Kapitel 2: Kongruenzabbildungen. Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermat-Prinzip

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1 Spieel Spieel 3 Spieel 2 Spieel 4 Kapitel 2: Konruenzabbildunen 2.1 Geradenspieelunen a) Spieel Wie wirkt ein Spieel? Modellvorstellun: Je beleuctete unkt sendet nac allen Seiten Lictstralen aus Wie verlauen Lictstralen über S nac? Fermat-rinzip (ierre de Fermat ): Lict wält unter allen mölicen Ween den kürzesten (im llemn: den scnellsten) s eründun des Relexionsesetzes dem Fermat-rinzip Von aus läut ein Lictstral zum unkt F au Spieelläce dort zu unkt. F ist so zu bestimmen, esamte Weläne F + F mölicst kurz wird. Deiniere so, s Mittelsenkrecte zu ' ist. F ' F esamte Weläne F + F ' F + F. Weläne minimal: F liet au '. F s Was ist kürzeste We über S nac? Sonst: ' F + F > '. Relexionsesetz Einallen Stral, Lot relektierter Stral lieen in r Ebene (Einallsebene) senkrect zur Spieelebene Einallswinkel Relexionswinkel sind leic. F s etracte weitere Stralen, auseen. Das ue nimmt den unkt als Quelle Stralen war. Die relektierten Stralen scn alle m unkt erzukommen, au anen Seite des Spieels au dem Lot durc im leicen bstand wie liet. Untersucun des Stralenans: escränkun au Einallsebene Spieelebene Spieelacse Räumlice Spieelun Geradenspieelun

2 b) Geradenspieelunen Deinition 2.1 Es sei Gerade Ebene E. Eine bb. S : E E eißt Geradenspieelun (csenspieelun) ür jeden unkt sn ildpunkt ' ilt: Ist, so ist Mittelsenkrecte Ist, so ist '. ' Handelndes Durcüren Geradenspieelunen: Falten Klecksen; Falten Scneiden; Falten Kolepapier; Falten Durcstecen kariertes apier Geradenspieelun Eienscaten r Geradenspieelun S : Die Umkerabbildun r Geradenspieelun S ist selbe Geradenspieelun S : S -1 S 1 unktepaar (,') ( ') let bbildun eindeuti est. u versciedenen unkten, Q ibt es enau csenspieelun S S ()Q. Fixelemente S : Fixpunkte: alle unkte Fixpunkterade: Fixeraden: ; alle Senkrecten zu Invarianten: eradentreu länentreu winkelmaßtreu läceninaltstreu nict umlausinntreu Geradenspieelun-Eienscaten 1 Weitere, ieraus aus Deinition beweisbare Eienscaten r Geradenspieelun S Ist, so ist Mittelparallele des ' berenzten arallelstreiens. eweis Übun ' Ist 1 2, so ist auc 1 ' 2 ' parallelentreu eweis Übun 1 Ist nict, so scneiden sic ' au. 2 albiert den Winkel zwiscen '. 2' 1' Geradenspieelun-Eienscaten 2 Geradenspieelun-Eienscaten 3

3 Konruenzabbildunen-2.2 Verkettun- Konruenzabbildun roblemstellun Winkeltreue- Konruenzabbildun 2.2 Deinition Eienscaten Konruenzabbildunen Deinition 2.2 Eine bbildun : E E eißt Konruenzabbildun ist bijektiv, eradentreu, länentreu. Satz 2.1 Jede Geradenspieelun ist Konruenzabbildun. Satz 2.2 Die Verkettun Geradenspieelun ist Konruenzabbildun. Folende robleme im usammenan Konruenzabbildunen sollen beandelt werden: Gibt es außer den csenspieelunen noc weitere Konruenzabbildunen? Welce Typen können das sein? Kann man sie einac klassiizieren? Welce Typen Konruenzabbildunen erält man, wenn man merere csenspieelunen inter einan ausürt? evor wir uns Verkettun csenspieelunen im Einzelnen beassen, sollen noc einie Eienscaten Konruenzabbildunen bewiesen werden. Wir verwenden wieum alle in Kapitel 1.6 aueürten xiome. Satz 2.3 Die Verkettun Konruenzabbildun ist Konruenzabbildun. eweis: Untelbare Fole aus Deinition. Satz 2.4 Jede Konruenzabbildun ist winkelmaßtreu läceninaltstreu. Winkeltreue Winkel sei S, S ildwinkel sei S, S. Wäle unkt au S unkt au S. S Ween Länentreue Konruenzabbildunen: S S S S S Für das ilddreieck S ist S S' ', ' ', S ' S' Da stimmen Dreiecke auc in allen Winkeln überein, also ist.

