Atom- und Quantenphysik

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1 Atom- und Quantenysik Bemerkung: die folgende Darstellung folgt nict der istoriscen Entwicklung, sondern wurde unter didaktiscen Gesictsunkten gewält. Röntgenstralung und Laue-Diagramme Zu Beginn des Jarundert war die genaue Natur der Röntgenstralung noc unbekannt. Wir wissen in der Zwiscenzeit, dass es sic um elektromagnetisce Stralung mit einer ser kurzen Wellenlänge andelt. Bekanntlic können Welleneigenscaften wie Beugung und Interferenz nur nacgewiesen werden, wenn Salte oder Gitter in der Größenordnung der Wellenlänge verwendet werden. Diese können im Fall der Röntgenstralung wegen der kleinen Wellenlänge jedoc nict künstlic ergestellt werden! Max von Laue gelang dieser Nacweis mit einem Trick: er verwendete keine künstlic ergestellten Gitter, sondern Kristalle, die eine natürlice Gitterstruktur mit der benötigten Kleineit aben (siee Abb. rects). Die Geometrie der so entsteenden Interferenzmuster ist jedoc komlizierter als bei unseren biserigen Versucen mit Salt oder Gitter, da die Kristallgitter dreidimensional sind. Man srict von einem sog. Raumgitter. Die Interferenz an einem solcen Gitter ist in folgender Abbildung dargestellt. Man srict auc von sog. Bragg-Reflexion : Dargestellt sind zwei Gitterebenen, auf die die Stralung trifft. Wir denken uns die Atome als Zentren von Elementarwellen und es tritt (wie immer) konstruktive Interferenz auf, wenn der Gangunterscied ein Vielfaces der Wellenlänge beträgt. Diese Bedingung lautet gerade d sinθ = n λ, mit d dem Abbildung 1: Laue Diagramm Abbildung : Prinzi bei Debye-Scerrer Metode Abbildung 3: Interferenzfigur nac Debye-Scerrer Abstand zwiscen den Kristallebenen (sog. Netzebenenabstand ) und θ dem Winkel zwiscen dem Kristall und der Wellennormalen. Man beacte, dass dieser Winkel nict zum Lot, sondern zur Kristalloberfläce gemessen wird. Beim sog. Debye-Scerrer Verfaren verwendet man statt eines Kristalls ein Kristallulver. Abbildung zeigt scematisc, dass es bei Bestralung immer noc zu Bragg-Reflexion kommt, da wegen der großen Anzal der Kristallite auc solce mit der rictigen Orientierung vorliegen. Die Bilder

2 weisen nun jedoc nict mer die diskrete Symmetrie (siee etwa Abb. 1) auf, sondern es entsteen Ringe (siee Abb. 3). Aus dem Radius des Ringe kann unmittelbar auf den Bragg-Winkel gesclossen werden. Materiewellen Elektronen aben wir uns biser immer als Teilcen vorgestellt. Sie tragen Ladung, aben eine Masse, ire Gescwindigkeit wurde von uns berecnet und in zalreicen Zusammenängen aben wir von einem Elektronenstral gesrocen, als wenn eben kleine Teilcen in eine gemeinsame Rictung fliegen. Man darf es sic desalb durcaus als Sensation vorstellen, als Davisson und Germer 197 gelang, Interferenz von Elektronen zu beobacten! Interferenz ist scließlic eine tyisce Welleneigenscaft. Wie das zusammenasst werden wir in einem Augenblick tematisieren. Zunäcst betracten wir nict das Originalexeriment, sondern einen anderen Nacweis der Materiewellen. Die nebensteende Abbildung zeigt eine Röre, in der eine Elektronenstral (wenn man immer noc so srecen darf) erzeugt wird. Er wird auf eine Folie aus geressten Graitkristallen gelenkt und es kommt wie bei Röntgenstralung zu Bragg Reflexion und den tyiscen Debye-Scerrer Ringen. Wir können somit Elektronen auc eine Wellenlänge zuordnen. Ser erstaunlic. Aber Elektronen aben keine feste Wellenlänge. Eröt man die Bescleunigungssannung werden die Radien der Ringe kleiner! Untersuct man den Zusammenang zwiscen Elektronengescwindigkeit (bzw. Imuls = m v ) genauer, findet man: λ = mit = 6, Js (Plancksces Wirkungsquantum). Die Gleicung für die Wellenlänge wird auc de Broglie Bezieung genannt und die Naturkonstante wird im folgenden noc eine große Rolle sielen! Ir Wert ist offensictlic ser klein, und jetzt wird auc klar, warum der Wellencarakter von Elektronen biser nict aufgefallen ist : Interferenz, Beugung etc. treten ja nur dann auf, wenn Salte, Gitter etc. in der Größenordnung der Wellenlänge sind. Die de Broglie Gleicung gilt übrigens auc für andere Teilcen, wie Protonen, Moleküle etc. Man srict desalb allgemein von Materiewellen, aus deren Imuls die de-broglie-wellenlänge berecnet werden kann..wir finden also: Zusammenfassung: Elektronen und andere Materieteilcen besitzen auc eine Wellennatur. Abängig von irem Imuls ( = m v ) aben sie eine Wellenlänge λ =. Dabei ist = 6, Js das sogenannte Plancksce Wirkungsquantum.

