischen Ladungen, quantitativ 4. Elektisches Feld 5. De Satz von Gauß 6. Potenzial und Potenzialdiffeenz i. Abeit im elektischen

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III

Mehr

Exkurs: Portfolio Selection Theory

Exkurs: Portfolio Selection Theory : Litetu: Reinhd Schmidt und Ev Tebege (1997): Gundzüge de Investitions- und Finnzieungstheoie, 4. Auflge, Wiesbden: Gble Velg BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 1 Aktien und Aktienenditen

Mehr

Green-Funktion. Wir betrachten (z. B.) eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. y +y = r(x) Die allgemeine Lösung mit y(0) = 0 und y( π 2

Green-Funktion. Wir betrachten (z. B.) eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. y +y = r(x) Die allgemeine Lösung mit y(0) = 0 und y( π 2 Green-Funkion Wir berchen (z. B.) eine inhomogene linere DGL 2. Ordnung y +y = r() Die llgemeine Lösung mi y() = und y( π 2 ) = (Rndwerufgbe) sez sich us der llgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen

Mehr

Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife

Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife Fomeln zu Mtemtik fü die Fcocsculeife Beeitet von B. Gimm und B. Sciemnn 3. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nouney, Vollme GmH & Co. KG Düsselege Stße 3 4781 Hn-Guiten Euop-N.: 8519 Autoen: Bend Gimm Bend

Mehr

Abitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich. und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Anlytiche eometie Intention: Eeitung eine Vefhen, mit deen Hilfe mn jede geometiche Aufge duch echnung löen knn. I Vektoen und Vektoäume Pfeile und Vektoen Vektoen ind geichtete ößen. Phyik: Kft, echwindigkeit,

Mehr

Die Eckpunkte A und E liegen in der y-z-ebene; Es wird ein dritter Schnittpunkt der y-z-ebene mit dem Körper berechnet.

Die Eckpunkte A und E liegen in der y-z-ebene; Es wird ein dritter Schnittpunkt der y-z-ebene mit dem Körper berechnet. Lösungen Abiu Leisungsus Mahemai Seie von 9 P Analyische Geomeie. Dasellung de Veoen: BE + FG = BH. C F = AF AF + F = C AF + FC = AC AC FC = AF A ( ;;) B ( ; 4; ) C ( ;; ) D ( ;;) E ( ;;) F ( ; 4; ) G

Mehr

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer! hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H.

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H. Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:

Mehr

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Experimentalphysik II (Kip SS 2007) peimenalphsik II Kip SS 7 Zusavolesungen: Z-1 in- und mehdimensionale Inegaion Z- Gadien Divegen und Roaion Z-3 Gaußsche und Sokessche Inegalsa Z-4 Koninuiäsgleichung Z-5 lekomagneische Felde an Genflächen

Mehr

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte. O. von der Lühe und U. Landgraf

Einführung in die Physik I. Kinematik der Massenpunkte. O. von der Lühe und U. Landgraf Einfühung in die Phsik I Kinemaik de Massenpunke O. on de Lühe und U. Landgaf O und Geschwindigkei Wi beachen den O eines als punkfömig angenommenen Köpes im Raum als Funkion de Zei Eindimensionale Posiion

Mehr

Aufgaben zur beschl. Bewegung (Abi 2007) 517. Ein Zug fährt mit 72 km/h Geschwindigkeit. Durch eine Baustelle wird er gezwungen,

Aufgaben zur beschl. Bewegung (Abi 2007) 517. Ein Zug fährt mit 72 km/h Geschwindigkeit. Durch eine Baustelle wird er gezwungen, Aufgben zur bechl. Bewegung 66. (Abi 007) Ein Lieferwgen der Me,5 wird u de Sillnd durch eine konne Krf i de k Berg,0 kn bechleunig. Nchde die Gechwindigkei 7 erreich i, fähr der h Lieferwgen gleichförig

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1

Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Fü die Nahfage Dp nah einem Podukt als Funktion seines Peises p sollen folgende Szenaien modelliet weden:. Wenn de Peis um einen Euo steigt,

Mehr

Parameter-Identifikation einer Gleichstrom-Maschine

Parameter-Identifikation einer Gleichstrom-Maschine Paamete-dentifikation eine Gleichtom-Machine uto: Dipl.-ng. ngo öllmecke oteile de Paamete-dentifikationvefahen eduzieung de Zeit- und Kotenaufwand im Püfpoze olltändige Püfung und Chaakteiieung von Elektomotoen

