Referat im Fach Mathematik

Transkript

1 Refet im Fc Mtemtik Tem: Beecnung von Rottionsköpen mit klssiscen Metoden und mit Integlecnung m Beispiel von Kegel, Kugel und Rottionsellipsoid. Vefsse: Ruen Flle

2 Inltsvezeicnis. Ws sind Rottionsköpe? S.. Zum Pinzip de Volumeneecnung von Rottionsköpen mit Integlecnung S... Volumeneecnung des Kegels klssisc S... Volumeneecnung des Kegels mit Integlecnung S... Receneispiel zu Beecnung eines Kegels S. 5.. Volumeneecnung de Kugel klssisc S. 6.. Volumeneecnung de Kugel mit Integlecnung S. 7.. Receneispiel zu Beecnung eine Kugel S Volumeneecnung eim Rottionsellipsoid S. 8 Quellenvezeicnis

3 . Ws sind Rottionsköpe? Rottionsköpe entsteen duc die Rottion eines Gpen zw. eines Gpenscnitts um die. Acse (Rottionen um die. Acse sind uc möglic, sollen ie e nict endelt weden). Die Quescnittsfläcen de so entstndenen Köpe sind Keise. De Rdius diese Keise wid duc die Funktionswete de Rndfunktion estimmt. Die Rndfunktion egenzt den Köpe. Ds soll m Beispiel des einfcsten Rottionsköpes, dem Zylinde, eläutet weden. De Gp eine konstnten Funktion f () = c üe dem Intevll [, ] otiet um die. Acse (lue Gpenscnitt). E umscließt mit de Acse und den Geden = und = eine Recteckfläce. Duc die Rottion entstet ein Zylinde mit dem Rdius c und de Höe, woei =. Fü ds Volumen dieses Zylindes egit sic duc Gundfläce Höe π c ( ) Ziel ist nun, mit Hilfe de Rndfunktion und de Integlecnung ds Volumen von Rottionsköpen zu eecnen und m Beispiel von Kegel, Kugel und Rottionsellipsoid uc die klssisce Volumeneecnung diese Köpe ufzuzeigen.. Zum Pinzip de Volumeneecnung von Rottionsköpen mit Integlecnung Ds Vefen zu Bestimmung des Volumens von Rottionsköpen mit Hilfe de Integlecnung siet uf de Fläceneecnung unte Gpen. Ds Vefen möcte ic m Beispiel de Funktion f () = ekläen. Aus de Aildung get evo, dss de Fläceninlt A = 8. Mn unteteilt ds Intevll (ie [ 0,] ) in gleic eite Rectecke und ildet so die Untesumme U n de Fläce. Vegößet mn n, so näet mn sic dem gesucten

4 Fläceninlt imme genue. Desl unteteilt mn ds Intevll in imme kleinee Teilintevlle und untesuct die Untesumme uf einen Genzwet fü n. So gilt: U n = n n n U n = [ ( n ) ] n n ( n ) Wegen +++ ( n ) = n ( ) U n = 6 n n n n n = 8 n n folgt = 8 lssen wi n üe lle Genzen wcsen und ilden den n Genzwet, so ist : lim U n = 8 ds Gleice knn mn mit de Oesumme mcen n Eine stetige Funktion f t fü jede Poduktsumme S n einen Genzwet fü n Diese Genzwet ist de gesucte Fläceninlt. De Genzwet lim Sn eißt ds n Integl de Funktion f zwiscen den Genzen und. lim S n = ( ) n f d Bei de Bestimmung des Volumens von Rottionsköpen mit Hilfe de Integlecnung unteteilt mn ds Intevll [, ] wiede in n gleic lnge Teilintevlle und etctet die einescieenen und umescieenen Teppenfiguen us Rectecken. Lässt mn diese eenflls um die Acse otieen, so git es zu jedem Teilintevll einen Zylinde, de den Köpe von ußen

5 und von innen eüt. Mn muss sic den Köpe jetzt us unendlic vielen kleinen Zylindesceien unendlic kleine Höe (Dicke) vostellen. Mn wält nun k im kten Teilintevll so, dss f( k ) genu zwiscen dem inneen und dem äußen Zylindedius liegt. Dmit ist ds Volumen dieses Rottionsköpes K Summe de unendlic vielen Einzelzylinde. Fü n V n = (f( )) + (f( )) + + (f( n )) egit diese Summe ds Integl mit dem sic lle Rottionsköpe eecnen lssen: ( f ( )) d.. Volumeneecnung des Kegels klssisc Gundlegend fü die klssisce Volumeneecnung des Kegels ist die Volumeneecnung de Pymide, wonc mn z.b. einen Wüfel in dei gleice Pymiden zelegen knn. Die Pymiden en gleice Gundfläcen und Höe. Wictig fü die Volumeneecnung des Kegels ist nun de Stz des Cvliei (598 67), wonc zwei Köpe, die gleice Gundfläce und in gleice Höe gleice Pllelquescnitte zu Gundfläce en ds gleice Volumen esitzen. Die Gundfläce eine Pymide ist ein egelmäßiges Vieleck. Wenn mn die Eckzl dieses Vielecks imme me vegößet, so näet sic dieses Vieleck