3 Die Heisenbergsce Unscärferelation Bevor wir uns weiter um den Atombau kümmern, soll kurz auf die Frage eingegangen werden, wie Welle- und Teilcen- Eigenscaften von Elektronen (oder anderen Materiebausteinen) zusammengedact werden können. Eine Welle ist ein (im Prinzi) ausgedentes Objekt, ein Teilcen ingegen besitzt einen festen Ort um nur einen markanten Unterscied zu nennen. Allerdings sceint eine Möglickeit zu besteen, diese beiden Konzete zu versönen. Scließlic kennt man auc Stoßwellen die sic einem Teilcen nict unänlic ausbreiten. Eine solce Welle wird auc Wellenaket genannt und ist in Abbildung 4 dargestellt. Sie at sicerlic keinen unktförmigen Ort, ist jedoc in einem Bereic Abbildung 4: Ein Wellenaket x ± x lokalisiert. Allerdings besitzt ein solces Wellenaket ist räumlic nur unscarf ebenfalls keine feste Wellenlänge! Es entstet durc die lokalisiert. Überlagerung von Wellen versciedener Wellenlängen wie in Abbildung 5 angedeutet. Gemäß der de Broglie Bezieung entsrict so ein Wellenaket- Elektron also auc kein fester Imuls, sondern ebenfalls nur ein Intervall ±. Werner Heisenberg konnte nun zeigen, dass zwiscen den Unscärfen für Ort ( x ) und Imuls ( ) folgende Bezieung gilt: x. (Heisenbergsce Unscärferelation, 197) Mit anderen Worten: Je genauer der Ort eines Teilcens definiert ist (also im Extremfall sogar x = ), desto unscärfer ist sein Imuls definiert. Und umgekert. Diese Entdeckungen stammen jedoc aus den er Jaren. Bevor wir diese Entwicklungslinie weiter verfolgen, wollen wir auf die Teorien zum Atombau eingeen. Abbildung 5: Entsteung eines Wellenakets durc Das Wasserstoffsektrum Überlagerung von Wellen untersciedlicer Wellenlänge (änlic wie bei der "Scwebung") Jedes Element stralt eine carakteristisce Stralung aus. Eine Wasserstofflame zeigt etwa vier deutlice Linien (im Bereic des sictbaren Licts). Deren Wellenlängen sind: 9 H = 656,8 1 m (rot), H H α β γ = 486, = 434,5 1 9 m (türkis) m (violett) 9 H δ = 41,17 1 m (ebenfalls violett). Die nebensteende Abbildung zeigt oben ein

4 kontinuierlices Sektrum von weißem Lict und unten das Wasserstoffsektrum. Dies war scon Mitte des 19. Jarunderts bekannt. Vollkommen unklar war jedoc, wie diese Stralung entstet. Offensictlic können diese Wellenlängen etwas über den (atomaren) Aufbau des jeweiligen Elements verraten. Der Scweizer Pysiker und Arcitekt Joann Jakob Balmer entdeckte eine ziemlic seltsame Formel, mit der diese Wellenlängen berecnet werden konnten: = R. Setzt man für n naceinander die natürlicen Zalen 3, 4, 5 oder 6 ein, kommt (der λ n n Kerwert) einer der Wellenlängen eraus. R ist eine Konstante, die sog. Rydbergkonstante. Setzt man unsere 6 1 Wellenlängen ein, findet man R 11 1 m. Aus der Form der Balmer-Formel kann eine Vermutung über weitere Sektrallinien abgeleitet werden (für n>6 nämlic). Diese liegen jedoc im UV Bereic und konnten desalb von uns nict geseen werden! Außerdem entnimmt man der Formel, dass mit wacsendem n die Linien immer näer zusammen rücken. Zusammenfassung: Jedes Element stralt ein carakteristisces Sektrum aus, das aus diskreten (d.. einzelnen) Frequenzen bzw. Wellenlängen bestet. Im Falle des Wasserstoffs entält das Sektrum vier Wellenlängen im Bereic des sictbaren Licts. Der lictelektrisce Effekt Zur Aufklärung des Atombaus gelangte man erst durc eine weitere Untersucung der Natur