Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I + II

Transkript

1 Skriptum zur Vorlesung Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I + II Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago Universität Wien Fakultät für Physik Institut für Experimentalphysik Boltzmanngasse 5, 1090 Wien christoph.dellago@univie.ac.at

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3 Literatur Lehrbücher - George Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, San Diego (1985). - Siegfried Großmann, Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Teubner, Stuttgart (1974). - Sadri Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Springer- Verlag, New York (2000). - Helmuth Horvath, Rechenmethoden und ihre Anwendungen in Physik und Chemie, Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich (1977). - May-Britt Kallenrode, Rechenmethoden der Physik, Springer-Verlag, Berlin (2003). - Klaus Weltner, Mathematik für Physiker I und II, Springer-Verlag, Berlin (2001). - Helmut Fischer und Helmut Kaul, Mathematik für Physiker, Teubner, Stuttgart (1988). - Gerhard Berendt und Evelyn Weimar, Mathematik für Physiker, Physik-Verlag, Weinheim (1979). Formelsammlungen - Johann Rast (Heinrich Netz), Formeln der Mathematik, Carl Hanser Verlag, München, Wien (1983). - Hans-Jochen Bartsch, Taschenbuch Mathematischer Formeln, Fachbuchverlag Leipzig (2004). - Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main (2000). Web-Ressourcen

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5 Inhaltsverzeichnis I Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I 9 1 Funktionen Der Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Analytische Darstellung Funktionstafel (Wertetabelle) Graphische Darstellung Eigenschaften von Funktionen Definitionsbereich Nullstellen Gerade und ungerade Funktionen Monotonie Grenzwert Stetigkeit Singularitäten Neue Funktionen aus alten Verkettung von Funktionen Umkehrfunktion Wichtige Funktionen Lineare Funktionen Potenzfunktionen Exponentialfunktion Logarithmus Winkelfunktionen Arcusfunktionen Hyperbolische Funktionen Areafunktionen Vektoren Grundlagen Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vektoralgebra Gleiche, inverse und parallele Vektoren Vektoraddition und -subtraktion Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Skalarprodukt Definition Rechenregeln Komponentenweise Darstellung Anwendungen

6 6 INHALTSVERZEICHNIS 2.5 Vektorprodukt Definition Rechenregeln Komponentenweise Darstellung Anwendungen Spatprodukt Definition Komponentenweise Darstellung Rechenregeln und Anwendung Mehrfachprodukte Anwendungsbeispiele für Vektoren Strömung durch eine Fläche Rotation eines Körpers Volumen einer Einheitszelle Differentiation Grundbegriffe Differenzierbarkeit Wichtige Ableitungen Differentiationsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Umkehrregel Höhere Ableitungen Maxima und Minima von Funktionen Differentiation von Funktionen in Parameterform Differentiation von Vektoren Partielle Differentiation Funktionen mehrerer Variabler Partielle Ableitung Anstieg einer impliziten Funktion Integration Das unbestimmte Integral Wichtige unbestimmte Integrale Das bestimmte Integral Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Rechenregeln für das bestimmte Integral Grundregeln des Integrierens Faktorregel Summenregel Substitutionsmethode Partielle Integration Rotationskörper Berechnung von Bogenlängen Mittelwerte von Funktionen Doppelintegrale Definition Berechnung von Doppelintegralen Doppelintegrale in Polarkoordinaten Dreifachintegrale Definition Berechnung von Dreifachintegralen

7 INHALTSVERZEICHNIS Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten Integration von vektorwertigen Funktionen II Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden II Komplexe Zahlen Definition und Darstellung Rechenregeln für komplexe Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl Komplex konjugierte Zahl Multiplikation Division Die Exponentialform von komplexen Zahlen Eulersche Formel Polardarstellung von komplexen Zahlen Umkehrung der Eulerschen Formel Additionstheoreme für Winkelfunktionen Komplexe Zahlen als Exponenten Potenzieren und komplexe Wurzeln Darstellung von Kurven mit komplexen Zahlen Fehlerrechnung Systematische und statistische Fehler Mittelwert und Varianz Verteilungen und Histogramme Grundlagen Momente einer Verteilung, Erwartungswert x und s 2 als Schätzer für µ und σ Fehler des Mittelwerts Die Gaußsche Normalverteilung Verteilung diskreter Größen Poissonverteilung Fehlerfortpflanzung Fortpflanzung von Maximalfehlern Fortpflanzung statistischer Kennwerte Ausgleichsrechnung (Fitten) Differentiation von Feldern: grad, div und rot Felder Skalarfelder Vektorfelder Gradient Definition Eigenschaften Richtungsableitung Rechenregeln Divergenz Definition Anschauliche Interpretation als lokale Quellstärke Rechenregeln Laplace-Operator Rotation Definition Anschauliche Interpretation als lokale Wirbelstärke

8 8 INHALTSVERZEICHNIS Rechenregeln Wirbelfreie und quellenfreie Felder Zusammenfassung Nabla-Operator Integration von Feldern: Kurven- und Flächenintegrale Kurvenintegrale Definition Eigenschaften Berechnungsverfahren Kurvenintegrale über Gradientenfelder Oberflächenintegrale Definition Darstellung der Fläche und des Flächenelements Das Flächenelement Berechnung des Oberflächenintegrals Der Integralsatz von Gauß Integraldarstellung der Divergenz Formulierung und Herleitung Partielle Integration mit Hilfe des Gaußschen Satzes Die Sätze von Green Der Integralsatz von Stokes Integraldarstellung der Rotation Formulierung und Herleitung Bedeutung Das Vektorpotential Differentialgleichungen Grundbegriffe Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen Homogene lineare Differentialgleichung Inhomogene lineare Differentialgleichung Differentialgleichungen zweiter Ordnung Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Der harmonische Oszillator Die gedämpfte Schwingung Die inhomogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die Taylorreihe Folgen und Reihen Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe Allgemeine Taylorentwicklung Abgebrochene Taylorreihenentwicklung Fehlerabschätzung