6 einem Keis. Dduc entstet us eine Pymide ein Kegel mit de Gundfläce G und de Höe. G mit G = V Kegel =.. Volumeneecnung des Kegels mit Integlecnung Duc Rottion des Gpen de Funktion f () = m mit de Steigung m = entstet ein Kegel, woei die Höe und de Rdius des Gundkeises ist. Die Kegelspitze liegt im Uspung und de Mittelpunkt des Gundkeises ei (/0). In de Elementgeometie eecnet mn ds Volumen mit. Bei de Bestimmung des Volumens mit Hilfe de Integlecnung unteteilt mn ds Intevll [ 0,] wiede in n gleic lnge Teilintevlle und etctet die einescieenen und umescieenen Teppenfiguen us Rectecken. Lässt mn diese um die Acse otieen, so git es zu jedem Teilintevll einen Zylinde, de den Kegel von ußen und von innen eüt. Mn knn sic nun den Kegel wiede zusmmengesetzt us unendlic vielen kleinen Zylindesceien unendlic kleine Höe (Dicke) vostellen. Rdius eines unendlic kleinen Zylindes: (Stlenstz) Volumen eines unendlic kleinen Zylindes: ( ) d = d

7 Ds gesmte Volumen des Kegels entspict llen unendlic kleinen Zylinden. Zu Volumeneecnung ildet mn ds Integl mit den Intevllgenzen 0 und. 0 d = d 0 Dies egit die eknnte Volumenfomel fü den Kegel us de Elementgeometie: 0.. Receneispiel zu Beecnung eines Kegels Um ein Receneispiel zu Volumeneecnung eines Kegels nc klssisce Metode und mit Integlecnung zu zeigen, nemen wi einen Kegel mit = 5 und =. Klssisc Integlecnung De Kegel entstet duc Rottion des V Kegel = 5 V Kegel = 0 V Kegel = 0, 9 Gpen de Funktion f() = 5 im 5 0 Intevll [ 5,0] ( f (0, )) d 0,6 d 5 0 0,6 0,6 5 V Kegel = 0,9 5

8 .. Volumeneecnung de Kugel klssisc Die klssisce Beecnung de Kugel get zuück uf ds. Jundet vo C. uf Acimedes von Sykus. E fnd eus, dss ds Volumen eine Hlkugel gleic zwei Dittel eines Zylindes mit gleicem Rdius und Höe entspict. Acimedes stellte ds Volumen de Hlkugel dem Volumen des Restköpes, us dem wie in de linken Aildung dgestellt ein Kegel usgescnitten wude, gegenüe. Dei stellte e fest, dss die Hlkugel und de Restköpe gleices Volumen tten. V Restköpe = V Zylinde - V Kegel - Beweis: Duc einen eenen Scnitt in de Höe egit sic eim Restköpe ein Keising und ei de Hlkugel eine Keisfläce (ecte Aildung). Fläceninlt des Keisinges: = A = ( ) Fläceninlt de Keisfläce: = A = ( ) Es gilt: A = A fü lle. Nc dem Stz von Cvliei en die eiden Köpe ds gleice Volumen, weil eide Scnittfläcen gleic goß sind. V Hlkugel = vedoppelt V Kugel = Ds Kugelvolumen lässt sic uc epeimentell emitteln und so die Volumenfomel estätigen, indem eine Kugel in Wsse eingetuct und ds vedängte Wssevolumen gemessen wid. 6

9 d = 6,6 cm =, cm Wsseöe im Zylinde Kugel eintucen = 50 cm.. Volumeneecnung de Kugel mit Integlecnung Eine Kugel entstet duc Rottion eines Hlkeises um die Acse. De Hlkeis ist de Gp de Funktion f() =, Fomel fü Rottionsköpe: ( f ( )) d ( ) d ( ) d ( ( ( ) ( ) +.. Receneispiel zu Beecnung eine Kugel Gegeen sei eine Kugel mit dem Rdius =. 7

10 klssisc V Kugel = V Kugel = V Kugel = 68,08 Integlecnung ( f ( )) d Pytgos: + y = y = ± Somit t de otieende Hlkeis die Funktion f() = d ( ) 6 d ( ) ,08 5. Volumeneecnung eim Rottionsellipsoid Ein Rottionsellipsoid entstet duc die Rottion eine Ellipse um eine de eiden Koodintencsen, ie um die - Acse. Im Gegenstz zum llgemeinen Ellipsoid en eim Rottionsellipsoid zwei de Ellipsencsen die gleice Länge. Duc die Mittelpunktsgleicung eine Ellipse eält mn: y + = 8

11 = y Die Rndfunktion üe de Acse t lso die Funktionsgleicung: ± = y = f ) ( Heleitung de Volumenfomel duc Integlecnung: d d d + + Fü ds Receneispiel sei = und = d 6 d 6 d ,0 9

12 Quellenvezeicnis Giesel, Heinz, Elemente de Mtemtik, Scoedel Velg, Hnnove 999 Giesel, Heinz, Elemente de Mtemtik, Scoedel Velg, Hnnove 000 Aits, Diete, Zlen und Gößen 0, Conelsen Velg, Belin 00 Koullen, Reinold, Zlen und Gößen 9, Conelsen Velg, Belin99 Koullen, Reinold, Zlen und Gößen 0, Conelsen Velg, Belin995 Feudigmnn, Hns, Anlysis, Klett Velg, Stuttgt, 005 ttp://de.wikipedi.og/wiki/rottionsk%c%b6pe ttp:// ttp://mteplnet.com/defult.tml?cll=ticle.pp?sid=90&ef=ttp%a%f%fww w.google.com%fsec%fsouceid%dnvclient%6q%dt%6ie%dutf- 8%6ls%DIRFA%CIRFA%A006- %CIRFA%Aen%6q%DRottionsk%5c%56pe ttp://wse.uz.uni-mgdeug.de/ic/ottionskoepe.pp ttp://de.wikipedi.og/wiki/rottionsellipsoid