des Licts. Dies überrasct nict ganz, denn im Abscnitt zuvor aben wir geseen, dass gerade die (Lict-)Stralung der Elemente carakteristisc ist. Bereits im 19. Jarundert war bekannt, dass unter Licteinfac aus bestimmten Metallen Elektronen abgegeben werden. Diese werden sozusagen durc die Bestralung erausgesclagen. Im Prinzi ist dies als eine Umwandlung der Stralungsenergie des Licts zu deuten also nict wirklic rätselaft. Abbildung 6: Simle Illustration des Potoeffekts. (Wellenlänge kleiner als 4nm) ein Fotostrom auftritt. Blaues oder rotes Lict at unabängig von der Helligkeit der Stralung keine Wirkung! Mit einer Fotozelle kann man das Pänomen noc genauer untersucen; nämlic nict nur nacweisen, ob Elektronen aus dem Metall erausgesclagen werden, sondern auc ire Energie messen. Das Ergebnis zeigt Abbildung 7. Ab einer bestimmten Frequenz tritt ein Fotostrom auf (auc Grenzfrequenz f Gr genannt). Die Energie der Elektronen ist roortional zur Frequenz. Die Steigung dieser Geraden at den Wert = 6, Js also das Plancksce Wirkungsquantum, welces uns scon bei der Beandlung der Allerdings aben wir geseen, dass die Energie von Wellen mit dem Quadrat der Amlitude wäcst. Für Scallwellen eißt dies etwa, dass lauter auc energiereicer ist. Bei Lictwellen würde man also erwarten, dass intensivere (= ellere ) Stralung energiereicer ist. Genau dies trifft jedoc nict zu! Bei einer Zinklatte beobactet man etwa, dass nur unter UV Lict Abbildung 7: Energie der Elektronen beim lictelektriscen Effekt als Funktion der Frequenz der Stralung

5 Materiewellen begegnet ist. Zeicnet man diesen Graen für versciedene Materialien auf, findet man Geraden mit identiscer Steigung, jedoc untersciedlicen Acsenabscnitten. Es ist lausibel anzunemen, dass die Stralung auc scon unteralb der Grenzfrequenz Energie liefert. Jedoc sceint diese zu gering, um Elektronen erauszulösen. In diesem Sinne entsrict der Acsenabscnitt der Austrittsarbeit W A = fgr, die geleistet werden muss, um ein Elektron aus dem Stoff erauszulösen. Interessant ist nun die Frequenzabängigkeit (und Amlitudenunabängigkeit) des Pänomens. Stralung unteralb der Grenzfrequenz erzeugt keinen Fotostrom egal wie intensiv sie ist. Stralung oberalb der Grenzfrequenz erzeugt einen Potostrom egal wie gering die Intensität ist. Daraus scloss Einstein 195, dass Lict aus Energieaketen bestet, deren Energie nur von der Frequenz abängt, nämlic gemäß E = f. Diese Pakete werden auc als Potonen bezeicnet. Der lictelektrisce Effekt wird nac Einstein nun durc den Stoß einzelner Potonen mit den Elektronen erklärt. Haben die Potonen zu wenig Energie (= Frequenz zu gering), kann auc eine größere Anzal (= öere Intensität) nicts ausricten. Haben sie eine ausreicende Energie (= Frequenz oberalb der Grenzfrequenz) findet der Effekt auc bei beliebig kleiner Intensität der Stralung statt. Zwar bewirkt die Steigerung der Intensität, dass mer Elektronen erausgesclagen werden, aber deren Energie wird dadurc nict größer. Zusammenfassung: Beim lictelektriscen Effekt ängen die Energie der Elektronen und die Frequenz der Stralung gemäß der Bezieung E = f W kin A zusammen. Dabei ist = 6, Js das Plancksce Wirkungsquantum. Die sog. Austrittsarbeit W = f A Gr ist diejenige Energie, die einem Elektron zugefürt werden muss, um erausgesclagen zu werden. Da dieser Effekt nict von der Amlitude