Ableitungen von Funktionen
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- Josef Straub
- vor 7 Jahren
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1 Ableitungen von Funktionen Differenzialrechnung, Philip Denkovski Institut für Physik 06. Juni 2012
2 Gliederung 1 Verschiedene Schulbücher 2 Historischer Einstieg 3 Tangentenproblem 4 Änderungsrate
3 Verschiedene Schulbu cher Historischer Einstieg Tangentenproblem A nderungsrate Verschiedene Schulbu cher Arbeitsauftrag: 15 min. 1 Bildet 6 Gruppen! 2 Betrachtet die Einfu hrung der Differentialrechnung in Schulbu chern. (Achtet dabei im Besonderen auf die Reihenfolge der Kapitel!) 3 Skizziert den Ablauf auf einer OH-Folie. 4 Pra sentation der Ergebnisse! (3 min. pro Gruppe)
4 Verschiedene Schulbu cher Historischer Einstieg Tangentenproblem A nderungsrate Verschiedene Schulbu cher Arbeitsauftrag: 15 min. 1 Bildet 6 Gruppen! 2 Betrachtet die Einfu hrung der Differentialrechnung in Schulbu chern. (Achtet dabei im Besonderen auf die Reihenfolge der Kapitel!) 3 Skizziert den Ablauf auf einer OH-Folie. 4 Pra sentation der Ergebnisse! (3 min. pro Gruppe)
5 Verschiedene Schulbu cher Historischer Einstieg Tangentenproblem A nderungsrate Verschiedene Schulbu cher Arbeitsauftrag: 15 min. 1 Bildet 6 Gruppen! 2 Betrachtet die Einfu hrung der Differentialrechnung in Schulbu chern. (Achtet dabei im Besonderen auf die Reihenfolge der Kapitel!) 3 Skizziert den Ablauf auf einer OH-Folie. 4 Pra sentation der Ergebnisse! (3 min. pro Gruppe)
6 Verschiedene Schulbu cher Historischer Einstieg Tangentenproblem A nderungsrate Verschiedene Schulbu cher Arbeitsauftrag: 15 min. 1 Bildet 6 Gruppen! 2 Betrachtet die Einfu hrung der Differentialrechnung in Schulbu chern. (Achtet dabei im Besonderen auf die Reihenfolge der Kapitel!) 3 Skizziert den Ablauf auf einer OH-Folie. 4 Pra sentation der Ergebnisse! (3 min. pro Gruppe)
7 Verschiedene Schulbu cher Historischer Einstieg Tangentenproblem A nderungsrate Verschiedene Schulbu cher Arbeitsauftrag: 15 min. 1 Bildet 6 Gruppen! 2 Betrachtet die Einfu hrung der Differentialrechnung in Schulbu chern. (Achtet dabei im Besonderen auf die Reihenfolge der Kapitel!) 3 Skizziert den Ablauf auf einer OH-Folie. 4 Pra sentation der Ergebnisse! (3 min. pro Gruppe)
8 Historischer Einstieg Abb. 1: Leibniz Abb. 2: Newton Anstieg einer Kurve in einem Punkt bzw. Tangentenproblem (Leibniz, ) Änderungsrate einer Funktion (Newton, )
9 Historischer Einstieg Abb. 1: Leibniz Abb. 2: Newton Anstieg einer Kurve in einem Punkt bzw. Tangentenproblem (Leibniz, ) Änderungsrate einer Funktion (Newton, )
10 Tangentenproblem Funktion f sei in einem Intervall ]a, b[ definiert; x 0, x ɛ ]a, b[. Anstieg der Sekante in [x 0, x]: f (x) f (x 0) x x 0 Anstieg der Tangente in (x 0 f (x 0 )) : lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0
11 Tangentenproblem Funktion f sei in einem Intervall ]a, b[ definiert; x 0, x ɛ ]a, b[. Anstieg der Sekante in [x 0, x]: f (x) f (x 0) x x 0 Anstieg der Tangente in (x 0 f (x 0 )) : lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0
12 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem 1. Schritt: Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente 2. Schritt: Die Tangente als Grenzlage von Sekanten 3. Schritt: Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert. aus Danckwerts, Vogel
13 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem 1. Schritt: Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente 2. Schritt: Die Tangente als Grenzlage von Sekanten 3. Schritt: Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert. aus Danckwerts, Vogel
14 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem 1. Schritt: Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente 2. Schritt: Die Tangente als Grenzlage von Sekanten 3. Schritt: Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert. aus Danckwerts, Vogel
15 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem Arbeitsauftrag: 30 min. 1 Bildet dreier Gruppen! 2 Lest die euch zugeteilten Texte. 3 Informiert eure Gruppenmitglieder über die Kernaussagen eures Textes. Zusammenfassung der Kernaussagen der Texte im Plenum mit Diskussion und Ergänzungen.
