3 Grenzwerte, Stetigkeit und Beispiele reeller Funktionen

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1 3 Grenzwerte, Stetigkeit und Beispiele reeller Funktionen 3. Grundlegende Eigenschaften In den nächsten Kapiteln beschäftigen wir uns mit Funktionen f : D f W f, bei denen sowohl der Definitions- als auch der Wertebereich Teilmengen der reellen Zahlen sind (D f, W f R). Diese Funktionen nennen wir kurz reelle Funktionen. Bereits in Abschnitt.5 hatten wir uns mit dem Funktionsbegriff auseinandergesetzt. Alle dort bereits erarbeiteten Begriffe gelten natürlich auch für reelle Funktionen. Allerdings kann man bei reellen Funktionen auch viel speziellere Eigenschaften untersuchen. Erste Beiträge liefert dieser Abschnitt. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 5 Maximaler Definitionsbereich Eine erste Konvention treffen wir bezüglich der Notation: Ist zu einer reellen Funktion f lediglich die Bildungsvorschrift x f(x) angegeben, so wählen wir den Definitionsbereich D f R so groß wie möglich. Die so gewählte Menge D f heißt maximaler Definitionsbereich von f. Man identifiziere die maximalen Definitionsbereiche zu f(x) = 4 x, g(x) = x 7 und h(x) = 2x 3 sin x (x 2 )(x 4). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 52 Monotonie Da Funktionswerte reeller Funktionen vergleichbar sind, lässt sich für reelle Funktionen Monotonie definieren: Definition 3. (monotone Funktion). Eine reelle Funktion f : D f R heißt auf einem Intervall I D f (streng) monoton wachsend, wenn für alle x, y I mit x < y stets f(x) f(y) (bzw. f(x) < f(y)) gilt, (streng) monoton fallend, wenn für alle x, y I mit x < y stets f(x) f(y) (bzw. f(x) > f(y)) gilt, (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 53

2 Graphische Darstellung Die graphische Darstellung reeller Funktionen erfolgt in der x-y-ebene (Graph(f) ist eine Teilmenge von R 2 ). Beispiele: f g I = D f I = D g f ist auf D f streng monoton wachsend und g auf D g monoton fallend (allerdings nicht streng). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 54 Umkehrfunktion Ist die reelle Funktion f : D f W f bijektiv, dann existiert die Umkehrfunktion (auch inverse Funktion) von f: Offenbar gilt f : W f D f, f (y) = x : y = f(x). (x, y) Graph(f) (y, x) Graph(f ), weshalb der Graph von f aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden y = x hervorgeht. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 55 Beispiele: Graphen von f : [, ) [, ), f(x) = x 2 und h : (, ) (, ), h(x) = x sowie der entsprechenden Umkehrfunktionen: f(x)=x 2.5 h(x)=/x 2 g(x)=x / Warum ist im Bild rechts nur ein Graph zu sehen? Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 56

3 Satz 3.2 (Monotonie und Umkehrfunktion). Ist f : I R streng monoton auf dem Intervall I, so ist f : I f(i) bijektiv. Die Umkehrfunktion f ist streng monoton wachsend (fallend), wenn f streng monoton wachsend (fallend) ist. Nach Satz 3.2 besitzt f(x) = x 3 auf ganz R eine Umkehrfunktion. Wie lautet diese? Zeichnen Sie die Graphen beider Funktionen. Anmerkung: Die Umkehrfunktion in der Situation von Satz 3.2 ist sogar stetig (Stetigkeitsbegriff folgt demnächst). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 57 Operationen mit Funktionen Mit den gewohnten Rechenoperationen in R sind folgende punktweisen Konstruktionen möglich: Definition 3.3. Es seien f, g : D R reelle Funktionen und α R. Wir definieren neue Funktionen αf : D R, (αf)(x) := αf(x), f ± g : D R, (f ± g)(x) := f(x) ± g(x), fg : D R, (fg)(x) := f(x)g(x), f/g : D R, (f/g)(x) := f(x)/g(x) mit D = {x D : g(x) }. Achtung: f und f sind nicht dasselbe. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 58 Definition 3.4. Sind f : D f R und g : D g R mit W f D g, dann definieren wir die Komposition oder Verkettung von f mit g durch g f : D f R, (g f)(x) := g(f(x)) ( g nach f ). Symbolische Skizze: x Df f f(x) Wf g g(f(x)) g(wf) Dg Wg g f Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 59

4 Achtung: Im allgemeinen ist g f f g. Beispiel: Für f(x) = x 2 und g(x) = sin x ist (f g)(x) = f(g(x)) = (sin x) 2 =: sin 2 x (Bild links), (g f)(x) = g(f(x)) = sin(x 2 ) (Bild rechts). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 6 Weiteres Beispiel Der Übergang von x f(x) nach x f(x) + c bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen um c. Der Übergang von x f(x) nach x f(x c) bewirkt eine horizontale Verschiebung des Graphen um c. 2.5 y=f(x)+c y=f(x) y=f(x c) y=f(x) Formulieren Sie die beiden neu entstandenen Funktionen als Kompositionen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 6 Beschränkte Funktionen Definition 3.5. Eine reelle Funktion f : D f R heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn ihr Wertebereich W f R nach oben (unten) beschränkt ist. Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Für beschränkte Funktionen existiert also eine Konstante c >, so dass f(x) c für alle x D f. Sind die Funktionen f (x) = x 2, f 2 (x) = (x 2) 3, f 3 (x) = x und f 4 (x) = sin(2x) (nach oben/unten) beschränkt? Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 62

