f 2 (x) df 2 B Tafelebene (x-y-ebene). Die Begrenzung oberhalb A und B ist gegeben durch:

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1 1.07 Arcimedisces Prinzip (ydrostatiscer Auftrieb) f 1 (x) df 1 x Beliebig geformter eingetaucter Körper mit der Wicte γ F γ Festkörper und der Eineitsbreite s 1(m) senkrect zur A B Tafelebene (x-y-ebene). Die Begrenzung oberalb A und B ist gegeben durc: f 2 (x) df 2 y f 1 (x) Unteralb von A und B: y f 2 (x) y dx Auf dx wirken Flüssigkeitsdruckkräfte (γ γ Flüssigkeit ) nac unten: df 1 γ. f 1 (x). dx. 1 nac oben : df 2 γ. f 2 (x). dx. 1 insgesamt : df df 2 -df 1 γ. (f 2 (x) - f 1 (x)). dx Büscing, F.: Hydromecanik 04.1

2 Die nac oben gerictete Resultierende wird dabei positiv angesetzt. Die Gesamtkraft durc Integration ist dann F Es ist aber B B ( f x ) f ( x ) dx df γ ) A B A A 2 ( 1 ( f x ) f ( x ) dx V ( 2 1 ) das Volumen (V) des Körpers mit der Eineitsbreite s 1m, so dass die nac oben gerictete Kraft F A γ. V beträgt ( Gewictskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens). Wird der Körper durc einen gedacten Scnitt von der Flüssigkeit getrennt, so wirkt auf in nur die Eigengewictskraft F G γ F. V. Die Resultierende ist F R F A -F G (γ - γ F ). V F positiv R (γ F < γ): Auftrieb, Körper scwimmt auf F R negativ (γ F > γ): Abtrieb, Körper sinkt Büscing, F.: Hydromecanik 04.2

3 Umlenkrollen Kugelvolumen: Eine Kugelkette befindet sic mit der Länge L 4,5 D in einem mit Wasser gefüllten Beälter. a) Bewegt sic die Kette, wenn jeglice Reibung (an Dictung u. Umlenkrollen) vernaclässigbar gering ist? b) Liegt ein Perpetuum mobile vor? D V K π Büscing, F.: Hydromecanik 04.

4 Auftriebskraft F A Gewictskraft F G der von 4 Kugeln verdrängten Wassermenge π D F A 4 γ 6 Wasserauflast an unterer Halbkugeloberfläce: F V 2 π D π D γ 4,5 D 0,5 4 6 γ π (Kreiszylinder - Halbkugelvolumen) 12,5 D 12 Resultierende Kraft ist nac unten gerictet: F R 8 D 12,5 D 4,5 γ π γ π D γ 10 kn / m Mit D 1 m und ergibt sic F R -11,78 kn Büscing, F.: Hydromecanik 04.4

5 Bei der anfänglicen Abwärtsbewegung nimmt die Oberfläce der belasteten Kugel und damit die Wasserauflast ab. Desweiteren entstet dabei eine zusätzlice nac oben gerictete Kraft an der Unterseite der zusätzlic (oben) eintaucenden Kugel. Aus Trägeitsgründen kann aber ein Gleicgewictszustand sofort nict erreict werden. Nac unten und nac oben gerictete überscießende Kräfte wecseln im Folgenden ab. Nur bei vorandener Reibung würde das System nac der Ausfürung gedämpfter Scwingungen in der Gleicgewictslage zum Stillstand kommen. Anmerkung zum Auftriebsprinzip: Arcimedes soll dieses Prinzip entdeckt aben anlässlic der Fragestellung, ob eine im vorgelegte Krone tatsäclic aus purem Gold bestee. Zum Nacweis at er einen gleicgewictigen Goldbarren angefertigt und beide Objekte - in gleice Beälter in Wasser eingetauct - vergleicend gewogen Büscing, F.: Hydromecanik 04.5

6 1.08 Scwimmende Körper ( F A F G ) F G u b γ. u Gegeben: Homogener Körper mit Recteckquerscnitt, Länge senkrect zur Tafel s 1m, Gewictskraft (in Luft) F G. Gesuct: Eintauctiefe u bzw. die Wicte der Flüssigkeit γ. Scwimmbedingung: F A F G γ.. u b F G --> u F G /(γ. b); γ F G /( u. b) 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.6

7 Ein kubiscer Eisblock (Würfel) mit dem Volumen V E 1 m scwimmt in einer Baugrube in Wasser (0 o C). Kantenlänge b 1m. Wie ändert sic die Wassertiefe H in der Baugrube, wenn der Eisblock gescmolzen ist? γ W 10 kn/m γ E 9 kn/m 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.7

