Lösungen der Probe-Vorklausur 1. Lösungen der Probe-Vorklausur 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen der Probe-Vorklausur 1. Lösungen der Probe-Vorklausur 2"

Transkript

1 Bei allen Aufgaben muss der Rechenweg erkennbar sein (auch beim Bruchrechnen mindestens Zwischenschritt). Ohne Rechnung gibt es auch bei richtigem Ergebnis keine Punkte. Lösungen der Probe-Vorklausur Aufgabe : 2,3,6 0 0, ,5 40 Aufgabe 2: { ; 3} { 2; 0; 2} 3 2 { 3; } 3 ( a) + ) a) 3) 7 c a c a ) 2) c a/3 + b ) 3) Aufgabe 4: { 2; 4} 5 { 8; 8} 4 64 Aufgabe 5: f (x) 2x + e x (3x 4) (8x3 + ) 4 / 3 24x 2 3x 2 x 3 + (x2 + ) 3 x 3 + ) 3 (x 2 + ) 2 2x (x 2 + ) 6 cos( e 3 x + e 3x + ) ) 3 x e 3 x + 3x + 4x 3 4 x + x 4 4 x 4) Aufgabe 6: "Kandidaten": ( ; 2), ( ; ), (0 ; ), (3 ; 26); es gibt kein globales Maximum; globales Minimum bei (3 ; 26) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 0,, 2 Aufgabe 8: {(0 ; ), (2 ; 3)} {( ; ), (3 ; 2)} Lösungen der Probe-Vorklausur 2 Aufgabe : 0,8, Aufgabe 2: {2; 3} {0; ; 3} { 2; 2} 2 { ; 3} ± a) + 4 a) 2) + 3 c + 2b c a + 2b ) 4) 4c 6 ) 4) Aufgabe 4: { 5; } { 3; 4} Aufgabe 5: f (x) cos(x) + e sin ( x ) 5(x 2 ) 4 2x 5 (x3 + ) 6 / 5 3x 2 3 (4x ) 2 4 x 4 + ) (4x ) 3 ( x 4 + ) ) 2 4x 3 x 4 + sin(e 3 x 2 x) ) (e 3 x 2 6x x ) 4 x 4 4) 4x 3 Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; 4), (3 ; 3), (2 ; 4), ( ; 2); globale Maxima bei (0 ; 4) und (2 ; 4); globales Minimum bei ( ; 2) Aufgabe 7: viele Lösungen; keine Lösung; 2, 2, 2 Aufgabe 8: {(0 ; 3), (2 ; )} {( ; ), (2 ; )}

2 Lösungen der Vorklausur WS 07/08 Aufgabe : 2,, Aufgabe 2: {2; 5} { 3; 0; 3} { 2; 2} { } {; 4} 2 a) + 2 a) 4) 5 b + c b + c ) 3) c a + 2b ) 2) Aufgabe 4: { ; } 5 { 8 ; } Aufgabe 5: 3 f (x) + e 3 x + 4 (2x 3) (x4 + ) 5 / 4 4x 3 2x x 2 + (3x 4)5 x 2 + ) 5 (3x 4) 4 3 (3x 4) 0 cos( e 3 x + 2x + ) ) e 3 x e 3 x + 2x + Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; ), ( ; 2), (2 ; 3), ( ; 4); globales Maximum bei (2 ; 3); globales Minimum bei ( ; 4) f (x) 2) + 2 x (3x x 4)) Aufgabe 7: 3, 2, ; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {(3 ; 3), (5 ; )} {(2 ; ), (4 ; 2)} Lösungen der Vorklausur SS 08 Aufgabe : 2,4, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} ± a) + a) 5) 3 c + a b Aufgabe 4: { ; } 3 ± c ) 2) c 9 ) 3) Aufgabe 5: 4 f (x) + e 4 x 3 (x 2 ) 2 2x 6 (2x3 + ) 7 / 6 6x 2 e x e x + (2x + )3 e x + ) 3 (2x + ) 2 2 (2x + ) 6 sin( e x l n ( x ) ) e x l n ( x ) ( x) + x x ) f (x) 3) + 3 x (2x + e x ) Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 ; 0), ( ; 2), (2 ; 2), (2 ; 3), ( ; e); globales Maximum bei (2 ; 3); globales Minimum bei (0 ; 0) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 0,, Aufgabe 8: {( ; 2), ( ; 2)} {(3 ; ), ( 6 ; )}