9 Teil I Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I 9

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11 Kapitel 1 Funktionen 1.1 Der Funktionsbegriff In der Physik (und in den Naturwissenschaften im Allgemeinen) arbeiten wir mit Größen, die entweder konstant sind (d.h. sie nehmen wie die Lichtgeschwindigkeit oder die Erdbeschleunigung nur bestimmte, fixe Werte an) oder eine ganze Fülle von Werten annehmen können. Wir unterscheiden deshalb zwischen Konstanten und Variablen (z.b. verstrichene Zeit, Länge eines Objekts, Position eines Objekts, Temperatur eines gewissen Materials, Druck eines Gases, etc.). Um physikalische Zusammenhänge zu verstehen, betrachten wir oft eine Variable in Abhängigkeit einer anderen Variablen. So könnten wir zum Beispiel daran interessiert sein, wie sich der Druck p eines in einem bestimmten Volumen V eingeschlossenen Gases verhält, wenn dessen Temperatur T verändert wird. Für jede Temperatur T herrscht im Gas ein bestimmter Druck p. In anderen Worten: der Druck p ändert sich mit der Temperatur T. Zur Beschreibung solcher Zusammenhänge zwischen Variablen benutzen wir Funktionen. Definition: Eine Funktion f(x) ordnet jedem Element x des Definitionsbereichs D eindeutig ein Element y des Wertebereichs W zu (siehe Abb. 1.1). Abbildung 1.1: Die Funktion f(x) mit Definitionsbereich D und Wertebereich W. Wir sagen dann, dass wir y als Funktion von x betrachten. In unserem Beispiel mit dem Gas betrachten wir etwa den Druck p als Funktion der Temperatur T und schreiben p(t). Wichtig ist hier, dass die Zuordnung eindeutig ist. Das heißt, dass jedem Wert x genau ein Wert y zugeordnet wird (sonst ist f(x) keine Funktion) (siehe Abb. 1.2). Es ist also nicht erlaubt, einem Element des Definitionsbereichs zwei oder mehr Elemente des Wertebereichs zuzuordnen. Hingegen darf sehr wohl ein Element des Wertebereichs mehreren Werten des Definitionsbereichs angehören. Auch muss nicht jedes Element des Wertebereichs vom Definitionsbereich aus erreicht werden. Die Wurzelfunktion f(x) = ± x ist daher beispielsweise keine echte Funktion, da sowohl der negative als auch der positive Wert der Wurzel zulässig sind. Betrachtet man hingegen nur den positiven oder den negativen Zweig der Wurzelfunktion, sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt. Die Funktion f(x) ist also eine Zuordnungsvorschrift. Dabei wird x als unabhängige Variable 11

12 12 1 Funktionen Abbildung 1.2: Nur eine eindeutige Zuordnung ist eine Funktion. oder Argument (auch Stelle) bezeichnet und y als abhängige Variable oder Funktionswert. Man kann die Zuordnung auch schreiben als x f y oder f : x y. (1.1) Dies bedeutet, dass die Funktion f dem Wert x einen Wert y zuordnet. Diese Notation werden Sie jedoch kaum in Physikbüchern finden. Oft wird in der Physik auch der Definitionsbereich nicht explizit erwähnt. Dieser ergibt sich meistens aus dem Zusammenhang. Funktionen werden auch Abbildungen genannt und man sagt x wird auf y abgebildet. Die Notation f(x) für eine Funktion ist eigentlich ungenau, denn genau genommen bezeichnet f(x) den Funktionswert an der Stelle x und nicht die Zuordnungsvorschrift. Diese Schreibweise ist jedoch sehr praktisch und wird daher in der Physik gerne benutzt. 1.2 Darstellung von Funktionen Funktionen lassen sich auf verschiedene Weisen darstellen, wie wir im Folgenden besprechen werden Analytische Darstellung In der analytischen Darstellung wird die Zuordnungsvorschrift als Gleichung (Funktionsgleichung) in einer von drei Formen angegeben: Explizite Darstellung: y = f(x) Die Funktion ist nach einer Variablen aufgelöst und der Wert y kann für ein bestimmtes Argument x sofort berechnet werden, zum Beispiel y = x 2. In diesem Fall haben wir eine Rechenvorschrift, mit der wir f(x) direkt aus x ermitteln können. Implizite Darstellung: F(x, y) = 0 Die Funktion ist nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Ein Beispiel ist die Gleichung eines Kreises mit Radius 1 um den Ursprung: x 2 +y 2 1 = 0. In vielen Fällen ist es möglich, die implizite Darstellung in eine explizite zu verwandeln, zum Beispiel (x 2 + y 2 1 = 0) y 1 = 1 x 2 und y 2 = 1 x 2. Diese Verwandlung von impliziter zu expliziter Form ist jedoch nicht immer möglich. Parameterdarstellung: Bei dieser Form der Darstellung werden beide Variablen (sowohl das Argument als auch der Funktionswert) als Funktion einer Hilfsvariablen t ausgedrückt: x = x(t), (1.2) y = y(t). (1.3)

13 1 Funktionen 13 Abbildung 1.3: Wurfparabel für horizontale Anfangsgeschwindigkeit. Die Hilfsvariable, hier t, wird auch als Parameter bezeichnet. Betrachten wir zum Beispiel die Bahnkurve eines im Erdschwerefeld in horizontaler Richtung geworfenen Objekts (siehe Abb. 1.3). Dabei können wir versuchen, die vertikale Lage y als Funktion der horizontalen Entfernung x anzugeben, also y = f(x). In diesem Fall ist es jedoch einfacher, zunächst sowohl x als auch y als Funktion der Zeit t auszudrücken. Unter Vernachlässigung der Reibung gilt: x = v 0 t, (1.4) y = g 2 t2. (1.5) Die Gleichungen (1.4) und (1.5) sind die Parameterdarstellung der in Abb. 1.3 abgebildeten Wurfparabel. Dabei ist v 0 die Anfangsgeschwindigkeit in x-richtung und g die Erdbeschleunigung. Der Anfangspunkt liegt im Ursprung: x(0) = 0 und y(0) = 0. Durch die obige Vorschrift erhalten wir für jedes t ein Paar (x(t), y(t)). Durch Auflösen der ersten Gleichung nach t und Einsetzen in die zweite Gleichung erhalten wir die explizite Form der Wurfparabel: y = g ( ) 2 x = g 2 v 0 2v0 2 x 2. (1.6) Funktionstafel (Wertetabelle) Hier werden Paare von unabhängigen und abhängigen Variablen in tabellarischer Form dargestellt, zum Beispiel: x y (Diese Daten ergeben sich für das obige Beispiel im Falle g/2v 2 0 = 1.) Die tabellarische Darstellung wird häufig für empirisch bestimmte Messdaten verwendet oder wenn es auf den genauen Zahlenwert ankommt Graphische Darstellung Funktionen lassen sich in der graphischen Darstellungsart besonders gut veranschaulichen. Dabei werden die Wertepaare der Funktion in einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem als Funktionsgraph dargestellt (siehe Abb. 1.4). Üblicherweise wird auf der horizontalen Achse der x-wert und auf der vertikalen Achse der y-wert aufgetragen. Die x-achse wird auch Abszisse und die y-achse Ordinate genannt.