4 Fläceninaltstreue - Konruenzabbildun Eindeutikeit- Konruenzabbildun 1 arallelentreue- Konruenzabbildun Eindeutikeit- Konruenzabbildun 2 Fläceninaltstreue Vorri au späteren usürunen zum Fläceninaltsberi: Der Fläceninalt Rectecken bleibt eralten. Recteck D Recteck D da Konruenzabbildunen winkeltreu sind. Satz 2.5 Jede Konruenzabbildun ist parallelentreu. eweis: Folt untelbar aus Geradentreue ijektivität Konruenzabbildunen (Übunsauabe). Seitenlänen ildrecteck D Seitenlänen Recteck D da Konruenzabbildunen länentreu sind. Fläceninalte bleiben leic, da Fläceninalt beliebier Fiuren (z.. Ellipsen) als Grenzwert eter Folen Quadraten deiniert wird. Satz 2.6 Durc das bbilden s einzien Dreiecks ist Konruenzabbildun eindeuti estelet. eweis: Das ild s (nict ausearteten) Dreiecks sei. sei beliebier unkt F F F F 1.Fall: scneidet Gerade in m unkt F. ildpunkt F F liet au. Geradentreue Länentreue F eindeuti bestimmt. F ' F', F ' F' u zeien: ild eindeuti estelet. eicne Gerade (ür ) liet au F. Länentreue F ' ' F eindeuti bestimmt.

5 Eindeutikeit- Konruenzabbildun 3 Verkettun 2 Konruenzabbildunen Satz Verkettun 2 Konruenzabbildunen-2.3 Satz Dreunen-Deinition 2.3 Hintereinanausüren 2 csenspieelunen F F Experimentieren DynaGeo usammenassun Erebnisse: 2.Fall: scneidet Gerade nict. zur Übun selbst bearbeiten. 3.Fall:. ist nict deiniert. eindeuti bestimmt. Satz 2.7 Die Hintereinanausürun 2 csenspieelunen ist Dreun o Versciebun. Dabei ilt: Scneiden sic beiden csen in unter, so lässt sic weiacspieelun durc Dreun um um 2 ersetzen. Die Reienole csenspieelun let den Winkel est: ist Winkel, überstricen wird, wenn erste Spieelacse im Geenurzeiersinn au te Spieelacse edret wird. Sind beiden csen parallel im bstand a, so lässt sic weiacspieelun durc Versciebun um 2a senkrect zur csenrictun ersetzen. Die Reienole csenspieelun let Rictun Versciebun est: Die Versciebun erolt ersten Spieelacse au te Spieelacse zu. a 2a Deinition r Dreun Deinition Es sei ein unkt Ebene E, Winkelröße. Eine bbildun D, : E E eißt Dreun ür jeden unkt sn ildpunkt ' ilt: ' ' Ist, so ist '. ' 2