3 Lösungen der Vorklausur WS 08/09 Aufgabe : 0,8, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} ± 2 ± a) ( + a) 2) ) 3 c + 2a + 4b Aufgabe 4: ± 5 ± 32 0 ±8 c + a + 2b ) 4) b + 5 a ) 5) Aufgabe 5: e x ( ) (4x + 5) 6 + e x 6(4x + 5) (2x3 + ) 4/3 6x 2 3) 3 x oder x 3 3 x 3 x 3) x 3 3 x 3x 2 x 6 cos(e 2 x + sin ( x ) ) e 2 x + sin ( x ) (2 + cos(x) ) 5 x + 5) (x + ) x + 5(x + ) 4 Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / 3), ( / 3), ( 2 / ), (2 / ), (0 / 5); Max. (0 / 5), Min. ( 2 / ), (2 / ) Aufgabe 7: viele Lösungen; keine Lösung; 2, 2, 2 Aufgabe 8: {(0 / 2), ( / )} {(0 / 2), ( / )} Lösungen der Vorklausur SS 09 Aufgabe :,6, Aufgabe 2: {2; 3} { 4; 0; 4} ± 2 {0; 3} e a + 3 ( 2 + a) 0) ) 5 c + 2 3a + 2b c + 2 3a + 2b ) 5) b e a + e a ) Aufgabe 4: {; 3} { 6; 0} ± Aufgabe 5: e 2 x 2 ( 2x) (3 2x) 5 + e 2 x 2 5(3 2x) 4 ( 2) 5 (x5 + ) 6/5 5x 4 4x 3 x 4 + (x2 + ) 3 + x 4 + ) ( 3) (x 2 + ) 4 2x oder 4x 3 x 4 + (x2 + ) 3 x 4 + ) 3 (x 2 + ) 2 2x (x 2 + ) 6 sin(2 3 x + + 4x + 5) (2 3 x + 2) 3 + 4) 5 5 x ) 0x Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / 4), ( / 3), ( / ), ( / 2), (2 / 3 e); kein glob. Max., Min. (2 / 3 e) Aufgabe 7: keine Lösung; viele Lösungen; 4, 3, 2 Aufgabe 8: {(2 / 3), (3 / 2)} {( / 6), (6 / )}

4 Lösungen der Vorklausur WS 09/0 2 Aufgabe :,7, Aufgabe 2: { ; 3} { 3; 0; 3} 2 2 ±2 3 + a) 2 ( + a) 3) ) ± 4 c + 2a + 3b a + 2b Aufgabe 4: {; 3} { 0; 6} c + 2a + 3b ) a + 2b 2) 4a 5 ) a 5 ) = 2 + 2) 2) Aufgabe 5: e ( 2 x ) 2 2 (2x ) 2 (3x + ) 4 + e ( 2 x ) 2 4 (3x + ) (3x4 + ) 5/4 2x 3 2 x 2) 2 x + (3x + ) x + ) ( 2) (3x + ) 3 3 oder 2 x 2) 2 x + (3x + )2 2 x + ) 2 (3x + ) 3 (3x + ) 4 cos(e sin (ex ) ) e sin (ex ) cos(e x ) e x 2 3 x 2) 3 x 3) Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), (0 / 3), ( / 9); Max. ( / 9), Min. existiert nicht Aufgabe 7: keine Lösung; 2,, 0; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 4), (2 / 5)} {(4 / ), (5 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 0 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 3} { 5; 0; 5} {0; } 3 ± + + a) + 4 a) 4) ± 8 a b + c 2a 3b c 3a b/3 ) 3) c 4 a + 4 b ) 4) Aufgabe 4: {2; 3} { 2; 3} ± 8 7 ± 8 Aufgabe 5: e g (x) g'(x) g(x) + e g (x) g'(x) 3 (4x4 + ) 4/3 6x 3 g'(x) g(x) (g(x)) 2 + g(x)) ( 2) (g(x)) 3 g'(x) oder g'(x) g(x) (g(x))2 g(x)) 2 g(x) g'(x) (g(x)) 4 cos(sin(e 3 x + 3x)) cos(e 3 x + 3x) (e 3 x 3 + 3) f (x) 3) (3x x 3)) Aufgabe 6: "Kandidaten": (0 / 0), ( / 4), (2 / 2), (2 / 3), ( / e), (3 / 2,5); kein glob. Max., Min. (0 / 0) Aufgabe 7:, 0, ; viele Lösungen; keine Lösung Aufgabe 8: {( / 3), (3 / 5)} {(5 / 3), (3 / )}