Mehr

5.5. Anwendungsaufgaben aus der Physik

5.5. Anwendungsaufgaben aus der Physik .. Anwendungsaufgaben aus de Physik Aufgabe 1: Kinemaik Skizzieen Sie die Geschwindigkeis-Zei- und Weg-Zei Diagamme im Beeich < < 1 s und sellen Sie die Funkionsgleichungen fü v() und s() auf. a) Ein Köpe

Mehr

Beschreibung paralleler Abläufe mit Petri-Netzen

Beschreibung paralleler Abläufe mit Petri-Netzen Bechreibung paralleler Abläufe mi Peri-Nezen Grundlagen und Beipiele für den Unerrich Peri-Neze ind ein graphiche Miel zur Bechreibung, Modellierung, Analye und Simulaion von dynamichen Syemen, die eine

Mehr

Wärmedurchgang durch Rohrwände

Wärmedurchgang durch Rohrwände ämeuchgng uch Rohwäne δ - L Rohlänge Bl: Sonäe ämeleung uch ene enschchge zylnsche n Fü e ämeleung gl llgemen: λ x Fü ene ünne konzensche Schch es Rohes von e Dcke gl: &Q λ Fläche: f(): 2 π L (Mnelfläche)

Mehr

Symposium EME 2005. 5. - 7. September 2005 d. Numerische Feldberechnung im VCC EME - aktueller Sachstand und zukünftige Entwicklungen

Symposium EME 2005. 5. - 7. September 2005 d. Numerische Feldberechnung im VCC EME - aktueller Sachstand und zukünftige Entwicklungen Sympoium EME 2005 5. - 7. Septembe 2005 d Titel de Beitage: Namen de Autoen: Name de Votagenden Fima, Dienttelle: Anchift: Emailadee: Numeiche Feldbeechnung im VCC EME - aktuelle Sachtand und zukünftige

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Vo r d ä c h e r-ca r p o r t s. Vo r d ä c h e r-ca r p o r t s a u s Sta h l Ed e l s ta h l u n d. Gl a s. En g i n e e r i n g

Vo r d ä c h e r-ca r p o r t s. Vo r d ä c h e r-ca r p o r t s a u s Sta h l Ed e l s ta h l u n d. Gl a s. En g i n e e r i n g a u s Sta h l Ed e l s ta h l u n d Gl a s 2 Ve r z i n k t e Sta h l k o n s t r u k t i o n m i t g e k l e bt e n Ec h t g l a s- s c h e i b e n Da c h ü b e r s p a n n t d i e Fr ü h s t ü c k s

Mehr

Kapitelübersicht. Kapitel. Kapitalwert und Endwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert

Kapitelübersicht. Kapitel. Kapitalwert und Endwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert. 4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert -0 - Kapiel Kapialwe und Endwe Kapielübesich. De Ein-Peioden-Fall. De Meh-Peioden-Fall. Diskonieung. Veeinfachungen.5 De Unenehmenswe.6 Zusammenfassung und Schlussfolgeungen -. De Ein-Peioden-Fall: Endwe

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung -

Einführung in die Finanzmathematik - Grundlagen der Zins- und Rentenrechnung - Einfühung in die Finanzmathematik - Gundlagen de ins- und Rentenechnung - Gliedeung eil I: insechnung - Ökonomische Gundlagen Einfache Vezinsung - Jähliche, einfache Vezinsung - Untejähliche, einfache

Mehr

2.Absorption, Reflexion und Durchlässigkeit

2.Absorption, Reflexion und Durchlässigkeit "Floin Pbs" pope_666@homil.com Pbs Floin 5M (98/99) Wämeshlung.Gundlgen ls Wäme und empeushlung bezeichne mn den negiesom eines offes de nu von dessen emp. bhängig is. Die Wämeshlung wächs mi seigende

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Highlights. Lenovo ThinkPad X1 Yoga. CHF 1'907.00 inkl. MwSt inkl. Swico. Lenovo IdeaPad Yoga 900. CHF 1'653.00 inkl. MwSt inkl.