der Stralung abängt, scloss Einstein, dass Lict aus Energieaketen bestet, deren Energie E = f beträgt. Diese Energieakete werden auc Lictteilcen oder Potonen genannt. In diesem Sinne at Lict auc eine Teilcennatur. Exkurs: Zusammenang zwiscen der de Broglie Wellenlänge und Potonen Wir aben also ein doeltes Auftreten des Planckscen Wirkungsquantums. Es stellt sic die Frage, ob zwiscen der de Broglie Bezieung λ = und der Gleicung E = f ein innerer Zusammenang bestet. Tatsäclic findet man in einigen Bücern folgendes (inkorrekte) Argument. Für seine Darstellung müssen wir jedoc eine kleine Anleie bei der seziellen Relativitätsteorie macen, die natürlic noc nict beandelt wurde. In der seziellen Relativitätsteorie gilt die sog. Energie-Masse-Äquivalenz: E = mc. Setzt man diesen Ausdruck für die Energie mit der Energie eines Potons gleic erält man f = mc. Die Frequenz kann c jedoc auc durc die Wellenlänge ausgedrückt werden: = mc. Löst man diese Gleicung λ nac λ auf erält man: λ =. Ha diese Gleicung siet aber genau wie die de Broglie mc Gleicung aus, die im Nenner den Imuls (also das Produkt aus Masse und Gescwindigkeit) at. Einziger Scöneitsfeler: Potonen aben gar keine Masse es gilt also mc =. Was Potonen aber dennoc aben, ist Imuls! Rictiger ist folgende Überlegung: Die Gleicung E = mc gilt für die Ruemasse von Teilcen, oft auc als m bezeicnet. Ire allgemeine Form lautet überaut:

6 E = mc4 + c (bitte nict versucen aus der Summe die Wurzel einzeln zu zieen!). Für c Potonen gilt desalb E = c. Wir aben also c = f = bzw. wieder nac der Wellenlänge λ aufgelöst λ =. In diesem Sinne gilt die de Broglie Bezieung also für Elektronen (bzw. andere Materieteilcen) und Potonen! Unsere Darstellung at die istorisce Entwicklung auf den Kof gestellt, denn tatsäclic at de Broglie seine Bezieung auf diese Weise motiviert. Das Bor'sce Atommodell Mit Einsteins Lictquantenyotese und der Gleicung E = f ) wurden die vier Frequenzen des Wasserstoffsektrums zu vier Energien, die vom Wasserstoffatom ausgesendet werden. Scon vorer stellte man sic das Atom wie ein kleines Planetensystem vor, bei dem Elektronen auf Banen um den Kern kreisen. Um auf einer öeren Ban zu kreisen, brauct das Elektron natürlic mer Energie, als auf einer niedrigeren. Umgekert wird diese Energie frei, wenn es von einer öeren Ban zurückfällt. Es sollte also möglic sein, die Banen zu finden, deren Energiedifferenz der beobactbaren Stralung entsrict und somit Balmers Formel zu begründen. Genau dies gelang Niels Bor Sein Atommodell bestet aus drei Postulaten (=Forderungen): 1. Elektronen bewegen sic auf stabilen Kreisbanen um den Atomkern one elektromagnetisce Stralung zu emittieren.. Der Radius der Elektronenban ändert sic nict kontinuierlic, sondern srungaft. Bei diesem Quantensrung wird ein Poton abgegeben oder aufgenommen. 3. Elektronenbanen sind stabil, falls für den Banradius r n gilt: rn me v = n. Dabei ist π m e die Masse des Elektrons, v seine Gescwindigkeit, n eine natürlice Zal und das Plancksce Wirkungsquantum. Das Produkt L = rn me v wird übrigens auc Dreimuls genannt. Wir wollen nun kurz skizzieren, wie die Herleitung der Balmer Formel gelingt. Damit das Elektron sic auf einer Kreisban bewegt, muss eine Zentrietalkraft wirken! Als Ursace kommt ier nur 1 e die Anzieung des ositiv geladenen Atomkerns in Frage (mit der Coulombkraft FC = ). 