Berechnung des Volumens von Hühnereiern

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1 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite 1 von 7 Wilfrie Rom wrom@on.t Berecnung es Volumens von Hünereiern Mtemtisce / Fclice Inlte in Sticworten: Integrlrecnung, Splinefunktionen, Simpson-Regel Kurzzusmmenfssung Ausgeen von en Mßen eines zufällig usgewälten Eies soll mit verscieenen Verfren s Volumen es Eies berecnet weren. Die Ergebnisse weren nscließen verglicen un ie prktisce Brucbrkeit er verweneten Verfren iskutiert (Vergleic mit em Volumen, s nc em rcimeiscen Prinzip urc Eintucen es Eies in Wsser ermittelt wure) Diktisce Überlegungen / Zeitufwn: Es nelt sic ier um ein Beispiel einer sogennnten Projektrbeit, ie er Autor seit vielen Jren sttt einer er 4 lerplnmäßig vorgeseenen Sculrbeiten urcfürt. Ds ier ngefürte Ergebnis stmmt (mit leicten Veränerungen un Ergänzungen urc en Autor) von einem einzelnen Scüler (Toms Fritzenwnker, 1997). Lerplnbezug (bzw. Gegenstn / Abteilung / Jrgng): Angewnte Mtemtik, 3. oer 4.Jrgng, lle Abteilungen Mtc-Version: Mtc 1 Anmerkungen bzw. Sonstiges In er Aufgbe tritt bei nierigeren Versionen ls 1 bei er Auflösung es nictlineren Gleicungssystems ein "Mtc-Problem" uf, s ic bis jetzt nict befrieigen lösen konnte. Aufgbenstellung Ein typisces Problem er ngewnten Mtemtik ist ie Volumsbestimmung von Körpern, ie NICHT urc eine bestimmte Funktion gegeben sin (nlog zum Fläcenproblem). Als Beispiel ient uns ein Hünerei. Es sollen verscieene Metoen gefunen weren, ieses Volumen zu bestimmen. Außerem sollen ie Metoen uf ire prktisce Brucbrkeit in untersuct un verglicen weren. Annme: Sozusgen m Fließbn soll möglicst genu un möglicst einfc s Volumen er nceinner kommenen Eier bestimmt weren. Verwenete Verfren 1. Berecnung es Volumens mit zwei Teilfunktionen: Prbel un Ellipse. Berecnung es Volumens mit zwei Teilfunktionen: Ellipse un Ellipse 3. Berecnung es Volumens mit Hilfe von Spline-Interpoltionsfunktionen 4. Berecnung es Volumens mit Hilfe er Simpson-Regel Wilfrie Rom 1998 / 1

2 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite von 7 Arbeitsscritte er Berecnung 1. Eingbe (Mße) es zu berecnenen Eies. Erstellung er einzelnen Teilfunktionen 3. Berecnung es Scnittpunktes er Teilfunktionen (Prbel-Ellipse un Ellipse-Ellipse) 4. Grpisce Drstellung er Gesmtfunktion 5. Berecnung es Volumens mittels zusmmengestückelter Teilfunktionen zu einer Gesmtfunktion 6. Berecnung es Volumens mittels Spline-Interpoltionsfunktion 7. Berecnung es Volumens mittels Simpson-Regel 8. Gegenüberstellung un Vergleic mit em "wren" Wert 9. Auswertung un Stellungnme b 1.)Mße es zu berecnenen Eies... Länge es Eies b... Dicke es Eies,... Abstn von er icksten Stelle es Eies zur flceren Spitze u... Abstn von er icksten Stelle es Eies zur zweiten Spitze es Eies (wir nict gemessen) Vgem... gemessenes Volumen es Eies (Eintucen in Wsser) : 5.8 cm b : 4.55 cm :.3cm u : u 3.5 cm Vgem : 6.5cm.3cm π.3cm Vgem cm 3.)Erstellen er einzelnen Teilfunktionen x u y + 1 b yx ( ) ef x + x u u + Ellipse für ie flce Spitze es Eies x u u y + 1 b yx ( ) es ( x + x u) u Ellipse für ie zweite (spitzere) Spitze es Eies 3 yx ( ) x c p Prbel für ie zweite (spitzere) Spitze es Eies Wilfrie Rom 1998 / 1