14 14 1 Funktionen Abbildung 1.4: Graph einer Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem. 1.3 Eigenschaften von Funktionen In diesem Abschnitt fassen wir einige wichtige Eigenschaften von Funktionen zusammen Definitionsbereich Der Definitionsbereich besteht aus der Menge aller Argumente, für welche die Funktion definiert ist. In dieser Vorlesung werden wir vor allem verschiedene Intervalle der reellen Zahlen R als Definitionsbereich betrachten. Dabei unterscheiden wir offene Intervalle (a, b) = {x R a < x < b}, (1.7) welche die Endpunkte a und b nicht enthalten, und geschlossene Intervalle [a, b] = {x R a x b}, (1.8) welche die Endpunkte a und b enthalten. Oft können Funktionen nur für einen recht eingeschränkten Definitionsbereich definiert werden. Zum Beispiel kann bei der Funktion y = 1 x 2 das Argument nur Werte im Intervall 1 x 1 annehmen. Für reelle Werte außerhalb dieses Bereichs ist das Argument der Wurzel negativ und der Funktionswert somit nicht reell. Falls wir nur reelle Funktionswerte betrachten wollen, müssen wir den Definitionsbereich auf x 1 einschränken (Grenzen mit eingeschlossen).wir schreiben dafür auch x [ 1, 1]. Oft schließen wir auch einzelne Punkte aus dem Definitionsbereich aus. Zum Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/x für den Definitionsbereich R\{0} (das sind die reellen Zahlen ohne die Null) definiert Nullstellen Eine Funktion y = f(x) besitzt an der Stelle x 0 eine Nullstelle, falls f(x 0 ) = 0. Zum Beispiel besitzt die Funktion f(x) = x 2 1 an den Stellen x 1 = 1 und x 2 = 1 Nullstellen Gerade und ungerade Funktionen Eine Funktion mit symmetrischem Definitionsbereich heißt gerade (siehe Abb. 1.5), falls gilt f(x) = f( x). (1.9)

15 1 Funktionen 15 Eine Funktion heißt ungerade (siehe Abb. 1.6), falls f(x) = f( x). (1.10) Anschaulich ist eine gerade Funktion spiegelsymmetrisch (achsensymmetrisch) zur y-achse; eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Abbildung 1.5: Gerade Funktionen. Abbildung 1.6: Ungerade Funktionen Monotonie Es seien x 1 und x 2 zwei beliebige Werte aus dem Definitionsbereich (x 1, x 2 D) einer Funktion f(x), die der Bedingung x 1 < x 2 genügen. Dann heißt die Funktion: monoton wachsend, falls f(x 1 ) f(x 2 ), streng monoton wachsend, falls f(x 1 ) < f(x 2 ), monoton fallend, falls f(x 1 ) f(x 2 ), streng monoton fallend, falls f(x 1 ) > f(x 2 ). Abbildung 1.7: Monotonieeigenschaften von Funktionen Grenzwert Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x 0 definiert. Gilt dann für jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen x 0 konvergente Zahlenfolge {x n } mit x n x 0 lim f(x n) = g, (1.11) n

16 16 1 Funktionen so heißt g der Grenzwert von y = f(x) an der Stelle x 0 : lim f(x) = g. (1.12) x x 0 Eine Folge ist dabei eine Abbildung mit den natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3,...} als Definitionsbereich. (Für die genaue Definition einer Folge siehe Kapitel 10.) Ein Beispiel einer Folge ist 1, 1/2, 1/3, 1/4,.... Diese Folge nähert sich dem Wert 0. Damit der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x 0 existiert, darf es also nicht darauf ankommen, auf welche Weise man sich dem Punkt x 0 nähert. Abbildung 1.8: An der Stelle x 1 besitzt die Funktion einen Grenzwert, an der Stelle x 2 nicht. Beispiel: Gesucht ist lim x Wir dividieren zunächst Zähler und Nenner durch x 2 : lim x x 2 x 2 + x + 1 = lim x Da sowohl 1/x als 1/x 2 für x gegen 0 gehen, erhalten wir: lim x x 2 x 2 + x + 1. (1.13) /x + 1/x2. (1.14) x 2 x 2 = 1. (1.15) + x Stetigkeit Abbildung 1.9: Diese Funktion hat an der Stelle x 0 eine Unstetigkeitsstelle.

17 1 Funktionen 17 Eine in x 0 und in einer gewissen Umgebung von x 0 definierte Funktion y = f(x) heißt an der Stelle x 0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt: lim f(x) = f(x 0 ). (1.16) x x 0 Anschaulich kann man Stetigkeit folgendermaßen verstehen: Zeichnet man einen Graphen, kann es vorkommen, dass die Funktion einen Sprung aufweist (die in Abb. 1.9 dargestellte Funktion etwa hat bei x 0 einen Sprung). In der Nähe von x 0 kann man x-werte finden, die sich nur wenig voneinander unterscheiden (z.b. ein Punkt knapp links und ein Punkt knapp rechts von x 0 ), deren y-werte sich aber um einen großen Betrag voneinander unterscheiden. Nähert man sich x 0 von links (ohne x 0 genau zu erreichen), erhält man einen anderen Funktionswert, als wenn man das von rechts tut, d.h. lim x x0 f(x) lim x x 0 + f(x). An der Stelle x 0 ist die Funktion nicht stetig. Eine Unstetigkeitsstelle dieser Art bezeichnet man auch als Sprungstelle. Beispiel: Die Funktion { f(x) = x x = sign x = +1 falls x > 0 1 falls x < 0 (1.17) hat an der Stelle x = 0 eine Unstetigkeitsstelle (siehe Abb. 1.10). Abbildung 1.10: Die Funktion f(x) = x /x = sign x. Knickstellen, bei denen sich die Steigung einer Funktion unstetig ändert, können auch in stetigen Funktionen auftreten. Beispiel: Die Funktion x 1 x y = 1 x < 1 (1.18) hat Knickstellen bei x = 1 und x = 0, ist aber überall stetig. (Die erste Ableitung ist jedoch an den Stellen x = 1 und x = 0 unstetig.) Singularitäten Stellen, in deren unmittelbarer Umgebung die Funktionswerte über alle Grenzen hinaus fallen oder wachsen, heißen Singularitäten oder Unendlichkeitsstellen der Funktion. Diese Stellen sind ebenfalls Unstetigkeitsstellen.

