Projektive Abbildungen, zeichnerischer Zugang

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1 Hans Walser Projektive bbildunen, zeichnerischer Zuan ETH-Z

2 Inhalt 1 Das Doppelverhältnis Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden eispiele Doppelverhältnis von vier Geraden durch einen Punkt eispiel: Winkelhalbierende Der Satz von PPPUS Dualität Übertraun von Doppelverhältnissen Der Kreuzliniensatz Der Satz von PPPUS-PSL laise PSL Zusammenfassun: Doppelverhältnis Projektive Skalen Definition nwendunsbeispiel Zusammenfassun: Projektive Skalen Projektive Perspektivitäten Definition Zusammenfassun: Projektive Perspektivität llemeine projektive bbildunen Definition eispiel einer projektiven bbildun ω Entzerrunsproblem Zusammenfassun: llemeine projektive bbildun...24 ii Der vorlieende Skript-Modul dient als rbeitsunterlae der Vorlesun Geometrie Erstausabe 1996 Eränzunen 1999 Überarbeitun 2000 Neue Moduleinteilun. Eränzunen 2002 Fehlerbereiniunen Hans Walser hwalser@bluewin.ch

3 1 Das Doppelverhältnis Eine Projektion von einer Geraden auf eine andere Gerade eribt nur in Sonderfällen eine teilverhältnistreue bbildun: Teilverhältnistreue Projektionen Eine Zentralprojektion von einer Geraden auf eine dazu nicht parallele Gerade ist nicht mehr teilverhältnistreu: Die Zentralprojektion ist nicht teilverhältnistreu Wir werden deshalb einen neuen Verhältnisberiff, das soenannte Doppelverhältnis, einführen. Es wird sich zeien, dass dieses Doppelverhältnis bei einer Zentralprojektion invariant bleibt Doppelverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden Definition: Doppelverhältnis von vier Punkten,,, D auf einer Geraden: ( ) ( ) = ( D):= D ( ) ( ) ( D) ( D) Das Doppelverhältnis ist ein Verhältnis von Teilverhältnissen und daher ein "Doppelbruch".

4 eispiele D ( D)= = 15 7 eispiele für das Doppelverhältnis (D) = (D) = (D) = 1. 2 Doppelverhältnis von vier Geraden durch einen Punkt Zum eweis der Tatsache, dass das Doppelverhältnis bei einer Zentralprojektion invariant bleibt, benötien wir noch einen weiteren eriff, nämlich das Doppelverhältnis von vier Strahlen mit emeinsamem nfanspunkt: Definition: Doppelverhältnis von vier Strahlen a, b, c, d mit emeinsamem nfanspunkt: ( abcd):= sin( ac) sin( bc) sin( ad) sin( bd)

5 3 Dabei bezeichnet sin(ac) den Sinuswert des orientierten Winkels von a nach c : d c a b Orientierter Winkel (ac) eispiel: Winkelhalbierende b c a φ d Wir erhalten in diesem eispiel: ( abcd)= sin( ac) sin( bc) = sin( ad) sin( bd) eispiel: Winkelhalbierende

6 Der Satz von PPPUS Die beiden Doppelverhältnisse sind nach dem Satz von PPPUS miteinander verknüpft: D a b c d Zum Satz von PPPUS (D) = (abcd) PPPUS, riechisch Pappos, lebte um 300 n. hr. in lexandria. Er ist der letzte der roßen riechischen Geometer. Der Satz von PPPUS ilt als Grundlae der modernen projektiven Geometrie. Über den Lebenslauf von PPPUS ist so ut wie nichts bekannt. Für den eweis dieses Satzes berechnen wir Dreiecksflächen auf zwei rten. S a Flächeninhalt eines Dreieckes Der Flächeninhalt des Dreieckes S kann wie folt berechnet werden: S = 1 2 ( )h = 1 2 S Ssin( ac) Nach der ersten Flächenformel erhalten wir: S S = DS DS 1 2 ( )h 1 2 ( )h 1 2 ( D)h 1 2 D ( )h = Nach der zweiten Flächenformel erhalten wir: S S = DS DS S SDsin ac 2 Damit ist der Satz von PPPUS bewiesen. S Ssin ( ac ) S Ssin ( ac ) S SDsin ( ac ) ( ) = h ( ) ( ) ( D) ( D) c = ( D) sin( ac) sin( bc) sin( ad) sin( bd) = ( abcd)