3 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite 3 von 7 3.)Berecnung es Scnittpunktes von Prbel un Ellipse Zur Berecnung es Scnittpunktes s zwiscen Prbel un Ellipse müssen zwei Gleicungen ufgestellt weren. Die Prbelfunktion F[x]x 3 c beinltet eine Konstnte c, ie ie Öffnung er Prbel ngibt. c1 :.5 c : 3 f1( x) : x 3 c1 x :, f( x) : x 3 c f1( x) f( x) x Vergleic von "c1" un "c" Die erste Gleicung berecnet en Punkt in em er Y-Werte Y p Y ef ist. yx ( ) yx ( ) ef p x + x u u + Die zweite Gleicung berücksictigt, ß er Übergng von er Prbel in eine Ellipse one Sprung erfolgen soll (s eißt, ss ie Steigungen ie selben sein müssen). x yx ( ) ef x yx ( ) p x x + x u u + x Dieses nictlinere Gleicungsystem mit zwei Vriblen (x,c) wir mit er Funktion "SUCHEN" ufgelöst. 3 x : c : 1cm Vorsict: Die Konstnte c muß ie "rictige" Eineit ben!! Vorgbe x + x u u + x ( x + x u u ) + x x s c : Sucen( x, c) x s.935 cm c.71 m.667 Wilfrie Rom 1998 / 1

4 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite 4 von 7 4.)Zeicnen er Funktionen Prbel+Ellipse un Ellipse+Ellipse x : cm,.5cm.. x wir ls Bereicsvrible efiniert Ellipse + Ellipse Prbel + Ellipse x + x u y ee ( x) : if x < u y pe ( x) : u x + x u u + oterwise if x < xs x + x u u + oterwise y.ee(x) y.pe(x) y.ee(u) y.pe(x.s) 5.)Berecnung es Volumens mit Teilfunktionen: Vee : y ee ( x) π x Vee Volumen mit zwei Ellipsen Vee cm 3 Vpe : y pe ( x) π x Vpe Volumen mit Prbel un Ellipse Vpe cm 3 Wilfrie Rom 1998 / 1

5 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite 5 von 7 6.)Berecnung es Volumens mit Spline-Interpoltionsfunktion: 3 i :.. 8 vx : i cm.7cm 1.4cm.1cm.8cm 3.5cm 4.cm 4.9cm 5.8cm vy : i cm 1.35cm 1.8cm.1cm.cm.5cm.cm 1.75cm cm vy entält ie gemessenen Werte er Eiicke/ in er jeweiligen Höe vx vs : Vsp : pspline( vx, vy) f spline ( x) : interp( vs, vx, vy, x) Φ( x) f spline ( x) π x Vsp cm 3 Vsp Volumen mit Spline-Interpoltionsfunktion y.ee(x) y.pe(x) f.spline(x) vy.i 7.)Berecnung es Volumens mit Simpson-Regel: Simpson -Regel norml für Fläcen mit Funktionswerten y - y n ( ) A 1 6 x y + 4 y + y + 4 y + y y + y n 1 n Simpson -Regel für Volumen mit Querscnittsfläcen A - A n ( ) V 1 6 x A + 4 A + A + 4 A + A A 1 + A n n Simpson -Regel für Volumen mit en Querscnittsfläcen A y ²π - A n y n ²π V 1 6 x π y ( ) π vx vx 8 V simps : 6 V simps 63. cm 3 ( ) 4 ( y 1 ) + + y + 4 y + y y + y 3 4 n 1 n ( vy ) ( + vy 4 ( 1 ) vy ) ( + + vy ( 3 ) vy 4 ) ( + + vy ( 5 ) vy 6 ) + + vy 7 ( ) ( ) ( ) Vsr Volumen mit Simpson-Regel ( ) ( ) ( ) + ( vy 8 ) 4 Wilfrie Rom 1998 / 1