5 Gerade und ungerade Funktionen Definition 3.6. Eine reelle Funktion f : D f R, für die mit jedem x D f auch x D f gilt, heißt gerade, wenn f(x) = f( x) für alle x D f, ungerade, wenn f(x) = f( x) für alle x D f. Graphisch äußern sich die Eigenschaften als Spiegelsymmetrie bzgl. der y-achse (gerade Funktionen), Punktsymmetrie am Ursprung (ungerade Funktionen). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 63 Beispiele: f(x) = x ist gerade (Bild links), g(x) = sin x ist ungerade (Bild rechts). Sind die folgenden Funktionen gerade/ungerade? f (x) = cos x, f 2 (x) = x 5, f 3 (x) = x 3 +, f 4 (x) = x 2. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 64 Periodische Funktionen Definition 3.7. Eine reelle Funktion f : D f W f heißt periodisch, wenn es eine Zahl a > gibt ( Periode ), so dass mit jedem x D f auch x + a D f gilt, und f(x + a) = f(x) für x D f. () Aus () folgt sofort, dass auch f(x + na) = f(x) für alle x D f, n N, gilt. Mit a ist also gleichzeitig auch na Periode. Im Falle der Existenz gibt man daher häufig die kleinste Periode a > an, um das Verhalten der Funktion f möglichst gut zu beschreiben ( primitive Periode ). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 65

6 Graphische Darstellung: Funktion mit primitiver Periode P Bild: Oleg Alexandrov, Wikimedia Commons Sind folgende Funktionen periodisch? Wenn ja, geben Sie eine Periode, wenn möglich die primitive Periode, an. f (x) = cos(2x), f 2 (x) = x, f 3 (x) = sin x + cos x, f 4 (x) = 42. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg Grenzwerte reeller Funktionen Betrachten wir folgende drei Funktionen: f (x) = x 2, f 2(x) = sin( ) (x ), f3(x) = (x ). x x Die Funktionen zeigen bei Annäherung der x-werte an den Nullpunkt völlig verschiedenes Verhalten. Wir wollen ein mathematisches Instrument entwickeln, dies näher zu beschreiben. Vorbereitend erarbeiten wir den Begriff des Häufungspunkts. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 67 Häufungspunkte Definition 3.8. Eine Zahl ξ R heißt Häufungspunkt der Menge M R, wenn es eine Folge (x n ) mit Gliedern aus M gibt mit x n ξ für n und x n ξ für alle n N. Einem Häufungspunkt kann man sich also innerhalb der Menge M beliebig weit nähern, ohne ihn selbst zu erreichen. Ein Häufungspunkt kann selbst zur Menge gehören, muss es aber nicht. ξ 2 M ξ Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 68

7 Beispiele Die für uns relevanten Beispiele für M sind vor allem Intervalle. Die Menge der Häufungspunkte des offenen Intervalls (a, b) ist zum Beispiel das abgeschlossene Intervall [a, b] (vgl. Skizze S. 68) Man bestimme die Häufungspunkte der Mengen M = (, 42), M 2 = [a, b) und M 3 = { n n N} R. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 69 Isolierte Punkte Definition 3.9. Eine Zahl x M heißt isolierter Punkt der Menge M R, wenn es ein ε > gibt, so dass (x ε, x + ε) M = {x} gilt. x M x 2 Isolierte Punkte gehören also selbst zur Menge, haben aber zum Rest derselben einen positiven Abstand. Jeder Punkt y M(!) ist entweder Häufungspunkt oder isolierter Punkt von M. Man bestimme, falls vorhanden, die isolierten Punkte der Mengen M = (a, b), M 2 = { n n N} R, N R und Q R. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 7 Grenzwertbegriff Nun können wir das Verhalten einer Funktion bei Annäherung an einen Häufungspunkt des Definitionsbereichs näher beschreiben. Definition 3. (Grenzwert einer Funktion). Sei f : D f R eine reelle Funktion und ξ R Häufungspunkt des Definitionsbereichs D f. Die Zahl a heißt Grenzwert von f für x gegen ξ, wenn für alle Folgen (x n ) D f mit gilt: x n ξ für n und x n ξ für alle n N (2) f(x n ) a für n. Schreibweise: lim f(x) = a oder f(x) a für x ξ. x ξ Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 7

8 Skizze zur Definition: f(ξ) a (f(x n)) f a = lim x ξ f(x) (x n) ξ Ergänzung: Definition 3. lässt sich problemlos auf die Fälle x ± und a = ± erweitern. In letzterem Fall sprechen wir von bestimmter Divergenz. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 72 Beispiele lim x 2 x2 = 4, denn für jede Folge (x n ) mit x n 2 gilt x 2 n 4. lim = +, denn für alle Folgen (x x x 2 n ) mit x n und x n (n N) gilt x 2 n > und x 2 n, d. h.. x 2 n Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 73 lim sin( x x ), existiert nicht. Beispielsweise gelten für x n = (n+ 2 )π die Beziehungen x n und sin( x n ) = sin ( (n + 2 )π) = ( ) n. Achtung: Das heißt nicht, dass keine konvergenten Folgen von Funktionswerten im Kontext von Definition 3. existieren. Für x n = nπ gelten z. B. x n und sin( x n ) = sin nπ =. Es reicht jedoch ein Gegenbeispiel, um die Konvergenz von f für x auszuschließen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 74