18 18 1 Funktionen Abbildung 1.11: Eine stetige Funktion mit Knickstellen. Beispiel: Die Funktion y = 1/x wächst bei Annäherung an x = 0 über alle Grenzen: 1 lim x 0 + x 1 lim x 0 x =, (1.19) =. (1.20) An dieser Stelle hat die Funktion eine Singularität. Abbildung 1.12: Die Funktion f(x) = 1/x hat an der Stelle x = 0 eine Singularität. 1.4 Neue Funktionen aus alten Durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kann man aus alten Funktionen neue definieren. Zum Beispiel: h(x) = f(x) + g(x) oder h(x) = f(x) g(x). Dabei muss natürlich auf einen passenden Definitionsbereich geachtet werden. In den beiden nächsten Abschnitten werden wir zwei weitere wichtige Arten kennen lernen, um aus alten Funktionen neue zu definieren Verkettung von Funktionen Gegeben seien zwei Funktionen f(x) und g(x). Die Funktion f(x) ordnet einer Zahl x eine Zahl z zu: z = f(x). Die Zahl z wird dann als unabhängige Variable für die Funktion g verwendet. Dadurch wird der Zahl z eine Zahl y zugeordnet: y = g(z). Durch die Hintereinanderanwendung von f

19 1 Funktionen 19 und g wird der Zahl x eine Zahl y zugeordnet: y = g(z) = g(f(x)) (1.21) x f(x) g(f(x)). (1.22) Die Variable z ist nur als Zwischenergebnis interessant, kann also wegfallen. Für die verkettete (oder auch zusammengesetzte) Funktion schreibt man auch y = (g f)(x). (1.23) Beispiel: Die Funktionen ergeben zusammengesetzt f(x) = x 2 und g(x) = sin(x) (1.24) g(f(x)) = (g f)(x) = sin(x 2 ). (1.25) Die Verkettung (oder Zusammensetzung) von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ: (g f)(x) (f g)(x). (1.26) Das heißt, bei der Verkettung von Funktionen kommt es auf die Reihenfolge an. Beispiel: Gegeben seien die beiden Funktionen f(x) = 1 + x und g(x) = 1/x. (1.27) Während die Zusammensetzung g f g(f(x)) = x (1.28) ergibt, erhält man für die Zusammensetzung f g f(g(x)) = x. (1.29) Umkehrfunktion Häufig ist es notwendig, für einen gegebenen Wert der abhängigen Variablen den Wert der unabhängigen Variablen zu bestimmen. Betrachten wir zum Beispiel den Flächeninhalt y = x 2 eines Quadrats mit Seitenlänge x (siehe Abb. 1.13). Abbildung 1.13: Flächeninhalt y eines Quadrats mit Seitenlänge x.

20 20 1 Funktionen Aus der Fläche können wir natürlich die Kantenlänge x = y bestimmen. Hier haben wir die Funktion y = f(x) = x 2 für x 0 umgekehrt zu x = f 1 (y) = y. Die Funktion x = f 1 (y) ist die Umkehrfunktion (oder inverse Funktion) von y = f(x). Dabei haben Argument und Funktionswert die Rollen vertauscht. Gewissermaßen ermittelt die Umkehrfunktion, woher der Funktionswert f gekommen ist. In der Umkehrfunktion f 1 (y) ist nun y die unabhängige Variable. Da wir die unabhängige Variable meistens mit x bezeichnen, nennen wir y in x um und erhalten folgendes Paar von Funktion und Umkehrfunktion: f(x) und f 1 (x). Abbildung 1.14: Funktion y = f(x). Abbildung 1.15: Umkehrfunktion x = f 1 (y). Setzt man eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion zusammen, so wird das Argument x auf sich selbst abgebildet: (f f 1 )(x) = (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = x. (1.30) Als weiteres Beispiel bestimmen wir die Umkehrfunktion der Funktion y = 1 4x 2 : y = 1 4x 2, für D = [0, 1/2] (1.31) y 2 = 1 4x 2, (1.32) 4x 2 = 1 y 2, (1.33) x = y 2 y [0, 1]. (1.34) Somit gilt: f(x) = 1 4x 2 ; f 1 (x) = x2. (1.35) Der Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion ist in Abb graphisch dargestellt. Abbildung 1.16: Aus der Funktion f(x) erhalten wir durch Spiegelung an der 45 -Geraden die Umkehrfunktion f 1 (y).

21 1 Funktionen 21 Natürlich können wir eine Funktion nur umkehren, wenn jedem Element y aus dem Wertebereich genau ein Wert x aus dem Definitionsbereich zugeordnet ist. Wenn, wie in Abb dargestellt, mehrere Werte aus dem Definitionsbereich (hier x 1 und x 2 ) auf denselben Wert des Wertebereichs (hier y 1 ) abgebildet werden, können wir die Funktion nicht umkehren, da wir für Punkt y 1 nicht wissen, welches Argument wir nehmen sollen. Anders gesagt: Eine Funktion y = f(x) ist umkehrbar, wenn aus x 1 x 2 stets f(x 1 ) f(x 2 ) folgt. Falls dies nicht gilt, kann durch geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs die Umkehrung einer solchen Funktion doch ermöglicht werden. Zum Beispiel besitzt die Funktion f(x) = x 2 mit D = R für +x und x jeweils den selben Funktionswert und ist somit nicht umkehrbar. Schränken wir den Definitionsbereich jedoch auf D = {x R x 0} ein, ist die Funktion umkehrbar. Eine Funktion, für die aus x 1 x 2 stets f(x 1 ) f(x 2 ) folgt, nennt man injektiv. Falls für alle Werte y im Wertebereich ein Argument x existiert, sodass f(x) = y, ist die Funktion surjektiv. Eine sowohl injektive als auch surjektive Funktion nennt man bijektiv und genau diese Funktionen sind umkehrbar. Abbildung 1.17: Eine Funktion, bei der mehrere Argumente denselben Funktionswert besitzen, ist nicht umkehrbar. Wir halten zusammenfassend fest: Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar. Bei der Umkehrung einer Funktion werden der Definitionsbereich und der (gegebenenfalls passend eingeschränkte) Wertebereich vertauscht. Analytisch erhält man die Umkehrfunktion durch Auflösen nach der unabhängigen Variablen und anschließendes formales Vertauschen der beiden Variablen. Graphisch ergibt sich die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der 45 -Geraden. 1.5 Wichtige Funktionen Im Folgenden werden wir einige in der Physik wichtige Funktionen kurz in Erinnerung rufen. Die Auswahl ist aus Platzgründen sehr beschränkt und so sei der Leser für eine vollständigere Behandlung auf die in der Literaturliste angeführten Nachschlagewerke verwiesen. Eine Fülle von Informationen über eine Vielzahl von Funktionen (und über Mathematik im Allgemeinen) sind auf der Webseite verfügbar Lineare Funktionen Bei der linearen Funktion (eigentlich affine Funktion) f(x) = kx + b (1.36) hängt der Funktionswert in einfacher Potenz, d.h. linear vom Argument ab. Die lineare Funktion besitzt zwei Parameter, k und b. Die Bedeutung dieser beiden Parameter wird in der graphischen