7 5 us dem Satz von PPPUS eribt sich unmittelbar der folende Satz: S D a D b c d Zentralprojektion Die Zentralprojektion einer Geraden auf eine Gerade ist doppelverhältnistreu. eweis: ( D)= ( abcd)= ( D) 1. 4 Dualität S G G D D a a b c d a b D b c d c d s Dualität Die Fiur rechts entsteht aus der Fiur links durch Vertauschen der eriffe Punkt Gerade schneiden verbinden

8 Diesen Voran nennen wir dualisieren. us ( D)= ( abcd)= D Dualisieren ( abcd)= ( D)= ( abcd ). In der Fiur rechts haben also die beiden Strahlenbüschel dasselbe Doppelverhältnis. llemein können wir in der projektiven Geometrie oft zu einem Satz eine duale Version formulieren. 6 ( ) folt durch 1. 5 Übertraun von Doppelverhältnissen Gewöhnliche Teilverhältnisse können mit Hilfe der Strahlensätze übertraen werden. Wir untersuchen nun das analoe Problem für Doppelverhältnisse. G c G x X a b c b a Problemstellun In der Fiur links ist ein Punkt X auf esucht, so dass ( X )= ( X) ist; in der dazu dualen Fiur rechts suchen wir einen Strahl x mit nfanspunkt G, so dass ( a b c x)= ( abcx) ist. Zur Konstruktion des vierten Punktes X zu einem eebenen Doppelverhältnis von vier Punkten ibt es zwei Methoden.

9 7 Die erste Methode beruht darauf, dass ein Hilfsstrahl mit dem eebenen Doppelverhältnis X ( ) so anelet wird, dass ein Fixpunkt entsteht. X Übertraun des Doppelverhältnisses, erste Methode Eine zweite Methode werden wir später kennenlernen.

10 Die Übertraun von Doppelverhältnissen bei Strahlen führen wir zurück auf die Übertraun von Doppelverhältnissen bei Punkten. 8 c b x G b G c a a Übertraun von Doppelverhältnissen bei Strahlen

11 9 Die zweite Methode zur Übertraun von Doppelverhältnissen bei Punkten arbeitet mit Strahlenbüscheln. X Übertraun von Doppelverhältnissen, zweite Methode ls Sonderfall studieren wir nun den Schnittpunkt der beiden Geraden und ; als Punkt auf der Geraden werde dieser Punkt mit R, als Punkt auf der Geraden mit T bezeichnet. Wir fraen nun nach dem ildpunkt R von R sowie nach dem Urbildpunkt T von T. s R auf Die chse s T auf

12 Diese Punkte lieen auf der soenannten chse s ; das heißt aber umekehrt, dass diese chse s nicht davon abhänt, ob die verwendeten Strahlenbüschel wie in unserem Fall von und ausehen oder von einem anderen Punktepaar. Diese chse s ist also schon durch die projektive, das heißt doppelverhältnistreue, bbildun von auf bestimmt. Das heißt aber auch, dass sich auch die Geraden und auf dieser chse s schneiden müssen. Dies wird im soenannten Kreuzliniensatz festehalten: 1. 6 Der Kreuzliniensatz 10 Der Kreuzliniensatz Ist ω eine projektive bbildun zwischen zwei Punktreihen auf je einer Geraden bzw., dann schneiden sich für beliebi ausewählte Paare von zueordneten Punkten Pa ω P und Qa ω Q die Verbindunseraden PQ und PQ stets auf derselben Geraden s.

13 Der Satz von PPPUS-PSL Eine nwendun des Kreuzliniensatzes ist der eweis der Satzes folenden von PPPUS- PSL; in diesem Satz wird wie schon in der Fiur von Desarues eine Situation darestellt, in der drei Punkte auf einer Geraden lieen, das heißt kollinear sind. P 5 P 1 P 3 P 6 P 4 P 2 Satz von PPPUS-PSL Lieen die Ecken des Sechseckes P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 abwechslunsweise auf zwei Geraden und, dann sind die Schnittpunkte eenüberlieender Seitenpaare kollinear. Die Sprechweise "eenüberlieende" Seitenpaare ist dem reelmäßien Sechseck entnommen. P 1 P 6 P 2 P 5 P 3 P 4 Geenüberlieende Seitenpaare