9 Weitere Beispiele Existieren folgende Grenzwerte? Wenn ja, bestimmen Sie sie. lim x (x3 + 2x 2 + ), lim x 2 lim x x, x 2 4, lim x lim 2 x x+. x x 2 4, Man skizziere die entsprechenden Funktionsgraphen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 75 Einseitige Grenzwerte Lässt man in Definition 3. in (2) nur Folgen mit x n > ξ (bzw. x n < ξ) zu, so entsteht ein rechtsseitiger (linksseitiger) Grenzwert. Schreibweise: Für den rechtsseitigen Grenzwert: lim f(x) = a oder f(x) a für x ξ +. x ξ+ bzw. für den linksseitigen Grenzwert: lim f(x) = a oder f(x) a für x ξ. x ξ Dabei ist vorauszusetzen, dass ξ Häufungspunkt von D f (ξ, ) (bzw. D f (, ξ)) ist. Man muss sich dem Punkt ξ also von rechts (links) aus D f heraus nähern können. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 76 Einseitige Grenzwerte sind damit gerade die Grenzwerte der auf D f (ξ, ) bzw. D f (, ξ) eingeschränkten Funktion f. a f a = lim x ξ+ f(x) b f b = lim x ξ f(x) ξ ξ Bei der Untersuchung auf einseitige Grenzwerte lässt man folglich jeweils den im grau schraffierten Teil liegenden Teil der Funktion unbeachtet. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 77

10 Beispiele lim x + x = +, denn für jede Folge (x n) mit x n mit x n > (n N) gilt x n +, lim x x =, denn für jede Folge (x n) mit x n mit x n < (n N) gilt x n, lim x 2+ x2 = lim x 2 x2 = lim x 2 = 4. x 2 Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 78 Weitere Beispiele Existieren die folgenden einseitigen Grenzwerte? Wenn ja, wie lauten sie? lim x + x, lim x, x + lim sgn(x), x + lim x, x lim sgn(x). x Dabei bezeichnet sgn : R R die Signum- oder Vorzeichenfunktion:, für x < ; sgn(x) :=, für x = ;, für x >. Skizzieren Sie wieder die Funktionsgraphen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 79 Zwischen dem Grenzwert und seinen einseitigen Versionen gilt folgende Beziehung: Satz 3.. Sei f : D f R und ξ ein Häufungspunkt sowohl von D f (ξ, ) als auch von D f (, ξ). Dann gilt: Der Grenzwert lim f(x) existiert genau dann, wenn die beiden x ξ Grenzwerte lim f(x) und lim f(x) existieren und übereinstimmen. x ξ+ x ξ Existiert lim x x, und was ergibt sich ggf. für ein Wert? Verwenden Sie Satz 3. und die Ergebnisse aus dem Beispiel von S. 79. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 8

11 Rechnen mit Grenzwerten Da Grenzwerte von Funktionen auf Grenzwerte von Folgen zurückführen, übertragen sich die Grenzwertsätze aus Abschnitt 2.2. Satz 3.2 (Grenzwertsätze für reelle Funktionen). Unter Voraussetzung der Existenz der betreffenden Grenzwerte gelten jeweils für x ξ die Regeln: lim(cf)(x) = c lim f(x) für alle c R, lim(f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x), lim(f g)(x) = (lim f(x)) (lim g(x)) lim( f lim f(x) g )(x) = lim g(x), falls lim g(x), f g lim f(x) lim g(x). Hierbei ist auch ξ = ± erlaubt. Für einseitige Grenzwerte gelten die Regeln analog. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 8 Mit den auf Seite 6 getroffenen Definitionen ( + =, = etc.) gelten die Aussagen von Satz 3.2 auch für den Fall bestimmter Divergenz. Wie schon bei den Folgen muss aber darauf geachtet werden, dass keine unbestimmten Ausdrücke wie auftreten. Bestimmen Sie (falls existent) folgende Grenzwerte: lim x 2 (x3 + x), lim (2x + x x ), lim (cos(πx) + x2 x x+ ), lim (x sin x x ), Den Grenzwert für den Kosinusterm behandeln wir im Abschnitt Stetigkeit. Entnehmen Sie ihn vorerst der graphischen Darstellung. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 82 Sprungstellen Definition 3.3. Existieren zu einer reellen Funktion die beiden Grenzwerte lim x ξ+ f(x) und lim f(x), und sind sie endlich aber verschieden, so nennt man x ξ ξ eine Sprungstelle von f. f ξ Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 83