5 Lösungen der Vorklausur WS 0/ Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: { 2; 3} { 2; 0; 2} { ; 0; } 2 a ( c) b ) ± a) 2) 3 2 ( c a b ) Aufgabe 4: { 2; } { 6; 3} ± 8 ± 8 Aufgabe 5: f (x) ( 2x) + e x 2 3( 2x + ) 2 ( 2) 3 5 (2x + ) 8/5 2 e 2 x 2 e 2 x 2 e 2 x + (x2 + ) 3 + e 2 x + ) ( 3) (x 2 + ) 4 e 2 x + (x2 + ) 3 e 2 x + ) 3 (x 2 + ) 2 2x 2x oder (x 2 + ) 6 cos(2 3 x + )) 2 3 x 2) x + f (x) 4) 4 x 2 4) 2x Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), (0 / 2), (0 / ), ( / 2); glob. Max. (0 / 2), ( / 2); kein glob. Min. Aufgabe 7: 2, 3, 4; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 5), (3 / 3)} {(2 / 6), (3 / 3)} Lösungen der Vorklausur SS Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 3} { 2; 0; 2} { ; 0; } 3 3 ± 4 a + ) + a ( b + c) 3) ) ± a 2 a 2) 3) a Aufgabe 4: { 4; 2} { 2; 6} ± Aufgabe 5: f (x) 2 + e 2 x + 3(x 2 + ) 2 2x 3 (sin(x 2 )) 4/3 cos(x 2 ) 2x e x + e x + x (x3 + ) 2 + e x + x) ( 2) (x 3 + ) 3 3x 2 oder e x + e x + x (x3 + ) 2 e x + x ) 2 (x 3 + ) 3x 2 (x 3 + ) 4 f (x) 2) g'(x) + 2 g (x) 2 g(x) g'(x) f (x) e 2 x + 2 Aufgabe 6: "Kandidaten": ( / ), ( / 0), ( / ), ( / 0), ( / 3), (3 / 4); glob. Max. (3 / 4); glob. Min. ( / 3) Aufgabe 7: 2,, 0; keine Lösung; viele Lösungen Aufgabe 8: {( / 4), (2 / )} {(4 / ), ( / 2)}