14 12 Die folende Fiur zeit einen Sonderfall des Satzes von PPPUS-PSL. Die Gerade s ist die "uneientliche" Gerade. P 1 P 5 P 3 P 6 P 2 P 4 Sonderfall laise PSL laise PSL, PSL, laise, lermont-ferrand Paris. Die Mutter starb bereits 1626; 1631 in die Familie nach Paris. Der Vater, Etienne PSL ( ), Entdecker bestimmter Kurven 4. Ordnun, der PSLschen Schnecken, unterrichtete laise selbst, lete dabei aber zunächst nur Wert auf eine sprachliche usbildun. Die Elemente des EUKLID studierte der Knabe ohne Schwierikeit; als 11jährier schrieb er eine verloreneanene rbeit über Töne veröffentlicht er eine bhandlun über Keelschnitte auf projektiver Grundlae, den Essay pour les coniques, in Form eines Flublatts. Von den weiteren rbeiten über Keelschnitte aus den Jahren ist nur die erhalten, von der LEINIZ aus dem Nachlaß eine Kopie anfertite; sie enthält den berühmten PSLschen Satz über das hexaramme mystique. Die umfanreichen Rechenaufaben seines Vaters, der Steuerinspektor in Rouen wurde, reen ihn zum au einer

15 Rechenmaschine an (1642). Innerhalb von 2 Jahren baut er 50 Modelle eht ein verbessertes Modell an Köniin hristine von Schweden beinnt er mit seinen hydrostatischen Untersuchunen veranlaßt er seinen Schwaer, TORRIELLIs Versuch von 1644 am Fuß und auf dem Gipfel des 1495 m hohen Puy de Dome zu wiederholen, wodurch es ihm elint, den Luftdruck als Ursache der Erscheinun nachzuweisen; die Theorie vom»horror vacui«der Materie ist widerlet wurde PSL zum Jansenismus bekehrt, unternahm aber mehrere Reisen, vielleicht auch mit DE MERE, der ihm u. a. das problème des partis (Verteilun des Einsatzes bei vorzeitiem Spielabbruch) vorlete. PSL löste es im Traite du Trianle rithmetique (edruckt 1654, veröffentlicht erst 1665), wo er in der onsequence douzieme das eweisverfahren der vollständien Induktion erfand. b 1655 zieht sich PSL, der seit seinem 18. Lebensjahr keinen Ta ohne Schmerzen verbracht hat, zeitweise in das Kloster Port-Royal zurück und widmet sich reliiösen Meditationen und theoloischen Studien. Seine Pensées, eine Schrift zur Verteidiun des hristentums, werden 8 Jahre nach seinem Tode veröffentlicht. PSL ilt als das rößte reliiöse Genie des modernen Frankreich beschäftit sich PSL wieder mit der Mathematik; es entstehen rbeiten über Rollkurven (Zykloiden) erhält PSL ein Patent für die carrosses a cinq sols, die erste Pariser Omnibuslinie, die am ihren etrieb aufnimmt. - Das klassische Ideal der Universalität, sich nicht in eine ufabe zu verbohren, kam dem sprunhaften Temperament PSLs sehr enteen Zusammenfassun: Doppelverhältnis ( D):= ( ) ( ) ( ) ( D) D ( abcd):= ( ) = sin( ac) sin( bc) sin( ad ) sin( bd ) ( D) Methoden: Übertraun von Doppelverhältnissen Satz von PPPUS Kreuzliniensatz Satz von PPPUS-PSL 13

16 14 2 Projektive Skalen Reuläre Skalen kennen wir von Maßstäben; sie haben leiche bstände zwischen den einzelnen Skalenpunkten. Eine reuläre Skala ist daher durch nabe von zwei Skalenpunkten festelet Definition Reuläre Skala Eine projektive Skala ist das projektive ild einer reulären Skala. S Projektive Skala

17 15 Eine projektive Skala ist durch nabe von drei Skalenpunkten eeben; die Fiur zeit ein eispiel: Drei Skalenpunkte sind eeben Zur Konstruktion der übrien Skalenpunkte ibt es zwei Methoden. ei der ersten Methode wird eine reuläre Hilfsskala so anelet, dass ein Fixpunkt entsteht: Reuläre Hilfsskala mit Fixpunkt Die übrien Skalenpunkte der projektiven Skala ereben sich dann über eine Zentralprojektion.