22 22 1 Funktionen Darstellung der Funktion als eine Gerade klar (siehe Abb. 1.18). Der Parameter k ist dabei die Steigung der Geraden und der Parameter b ihr Schnittpunkt mit der y-achse. Der Definitionsbereich umfasst die gesamte x-achse und der Wertebereich die gesamte y-achse (für k 0). Abbildung 1.18: Die linear Funktion y = kx + b. Die lineare Funktion f(x) = kx + b ist für k 0 im gesamten Definitionsbereich (reelle Zahlen) streng monoton und daher umkehrbar. Auch die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion: x = y/k b/k. Lineare Funktionen werden häufig für Fits verwendet (siehe Kapitel 6). Die identische Funktion y = x und die konstante Funktion y = b sind Spezialfälle der linearen Funktion Potenzfunktionen Die Potenz x n ist das Produkt von n gleichen Faktoren: Hier werden x die Basis und n der Exponent genannt. Rechenregeln für Potenzen: Dabei sind n und m beliebige ganze Zahlen. x n = x } x x {{ x }. (1.37) n mal x 0 = 1, (1.38) x n x m = x n+m, (1.39) x n x m = xn m, (1.40) (x n ) m = x nm. (1.41) Die Regel x 0 = 1 ergibt sich aus der Beobachtung, dass sich durch Division durch x der Exponent in x n um 1 verringert: x n /x = x n 1. Für n = 1 gilt also x/x = x 1 1 = x 0 = 1. Analog folgt auch, dass 1/x = x 1 oder allgemein: 1/x n = x n. Die anderen Rechenregeln ergeben sich aus ähnlichen Überlegungen. Zum Beispiel: und x n x m = } x x {{ x } } x x {{ x } = x n+m (1.42) n mal m mal (x n ) m = } x m x m {{ x m } = x nm. (1.43) n mal Durch Addition von Potenzen erhält man die Potenzfunktion (oder ganz rationale Funktion): n f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = a i x i, (1.44) i=0

23 1 Funktionen 23 wobei die Koeffizienten a i beliebige reelle Zahlen sind. Die Potenzfunktion aus der obigen Gleichung wird auch Polynom n-ten Grades genannt (falls a n 0). Dabei ist n die höchste vorkommende Potenz. Beispiele: Potenzfunktion 2. Grades f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (mit a 2 0), Potenzfunktion 3. Grades f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 (mit a 3 0). Der Definitionsbereich der Potenzfunktion umfasst die gesamte x-achse, < x < und die Funktion ist überall stetig. Für x ± divergiert die Funktion nach oder +. Abbildung 1.19: Beispiele für Potenzfunktionen unterschiedlichen Grades. Gebrochen rationale Funktionen lassen sich als Quotient zweier ganz rationaler Funktionen darstellen: n i=0 f(x) = a ix i m i=0 b ix. (1.45) i Der Definitionsbereich ist < x <. Die Nullstellen des Nenners, an denen die Funktion divergiert, sind jedoch davon ausgeschlossen. Die Wurzelfunktion f(x) = ± x ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f(x) = x 2. Da die Quadrate von x und x identisch sind, (x) 2 = ( x) 2 (siehe Abb. 1.20), ist die Quadratwurzel

24 24 1 Funktionen Abbildung 1.20: Für jeden Wert y 0 auf der Ordinate gibt es für die Quadratfunktion y = x 2 zwei Werte auf der Abszisse. nicht eindeutig und die beiden Zweige f(x) = + x und f(x) = x müssen getrennt voneinander behandelt werden. Für die Quadratwurzel schreiben wir auch x = x 1/2. Die Wurzelfunktion lässt sich auch für beliebige Exponenten n verallgemeinern. Für die Potenzfunktion definieren wir die n-te Wurzel als die entsprechende Umkehrfunktion f(x) = x n (1.46) x 1/n = f 1 (x). (1.47) Die Schreibweise der Wurzelfunktion mit Hilfe des Exponenten erlaubt die Anwendung der Rechenregeln für Potenzen, z. B. (x 1/n ) 1/m = x 1/(nm). Es gibt auch die Zusammensetzung von Potenzfunktion und Wurzelfunktion: Auch dafür gelten die Rechenregeln für Potenzen. f(x) = (x n ) 1/m = x n/m. (1.48) Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, die Logarithmusfunktion, sind transzendente Funktionen, d.h. sie lassen sich nicht als endliche Kombination von algebraischen Termen darstellen (sehr wohl aber durch unendliche Reihen). Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet: f(x) = a x. (1.49) Dabei ist die reelle positive Zahl a die Basis und x der Exponent. Die Bedeutung von a x für rationale Exponenten haben wir bereits im letzten Abschnitt kennen gelernt. Für irrationale Exponenten x, also für jene x-werte, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen, können wir x beliebig genau durch einen solchen Bruch annähern und somit a x beliebig genau durch Verkettung von Potenz- und Wurzelfunktion erhalten. Exakt ist die Exponentialfunktion für die Basis e über eine Potenzreihe mit unendlich vielen Gliedern definiert: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + (1.50)