6 Versciebunen-Deinition eweis Satz eweis Satz eweis Satz Deinition r Versciebun Deinition Es seien, versciedene unkte Ebene E. Eine bbildun V, : E E eißt Versciebun um ür alle unkte Ebene ilt: - liet au Geraden, so auc '; ' sind leiclan leicerictet. - Sonst bilden unkte ' (in ser Reienole) ein aralleloramm. eweis des Satzes 2.7. Geeben sei Verkettun Spieelun S S. 1.Fall:, d.. Spieelacsen allen zusammen. ' ' S S S os id. id ist Spezialall r Dreun (um 0 ) o r Versciebun (um Nullvektor). 2.Fall: scneiden sic in unkt unter dem Winkel. ist Winkel, überstricen wird, wenn man im Geenurzeiersinn au dret. Sei ein beliebier unkt, S () S ( ). eauptun: entstet aus durc Dreun um um den Winkel 2. Wir müssen alle mölicen Laen, bezülic csen betracten! 1. Unterall:, lieen wie in nebensteenden bbildun. '' γ' γ ' β' β 1.eauptun:, lieen au m Kreisboen um. Klar, da ween Länentreue S S ilt ' ' ' 2.eauptun: 2. Ween Winkeltreue S S ist ββ γγ. Da β +γ β+γ β+β +γ+γ olt β+β+γ+γ 2(β+γ) 2. '' γ' γ ' β' β

7 eweis Satz eweis Satz eweis Satz Umkerun Satz 2.7 Weitere Unterälle: 3.Fall:, bstand a. ne Laen,, wie z.. in nebensteenden bbildun. Übunsauabe '' ' Sei ein beliebier unkt, S () S ( ). eauptun: entstet aus durc Versciebun um 2a in Rictun senkrect nac. Wir müssen alle mölicen Laen, bezülic csen betracten! 1. Unterall:, lieen wie in nebensteenden bbildun. b b' c c' M1 ' M2 '' 1.eauptun:, lieen au r Senkrecten zu den csen. Klar nac Deinition csenspieelun! a 2.eauptun: '' 2a. uc Umkerun Satz 2.7 ilt! ' Nac Deinition csenspieelun ist b M 1 M 1' b c M M '' c ' 2 2 a b +c 2b+2c2a. '' ' b b' c c' M1 a M2 '' ' ' Jede Dreun D, lässt sic durc Doppelspieelun ersetzen. Dabei müssen sic beiden Spieelacsen in unter ½ scneiden. ' ' 70 ' Weitere Unterälle: ne Laen,, wie z.. in nebensteenden bbildun. Übunsauabe ' M1 a M2 '' Jede Versciebun v lässt sic durc Doppelspieelun an parallelen csen im bstand ½ v, senkrect zu v, ersetzen. Orientierun des Winkels bzw. Versciebunsrictun beacten! Geben jeweils solce csen an. Welce edinunen müssen daür elten?

8 nwendun Satz Dreunen Verkettun 3 Konruenzabbildunen-1 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-2 nwendun Satz 2.7 uabe uabe Was Was kann kann man man über über Verkettun Verkettun Dreunen Dreunen saen? saen? ' uabe uabe Konstruieren Konstruieren csen csen ür ür Geradenspieelunen, Geradenspieelunen, en en Verkettun Verkettun Dreun Dreun um um ( ( ,, 45 ) 45 ) eribt. eribt. Überprüen Überprüen durc durc usüren usüren Spieelunen Spieelunen s s Dreiecks, Dreiecks, sic sic tatsäclic tatsäclic jeweils jeweils erwartete erwartete Dreun Dreun eribt. eribt. ' ' '' '' '' uabe uabe Die Die Geraden Geraden,,,, een een durc durc n n emeinsamen emeinsamen unkt, unkt, Winkel Winkel,, zwiscen zwiscen sei sei 30, 30, Winkel Winkel,, sei sei Die Die Doppelspieelun Doppelspieelun S os os soll soll durc durc csenspieelunen csenspieelunen darestellt darestellt werden, werden, en en cse cse ist. ist. Konstruieren Konstruieren te te cse. cse. 2 uaben zu Dreun 2.4 Hintereinanausüren 3 csenspieelunen 2.Fall: Die 3 csen sind parallel. Die al zu untersucenden Fälle eenseitier Lae csen zueinan ist ier viel rößer als zuvor. 1.Fall: Die csen scneiden sic in m unkt. ' ' S o S o S (S o S )o S (S o S )o S S o (S o S ) S o id S csenspieelun an Die Dreun des csenpaares (,) um änt Verkettun S o S nict. csenspieelun S an. Die Versciebun des csenpaares (,) änt Verkettun S o S nict. S o S o S (S o S )o S (S o S )o S S o (S o S ) S o Id S