12 Ein bemerkenswertes Ergebnis gilt nun für monotone Funktionen: Satz 3.4. Seien I = (a, b) ein Intervall, f : I R monoton auf I und ξ I. Dann existieren lim x ξ f(x) und lim x ξ+ f(x) und es gelten < lim f(x) f(ξ) lim f(x) <, x ξ x ξ+ wenn f monoton wachsend ist, und > lim f(x) f(ξ) lim f(x) >, x ξ x ξ+ wenn f monoton fallend ist. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 84 Unendlichkeitsstellen Gilt für eine reelle Funktion f mindestens eine der Beziehungen lim f(x) = ± oder lim f(x) ±, so nennt man ξ eine x ξ+ x ξ Unendlichkeitsstelle von f. Vor allem bei rationalen Funktionen f(x) = p(x) q(x), wobei p und q Polynome sind, spricht man auch von Polstellen. f(x) = x (links) g(x) = (rechts) x 2 Achtung: Der Sprachgebrauch in der Literatur ist, was Unendlichkeitsund Polstellen betrifft, nicht einheitlich. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg Stetigkeit In vielen naturwissenschaftlichen Modellen führen kleine Änderungen an den Daten (z. B. durch Rundungs-/Messfehler) auch nur zu kleinen Änderungen in den Ergebnissen nach Anwendung des Modells. Mathematisch wird dieser Zusammenhang durch das Konzept der Stetigkeit erfasst. Dieses geht auf Augustin Louis Cauchy ( ) und Bernard Bolzano (78-848) zurück und wurde später von Karl Weierstraß (85-897) präzisiert (v.l.n.r.). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 86

13 Definition 3.5 (Stetigkeit). Eine reelle Funktion f : D f R heißt stetig an der Stelle ξ D f, wenn für alle Folgen (x n ) D f mit x n ξ die Folge der zugehörigen Funktionswerte konvergiert mit f(x n ) f(ξ). f heißt stetig in M D f, wenn f an jeder Stelle ξ M stetig ist. Als Abgrenzung zum Grenzwertbegriff (Def. 3.) beachte man, dass hier ξ D f gelten muss, und auch Folgenglieder mit x n = ξ zugelassen sind. Beispiel Die Funktion f(x) = x 2 ist stetig an der Stelle ξ = 2, denn für jede Folge (x n ) mit x n 2 gilt: f(x n ) = x 2 n 4 = f(2). Die Funktion f(x) = x 2 ist sogar stetig auf ganz R, denn für beliebiges (festes) ξ R und jede Folge (x n ) mit x n ξ gilt: f(x n ) = x 2 n ξ 2 = f(ξ). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 87 Ein sorgfältiger Vergleich der Definitionen 3.5 und 3. liefert folgenden Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Grenzwert: Satz 3.6. Sei f : D f R eine reelle Funktion und ξ D f ein Häufungspunkt von D f. Dann gilt: f ist stetig in ξ lim x ξ f(x) = f(ξ). (3) Der Grenzwert von f für x ξ muss also mit dem Funktionswert an der Stelle ξ übereinstimmen. Anmerkung: In isolierten Punkten des Definitionsbereichs sind Funktionen dagegen immer stetig. Für die Praxis ist dies jedoch belanglos. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 88 In der Praxis verwendet man zum Testen auf Stetigkeit statt (3) auch häufig die Beziehung lim f(x) = f(ξ) = lim x ξ f(x) x ξ+ die durch Kombination von (3) mit Satz 3. entsteht. Man untersuche die Funktion f(x) = x auf Stetigkeit im Punkt ξ =. Was lässt sich über die Stetigkeit von f auf R sagen? Für welche Wahl des Parameters α R ist die folgende Funktion stetig? { + αx, für x < ; f(x) = x 2 + α 2, für x. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 89

14 ε-δ- Definition Häufig wird die Stetigkeit auch über eine zu Definition 3.5 äquivalente Aussage eingeführt: Satz 3.7 (ε-δ-version der Stetigkeit). Eine reelle Funktion f : D f R ist genau dann stetig in ξ D f, wenn zu jedem ε > ein δ > existiert, so dass x D f und x ξ < δ f(x) f(ξ) < ε. Für konkrete Rechnungen sind Definition 3.5 oder Satz 3.6 häufig bequemer (überzeugen Sie sich am Beispiel von S. 87 selbst). Allerdings vermittelt uns Satz 3.7 die bessere Vorstellung, was Stetigkeit bedeutet. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 9 Graphische und sprachliche Interpretation f(ξ) + ε f(ξ) f(ξ) ε f ξ δ ξ ξ + δ (Hinreichend) kleine Änderungen an den Argumenten führen zu (beliebig) kleinen Änderungen an den Funktionswerten. Die Funktionswerte lassen sich durch hinreichend feines Justieren der Argumente beliebig fein einstellen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 9 Eine weitere anschauliche Interpretation Der Graph einer auf einem Intervall stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve. (Achtung: Zusammenhang mathematisch zu definieren ist gar nicht so einfach!) Daher wird manchmal salopp geschrieben, dass man Funktionsgraphen stetiger Funktionen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Dies ist unmathematisch, unsauber (es gibt zusammenhängende Kurven, die man nicht zeichnen kann, vgl. Bild rechts), und erfasst auch nicht das gesamte Wesen der Stetigkeit. Trotzdem liefert es uns eine relativ gute Vorstellung. f(x) = { sin x. x sin( ), x ; g(x) = x, x =. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 92