4π ε r v Setzt man FZ = me gleic der Coulombkraft und berücksictigt man das 3. Borsce Postulat, r ε e findet man für den n-ten Radius: rn = n und für die Gescwindigkeit v n =. Für m e π n ε e 1 n=1 (auc Grundzustand genannt) findet man einen Radius von ca. r1 =,5 1 m. Ein 1 Wasserstoffatom at also einen Durcmesser von d = 1 m. Für die otentielle Energie des 1 e Elektrons im elektriscen Feld des Kerns gilt E ot, n = (wenn der Nullunkt der 4π ε rn otentiellen Energie im Unendlicen angenommen wird). Für die Gesamtenergie muss noc die 4 1 me e E1 kinetisce Energie addiert werden. Dann ergibt sic: Eges, n = =. Berecnen man die 8 ε n n Gesamtenergie des Grundzustandes (n=1) findet man 18 E1 =,18 1 J. Eine nützlice Eineit für n

7 diese kleinen Energien ist das sog. Elektronenvolt (ev). Es ist die Energie, die ein Elektron gewinnt, 19 wenn es die Potenzialdifferenz von 1V durcfällt. Es gilt 1eV = 1,6 1 J. Damit beträgt die Energie des Grundzustandes -13,6eV. Negativ ist dieser Wert, da das Elektron gebunden ist! Fürt man so einem Elektron 13,6eV zu, kann es sic vom Kern entfernen und das Wasserstoffatom wird ionisiert. Jetzt können wir endlic die Balmer Formel begründen! Betracten wir dazu die Differenz Em, n = Em En. Diese Energiedifferenz soll, gemäß Bor und wegen E = f, einer Wellenlänge des Sektrums 1 E entsrecen, also =. Einsetzen, zusammenfassen λ c und ausklammern fürt scließlic auf: 4 1 = m e e Siet bekannt aus, oder? Der λ 8ε c n m Vorfaktor ist gerade die Rydbergkonstante aus der Balmer Formel. Einsetzen der Konstanten ergibt 6 1 R = 1,973 1 m. Die Herleitung dieser Formel (sowie die Berecnung der Rydbergkonstanten) geört zu den großen Erfolgen des Borscen Atommodells! Die Abbildung 8 illustriert diesen Zusammenang noc Abbildung 8: Entsteung zwiscen einmal. Die Balmer Serie (anderer Name für die vier Sektrallinien des Wasserstoffs. sictbaren Linien des Wasserstoff) entstet durc Elektronen, die aus der 6., 5., 4, oder 3. Ban auf die. Ban zurückfallen. Die Energiedifferenz wird in Form eines Lictquants abgegeben (siee Abb. 9). Die Anregung (d.. der Wecsel der Elektronen aus dem Grundzustand in diese öeren Banen) erfolgt etwa durc die Hitze in der Wasserstofflame. Zwiscen den anderen Banen kommt es ebenfalls zu Übergängen. Diese entsrecen anderen Serien. In der Abbildung sind sie (zusammen mit dem Namen irer Entdecker) angegeben. Abbildung 9: Ein Elektron wecselt die Ban und gibt ein Poton der entsrecenden Leistungen und Grenzen des Borscen Atommodells Das Borsce Atommodell stellt nict die aktuelle Modellvorstellung des Atombaus dar. Es war ein istorisc wictiger Scritt, wurde jedoc bereits inneralb von Energie ab. wenigen Jaren von der weiteren Forscung überolt. Seine Leistungen sind im obigen Abscnitt bereits deutlic geworden. Hervorgeoben seien: Es erlaubt eine Erklärung der Balmerformel (d.. der Sektrallinien) und eine Berecnung der Rydbergkonstante. Es erlaubt eine korrekte Berecnung der Größenordnung des Atomducmessers. Allerdings lässt sic das Borsce Atommodell auf komliziertere Atome nict sinnvoll anwenden. Weitere Einwände bzw. Grenzen sind: Aus der Kreisban der Elektronen folgt, dass Atome sceibenförmig sind! Das Modell stet im Widersruc zur Heisenbergscen Unscärferelation Es liefert keine Erklärung für die (untersciedlice) Intensität der Sektrallinien.