25 1 Funktionen 25 (Im Kapitel 10 werden wir mehr über Potenzreihen erfahren.) Dabei ist e die Eulersche Zahl, e = , eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik. Eine alternative Definition ist über den Grenzwert möglich. ( e x = lim 1 + x k (1.51) k k) Wichtige Spezialfälle sind die Exponentialfunktionen mit Basis 10 und e: Die Exponentialfunktion mit Basis e schreiben wir auch oft als f(x) = 10 x, (1.52) f(x) = e x. (1.53) f(x) = exp(x). (1.54) Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion umfasst die gesamte reelle Achse, < x < und der Wertebereich besteht aus allen positiven reellen Zahlen, 0 < y < (falls a 1). Die Exponentialfunktion a x ist überall stetig. Für a > 1 ist sie streng monoton wachsend und für a < 1 streng monoton fallend (siehe Abb. 1.21). Die Exponentialfunktion für a > 1 wächst für positive x stärker an als jede Potenzfunktion, d. h. lim x a x = für allen N. (1.55) xn Abbildung 1.21: Die Exponentialfunktion a x für a > 1 (links) und 0 < a < 1 (rechts). Für die Exponentialfunktion gelten folgende Rechenregeln: a 0 = 1, (1.56) a x = 1 a x, (1.57) (a x ) y = a xy, (1.58) a x a y = a x+y, (1.59) a x a y = a x y. (1.60) Diese Rechenregeln folgen aus den Rechenregeln für die Potenz- und Wurzelfunktion. (1.61)

26 26 1 Funktionen Logarithmus Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der Logarithmus (wir erhalten ihn graphisch durch Spiegelung der Exponentialfunktion an der 45 -Geraden). Zu verschiedenen Basen a der Exponentialfunktion gibt es auch unterschiedliche Logarithmen. Wir bezeichnen den Logarithmus zur Basis a der Zahl x als log a (x). (1.62) Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist also jene Zahl, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten: y = log a (x) a y = x. (1.63) Folgende Exponentialfunktionen und zugehörige Logarithmen werden in der Physik besonders häufig verwendet: y = a x log a (y) = x (1.64) y = 10 x log 10 (y) = log(y) = x dekadischer Logarithmus (1.65) y = e x log e (y) = ln(y) = x natürlicher Logarithmus (1.66) Abbildung 1.22: Die Logarithmusfunktion log a (x) für verschiedene Basen a. Für alle Basen a folgt aus a 0 = 1, dass log a 1 = 0. Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion erstreckt sich über alle positiven reellen Zahlen, 0 < x <, und der Wertebereich ist < y <. Für die Logarithmusfunktion gelten folgende Rechenregeln: log a (1) = 0, (1.67) ( ) 1 log a = log x a (x), (1.68) log a (x) z = z log a (x), (1.69) log a (x y) = log a (x) + log a (y), (1.70) ( ) x log a = log y a (x) log a (y). (1.71) Diese Rechenregeln folgen aus den Rechenregeln für die Exponentialfunktion. Zum Beispiel: ( ) ( ) 1 1 ( log a = log x a a log a x = log a a log a x ) = log a x, (1.72)

27 1 Funktionen 27 oder: ( log a (xy) = log a a log x a a log y) ( a = log a a log a x+log a y ) = log a x + log a y. (1.73) Auf ähnliche Weise erhalten wir log a (x z ( ) = log a (a log x a ) z) ( = log a a z log a x ) = z log a x. (1.74) Die Logarithmusfunktion wächst für a > 1 langsamer als jede beliebige Potenz von x, d.h. log lim a (x) x x n = 0 für allen N. (1.75) Wie die Exponentialfunktion lässt sich auch der Logarithmus von einer Basis in eine andere umformen: log a (x) = log a (b log b (x)) = log b (x) log a (b), (1.76) log b (x) = log a(x) log a (b), (1.77) log a (x) = log b(x) log b (a). (1.78) Mit Hilfe der Logarithmusfunktion lässt sich die Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis a in eine auf der Eulerschen Zahl e beruhende Darstellungsform umwandeln: Für eine beliebige Basis b gilt: a x = ( e ln a) x = e x ln a = e ln(ax). (1.79) a x = ( b log b a) x = b x log b a = b log b (ax). (1.80) Winkelfunktionen Die Winkelfunktionen (trigonometrische Funktionen) sind ebenfalls transzendente Funktionen. Zur Definition dieser Funktion ist es sehr zweckmäßig, Winkel im Bogenmaß anzugeben. Dazu zeichnen wir zunächst einen Kreis mit Radius 1 durch den Scheitel des Winkels, den wir im Bogenmaß ausdrücken wollen (siehe Abb. 1.23). Abbildung 1.23: Das Bogenmaß des Winkels α ist die Bogenlänge b, die vom Winkel am Einheitskreis (Radius=1) begrenzt wird. Die Länge des Kreisbogens zwischen den Winkelschenkeln ist das Bogenmaß dieses Winkels. Der volle Kreis hat einen Umfang von 2π und der zugehörige Winkel beträgt daher im Bogenmaß 2π. Zwischen dem üblichen Gradmaß und dem Bogenmaß gilt daher die Beziehung: Bogenmaß = Gradmaß 2π/360. (1.81)

28 28 1 Funktionen Abbildung 1.24: Verschiedene Winkel in Gradmaß und in Bogenmaß. Die trigonometrischen Funktionen lassen sich geometrisch sehr anschaulich am Einheitskreis definieren. Eine exakte Definition dieser Funktionen erfolgt jedoch durch Potenzreihen. Auf diese exakte Definition wollen wir hier jedoch verzichten. Die Winkelfunktionen setzen den Winkel α mit verschiedenen Längen in Beziehung (siehe Abb. 1.25). Abbildung 1.25: Definition der Winkelfunktionen für den Winkel α am Einheitskreis (Radius=1). Mit Hilfe des in Abb dargestellten rechtwinkligen Dreiecks lassen sich geometrisch folgende Funktionen des Winkels α definieren: Sinus: Kosinus: Tangens: Kotanges: sinα = Gegenkathete / Hypotenuse cosα = Ankathete / Hypotenuse tan α =Gegenkathete / Ankathete cotα =Ankathete / Gegenkathete Tragen wir sin(α) und cos(α) als Funktion von α in einem kartesischen Koordinatensystem auf, erhalten wir die in Abbildung 1.26 dargestellten Funktionsgraphen. Während der Sinus eine ungerade Funktion ist, ist der Kosinus gerade, sin(x) = sin( x), (1.82) cos( x) = cos(x). (1.83)