15 Stetigkeit als Alltagserfahrung Lösen Sie sich einen kleinen Moment vom abstrakt-mathematischen Kontext. Welche Vorgänge/Abhängigkeiten von Messgrößen assoziieren Sie mit stetigen Funktionen und welche nicht? Höhe über dem Meeresspiegel beim Gehen vom Hörsaal Winklerstraße zum Freiberger Obermarkt, Höhe über dem Meeresspiegel beim Gehen über den Rand des Grand Canyons mit verbundenen Augen, Lautstärke beim Einschalten einer Stereoanlage, abhängig von der Voreinstellung des Lautstärkereglers, Geschmack von Pasta in Abhängigkeit von Kochdauer, Meeresspiegelhöhe und/oder verwendeter Menge Salz. Gehen Sie in allen Fällen von stufenlosen Bewertungen der Messungen aus (z. B. stufenlose Notenbewertung des Geschmacks) Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 93 Eigenschaften stetiger Funktionen Der folgende Satz ergibt sich durch Kombination der Grenzwertsätze für Funktionen (Satz 3.2) mit Definition 3.5. Satz 3.8. Sind f, g stetig in ξ, dann sind auch f + g, f g, f g stetig in ξ. Gilt g(ξ), dann ist auch f/g stetig in ξ. Ist f stetig in ξ und ist g stetig in f(ξ), so ist g f stetig in ξ. Beispiel: Die Funktionen f (x) = x 2, f 2 (x) = x und f 3 (x) = 42 sind auf R stetig. Daher sind beispielsweise auch g (x) = 42 x x 2, g 2 (x) = 42 x + x2 und g 3 (x) = x 6 stetig auf R. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 94 Stetigkeit der Umkehrfunktion und Zwischenwertsatz Satz 3.9. Sei f : I R eine stetige Funktion auf dem Intervall I, so ist f(i) ebenfalls ein Intervall. Ist f zudem streng monoton, so existiert die Umkehrfunktion f : f(i) I und ist ebenfalls stetig. Da das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion nach Satz 3.9 wieder ein Intervall ist, folgt: Satz 3.2 (Zwischenwertsatz). Ist f : [a, b] R stetig, dann gibt es zu jedem w, das zwischen f(a) und f(b) liegt, ein z [a, b] mit f(z) = w. Anders ausgedrückt: Eine stetige Funktion f : [a, b] R nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 95

16 Ein Spezialfall von Satz 3.2 ist: Folgerung 3.2 (Nullstellensatz). Ist f : [a, b] R stetig, und gilt f(a) > und f(b) < (bzw. f(a) < und f(b) > ), so hat f mindestens eine Nullstelle in (a, b). Visualisierungen f(b) f f(b) f w f(a) f(a) a b a z b Zwischenwertsatz Nullstellensatz Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 96 Exkurs: Intervallhalbierungsverfahren Sei f : [a, b] R stetig mit f(a)f(b) < (verschiedenes Vorzeichen). Nach dem Nullstellensatz gibt es in (a, b) eine Nullstelle z von f. Algorithmus: Setze a = a und b = b. Für n =, 2,... h = (a n + b n )/2. Ist f(h) =, so haben wir eine Nullstelle von f gefunden. Ist f(h)f(a n ) >, setze a n+ = h, b n+ = b n. Ist f(h)f(a n ) <, setze a n+ = a n, b n+ = h. Die entstehenden Folgen (a n ) und (b n ) konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert z, der eine Nullstelle von f ist. Überlegen Sie sich, warum das so ist. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 97 Beispiel Gesucht ist eine Lösung der Gleichung x = e x, d. h. eine Nullstelle von f(x) = x + e x. Eine Lösung durch Umstellen von f(x) = nach x ist für diese Funktion unmöglich. Wir verwenden das Intervallhalbierungsverfahren. Da f() = und f( ) = ist, können wir mit a = und b = starten. Natürlich wird man das Verfahren auf einem Rechner implementieren. Ergebnisse: n a n b n b n a n Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 98

17 Extremalwerte stetiger Funktionen Satz Ist f : [a, b] R stetig, dann gibt es ein x max [a, b] mit f(x max ) f(x) für alle x [a, b] ein x min [a, b] mit f(x min ) f(x) für alle x [a, b]. Anders ausgedrückt: Jede auf [a, b] stetige Funktion nimmt auf [a, b] Maximum und Minimum an. Vorsicht: Die Aussage wird falsch, wenn der Definitionsbereich von f nicht abgeschlossen oder unbeschränkt ist. An welchen Stellen nimmt die Funktion f : [ 2, 4] R, f(x) = x 2 Maximum und Minimum an? Wie ändert sich die Situation, wenn man f stattdessen auf ( 2, 4), ( 2, 4] oder [ 2, 4) betrachtet? Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 99 Unstetigkeitsstellen Eine Stelle ξ D f, an der eine Funktion f : D f R nicht stetig ist, heißt Unstetigkeitsstelle von f. Handelt es sich dagegen bei ξ um eine Definitionslücke, kann man lediglich über stetige Fortsetzbarkeit von f entscheiden. Beispiel: f : R \ {} R, f(x) = x, ist auf dem ganzen Definitionsbereich stetig, aber in nicht stetig fortsetzbar. { f : R R, f(x) = x, (x ); ist dagegen unstetig in und 42, (x = ). sonst stetig. Achtung: In der Literatur werden die Begriffe unstetig und nicht stetig fortsetzbar manchmal unschön vermengt. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 2 Typische Vertreter von Unstetigkeitsstellen Sprungstellen: u. a. Vorkommen bei Ein- und Ausschaltvorgängen oder Modellierung von Materialparametern an Materialgrenzen, Unendlichkeitsstellen/Pole: u. a. Vorkommen bei der Beschreibung von Kräften und deren Potentialen, bspw. bei Gravitations- und Coulomb-Kraft (F (r) = c r 2, V (r) = c 2 r ). (Dies sind jedoch keineswegs die einzigen Arten von Unstetigkeiten.) Regel: Tritt in einem mathematischen Modell eine Unstetigkeit (oder fehlende stetige Fortsetzbarkeit) auf, sollte sich auch der Anwender immer Gedanken über eventuelle Auswirkungen machen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 2