Highlights. Lenovo ThinkPad X1 Yoga. CHF 1'907.00 inkl. MwSt inkl. Swico. Lenovo IdeaPad Yoga 900. CHF 1'653.00 inkl. MwSt inkl. P e l eap l-jun2016 FüPe onen nau b l dung ( Schül e,s uden en,leh l ngeundleh pe onal ) Ne D ec GmbH Un e do f a e1 6274E c henbac h 0414480887 nf o@ ne d ec. c h www. ne d ec. c h Hghlgh Lenovo ThnkPad

Mehr

Staatlich geprüfte Techniker

Staatlich geprüfte Techniker Auzug au dem Lernmaerial Forildunglehrgang Saalich geprüfe Techniker Auzug au dem Lernmaerial Naurwienchaf DAA-Technikum Een / www.daa-echnikum.de, Infoline: 00 83 6 50 Definiion: Die Gechwindigkei eine

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

6. In einem Experiment wurden für die Bewegung eines Spielzeugautos folgende Messwerte aufgenommen:

6. In einem Experiment wurden für die Bewegung eines Spielzeugautos folgende Messwerte aufgenommen: Aufgaben zur gleicförigen Bewegung Aufgaben. Ein Radfarer are u 7.00 Ur in Leipzig und fär i der ileren Gecwindigkei 0 / nac Berlin. U 9.00 Ur fär ein Auo on deelben Punk in dieelbe Ricung ab. E beiz die

Mehr

Hauptprüfung 2010 Aufgabe 4

Hauptprüfung 2010 Aufgabe 4 Haupprüfung Aufgabe Gegeben ind die Punke A(5//), B(//), C(//) und S(//5).. Zeigen Sie, da da Dreieck ABC rechwinklig und gleichchenklig i. Berechnen Sie die Koordinaen de Punke D o, da da Viereck ABCD

Mehr

Weg im tv-diagramm. 1. Rennwagen

Weg im tv-diagramm. 1. Rennwagen Weg im v-diagramm 1. Rennwagen Löung: (a). (a) Bechreibe die Fahr de Rennwagen. (b) Wie wei kommm der Rennwagen in den eren vier Minuen, wie wei komm er über den geamen Zeiraum? (c) Wie groß i die Durchchnigechwindigkei

Mehr

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen www.mthe-ufgben.com ufgben zu Keisen und Keisteilen Keisfläche: ( Rdius des Keises) Keisumfng: U Keisingfläche: ( ußen innen ) Keisusschnitt / Keissekto: Öffnungswinkel, b Keisbogen α bzw. b 60 α α b 60

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Zahnarztangst? Wege zum entspannten Zahnarztbesuch. Mit einer von Marc A. Pletzer konzipierten und gesprochenen Trance. Bearbeitet von Lea Höfel

Zahnarztangst? Wege zum entspannten Zahnarztbesuch. Mit einer von Marc A. Pletzer konzipierten und gesprochenen Trance. Bearbeitet von Lea Höfel Zahnaztangst? Wege zum entspannten Zahnaztbesuch. Mit eine von Mac A. Pletze konzipieten und gespochenen Tance Beabeitet von Lea Höfel 1. Auflage 2012. Taschenbuch. 136 S. Papeback ISBN 978 3 7945 2870

Mehr

8. Abtastung. Kontinuierliches Signal: Signalspektrum: Abgetastetes Signal: ( t) Abtastfunktion: 1 f a. Spektrum der Abtastfunktion:

8. Abtastung. Kontinuierliches Signal: Signalspektrum: Abgetastetes Signal: ( t) Abtastfunktion: 1 f a. Spektrum der Abtastfunktion: Pro. Dr.-In. W.-P. Buchwld Sinl- und Sysemheorie 8. Absun Koninuierliches Sinl: u() Sinlspekrum: U() Abesees Sinl: ( ) = u( ) ( ) u Absunkion: + n= ( ) = δ ( n ) Spekrum der Absunkion: + n= Spekrum des

Mehr

Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen ( n) + + +... ++ Eplizite Form: (Gleichung lässt sich nch höchster Ableitung uflösen Implizite Form: + 0 Lösung: Durch eine Funktion Lösungsweg:

Mehr

Mikro-Controller-Pass 1

Mikro-Controller-Pass 1 Mikro-Conroller-Pss Lernsyseme MC 85 eie: rdl. Logik_B rundlgen logische Verknüpfungen Inhlserzeichnis Vorwor eie Binäre Aussgen in der Technik eie Funkionseschreiungen der Digilechnik eie 5 Funkionselle

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

6. Arbeit, Energie, Leistung

6. Arbeit, Energie, Leistung 30.0.03 6. beit, negie, Leitung a it beit? Heben: ewegung Halten: tatich g g it halten: gefühlte beit phikalich: keine beit Seil fetbinden: Haltepunkt veichtet keine beit. Mit Köpegewicht halten: keine