8 Scwimmen: F G F A γ E. V E γ W. V W ---> V W γ E. V E / γ W 0,9 m Gewictsausgleic: 0,9 m flüssiges Wasser entsprict 1 m Eis. Aus 1 m Eis wird 0,9 m flüssiges Wasser Verdrängungsvolumen V W. H ändert sic nict! 2 γ E b γ W b u u 9 1/10 0,9 m 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.8

9 Ein quaderförmiger Eisberg (Scolle mit konstanter Grundfläce A b. 1) ragt o 12 m aus dem Wasser. Welces ist seine Eintauctiefe u? γ W 10,2 kn/m γ E 9,2 kn/m 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.9

10 2002 Büscing, F.: Hydromecanik Scwimmen: F G F A m o E W E u ,,,, γ γ γ Verältniswerte: ,, o ,, u o ( ) u E o E u W u o E G u W A A F A F + + γ γ γ γ γ 122,4 m 110,4 12,0 u o + +

11 Die resultierende Auflagerkraft eines mit Wasser (γ W 10 kn/m ) gefüllten Troges einer Kanalbrücke beträgt F kn. a) Wie ändert sic die Auflagerkraft F 2 wenn ein aus Stal (γ St 80 kn/m ) gefertigter Scwimmponton mit dem Leergewict in Luft F G kn in den Trog eingefaren ist? b) Welce Auflagerkraft F ergibt sic, wenn der Ponton im Trog gesunken ist?die 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.11

12 zu a). Scwimmbedingung: F A γ..v F G Der Ponton at das von im eingenommene Wasservolumen V nac OW / UW verdrängt. (Die Wassertiefe ist konstant geblieben.) Verdrängungsvolumen V F A / γ / m zu b). Nur die Stalkonstruktion verdrängt Wasser. (Der Ponton sei vollständig mit Wasser gefüllt.) Stalgewict F G kn γ. St V St 80. V St V St / m (Verdrängungsvolumen des Stals) Auftriebskraft: F A γ W.. V St kn F kn 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.12

13 1.09 Scwimmstabilität (Kentersicereit) Instabile Scwimmlage: Scwimmkörper kentert durc Umsclagen um eine orizontal durc den Scwerpunkt der Scwimmfläce verlaufende Dreacse. Nacweis der Kentersicereit bezüglic der beiden Hauptacsen (Dreacse längs und quer) der Scwimmfläce Büscing, F.: Hydromecanik 04.1

14 Scwimmstabilität: Stabilitätsbedingung: I min > V 2002 Büscing, F.: Hydromecanik e

15 Ein omogener Quader (vergl vorn) bestimmter Wicte γ F mit den Abmessungen Höe 10m, Breite b 4m, Länge l 10m ist insictlic seiner Scwimmstabilität in Wasser (γ W 10 kn/m ) zu untersucen. a). Höe u + o 10m; u 6m, o 4m VW l b u m F γ V γ l b kn γ A F V W W W G F F 4 u 6kN / m e 5 2 m Fläcenmoment 2. Grades um die Längsacse (y) der Scwimmfläce: y l b I y 5, m l Iy 5, m e 2 1,78 < 0 Vw 240 instabil! y 2002 Büscing, F.: Hydromecanik b F G

16 Fläcenmoment 2. Grades um die Queracse (x) der Scwimmfläce: b b l I x, m Ix, x x m e 2 1,89 2 0,611 < 0 l Vw 240 instabil! b l b). Nacweis für andere Scwimmlage : Höe und Breite gegenüber Fall a) vertausct Höe 4m u + o ; l Breite b 10m, Länge l 10m VW u b l u u m u 2,4 m; o - u 1,6 m; e 4/2-2,4/2 0,8 m. I l b b l y I x I 8, m 2002 Büscing, F.: Hydromecanik

17 m I 8, e 0,8,47 0,8 2,67m V 240 w > 0 stabil bezügl. beider Acsen! Anmerkung zu Sciffsbewegungen: Ein Scwimmkörper at 6 Freieitsgrade der Bewegung. Man untersceidet bezüglic dreier Acsen die Translationsbewegungen (surge, sway, eave) und die Rotationsbewegungen (roll, pitc, yaw). Solce Bewegungen allein füren jedoc nict unbedingt zu einer instabilen Scwimmlage Büscing, F.: Hydromecanik 04.17

18 1.10 Andere Bescleunigungssysteme Scwerebescleunigung g allein wirksam: Wasser γ 10 kn / m z 0 p 0 z 1m p 10kN/m 2 z 2m z m z 4m p 20kN/m 2 p 0kN/m 2 p 40kN/m 2 p γ. z g z Der Bescleunigungsvektor ( g) stet stets senkrect zu den Linien gleicen Druckes (Isobaren); ier Horizontallinien. Zur vereinfacten Zalenrecnung Näerung: g 10m/s 2 ; ρ W 1 t/m Büscing, F.: Hydromecanik 04.18