16 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem Arbeitsauftrag: 30 min. 1 Bildet dreier Gruppen! 2 Lest die euch zugeteilten Texte. 3 Informiert eure Gruppenmitglieder über die Kernaussagen eures Textes. Zusammenfassung der Kernaussagen der Texte im Plenum mit Diskussion und Ergänzungen.
17 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem Arbeitsauftrag: 30 min. 1 Bildet dreier Gruppen! 2 Lest die euch zugeteilten Texte. 3 Informiert eure Gruppenmitglieder über die Kernaussagen eures Textes. Zusammenfassung der Kernaussagen der Texte im Plenum mit Diskussion und Ergänzungen.
18 Schulklassischer Zugang zur Differentialrechnung - Tangentenproblem Arbeitsauftrag: 30 min. 1 Bildet dreier Gruppen! 2 Lest die euch zugeteilten Texte. 3 Informiert eure Gruppenmitglieder über die Kernaussagen eures Textes. Zusammenfassung der Kernaussagen der Texte im Plenum mit Diskussion und Ergänzungen.
19 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
20 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
21 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
22 Alternativvorschlag Arbeitsauftrag: 1 Bearbeitet das Arbeitsblatt zum Thema: Wie schnell ist Usain Bolt? 2 Achte dabei vor allem auf die Abfolge der Aufgaben und den Sachkontext. 3 Überlege im Anschluss Vor- und Nachteile dieses Einstieges in die Differentialrechnung im Vergleich zum Tangentenproblem. Diskussion!
23 Alternativvorschlag Arbeitsauftrag: 1 Bearbeitet das Arbeitsblatt zum Thema: Wie schnell ist Usain Bolt? 2 Achte dabei vor allem auf die Abfolge der Aufgaben und den Sachkontext. 3 Überlege im Anschluss Vor- und Nachteile dieses Einstieges in die Differentialrechnung im Vergleich zum Tangentenproblem. Diskussion!
24 Alternativvorschlag Arbeitsauftrag: 1 Bearbeitet das Arbeitsblatt zum Thema: Wie schnell ist Usain Bolt? 2 Achte dabei vor allem auf die Abfolge der Aufgaben und den Sachkontext. 3 Überlege im Anschluss Vor- und Nachteile dieses Einstieges in die Differentialrechnung im Vergleich zum Tangentenproblem. Diskussion!
25 Alternativvorschlag Arbeitsauftrag: 1 Bearbeitet das Arbeitsblatt zum Thema: Wie schnell ist Usain Bolt? 2 Achte dabei vor allem auf die Abfolge der Aufgaben und den Sachkontext. 3 Überlege im Anschluss Vor- und Nachteile dieses Einstieges in die Differentialrechnung im Vergleich zum Tangentenproblem. Diskussion!
26 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Thema: Anschauliche Einführung in die Differentialrechnung über die mittlere Änderungsrate am Bsp. des Weltrekordlaufes von Usain Bolt. Stundenziel: Die SuS sollen in einem Partnerpuzzle zwei verschiedene Darstellungsformen der mittleren Änderungsrate erarbeiten, möglichst genau die maximale Geschwindigkeit von Usain Bolt bestimmen und die Ungenauigkeit ihrer Ergebnisse erkennen.
27 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Thema: Anschauliche Einführung in die Differentialrechnung über die mittlere Änderungsrate am Bsp. des Weltrekordlaufes von Usain Bolt. Stundenziel: Die SuS sollen in einem Partnerpuzzle zwei verschiedene Darstellungsformen der mittleren Änderungsrate erarbeiten, möglichst genau die maximale Geschwindigkeit von Usain Bolt bestimmen und die Ungenauigkeit ihrer Ergebnisse erkennen.
28 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......durch den Lebensweltbezug Interesse entwickeln....begründen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der maximalen Geschwindigkeit entspricht....entsprechend ihres individuellen Leistungsniveaus entweder formal-rechnerisch oder grafisch, näherungsweise die maximale Geschwindigkeit bestimmen....die Qualität ihre Ergebnisse beurteilen und Ideen entwickeln, wie die maximale Geschwindigkeit exakter bestimmt werden kann.