9 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-3 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-5 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-4 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-5 3.Fall: Die csen bilden ein Dreieck. 90 ' ' 90 ' '' (S o S ) ist Versciebun parallel zur Spieelacse. 90 Danac Spieelun an. 1. Dreun (,) um, so, Scnittpunkt. '' ' ' '' ' 90 '' 2. Dreun (,) um so, S o S o S (S o S )o S (S o S )o S S o (S o S ) S o (S o S ) (S o S )o S Versciebun eolt r Spieelun an r zur Versciebunsrictun parallelen cse. Solce Konruenzabbildunen bezeicnen wir als Scubspieelun. Vorlae 1 Vorlae 2 4.Fall: 2 csen sind parallel. 1. Unterall: o 2. Unterall:. β β Hier kann eweis wie zuvor durceürt werden: Dreen csenpaar (,) um iren Scnittpunkt usw. Scubspieelun Dreen csenpaar (,) um iren Scnittpunkt, so sic in m unkt scneiden. Lae wie im 3.Fall, eweis kann wie wie zuvor zu Ende eürt werden. Scubspieelun

10 Verkettun 3 Konruenzabbildunen-6 Dreunen-2 Dreunen-1 Dreunen-uabe leic lane Strecken Da aben wir bewiesen: Satz 2.8 Die Hintereinanausürun 3 csenspieelunen ist csenspieelun o Scubspieelun. Die bislan als Verkettun csenspieelunen ewonnenen Konruenzabbildunen Dreun, Versciebun Scubspieelun sollen jetzt jeweils noc au ane rt deiniert werden. 2.5 Dreunen ire Eienscaten Deinition 2.3 Es sei ein unkt Ebene E, Winkelröße. Eine bbildun D, : E E eißt Dreun ür jeden unkt sn ildpunkt ' ilt: ' ' Ist, so ist '. ' Eienscaten r Dreun D, : D, -1 D, - D, versciedene unktepaare (,'), (Q,Q') leen Dreun eindeuti est (alls es solce ibt). uabe uabe eien eien,, es es zu zu leic leic lanen lanen nict nict parallelen parallelen Strecken Strecken Q ' Q' enau enau Dreun Dreun ibt, ibt, au au Q au au Q Q abbildet. abbildet. Konstruieren Konstruieren solce solce durc durc Konstruktion Konstruktion s s entrums entrums des des Drewinkels Drewinkels,, durc durc Konstruktion Konstruktion csenspieelunen. csenspieelunen. Q ' Q'

11 Dreunen-3 Versciebunen-1 unktspieelun-1 Versciebunen- 2 Weitere Eienscaten r Dreun D, : Fixelemente D, (ür 0 ) Fixpunkte: Fixpunkteraden: k Fixeraden: k (ür 0, 180 ). Invarianten eradentreu, länentreu, winkelmaßtreu, läceninaltstreu, umlausinntreu. Weitere beweisbare Eienscaten Ist, so ist Gerade ilade aben denselben bstand, Gerade ilade scneiden sic unter (eründun?). unktspieelun (Sonall Dreun; Drewinkel 180 ) Deinition 2.4 Sei ein unkt Ebene E. Eine bbildun eißt unktspieelun an ür jeden unkt sn ildpunkt ilt: Ist, so ist ' sonst albiert Strecke '. usätzlice Eienscaten r unktspieelun (eenüber r Dreun) D,180-1 D,180, D,180 liet durc ein unktepaar (,') eindeuti est ( alls '), alle Geraden durc sind Fixeraden, ' (Oriinalerade ilade sind parallel). 2.6 Versciebunen ire Eienscaten Eienscaten r Versciebun V, : Deinition 2.5 Es seien, versciedene unkte Ebene E. Eine bbildun V, : E E eißt Versciebun um ür alle unkte Ebene ilt: - liet au Geraden, so auc '; ' sind leiclan leicerictet. - Sonst bilden unkte ' (in ser Reienole) ein aralleloramm. ' ' V, -1 V, Eine Versciebun liet durc 1 unktepaar (,') eindeuti est. Wir veranscaulicen durc das unktepaar (,') estelete Versciebun ot durc n eil nac screiben auc. Fixelemente V, : (ür ) k Fixpunkte, alle Geraden parallel zu sind Fixeraden. v