18 3.4 Elementare Funktionen Wir stellen mit diesem Abschnitt ein Standardrepertoire von Funktionen zur Verfügung, die in Mathematik und Naturwissenschaften häufig benötigt werden. Bei all diesen Beispielen handelt es sich um stetige Funktionen Polynome Eine Funktion der Form x f(x) = a + a x + a 2 x a n x n + a n x n, a, a,..., a n, a n R, a n, heißt ganzrational oder Polynom. Die Zahlen a i heißen Koeffizienten von f, die Zahl n heißt Grad von f. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 22 Lineare Funktionen Polynome vom Grad, f(x) = a + a x, heißen (affin) lineare Funktionen. Der Graph von f ist eine Gerade durch (, a ) mit Anstieg a. In Vorbereitung auf die Differentialrechnung bemerken wir: Zu gegebenem Punkt (x, f(x )) und Anstieg a erhält man die lineare Funktion f(x) = f(x ) + a (x x ). Durch zwei verschiedene gegebene Punkte (x, f(x )) und (x, f(x )) führt die lineare Funktion f(x) = f(x ) + f(x ) f(x ) x x (x x ). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 23 Quadratische Funktionen Polynome vom Grad 2, ( f(x) = a + a x + a 2 x 2 = a 2 x + a ) 2 ( ) + a a2, 2a 2 4a 2 heißen quadratische Funktionen. Sie besitzen als Graph eine Parabel mit Scheitel (x, y ), x = a 2a 2, y = a a2 4a 2, die für a 2 > nach oben und für a 2 < nach unten offen ist. Lineare und quadratische Funktionen wurden intensiv in Vorkurs und Schule behandelt. Schließen Sie evtl. Lücken selbständig. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 24

19 Nullstellen Nach dem Fundamentalsatz der Algebra (Sätze.26/29) existiert zu einem Polynom vom Grad n eine Faktorisierung k m f(x) = a n (x λ j ) µ ( j x 2 ) νj + p j x + q j, (4) j= wobei k j= µ j + 2 m j= ν j = n. Die quadratischen Faktoren besitzen keine reellen Nullstellen, und die Ausdrücke in den Klammern sind paarweise verschieden. Die Zahlen λ j sind gerade die Nullstellen von f. Die Zahl µ j heißt Vielfachheit der Nullstelle λ j. Jedes Polynom von ungeradem Grad besitzt somit mindestens eine Nullstelle. Ein Polynom vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. j= Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 25 Verhalten im Unendlichen Ist der Grad von f größer als, so gilt sowie lim f(x) = x lim f(x) = x {, falls an >,, falls a n <, falls n gerade und a n > oder falls n ungerade und a n <,, falls n ungerade und a n > oder falls n gerade und a n <. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg Rationale Funktionen Eine Funktion der Form f(x) = a + a x + + a m x m b + b x + + b n x n = p m(x) q n (x) (5) (mit a m, b n ) heißt (gebrochen) rationale Funktion. p m (x) = a + a x + + a m x m heißt Zählerpolynom von f, q n (x) = b + b x + + b n x n heißt Nennerpolynom von f. Rationale Funktionen sind bis auf die Nullstellen des Nennerpolynoms q n (Pole, Lücken) überall definiert. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 27

20 Null- und Polstellen Wir setzen im weiteren voraus, dass Zählerpolynom p und Nennerpolynom q keine gemeinsamen Nullstellen haben. Die Nullstellen von f stimmen dann mit den Nullstellen des Zählerpolynoms p überein. Ist x D f eine Nullstelle (mit Vielfachheit k) des Nennerpolynoms q, so heißt x Pol (k-ter Ordnung) von f. Es gilt Dabei hat f bei x lim f(x) =. x x einen Vorzeichenwechsel, wenn k ungerade ist, keinen Vorzeichenwechsel, wenn k gerade ist. ) Andernfalls kann man die betreffenden Linearfaktoren kürzen und füllt ggf. die Definitionslücke auf. Betrachte z. B. f(x) = x2 = (x )(x+) = x +. x x Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 28 Interpretieren Sie das folgende Schaubild der Funktion f(x) = 5x2 37x + 54 x 3 6x 2 + 9x = 5(x 2)(x 27/5) x(x 3) 2 im Hinblick auf die gewonnenen Erkenntnisse über Null- und Polstellen Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 29 Verhalten im Unendlichen Seien m der Grad des Zählerpolynoms p und n der Grad des Nennerpolynoms q. Dann gilt mit a m, b n aus (5): {, falls m < n, lim f(x) = lim f(x) = x x a m /b n, falls m = n. Falls m n, so gibt es Polynome s und t mit grad(s) = m n und grad(t) < n, so dass Insbesondere gilt für m > n, dass f(x) = p(x) t(x) = s(x) + q(x) q(x). (6) lim f(x) s(x) = lim f(x) s(x) =. x x Man sagt, s ist Asymptote von f für x ; die Graphen von f und s kommen sich im Unendlichen beliebig nahe. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 2