29 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......durch den Lebensweltbezug Interesse entwickeln....begründen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der maximalen Geschwindigkeit entspricht....entsprechend ihres individuellen Leistungsniveaus entweder formal-rechnerisch oder grafisch, näherungsweise die maximale Geschwindigkeit bestimmen....die Qualität ihre Ergebnisse beurteilen und Ideen entwickeln, wie die maximale Geschwindigkeit exakter bestimmt werden kann.
30 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......durch den Lebensweltbezug Interesse entwickeln....begründen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der maximalen Geschwindigkeit entspricht....entsprechend ihres individuellen Leistungsniveaus entweder formal-rechnerisch oder grafisch, näherungsweise die maximale Geschwindigkeit bestimmen....die Qualität ihre Ergebnisse beurteilen und Ideen entwickeln, wie die maximale Geschwindigkeit exakter bestimmt werden kann.
31 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......durch den Lebensweltbezug Interesse entwickeln....begründen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der maximalen Geschwindigkeit entspricht....entsprechend ihres individuellen Leistungsniveaus entweder formal-rechnerisch oder grafisch, näherungsweise die maximale Geschwindigkeit bestimmen....die Qualität ihre Ergebnisse beurteilen und Ideen entwickeln, wie die maximale Geschwindigkeit exakter bestimmt werden kann.
32 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......durch den Lebensweltbezug Interesse entwickeln....begründen, warum die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht der maximalen Geschwindigkeit entspricht....entsprechend ihres individuellen Leistungsniveaus entweder formal-rechnerisch oder grafisch, näherungsweise die maximale Geschwindigkeit bestimmen....die Qualität ihre Ergebnisse beurteilen und Ideen entwickeln, wie die maximale Geschwindigkeit exakter bestimmt werden kann.
33 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......ihre Kommunikationskompetenz weiterentwickeln....die Notwendigkeit mathematischer Sprache erkennen....die Definition der mittleren Änderungsrate erarbeiten und auf den vorliegenden Sachverhalt übertragen. [Eventualziel]
34 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......ihre Kommunikationskompetenz weiterentwickeln....die Notwendigkeit mathematischer Sprache erkennen....die Definition der mittleren Änderungsrate erarbeiten und auf den vorliegenden Sachverhalt übertragen. [Eventualziel]
35 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......ihre Kommunikationskompetenz weiterentwickeln....die Notwendigkeit mathematischer Sprache erkennen....die Definition der mittleren Änderungsrate erarbeiten und auf den vorliegenden Sachverhalt übertragen. [Eventualziel]
36 Wofür ist das Arbeitsblatt gut geeignet? Teilziele: Die SuS sollen......ihre Kommunikationskompetenz weiterentwickeln....die Notwendigkeit mathematischer Sprache erkennen....die Definition der mittleren Änderungsrate erarbeiten und auf den vorliegenden Sachverhalt übertragen. [Eventualziel]
37 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
38 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
39 Fazit - Spezifische Schwierigkeiten 1. Schritt: Paradigmenwechsel vom geometrischen zum analytischen Tangentenbegriff. 2. Schritt: Die Idee, die Tangente als Grenzlage von Sekanten aufzufassen, liegt quer zur Schmiegvorstellung. 3. Schritt: Kann man den Sekantensteigungen (den Differenzenquotienten) überhaupt einen Grenzwert zuschreiben? aus Danckwerts, Vogel
40 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit. Quellen: [Dan] Danckwerts, Vogel, Analysis verständlich unterrichten, Spektrum, 2006 [Fri] Friedrich, Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten,Dissertation, 2001 [Fil] Filler, Ableitungen von Funktionen, http : //didaktik.mathematik.hu berlin.de/index.php?article i d = 331, 2010
41 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit. Quellen: [Dan] Danckwerts, Vogel, Analysis verständlich unterrichten, Spektrum, 2006 [Fri] Friedrich, Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten,Dissertation, 2001 [Fil] Filler, Ableitungen von Funktionen, http : //didaktik.mathematik.hu berlin.de/index.php?article i d = 331, 2010
42 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit. Quellen: [Dan] Danckwerts, Vogel, Analysis verständlich unterrichten, Spektrum, 2006 [Fri] Friedrich, Schülerinnen- und Schülervorstellungen vom Grenzwertbegriff beim Ableiten,Dissertation, 2001 [Fil] Filler, Ableitungen von Funktionen, http : //didaktik.mathematik.hu berlin.de/index.php?article i d = 331, 2010
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