12 Versciebunen- 3 Scubspieelunen-1 Versciebunen-uabe Scubspieelunen-2 Invarianten: eradentreu, winkelmaßtreu, länentreu, läceninaltstreu, Umlausinn bleibt eralten. uabe uabe (a) (a) D D sei sei ein ein aralleloramm. aralleloramm. eien eien Hile Hile Deinition Deinition 2.5, 2.5, ilt ilt V,, V,D.,D. (b) (b) eien eien Hile Hile Deinition Deinition 2.5, 2.5, ür ür Verkettun Verkettun Versciebunen Versciebunen ilt ilt V, ov, ov,, V,.,. usätzlice Eienscat: ' (d.. Oriinalerade ilade sind parallel). eründun? u (a) D u (b) 2.6 Scubspieelunen (Gleitspieelunen) ire Eienscaten Deinition 2.6 Scubspieelunen sind bbildunen, aus dem Hintereinanausüren r csenspieelun r Versciebun besteen. Dabei liet Spieelacse parallel zur Versciebunsrictun. Scubspieelun v Eienscaten r Scubspieelun Scubspieelunen sind Verkettunen Spieelunen an 3 csen, denen ersten beiden parallel zueinan sind dritte senkrect dazu ist. Man kann Reienole Versciebun csenspieelun vertauscen, wenn Versciebun parallel zur Spieelacse verläut: o S S o v

13 Scubspieelunen -uabe Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen 1 Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen 2 uabe: uabe: Verkettun Verkettun r r beliebien beliebien Versciebun Versciebun r r Spieelun Spieelun Geeben Geeben ist ist Versciebun Versciebun V csenspieelun csenspieelun S.. Die Die Enternun Enternun soll soll 6 cm cm betraen, betraen, n n Winkel Winkel einscließen einscließen (Skizze). (Skizze). a) a) eien eien,, V o S S ov ov ist. ist. b) b) eien eien,, V o S Scubspieelun Scubspieelun eribt. eribt. Markieren Markieren Spieelacse Spieelacse den den Versciebunsvektor. Versciebunsvektor. escreiben escreiben,, wie wie neue neue Spieelacse Spieelacse Versciebunsvektor Versciebunsvektor dem dem alten alten Versciebunsvektor Versciebunsvektor zusammenänen. zusammenänen. uabe: uabe: Eienscaten Eienscaten Scubspieelunen. Scubspieelunen. eweisen eweisen den den olenden olenden Satz: Satz: ei ei r r Scubspieelun Scubspieelun liet liet ür ür jeden jeden unkt unkt sn sn ildpunkt ildpunkt Mittelpunkt Mittelpunkt Strecke Strecke ' au au Spieelacse. Spieelacse. Untersucen Untersucen,, ob ob ser ser Satz Satz auc auc ricti ricti wäre, wäre, wenn wenn man man bei bei Deinition Deinition Scubspieelun Scubspieelun edinun edinun Versciebunsvektor Versciebunsvektor ist ist parallel parallel zur zur Spieelacse Spieelacse weließe. weließe. eweisideen zu b)? x x 2.8 Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen Nac ser Vorarbeit: Klassiizierun aller Konruenzabbildunen. usammenassun des biserien Voreens: Konruenzabbildunen sind bijektive, eradentreue, länentreue bbildunen Ebene. csenspieelunen sind Konruenzabbildunen. Verkettun csenspieelunen sind Konruenzabbildunen. Jede Konruenzabbildun ist durc bbildun s Dreiecks eindeuti estelet. Verkettun öcstens 3 csenspieelunen ereben olende bbildunstypen : csenspieelun bei 1 cse (eensinnie bbildun), Dreun o Versciebunen bei 2 csen (leicsinnie bbildun), Scubspieelun o csenspieelun bei 3 csen (eensinnie bbildun). iel: Jede Konruenzabbildun ist durc öcstens 3 csenspieelunen darstellbar. Dazu beweisen wir zunäcst den olenden Satz. Satz 2.9 Geeben seien Dreiecke *** leic lanen Seiten. Dann lässt sic Dreieck au Dreieck *** durc Verkettun öcstens 3 csenspieelunen abbilden. * * *