18 16 ei der zweiten Methode wird der Kreuzliniensatz anewendet: nwendun des Kreuzliniensatzes

19 nwendunsbeispiel Projektive Skalen treten in ildern mit Perspektive auf. In der folenden Fiur hat die z- chse eine reuläre Skala (da sie parallel zur ildebene ist), die x-chse und die y-chse haben je eine projektive Skala mit den drei eebenen Skalenpunkten 0, 1,. z y y z-chse reulär 4 x y-chse x-chse 1 1 Projektive Skalen auf der x-chse und der y-chse

20 Zusammenfassun: Projektive Skalen Projektives ild einer reulären Skala Konstruktion: nleen einer reulären Skala mit Fixpunkt Kreuzliniensatz nwendun: Perspektive 3 Projektive Perspektivitäten Wir werden nun die projektiven bbildunen analo den affinen bbildunen aufbauen, indem wir zunächst einen Sonderfall, die projektiven Perspektivitäten, behandeln, und diese dann zu allemeinen projektiven bbildunen zusammensetzen. 3.1 Definition Eine projektive Perspektivität ist eine bbildun von der Ebene auf die Ebene mit folenden Eienschaften: S P s P P sie ist eradentreu es ibt eine Fixpunkt S es ibt eine Fixpunkterade s das Doppelverhältnis PP PS Projektive Perspektivität ( ) bleibt konstant

21 Wir studieren nun, wie unter diesen Voraben das ild X eines beliebien Punktes X konstruiert werden kann: 19 S P s P X P ild eines beliebien Punktes X

22 20 Das ild einer Geraden finden wir wie folt: S P s P P ild einer Geraden

23 Das Studium der Verschwindunspunkte und der Fluchtpunkte führt auf die eriffe Verschwindunserade und Fluchterade. S 21 P h s P H G h P Verschwindunserade und Fluchterade Eine projektive Perspektivität lässt das Doppelverhältnis invariant: S S P s P D D P s a a b b c c d d P Invarianz des Doppelverhältnisses ( ). In der Fiur links ist ( D)= ( D), in der Fiur rechts ( abcd)= abcd

24 Zusammenfassun: Projektive Perspektivität Eienschaften: eradentreu Fixpunkterade s Fixpunkt S ( ) invariant PP PS eriffe: Verschwindunserade Fluchterade 4 llemeine projektive bbildunen Die allemeinen projektiven bbildunen der Ebene auf sich entstehen durch Zusammensetzen von projektiven Perspektivitäten. 4.1 Definition Eine projektive bbildun ω ist eine Zusammensetzun von n projektiven Perspektivitäten ω 1,K,ω n, also: ω = ω n oloω 1 Eine projektive bbildun ist daher eradentreu und doppelverhältnistreu. nalo zu den affinen bbildunen kann ezeit werden, dass es nur höchstens drei projektive Perspektivitäten zur Zusammensetzun einer projektiven bbildun braucht. Es ilt der Satz: Durch vier Punktepaare a, a, a, D a D ist enau eine projektive bbildun ω definiert. ω lässt sich aus drei projektiven Perspektivitäten zusammensetzen: ω = ω 3 o ω 2 o ω 1. Der eweis wird hier weelassen.

25 eispiel einer projektiven bbildun ω Die vier Punkte,, und D seien die Eckpunkte eines Quadrates, die drei ildpunkte, und die Eckpunkte eines leichseitien Dreieckes und D dessen Mittelpunkt. D D D D D D D D eispiel einer projektiven bbildun Wir suchen die Verschwindunserade, die Fluchterade, das ild des Inneren des Quadrates und das Urbild des Inneren des leichseitien Dreieckes.

26 Entzerrunsproblem Das nächste eispiel ist ein Entzerrunsproblem: uf einer Photo sind zwei vertikal stehende Stanen erkennbar, von denen bekannt ist, dass sie 20m hoch sind und einen bstand von 50m aufweisen. uf derselben Geländelinie steht noch eine weitere vertikale Stane PQ, die auf der Photo ebenfalls abebildet ist. Wo steht diese Stane und wie hoch ist sie? Photo: oden-ufnahme mit vertikaler Platte Q D 24 F P ildebene: Plan im Maßstab 1 : 1000 D F F Entzerrunsproblem 4. 2 Zusammenfassun: llemeine projektive bbildun Durch vier Punktepaare a, a, a, D a D ist enau eine projektive bbildun ω definiert. nwendun: Entzerrunsprobleme