6 Lösungen der Vorklausur WS /2 Aufgabe : 0,7, Aufgabe 2: { 4; 3} { 2; 0; 3} { ; 3} 3 4 a 4) ± + a) 3) Aufgabe 4: {0; 2} { 3; } 32 3 ± 4 Aufgabe 5: f (x) ( 3) + e 2 3 x 5(2 3x) 4 ( 3) 3 5 g(x) 8/5 g'(x) 5 x + 5) f (x) g'(x) + e g ( x ) 5 g(x) 4 g'(x) f (x) 2) 3 g ( x ) 3) g'(x) Aufgabe 6: Kandidaten: ( / 4), ( / 3), ( / ), ( / 2), (2 / 3 e); kein glob. Max.; glob. Min. (2 / 3 e) Aufgabe 7: viele Lösungen; 2, 0, 2; keine Lösung Aufgabe 8: {( / )} {( / )} Lösungen der Vorklausur SS 2 Aufgabe :,3, Aufgabe 2: { ; 4} { ; 0; 3} {0; } + a) log a ( + b) a Aufgabe 4: {; 2} { 2; 6} 4 9 Aufgabe 5: f (x) cos(x) + e sin ( x ) cos(e x ) e x 2 3 (2x ) 5/3 2 sin(sin(x 2 ) 2)) cos(x 2 ) 2x 2) f (x) (2 x) + 2x x ) 2x x 2 2x x 2 + Aufgabe 6: Kand.: (0 / ), ( / ), (2 / ), ( / 0), (5 /,5); glob. Max. (5 /,5), glob. Min. ( / 0) Aufgabe 7: viele (, 2, 0) Aufgabe 8: {(2 / 4), (3 / )} {( / 3)} Lösungen der Vorklausur WS 2/3 Aufgabe : 0,7, Aufgabe 2: { 2; 4} { ; 0; 2} {0; } 0 ± b + ) a ±2 3 2 Aufgabe 4: {; 3} { 2; 30} ±8 4 6

7 Aufgabe 5: 2 f (x) + e 2 x + 3 n (2x + 3) n 2 n 3 (3x 2) n/3 3 2x x 2 + (x2 + ) 2 x 2 + ) 2 (x 2 + ) 2x (x 2 + ) 4 cos( e g ( x ) 2 ) e g ( x ) 2 2 g(x) g'(x) f (x) ( x 2 x) + x x ) Aufgabe 6: Kand.: ( / 0), ( / 0), (0 / 0), ( / ), (2 / 4); glob. Max. (2 / 4), glob. Min. ( / ) Aufgabe 7: (3, 3, 3) viele Aufgabe 8: {(2 / 4)} {( / ), (4 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 3 Aufgabe : 2,3, Aufgabe 2: {2; 4} {0; ; 5} { ; } a ) 2 ± Aufgabe 4: ± 2 { 5; 4} ± 32 9 ± 3 Aufgabe 5: f (x) 2ax + e a x 2 5(3x + 4) n (3x + 4) 5/n 3 x + 3 x + cos( e x 2 + ) ) e x 2 2x e x 2 + f (x) (2x x) + x 2 x ) Aufgabe 6: Kand.: ( / 3), ( / 0), ( 2 / 2), ( / ), ( / ), (0 / 2); kein glob. Max., glob. Min. (0 / 2) 4 Aufgabe 7: viele (3, 2, ) Aufgabe 8: {(3 / ), (5 / 3)} {(3 / ), (5 / 3)} Lösungen der Vorklausur WS 3/4 Aufgabe : 0,6, ,6 6 /6 60 Aufgabe 2: {2; 4} {0; 2; 3} {0; } 0 ± 2) ± ± Aufgabe 4: {; 2} {5; 4} 64 ± 8

8 Aufgabe 5: f '(x) = f (x) a 2 + e a 2 x 2(3x 2) 3 f '(x) = 7 4 (5x + 6) /4 5 f '(x) = 3 x 3) f '(x) = f (x) 2) cos(3 x ) 3 x 3) f '(x) = f (x) [2x x 2 +) + (x 2 2x +) x 2 + ] Aufgabe 6: Kand.: ( / 4), ( / 0), (3 / ), (3 / 0 ), (5 / 4); glob. Max. (5 / 4), glob. Min. (3 / 0) Aufgabe 7: (3, 2, ) viele Aufgabe 8: {(2 / 3)} {(3 / 2)} Lösungen der Vorklausur SS 4 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: {2; 4} {0; 2} ± 0 a + b ) ± 2 log 2(a) ± 2 a log 2 (3) 4 Aufgabe 4: { 2; } { 2; } 0 6 Aufgabe 5: f (x) ( 2) + e a 2 x 3 (a 2x) 2 ( 2) 4 (x2n + ) 5/4 2n x 2 n 2 5 x 4 ( sin( x 4 +) + ) ) 3 cos( x 4 +) + ) 4x3 x 4 + f (x) [2 x 2) x) + 2 x x ] Aufgabe 6: Kandidaten: ( / ), ( / 6), (0 / 2), (3 / 5 ), (2 / 4+ 2 ); es gibt keine globalen Extrema 3 Aufgabe 7: viele (4, 3, 2) Aufgabe 8: {( / 4)} {( / 4)} Lösungen der Vorklausur WS 4/5 Aufgabe : 0,9, Aufgabe 2: { 2; 3} ± 2 0 a(b + )) a) b 5 3a 2b 3 2 Aufgabe 4: {3; } {0; 6} ± 27 9 ± 8 Aufgabe 5: f (x) a + e a x + b 2(ax + b) a f (x) 2) ( 3 ) 3) + 3 x g' (x) sin( g (x) ) ) g (x) f (x) 2) (2x+) Aufgabe 6: Kand.: (0 / 4), ( / 5), (4 / 4), (2 / 0 ), ( / e 3 ), (3 / e 3 ); glob. Max. ( / e 3 ), (3 / e 3 ), glob. Min. (2 / 0)