6 HTL Slfelen Berecnung es Volumens eines Eies Seite 6 von 7 8.) Gegenüberstellung er Feler er einzelnen Volumsberecnungen: Fr( V) V Vgem : Fr.. reltive Feler Vgem F( V) : ( V Vgem) Fr.. bsolute Feler Vee m 3 Vee.. Volumen mit zwei Ellipsen Vpe cm 3 Vpe.. Volumen mit Prbel un Ellipse Vsp cm 3 Vsp.. Volumen mit Spline - Ausgleicsfunktion V simps 63. cm 3 Vsr.. Volumen mit Simpson-Regel Vgem cm 3 Vgem.. Volumen mit Simpson-Regel GEGENÜBERSTELLUNG Ellipsen Prbel+Ellipse Spline-Interpoltion Simpson-Regel bsolute Feler F( Vee) 3.1 cm 3 F( Vpe) 1.1 cm 3 F( Vsp) 1cm 3 F( V simps ) cm 3 reltive Feler Fr( Vee) 5.3 % Fr( Vpe) 1.9 % Fr( Vsp) % Fr( V simps ) % 9. Auswertung un Stellungnme Der Vergleic er einzelnen Volumin t gezeigt, ß er Feler gegenüber em wren Volumen für s ier betrctete Ei zwiscen 1,7% un 5,9% liegt. Allerings muß gesgt weren, ß Eiformen ser unterscielic sein können un er ie einzelnen Verfren nict immer gleice Ergebnisse liefern. Die größte Abweicung tte ie Berecnung mit er SIMPSON-Regel. Dieser Berecnung liegt s Doppelstreifenprinzip zugrune. Es weren merere Doppelstreifen neinnergereit. Diese Art er Berecnung t bei ser steilen Funktionen ire Scwäcen. An en Spitzen es Eies ist ies er Fll, rum kommt uc ie große Abweicung zustne. Die kleinste Abweicung weist ie Berecnung mit er Spline-Interpoltionsfunktion uf. Die gemessenen Punkte weren jeweils mit einer Prbel verbunen, wobei uc ie Steigungen in en Scnittpunkten er Prblen berücksictigt weren. Je mer Meßpunkte, esto genuer wir ie Berecnung. Allerings ist ieses Verfren ser rbeitsintensiv, enn s Ei muß mermls vermessen weren, ws ein ufweniges Verfren erforert. Der Eiform ser ne kommt offenbr uc ie Annme er Teilfunktionen Prbel (m spitzen Ene es Eies) un Ellipse (m flceren Ene es Eies). Der Scnittpunkt er beien Funktionen muß llerings (in Abängigkeit von en speziellen Werten) immer wieer mit einem reltiv komplizierten Gleicungssystem neu berecnet weren. Ic be ber uc spezielle, eer selten vorkommene Eiformen beobctet un urcgerecnet, bei enen Ellipse+Ellipse besser pßt ls Ellipse+Prbel. Interessnt ist uc, ß in llen untersucten Fällen eine qurtisce Prbel viel sclecter ls eine kubisce Prbel pßt. Vergleict mn en Arbeitsufwn mit er Genuigkeit es Volumens, so ist ie Berecnung urc zwei Ellipsen wrsceinlic m effizientesten. Es muß nur ie Länge un (größte) Breite es Eies ermittelt weren, sic ie beien Ellipsen n er Stelle er größten Breite treffen. Über Lictscrnkenmessung ist ies kein Problem. Wo sic ie breiteste Stelle (im Scnitt) befinet, knn sttistisc ermittelt weren. Diese Art er Berecnung wäre für ie Bestimmung er Größenklssen er Eier bei inustrieller Verrbeitung m besten geeignet, wenn es uc nict s genueste Verfren ist. Wilfrie Rom 1998 / 1

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