29 1 Funktionen 29 Nachdem der Winkel α die Werte 0 bis 2π durchlaufen hat, zeigen die Funktionen wieder dieselben Werte wie vorher, d.h. die Funktionen sind periodisch mit der Periode 2π: sin(x + 2πn) = sin(x) (1.84) cos(x + 2πn) = cos(x), (1.85) wobei n eine ganze Zahl ist. Die Werte von Sinus und Kosinus schwanken zwischen -1 und +1. Abbildung 1.26: Sinus und Kosinus. Der Tangens und der Kotangens sind ebenfalls periodische Funktionen, haben aber eine Periodenlänge von π statt 2π (siehe Abb. 1.27). Sowohl der Tangens als auch der Kotangens sind ungerade Funktionen: tan(x) = tan( x), (1.86) cot(x) = cot( x). (1.87) Die Tangensfunktion tanα ist singulär bei α = π 2, 3π 2,... und die Kotangensfunktion cotα bei α = 0, π, 2π,.... Abbildung 1.27: Tangens (links) und Kotangens (rechts). Winkelfunktionen können ineinander umgewandelt werden. Zum Beispiel gelten folgende Beziehungen, die man leicht durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf das in Abb dargestellte rechtwinklige Dreieck ableiten kann (sin 2 α + cos 2 α = 1): sin α = 1 cos 2 α, (1.88) tan α sin α = 1 + tan 2 α, (1.89) tan α = 1 cotα. (1.90) Weitere Formeln zur Umformung trigonometrischer Funktionen sowie die Werte der Winkelfunktion an besonderen Stellen können den gängigen Formelsammlungen entnommen werden.

30 30 1 Funktionen Äußerst wichtig sind zudem die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen: sin(α + β) = sin α cosβ + cosαsin β, (1.91) cos(α + β) = cosα cosβ sin α sin β. (1.92) Diese Ausdrücke kann man zur Umformung von trigonometrischen Ausdrücken verwenden. So können wir zum Beispiel folgende Vereinfachung durchführen: cosx (1 tan 2 x) tan x (cotx 1) = cosx (1 tan2 x) (1 tan x) = cosx (1 + tanx) (1 tan x) (1 tan x) ( = cosx 1 + sin x ) = cosx + sin x cosx ( = sin x + π ) + sin x ( 2 = sin x + π 4 + π ) ( + sin x π π ) ( 4 = sin x + π ) cos π sin π ( 4 cos x + π ) ( 4 + sin x + π ) ( cos π ) ( + sin π = 1 ( sin x + π ) 1 ( cos x + π ) ( sin x + π ) 1 ( 2 4 cos x + π ) 2 4 = 2 ( sin x + π ) = ( 2sin x + π ) ) cos ( x + π ) 4 (1.93) Die Winkelfunktionen hängen eng mit der Exponentialfunktion zusammen. Dieser Zusammenhang ist durch die Eulersche Formel gegeben (e iϕ = cosϕ+i sinϕ), die wir im Kapitel 5 näher behandeln werden Arcusfunktionen Oft kennen wir beispielsweise den Sinus eines Winkels und möchten daraus den Winkel selbst bestimmen. Dies können wir mit der Umkehrfunktion des Sinus, dem Arcussinus tun: x = arcsiny (y = sinx). (1.94) Die Bezeichnung Arcussinus stammt von arcus ab, der lateinischen Bezeichnung für Bogen (wir bestimmen ja das Bogenmaß des Winkels aus dem Sinus). Da jetzt y die unabhängige Variable ist, benennen wir sie um in x: y = arcsinx. (1.95) Der Definitionsbereich des Arcussinus ist 1 x 1. Da ein bestimmter Wert der Winkelfunktionen durch eine Vielzahl von Winkeln erzeugt wird (siehe Abb. 1.28), muss der Wertebereich auf einen gewissen Bereich eingeschränkt werden. Wir beschränken den Wertebereich so, dass jeder Wert des Sinus genau einmal angenommen wird. Damit erreichen wir eine eindeutige Zuordnung. Der zugeordnete Wert heißt Hauptwert. Der Hauptwert ist jener Wert y, der mit x = sin(y) konsistent ist und den kleinsten Absolutwert y besitzt. Für y = arcsin(x) gilt also ein Wertebereich von π 2 y π 2 (siehe Abb. 1.29). Analog verfährt man mit arccos, arctan und arccot.

31 1 Funktionen 31 Abbildung 1.28: Die Sinusfunktion nimmt einen bestimmten Funktionswert an verschiedenen Stellen an. Abbildung 1.29: Arcussinus und Arcuskosinus. Die folgende Tabelle enthält die Definitionsbereiche D und Wertebereiche W der Arcusfunktionen: Funktion D W arcsin [ 1, +1] [ π 2, π 2 ] arccos [ 1, +1] [0, π] arctan [, + ] [ π 2, π 2 ] arccot [, + ] [0, π] Alternative Schreibweisen für die Arcusfunktionen sind: arcsin(x) = sin 1 (x) = asin(x), arccos(x) = cos 1 (x) = acos(x), arctan(x) = tan 1 (x) = atan(x), arccot(x) = cot 1 (x) = acot(x). Die Arcusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen genannt. Für die Arcusfunktionen gibt es zahlreiche nützliche Beziehungen, die Sie bei Bedarf den gängigen Formelsammlungen entnehmen können.

