Freischnittskizze für die Klappe und Geometrie:

Transkript

1 ecnik Prof. Poov SS 6,. Übun Lösunsinweise Seite Tutorium Freiscnittskie für ie Kle un Geometrie: ufbe 5 Zwei Flüssikeitsbeälter sin nc nebensteener Skie urc ein Rorsystem miteinner verbunen. Über er Flüssikeit in beien Beältern befinet sic Luft. In en Beältern un em Rorsystem befinen sic rei verscieene Flüssikeiten mit en Dicten, un. Die Druckifferen wiscen en beien Beältern beträt b =. Wie roß ist ie Dicte er ritten Flüssikeit? Ge.:,,,,,,, b b x D os. Zälr. F os. Zälr. In ruenen inkomressiblen Flüssikeiten unter Scwerkrfteinfluß nimmt er Druck mit er Flüssikeitstiefe liner u: Für jees er beien U-Rore errsct Kräfteleicewict. Es wir jeweils s yrosttisce Gruneset in Höe e vom Boen us ufestellt un er Druck für ie beien Scenkel jees U- Rores leicesett. Dbei sei er Druck n er öcsten Stelle wiscen en beien Beältern. Linkes U-Ror: + e = + e + Rectes U-Ror: b + e = + e + Subtriert mn Gleicun von Gleicun, so eribt sic: b + e e = e e e + = = b + + b + + = + 5 Die resultierene Krft berecnet sic ls Interl es Druckes ml Normlenvektor uf ie Oberfläce über ie esmte Oberfläce. D ier nur wei nennenswerte Oberfläcen innen un ußen mit rllelen Normlenvektoren vornen sin, eribt sic wenn er Flüssikeitssieel über er Klenoberknte ist: F = x x ] x ] b = b x = b x 6 b Die Kle öffnet sic, wenn s oment um ie Drecse netiv wir = x mit = x : x = b = b ] m b 7 x ] x x x + D er Wsserruck mit er Tiefe immer unimmt, knn ie Kle in keinem Fll öffnen, wenn. Deslb ist u becten, ß < ist: ] 8 ufbe 8 < x > 6 =: x krit 9 Eine in einem Wsserbeälter einebute Kle er Höe un er Breite b ist im Punkt D um eine oriontle cse rebr elert. Wie roß ist ie resultierene Wsserlst F uf ie Kle in bänikeit von er Höe x es Wssersieels? b Bei welcer Höe x es Wssersieels öffnet sic ie Kle urc ie Wsserlst selbsttäti? Stellen Sie Ir Erebnis in einem Dirmm r. c Berecnen Sie nun mit en eebenen Zlenwerten, bei welcer Wsseröe sic ie Kle öffnet. Ge.: = m, =,5m, b = m, = 9,8 m k s, HO = m x D wenn er Wssersieel über x krit steit, öffnet sic ie Kle. Dies ist ber nur eine Teillösun, ie einen Wssersieel x > vorussett un mit nur für ilt. Die Teillösun wir urc ie rote Kurve im nesrocenen Intervll crkterisiert siee Skie. Doc ws ssiert, wenn er Wssersieel weiter sinkt x <? Es ist offensictlic, ss mit uc kleinere