14 Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen 3 Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen 5 Konruenzabbildunen - rodukte csenspieelunen 4 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 1 ' '' Satz 2.10 Jede Konruenzabbildun lässt sic als Einac-, weiac- o Dreiacspieelun darstellen. ' * * * eweis ur Konruenzabbildun wält man ein beliebies Dreieck aus. bildet au das Dreieck *** ab. *** at leice Seitenlänen wie. Dreieck wird durc Verkettun 3 csenspieelunen au *** abebildet (Satz 2.9). ist Konruenzabbildun. Konruenzabbildunen sind durc das ild s Dreiecks eindeuti bestimmt (Satz 2.6)., wird also durc 3 csenspieelunen darestellt. : a *, ( a, a ) : a * ; * bleibt est, ( a ) : a * ; * * bleiben est. Satz 2.11 (Dreispieelunssatz) Die Verkettun beliebi vielen csenspieelunen lässt sic au Verkettun 3 csenspieelunen reduzieren. Satz 2.12 Jede Konruenzabbildun ist m Typen csenspieelun, Dreun, Versciebun, Scubspieelun. eweis Einace Folerun aus Satz nalyse Verkettun 3 csenspieelunen. 2.9 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen Gezeit: Verkettun beliebi vielen csenspieelunen Verkettun 3 csenspieelunen Nict ezeit: Wie ereben sic se csenspieelunen aus den eebenen csenspieelunen? Verkettun Dreunen nwendun Satz 2.7, uabe Verkettun Versciebunen näcste Seite Verkettun r Versciebun r Dreun uabe

15 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 2 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 4 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 3 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 5 Verkettun Versciebunen upunkt i upunkt1 ' upunkt2 ' i Dreun (,) um, so au ällt Wir alten se Erebnisse nocmals est. '' ' upunkt1 i' upunkt2 '' Satz 2.13 Die Verkettun Dreunen ist Versciebun, wenn ür Drewinkel 1 2 ilt , annalls Dreun um den Winkel Die Verkettun Versciebunen ist Versciebun nac den Gesetzen Vektoraddition. Satz 2.14 Die Verkettun 4 csenspieelunen ist Dreun o Versciebun. Die Verkettun 4 csenspieelunen lässt sic stets ersetzen durc Verkettun 2 (eten) csenspieelunen. i sind parallel ir bstand ist Hälte Läne Seite

16 Hintereinanausüren 4 mer Geradenspieelunen 6 Weiterer eweis ür den Dreispieelunssatz (Satz 2.11): Reduktion nzal csenspieelunen scrittweise. Sei n nzal csenspieelunen, n > 4. S 1 o S 2 o S 3 o S 4 o... o S n (S 1 o S 2 o S 3 o S 4 ) o... o S n (S 1 o S 2 ) o... o S n wobei S 1 o S 2 o S 3 o S 4 S 1 o S 2 (ween Satz 2.14) ür n 4 lässt sic nzal csenspieelunen scrittweise um jeweils 2 reduzieren. stets Reduktion au maximal 1, 2 o 3 csenspieelunen mölic.