32 32 1 Funktionen Abbildung 1.30: Arcustangens und Arcuskotangens Hyperbolische Funktionen Während die trigonometrischen Funktionen durch den Schnitt einer Geraden mit einem Kreis erzeugt werden können, werden die hyperbolischen Funktionen durch den Schnitt mit den Hyperbelästen der Einheitshyperbel y = ± x 2 1 erzeugt. Die Funktionen werden aber nicht angegeben als Funktion des Steigungswinkels wie bei den trigonometrischen Funktionen, sondern als Funktion der von den Geraden mit Steigung g und g und der Hyperbel y = ± x 2 1 eingeschlossenen Fläche A. Die geometrische Bedeutung der hyperbolischen Funktionen sinh und cosh ist in Abb dargestellt. Abbildung 1.31: Geometrische Interpretation der hyperbolischen Funktionen sinh und cosh. Analog zu den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens können auch

33 1 Funktionen 33 die entsprechenden hyperbolischen Funktionen definiert werden: Sinus hyperbolicus Cosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus Cotangens hyperbolicus sinh(x), cosh(x), tanh(x) = sinh(x)/ cosh(x), coth(x) = 1/ tanh(x). Die Funktionsgraphen der wichtigsten dieser Funktionen sind in Abb und 1.33 dargestellt. Abbildung 1.32: Die hyperbolischen Funktionen sinh and cosh. Abbildung 1.33: Die hyperbolischen Funktionen tanh and coth. Wichtige Zusammenhänge zwischen den hyperbolischen Funktionen lassen sich aus der Gleichung sinh 2 (x) = cosh 2 (x) 1 (1.96) ableiten. Die Hyperbelfunktionen lassen sich mit Hilfe der Exponentialfunktion ausdrücken: sinhx = coshx = tanhx = coth x = ex e x, 2 (1.97) ex + e x, 2 (1.98) ex e x e x + e x, (1.99) ex + e x e x e x. (1.100) Hyperbolische und trigonometrische Funktionen können in der komplexen Ebene als gleichwertige Funktionen dargestellt werden. Durch Verwendung imaginärer Argumente werden die Funktionen ineinander übergeführt. Diesen Zusammenhang werden wir im Kapitel 5 näher behandeln Areafunktionen Die inversen Hyperbelfunktionen werden als Areafunktionen bezeichnet. (Der Name kommt daher, dass wir die eingeschlossene Fläche A, also lateinisch area, erhalten, wenn wir die hyperbolischen Funktionen umkehren.)

34 34 1 Funktionen Abbildung 1.34: Die Areafunktionen Arsinh und Arcosh (links) sowie Artanh und Arcoth (rechts). Die Areafunktionen können mit Hilfe von Logarithmen ausgedrückt werden: Arsinh(x) = ln(x + x 2 + 1), (1.101) Arcosh(x) = ln(x + x 2 1), (1.102) Artanh(x) = 1 2 ln 1 + x 1 x, (1.103) Arcoth(x) = 1 2 ln x + 1 x 1. (1.104) Diese Formeln erhält man durch direkte Umkehrung der hyperbolischen Funktionen. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Areafunktionen können den gängigen Formelsammlungen entnommen werden.

35 Kapitel 2 Vektoren 2.1 Grundlagen In der Physik ist es oft notwendig, von gewissen Größen nicht nur deren Betrag, sondern auch deren Richtung zu kennen. Wenn wir mit dem Fahrrad irgendwohin fahren, ist unsere Bewegungsrichtung genau so wichtig wie der Betrag unserer Geschwindigkeit. Solche Größen nennt man Vektoren. Beispiele für Vektoren sind: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Feldstärke, Flächenelement, Impuls und Dipolmoment. Größen, die keine Richtung besitzen, nennen wir Skalare. Dazu zählen: Zeit, Masse, Volumen, Dichte, elektrische Ladung und Energie. Wir definieren also Vektoren wie folgt: Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. Er wird durch eine Richtung und eine Länge (einen Betrag) beschrieben. Im Folgenden werden wir Vektoren durch einen Pfeil kennzeichnen, zum Beispiel F und v. Häufig werden Vektoren aber auch im Fettdruck angegeben, zum Beispiel F und v. Bei einer physikalischen Vektorgröße gehört zur vollständigen Beschreibung auch die Angabe einer Maßeinheit. Der Betrag besteht aus Maßzahl und Einheit. Kräfte messen wir zum Beispiel in der Einheit Newton (abgekürzt N): F 1 = F 1 = 100N. Hier haben wir den Betrag eines Vektors, also dessen Länge, mit Hilfe von senkrechten Strichen ausgedrückt. Graphisch können wir Vektoren als Pfeile darstellen mit Länge und Richtung (siehe Abb. 2.1). Abbildung 2.1: Ein Vektor r lässt sich als Pfeil in einem rechtwinkligen Koordinatensystem darstellen. In diesem zweidimensionalen Beispiel hat der Vektor r die Komponenten x und y: r = ( x, y). Der Vektor ist durch Angabe des Anfangspunktes Q und des Endpunktes P eindeutig festgelegt. 35

36 36 2 Vektoren Ein Vektor lässt sich auch durch Angabe von Anfangspunkt Q und Endpunkt P eindeutig festlegen. Dann schreiben wir QP. Wenn wir als Anfangspunkt Q den Ursprung (0, 0, 0) des Koordinatensystems wählen (siehe Abb. 2.2 für den 2-dimensionalen Fall), so kann der Ortsvektor r des Punktes P = P(x, y, z) in kartesischen Koordinaten geschrieben werden als Oft finden wir auch die Notation r = (x, y, z). (2.1) r = (r x, r y, r z ). (2.2) Abbildung 2.2: Falls wir als Ausgangspunkt Q den Ursprung wählen, können wir r als den Ortsvektor des Punktes P = (x, y) deuten. Der Ortsvektor r gibt die Lage des Punktes P relativ zum Ursprung an. Abbildung 2.3: Der Verschiebungsvektor r = r 2 r 1 ist der Verbindungsvektor zwischen Punkt P 1 mit Ortsvektor r 1 und Punkt P 2 mit Ortsvektor r 2. Vektoren können auch Verschiebungen beschreiben. Der Verschiebungsvektor zwischen den Punkten P 1 und P 2 ist die Differenz der Ortsvektoren r 1 und r 2 der Punkte P 1 und P 2 : r = r 2 r 1. (2.3) Was genau die Differenz zweier Vektoren bedeutet, werden wir später sehen. Hier ist es wichtig anzumerken, dass in der graphischen Darstellung Pfeile mit gleicher Richtung und gleichem Betrag aber unterschiedlichen Ausgangspunkten zum selben Vektor gehören. Ein graphisch dargestellter Pfeil ist also nur einer von vielen Repräsentanten eines Vektors (siehe Abb. 2.4). Von besonderer Bedeutung sind der Nullvektor und der Einheitsvektor: Nullvektor: 0, 0 = 0, hat Länge Null und keine Richtung.