2 ecnik Prof. Poov SS 6,. Übun Lösunsinweise Seite Werte nnemen rf! Es ist u forern: < x krit x krit > Dmit bescreibt ie bluestricelte Kurve für en Bereic > s Lösunsverlten! 5 b Bernoulli-Gleicun wiscen un : mit un : + + = + + v = + + Q 5 c Bernoulli-Gleicun wiscen un : x krit Lösun für < Lösun für < + + = + + v mit = un Gleicun 5: v = 6 + Q 7 Becte: Nur wenn er usruck unter er Wurel ositiv ist, eribt sic ein sinnvolles Erebnis, er Grenfll ist er, ß bei nicts mer usströmt. 6 8 c Für ie eebenen Zlenwerte ist < <. Wenn er Wsserstn en Wert 5, m erreict, öffnet sic ie Kle. ufbe 9 Geeben sei nebensteen skiiertes Leitunssystem. Der Flüssikeitseel im Kessel were urc eine Seisewsserume uf konstnter Höe elten. Ge.: ii =,...,,,,, Q, Geben Sie en Zusmmenn wiscen em Volumenstrom Q un er ustrittsescwinikeit v n er Stelle n. Wie roß ist ort er Druck? x v v b Formulieren Sie ie Bernoulli-Gleicun wiscen un. Wie roß muss er Kesselruck sein, mit n er Stelle ein voreebener Volumenstrom Q entnommen weren knn? c Formulieren Sie ie Bernoulli-Gleicun nun wiscen un. Benuten Sie s Erebnis für en Druck us ufbenunkt b, um ie ustrittsescwinikeit v bei u berecnen. uf welce Höe x steit er Wssersieel im essror? Q = v v = Q n er ustrittsstelle errsct Umebunsruck = Ds essror stellt eine einfce nornun r ur essun es Drucks in er Strömun n er Stelle. Die Öffnun es essrores in ie Rorleitun ist ser klein un enu senkrect ur Strömun neornet, so ss keine nennenswerte Flüssikeitsmene erein- oer erusströmt. essrörcen Für ie Stelle, v = Stromfen, v innerlb es Stromfens ilt: Bernoulli - : + + = + + v Konti -, : v = v + v = + v + v 8 Im essror rut ie Flüssikeit: + = + x 9 x = mit en Gleicunen, 5 un 7: x = + Q Q + ]

3 ecnik Prof. Poov SS 6,. Übun Lösunsinweise Seite Bei errsct Umebunsruck. liet öer, un ie Gescwinikeit v n ieser Stelle ist nict kleiner ls ie bei solne bei nicts einströmt. Deslb muss er Druck kleiner ls er Umebunsruck sein un er Wssersieel im essrörcen tiefer ls Punkt un sor tiefer ls Punkt lieen. Die rtur muss eslb wie folt usseen: x v v. Resultierene Krft: b F = = sin F = F = b sin = b sin F = b sin Husufben. oment beülic Wercse: = F sin = + = + ufbe Ein Wsserluf wir urc ein scrä lieenes Klenwer berent. Die Werkle ist in irem Scwerunkt S rebr elert. Die Breite er Werkle senkrect ur Bilebene ist b. Bei einem bestimmten Wsserstn klt s Wer selbstäni uf. Berecnen Sie ie resultierene Krft uf ie Werkle un s oment beülic er Wercse in- fole es Wsserruckes! b Berecnen Sie en Wsserstn, bei em s Wer selbstäni öffnet! c Berecnen Sie s mximle oment, s erforerlic ist, um s Wer u öffnen! Ge.:,,,, S S = + F ; mit sin = + sin b = = b sin = b sin ] = b sin 6 lterntiv lässt sic Der Überruck = uc ls Funktion von s neben.. Hyrosttiscer Druck: i = + ; ˆ= w F sin qs s Für ie resultierene Krft ist ie Differen Innenruck - ußenruck mßeben: Es ist ξ Fläcenelement: = i = = b s = b sin s = s sin Die Lst, ie ufrun es Drucks uf ie Kle wirkt, knn ls Streckenlst qs interretiert weren mit qs = sb. Dnn ist bereits us ecnik II beknnt, ss ie sin Resultierene F bei s = nreift. Nebenbemerkun: Die Resultierene F ist ier eineeicnet, obwol es unsinni ist, sowol ie Streckenlst q ls uc ie Resultierene R ls Scnittkrft s Wsser ist j weescnitten! einueicnen. Dmit ber klr wir ws emeint ist,