21 Interpretieren Sie das folgende Schaubild (blau) der Funktion f(x) = x3 x = 5x 5 5 x2 + x im Hinblick auf die Asymptotik im Unendlichen und an den Polen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 2 Exkurs: Polynomdivision/Euklidscher Algorithmus Die Polynome s und t in (6) können mit dem Euklidschen Algorithmus berechnet werden. Diesen lernt man am besten am Beispiel: Ergebnis: (3x 4 + 7x 3 + x 2 + 5x + ) : (x 2 + ) = 3x 2 + 7x 2 3x 4 + 3x 2 7x 3 2x 2 + 5x + 7x 3 + 7x 2x 2 2x + 2x 2 2 2x + 3 3x 4 + 7x 3 + x 2 + 5x + x 2 = (3x 2 + 7x 2) + 2x x 2 +. Allerdings sind in modernen Zeiten auch Computeralgebrasysteme (CAS) für solche Zwecke zuverlässige und empfehlenswerte Helfer. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg Wurzel- und Potenzfunktionen Für alle n N ist die Potenzfunktion f(x) = x n eine bijektive Abbildung von [, ) auf [, ). Ihre Umkehrfunktion heißt n-te Wurzel von x. Für n N definieren wir g : [, ) [, ), x n x = x /n, x n := x n (x ). Allgemeiner erhalten wir Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten über g : [, ) [, ), x n x m =: x m/n (m Z, n N). Wie man die Funktion x x r für beliebiges reelles r erklärt, werden wir im nächsten Abschnitt erfahren. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 23

22 Graphische Darstellung 4 x 3 3 x 2.5 x 2 2 x /2 x 2/5 x / Dargestellt sind einige Potenzfunktionen mit den zugehörigen Umkehrungen (jeweils gleiche Farbe). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg Exponential- und Logarithmusfunktionen Die Exponentialfunktion ist durch f : R R, x n= definiert und wird mit f(x) = e x oder f(x) = exp(x) bezeichnet. Wichtigste Eigenschaften: x n n! e x+y = e x e y, (e x ) y = e xy für alle x, y R, e x > für alle x R, f(x) = e x ist streng monoton wachsend auf R, lim x ex = und lim x ex =. Die Exponentialfunktion spielt eine zentrale Rolle in Wachstumsmodellen und bei der Lösung linearer Differentialgleichungen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 25 Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ln : (, ) R, x ln(x), heißt natürlicher Logarithmus oder Logarithmus zur Basis e. Wichtigste Eigenschaften: ln(e x ) = x (für x R) und e ln(x) = x (für x > ), ln(x) für x und ln(x) < für < x <, ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x y ) = y ln(x), x ln(x) ist streng monoton wachsend auf R, lim ln(x) =, lim x ln(x) =. x + Logarithmen werden häufig benutzt, wenn Beobachtungsgrößen über viele Größenordnungen variieren. (Schalldruckpegel, ph-wert, Richter-Skala, Leuchtstärke, Sternhelligkeiten,... ) Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 26

23 Beispiel: Hertzsprung-Russell-Diagramm Dargestellt ist der Logarithmus der Leuchtkraft über dem B-V- Farbindex. Unten: Farb- und Größenvergleich für Hauptreihensterne. Bilder: Richard Powell und Kieff, Wikimedia Commons Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 27 Graphische Darstellung von Exponentialfunktion (blau) und natürlichem Logarithmus (rot) Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 28 Potenzen mit reellem Exponenten Für a > und b R definieren wir nun Damit können wir die Potenzfunktion a r := e r ln(a). (7) f : (, ) R, x x r := e r ln(x), für beliebige reelle Exponenten r erklären. Desweiteren eröffnet sich die Möglichkeit, Funktionen vom Typ zu definieren. f(x) = a x (a > ) Machen Sie sich klar, dass Definition (7) für rationale r mit der bereits bekannten übereinstimmt. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 29

24 (Allgemeine) Exponentialfunktion Für a >, a, ist f : R (, ), x a x := e x ln(a), die allgemeine Exponentialfunktion oder Exponentialfunktion zu Basis a. Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergeben sich: a x+y = a x a y, (a x ) y = a xy, (ab) x = a x b x, a x >, x a x ist auf R streng monoton wachsend, falls a >, x a x ist auf R streng monoton fallend, falls < a <, lim x ax =, lim x ax = (wenn a > ), lim x ax =, lim x ax = (wenn < a < ). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 22 Logarithmen Die Umkehrfunktion von f(x) = a x heißt Logarithmus zur Basis a: log a : (, ) R, x log a (x), Für a = schreibt man oft lg(x), für a = e (siehe oben) ln(x) und für a = 2 auch ld(x). Es gelten log a (x) = ln(x)/ ln(a) (x > ), log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a (x y ) = y log a (x), x log a (x) ist streng monoton wachsend für a >, lim log x a(x) = für a >, lim log a(x) = für a >. x + Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 22 Graphische Darstellung 2 4 x e x 2 x log 4 (x) ln(x) log 2 (x) Dargestellt sind Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen mit den zugehörigen Umkehrungen (jeweils gleiche Farbe). Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 222