19 Zusätzlice vertikale Bescleunigung a: a a p γ. ρ. g. p ρ.. (g+a) p ρ.. (g-a) Beim freien Fall (a g) wird p 0 (Scwerelosigkeit). p p p Bei senkrecter Bescleunigung wirkt die Trägeit in entgegengesetzter Rictung. Ist die Bescleunigung konstant, so wirkt bei Bescleunigung nac oben a konst. in Rictung der Scwerkraft (+a). Bei Bescleunigung nac unten wirkt a konst. der Scwerkraft entgegen (-a). Entsprecend ändern sic die Druckspannungen Büscing, F.: Hydromecanik 04.19

20 a). Gefäß in Rue: Druckspannungsverteilung bei alleiniger Wirkung der Erdbescleunigung g 10m/s 2. b). Gefäß erfärt eine zusätzlice Bescleunigung b2m/s 2 entgegen der Rictung der Erdbescleunigung. Die Flüssigkeit übt auf das bescleunigte Gefäß eine Reaktionskraft aus mit der Folge, dass sic die Beträge der Bescleunigungen bezüglic der Druckspannungen addieren: p ρ (g + b) Büscing, F.: Hydromecanik 04.20

21 Horizontale Bescleunigung: a dv konst. dt α g α -a a r tanα a g Bei Sciffsebewerken mit Förderung auf sciefer Ebene a < 0,015 m/s 2! Die Scräglage des Wasserspiegels (Winkel α) ergibt sic aus dem negativen Bescleunigungsvektor a (Trägeitswirkung) und der Scwerebescleunigung g. Beim Anfaren wird Energie verbrauct d., potentielle Energie wird durc die Scräglage erzeugt. Diese wird nac Aufören der Bescleunigung in Wellenbewegung umgesetzt. Flüssigkeiten in rotierenden Gefäßen unterliegen zusätzlic der Zentrifugalbescleunigung: Spiegel Rotationsparaboloid Büscing, F.: Hydromecanik 04.21

22 Rotierendes Gefäß: z dm α α Bei der Rotation eines teilweise mit einer Flüssigkeit gefüllten Beälters um seine vertikale Acse (z) wirkt auf ein mitbewegtes Flüssigkeitsteilcen dm der freien Oberfläce die Resultierende df R aus Gewictskraft df G und Zentrifugalkraft df T ( Trägeitskraft). df T dm. ω 2. r dm. v 2 /r 0 df G dm. g df R r Die Neigung der Tangente in jedem Punkt der ausgelenkten Flüssigkeitsoberfläce ist senkrect zur Resultierenden df R. 2 2 Im z - r - Koordinatensystem ist dz dm ω r ω r tanα dr dm g g 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.22

23 z Differentialgleicung wird nac Trennung der Veränderlicen integriert: e m 0 Für r 0 ist z 0, so dass C 0. r Parabel z f(r): m ist die Ruewassertiefe bei Stillstand des Beälters. Der durc Rotation gebildete Holraum ist ein Paraboloid. Der Flüssigkeitszylinder der Höe m - 0 wird bei Rotation in den betreffenden Drekörper der Höe e - 0 verwandelt. Es ist m - 0 e - m, d., die maximalen Auslenkungen vom Ruewasserspiegel sind 2002 Büscing, F.: Hydromecanik 04.2 gleic.

24 Ein Tankwagen färt mit konstanter Gescwindigkeit v 6 km/ um eine Kurve mit dem Radius r 50m. a). Welcen Neigungswinkel α gegen die Horizontale at der Flüssigkeitsspiegel? b). Welce Gestalt at die Druckspannungsfigur? Gegeben: g 10 m/s 2 γ F 8 kn/m Tankbreite b 2m << r, Flüssigkeitsstand in Rue 1m. Zusätzlic zur Erdbescleunigung g wirkt orizontal die Zentrifugalbescleunigung a v 2 /r m Die resultierende Bescleunigung a v 10 r 600 s stet senkrect auf dem geneigten 2 10 m Flüssigkeitsspiegel. a 2 a s tan α 0, 2; α 11,1 o g Büscing, F.: Hydromecanik r α g α a r a

25 r 1 2 B p B ρ. g. (- 2 ) α b g α a a r ar g + a , 2m/ s Für r >> b ist 1 2 A p A ρ. a r Büscing, F.: Hydromecanik α p A ρ. g. (+ 1 ) g α a r a 1 tanα 02, 1 02, m b / 2 p A ρ. g. (+ 1 ) Isobaren sind parallel zum geneigten Wasserspiegel.