4 ecnik Prof. Poov SS 6,. Übun Lösunsinweise Seite one ss ein neues Bil ebruct wir, ist s ier eben trotem so emct. Un mit lässt sic s oment usrecnen ls = F ξ mit ξ = sin sin Ds Erebnis ist ntürlic sselbe wie beim ersten Recenwe. b Grenfll = : 6 c Wsserstn! = = für mximles oment:! = = b sin { = = Bernoulli w. un : i + v w + H = + v + 8 w v = i + H 9 w v = i w + H nlo: v = i + H w v = i + H w v = v = v = i w + H v i w + H nlo: = v = i w + H v i 5 w + H x. bw. in. : = b sin > für =... inimum 5 > für =... ximum 6 Ds mximle oment beträt emnc ufbe 5 = b sin. 7 Ein Wsserleitunssystem wir us einem Druckbeälter eseist. us llen rei ustrittsquerscnitten soll er leice Volumenstrom ustreten. Die Füllöe es Druckbeälters sei konstnt. Ds Wsser wir ls inkomressibel un ie Strömun ls reibunsfrei nenommen. Berecnen Sie ie u erforerlicen Querscnitte un! b Berecnen Sie s oment um en Punkt P, s urc en Rückstoß es ustretenen Wssers entstet. Hinweis: Die Erebnisse für v, v un v us ufbenteil sollen nict einesett weren. Ge.:,, i,,,,. Gesuct un wobei V i i = const eeben ist! i P ufbe 6 Eine Rorleitun unter einem Wsserbeälter münet ins Freie Umebunsruck. it Hilfe einer üsenförmien Verenun un einem Suror soll us einem unteren Reservoir Wsser eförert weren Höenifferen ur Düse. Wie roß ist er Druck n er Stelle wiscen Suror un Düse, wenn s Suror mit steenem lso ruenem Wsser efüllt ist? b Welcer Zusmmenn muss wiscen em Druck un em eben berecneten Druck elten, mit s Wsser us em Suror sor in ie Düse ineinesut wir? nnme << v c Berecnen Sie mitilfe v er Bernoulli-Gleicun v Detil: + + = const. wiscen un en Druck n er Stelle bäni von v un v. Wie ist er Zusmmenn wiscen v un v? ssenbiln, Kontinuitätsleicun wiscen un e Formulieren Sie ie Bernoulli- Gleicun nun noc wiscen un. f Bestimmen Sie ie Querscnittsfläce er Düse, so ss Wsser nesut weren knn. Kontrollieren Sie ie Eineiten in Irem Erebnis. Ge.: H,,,,,. H Suror Reserv oir Beälter, ϱ << Der Druck n er Stelle eribt sic us er Bernoullileicun wiscen un. Die Flüssikeit im Suror rut, er ynmisce Druck n er Stelle ist lso q = un er Druck eribt sic u = 6 ϱ,

5 ecnik Prof. Poov SS 6,. Übun Lösunsinweise Seite 5 Die nnme us ufbenteil b << fn ier scon Verwenun. b Dmit Wsser us em Suror in ie Düse esut wir muss ein Druckefälle wiscen un besteen. us er nnme << folt, ss im esmten Düsenquerscnitt er leice Druck errsct. ls Beinun eribt sic lso < 7 c Der Druck n er Stelle ist er Umebunsruck = Freistrl. Die Bernoullileicun wiscen un lutet er Gleicunen un 6 stellen ie beien Seiten von 7 r. Einesett eribt ] + H < ] < H! > H + H > H + < H + ] = m = ] + v = + v rus folt für en Druck n er Stelle = + v v 8 Die Kontileicun wiscen un stellt en Zusmmenn wiscen en Gescwinikeiten v un v er. v = v rus eribt sic ie Gescwinikeit n er Stelle v = v 9 e Die Bernoullileicun wiscen un lutet + H = + v rus eribt sic ie Gescwinikeit n er Stelle siee uc Torricelli v = H f Sett mn nun in 9 ein so erält mn v = H Dies un in 8 einesett eribt = + ] ] H H = + = + ] ] H H