8 Wenn man den Umfang der Borscen Banen berecnet, findet man U n = n, also ein Vielfaces der de Broglie Wellenlänge. Auf den stabilen Banen liegen also steende Materiewellen vor. Dennoc stet das Modell im Widersruc zur (auc) Wellennatur der Elektronen. Scließlic lässt sic zum Beisiel das Argument mit der Zentrietalkraft sonst nict sinnvoll anwenden. Das Borsce Atommodell liefert keine Erklärung für den stralungsfreien Umlauf der Elektronen. Die weitere Entwicklung nam eine viel abstraktere Rictung, die es nict mer erlaubt, sic ein so anscaulices Bild von Atomen (oder anderen Quantensystemen ) zu macen. Die entsrecenden Modelle sind komlexe matematisce Teorien über deren Bedeutung immer noc gestritten wird. Viele Pysiker sind der Überzeugung, dass sic unsere anscaulicen Vorstellungen auf die Quantenwelt überaut nict anwenden lassen. Scließlic aben sic diese Vorstellungen am Umgang mit viel größeren Objekten unserer alltäglicen Lebenswelt gebildet! Atomysik (und Pilosoie) Wir keren nun zu Fragen zurück, die im Kaitel über die Heisenbergsce Unscärferelation bereits angedeutet wurden. Dort ging es bereits um die Frage, wie das Welle- und/oder Teilcen-Sein des Elektrons verstanden werden kann. Die dort erwänte Vorstellung von Wellenaketen legt die Vermutung nae, dass Elektronen also eigentlic Wellen sind, deren gescickte Überlagerung erlaubt, sie mit Teilcen verwecseln zu können. Die aktuelle Vorstellung über den Atombau wird durc die sog. Quantenmecanik bescrieben. Diese Teorie bescreibt Materie tatsäclic durc eine sogenannte Wellenfunktion. Die matematiscen Details übersteigen leider die Mittel der Sculysik (und Sculmatematik). Für einen groben Überblick reict jedoc zu wissen, dass die besagte Wellenfunktion durc eine Differentialgleicung berecnet werden kann (die sog. Scrödingergleicung) änlic wie der Ort eines klassiscen Teilcens durc die Newtonsce Gleicung F = m x(t ) oder das elektrisce Feld aus einer Ladungsverteilung. Aus der Scrödingergleicung folgt nun, dass ein Wellenaket (wie in Abbildung 4) in relativ kurzer Zeit zerläuft. Wäre ein Elektron tatsäclic ein Wellenaket, müsste es also exerimentelle Hinweise auf ausgedente Elektronen geben. Diese liegen jedoc nict vor Elektronen ersceinen bei irem Nacweis immer unktförmig. Gleiczeitig gestattet die Wellenfunktion die Vorersage aller Interferenzersceinungen mit Materie. Die Frage, ob Materie also aus Teilcen oder Wellen bestet, stellt sic also auc inneralb der Quantenmecanik unvermindert. Eine verblüffende Erklärung at Max Born 196 angegeben. Danac sind diese Wellen Warsceinlickeitswellen! Genauer: aus inen kann zum Beisiel berecnet werden, wie groß die Warsceinlickeit ist, ein Teilcen an einem bestimmten Ort zu messen. Diese Klärung des Welle-Teilcen-Dualismus lautet also, dass die Materie weiterin aus Teilcen bestet die Warsceinlickeit bestimmte Eigenscaften an ir zu messen sic jedoc wellenförmig ausbreitet. Die Quantenmecanik untersceidet sic dadurc grundlegend von jeder biserigen ysikaliscen Teorie, indem die nur noc (und rinziiell) Warsceinlickeitsaussagen gestattet. Ein tyisces Beisiel ist etwa der radioaktive Zerfall. Bekanntlic besagt die Halbwertzeit, dass in diesem Zeitraum die Hälfte eines radioaktiven Stoffes zerfallen ist. Von einem einzelnen Uranatom vorerzusagen, ob (und wann) es zerfällt, ist nict möglic! Der Heisenberg-Text Die Koenagener Deutung der Quantenteorie erläutert diesen Zusammenang genauer.