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

V Welche Leistung bringt ein Mensch beim Fahrrad Fahren? Einleitung (Hier wird erklärt, warum der Versuch durchgeführt wird)

V Welche Leistung bringt ein Mensch beim Fahrrad Fahren? Einleitung (Hier wird erklärt, warum der Versuch durchgeführt wird) AB Energie Leiung Scüler, Seie 1 V Welce Leiung bring ein Menc bei arrad aren? Einleiung (Hier wird erklär, waru der Veruc durcgefür wird) Mecanice Energie E wird dann auf einen Körper überragen, wenn

Mehr

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) S ( 1;1) a () 1 1. Analysis Ableitungen: x x. Berechnung der Koeffizienten: b = ( ) Gleichung der Tangenten t:

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) S ( 1;1) a () 1 1. Analysis Ableitungen: x x. Berechnung der Koeffizienten: b = ( ) Gleichung der Tangenten t: Lösungen Abiur Leisungskurs Mhemik www.mhe-schule.de Seie von 9 P Anlysis = R, ² k.. p = + b+, b, R Ableiungen: k' ( ) = = p' = + b Berechnung der Koeffizienen: ; p =.. S : () p' () k' () + b + = b= =

Mehr

Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum

Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum www.mhe-ufgben.com Aufgben us Zenrlen Klssenrbeien Mhemik 96-99 (Bden-Würemberg) zu Logrihmen und Wchsum ZK 96 ) Besimme mi Hilfe der Definiion des Logrihmus : ) 6 b) c) d) 0 000 ) Es is 0, 6. Berechne

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.] [Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

5.3 Die hypergeometrische Verteilung

5.3 Die hypergeometrische Verteilung 5.3 Die hypegeometische Veteilung Das Unenmodell fü die hypegeometische Veteilung ist die Ziehung ohne Zuücklegen. Die Une enthalte n Kugeln, davon s schwaze und w n s weiße. De Anteil p : s n de schwazen

Mehr

12 Schweißnahtberechnung

12 Schweißnahtberechnung 225 12 Schweißnherechnung 12 Schweißnherechnung Die Berechnung der ufreenden Spnnungen in Schweißnähen erfolg im Regelfll mi Hilfe der elemenren Gleichungen der esigkeislehre. Auf weierführende Berechnungsverfhren,

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg)

Lösung Abiturprüfung 1994 Leistungskurs (Baden-Württemberg) Lösung Abiurprüfung 1994 Leisungskurs (Baden-Würemberg) Analysis I.1. a) D f = IR / { 1 } f x= = K besiz keine Nullsellen 1x f ' x= 8 1x = 8 K besiz keine Exremsellen senkreche Asymoe : x= 1 waagereche

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Aufgaben zu den Würfen. Aufgaben

Aufgaben zu den Würfen. Aufgaben Aufaben zu den Würfen Aufaben. Ein Körper wird i der Gecwindikei 8 - nac oben eworfen. Vo Lufwiderand ee an ab. Berecnen Sie die Wurföe und die Zei bi zu Erreicen de öcen Punke der Ban. Berecnen Sie die

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Pof. Anes Hez, D. Stefn Häusle emil: heusle@biologie.uni-muenchen.e Deptment Biologie II Telefon: 89-8-748 Goßhenest. Fx: 89-8-7483 85 Plnegg-Mtinsie

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2017 Merkhilfe S. 1/8. Dreieck Flächeninhalt: 1 2. Mindestens zwei Seiten sind gleich lang.

Abiturprüfung Mathematik 2017 Merkhilfe S. 1/8. Dreieck Flächeninhalt: 1 2. Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Aitupüfung Mthemtik 07 Mekhilfe S. /8 Eene Figuen Deieck Flächeninhlt: A g h g gleichschenkliges Deieck Mindestens zwei Seiten sind gleich lng. gleichseitiges Deieck Alle dei Seiten sind gleich lng. Flächeninhlt:

Mehr

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)

Mehr

Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch

Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch vsmp sspmp ssimf Mittelwete ud Zhlefolge Bet Jggi, bet.jggi@phbe.ch Eileitug Ds Bilde vo Mittelwete ist ei zetles Kozept i de Mthemtik: Lgemsse i de Sttistik (Mittelwet, Medi, Modus); Mitte, Mittelliie

Mehr