25 3.4.5 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen Bei der sauberen analytischen Definition der Sinus- und Kosinusfunktion geht der Mathematiker wie folgt vor: Erweitere den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf komplexe Zahlen: z n exp : C C, exp(z) = n! Definiere Sinus und Kosinus gemäß n= sin : R [, ], sin(x) = Im (e ix ), cos : R [, ], cos(x) = Re (e ix ). (8) Damit ergeben sich unmittelbar auch Reihendarstellungen zu Sinus und Kosinus, doch dazu später. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 223 Zeigt man nun noch, dass e iϕ für ϕ R in der auf S. 7 beschriebenen Weise auf dem Einheitskreis liegt (kein leichtes Unterfangen!), so erhält man die gewohnte Darstellung am Einheitskreis. sin ϕ e iϕ ϕ ϕ cos ϕ Für die meisten Zwecke ist diese Vorstellung ausreichend. Durch Skalieren erhält man die klassischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 224 Eigenschaften von Sinus und Kosinus sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2π-periodisch, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x π/2) und cos(x) = sin(x + π/2), d. h. die Graphen sind um π/2 gegeneinander verschoben, sin 2 (x) + cos 2 (x) = (Satz des Pythagoras), sin(x) = x = kπ mit k Z und cos(x) = x = (k +.5)π mit k Z, sin(x) ist auf [ π/2, π/2] streng monoton wachsend und cos(x) ist auf [, π] streng monoton fallend. Desweiteren gelten die in Abschnitt.6 (S. 77) kennengelernten Additionstheoreme und Mehrfachwinkelformeln. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 225

26 Markante Funktionswerte Es ist empfehlenswert, sich wenigstens einige Funktionswerte für Sinus und Kosinus einzuprägen: / π 6 /3 π 4 /45 π 3 /6 π 2 /9 sin x cos x Aufgrund von Periodizität, Symmetrien usw. kann man daraus auf eine Reihe weiterer Werte schließen. Zum Beispiel ist sin 2π 3 = sin π 3 = 3 2. Achten Sie bei Verwendung des Taschenrechners auf korrekte Einstellungen des Winkelmaßes. Wir verwenden sofern nicht anders gekennzeichnet immer Radiant. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 226 Graphische Darstellung Sinus 2π π π 2π Kosinus 2π π π 2π Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 227 Tangens und Kotangens Der Tangens von x ist definiert durch f : R \ {( k + ) } sin(x) 2 π : k Z R, x tan(x) := cos(x). Der Kotangens von x ist definiert durch f : R \ {kπ : k Z} R, Im Gebrauch ist vor allem der Tangens. Wichtige Eigenschaften: x cot(x) := cos(x) sin(x). tan und cot sind π-periodische Funktionen, tan( x) = tan(x) und cot( x) = cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade, tan ist auf ( π/2, π/2) streng monoton wachsend und cot ist auf (, π) streng monoton fallend. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 228

27 Graphische Darstellung Tangens Kotangens 4 2 cot(x) x sin(x) tan(x) 2 cos(x) 4 2π π π 2π Dargestellt sind die Graphen von Tangens und Kotangens sowie die graphische Interpretation am Einheitskreis. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 229 Arkusfunktionen Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt man Arkusfunktionen. Da die trigonometrischen Funktionen auf R nicht bijektiv sind, muss man Einschränkungen auf bestimmte Intervalle betrachten. Man schränkt Kosinus und Kotangens auf [, π] sowie Sinus und Tangens auf [ π 2, π 2 ] ein, und erhält die Umkehrfunktionen arcsin : [, ] [ π, ] π 2 2, y = arcsin(x) : x = sin y, y [ π, π ], 2 2 arccos : [, ] [, π], y = arccos(x) : x = cos y, y [, π], arctan : R [ π, ] π 2 2, y = arctan(x) : x = tan y, y [ π, π ], 2 2 arccot : R [, π], y = arccot(x) : x = cot y, y [, π]. mit Namen Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens und Arkuskotangens. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 23 Graphische Darstellung π π arccos arccot π/2 π/2 arcsin arctan π/2 π/ Graphen sämtlicher Arkusfunktionen. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 23

28 3.4.6 Hyperbel- und Areafunktionen Die Funktionen f : R R, x sinh(x) := ( e x e x), 2 f : R R, x cosh(x) := ( e x + e x), 2 f : R R, x tanh(x) := ex e x sinh(x) e x = + e x cosh(x) heißen Sinus hyperbolicus, Kosinus hyperbolicus und Tangens hyperbolicus. Ihre Umkehrfunktionen heißen Areasinus, Areakosinus und Areatangens. (cosh muss dafür auf [, ) eingeschränkt werden.) Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 232 Graphische Darstellung Bild: Wikimedia Commons, Geek3 Beachten Sie die sich aus den Definitionen ergebende Asymptotik. Hyperbelfunktionen werden mitunter bei der Lösung von Differentialgleichungen benötigt. U. a. kann ein durchhängendes Seil über den Kosinus hyperbolicus beschrieben werden. Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 233 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien): Begriffe wie Monotonie, Periodizität, gerade und ungerade Funktion sicher beherrschen und anwenden können, den Grenzwertbegriff für Funktionen tiefgreifend verstanden haben und für viele Funktionen bereits Grenzwerte berechnen können, den Begriff der Stetigkeit (beide Versionen) und seine mathematischen Konsequenzen tiefgreifend verstanden haben, Funktionen anhand von Definition 3.5 auf Stetigkeit untersuchen können, einen Überblick über elementare Funktionen gewonnen haben und mit den wichtigsten sicher umgehen können (Schwerpunkte: Polynome, Potenz- und Wurzelfunktionen, Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus, trigonometrische Funktionen). Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Sie wissen schon... Reelle Funktionen TU Bergakademie Freiberg 234