9 Aufgabe 7: viele (2, 2, 2) Aufgabe 8: {(3 / 4)} {(2 / )} Lösungen der Vorklausur SS 5 Aufgabe :,6, Aufgabe 2: { 3; 2} { 2; 0; 3} b a ) b /a = a b 3 2a b Aufgabe 4: {; 3} { ; 5} ± 25 5 ± 8 Aufgabe 5: f (x) 2x + e x 2 a 2 2x 2 n (x2 + ) 2/n 2x 0 3 ( sin( 2 g (x) ) ) 2 cos( 2 g (x) ) 2 g (x) 2) g'(x) f (x) [( + e x ) x) + (x + e x ) x ] Aufgabe 6: Kandidaten: ( / ), ( / 0), ( / 0), (3 / 4 ); glob. Max.: (3 / ), es gibt kein glob. Min. 4 Aufgabe 7: (0, 2, 3 ) 3 (, 2, 3) Aufgabe 8: {(3 / 6)} {( / 4)} Lösungen der Vorklausur WS 5 Aufgabe :,4, Aufgabe 2: { ; 2} 0 { ; 0} {0; } + ) 2 ± 4 3 { ; 0; } Aufgabe 4: ± 2 {2; 6} 6 4 Aufgabe 5: f (x) g' (x) + e g (x) g' (x) 3 2 (x/2 + ) 5/2 2 x /2 3) 3 x cos( e x 2 + ) ) e x 2 2x e x 2 + f (x) [cos(x) x) + sin(x) x ] Aufgabe 6: Kand.: ( / ), ( / 0), (0 / ), (4 / 5), (4 / ), (2 / 0); kein glob. Max., glob. Min. (4 / 5) Aufgabe 7: ( 2, 0, 2) viele Aufgabe 8: {(3 / )} {(3 / )} Lösungen der Vorklausur SS 6 Aufgabe :,3,

10 Aufgabe 2: { ; 3} { 3; 0; } ± 2 0 ± b a ) ± 2 3 2a b 2 5 Aufgabe 4: { 2; 4} { ; 2} ± 2 2 ± 8 Aufgabe 5: 2 [sin(2x) e 2 x + x cos(2x) 2 e 2 x + x sin(2x) e 2 x 2] n 3 (2x + ) n/3 2 2x x 2) f (x) 2) cos( x 2 2x + ) ) x 2 + f (x) [cos(x) sin(x)) + sin(x) cos(x) sin(x) ] Aufgabe 6: Kandidaten ( / ), (0 / 4), ( / 0), (3 / ), (3 / 0), (4 / ); glob. Min.: (4 / ), kein glob. Max. Aufgabe 7: viele (2, 3, 2) Aufgabe 8: {( / 4)} {(2 / 5)}

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar?

MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar? MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN DR. ROGER ROBYR Die Aufgaben sollten alle ohne Unterlagen und ohne programmierbare oder graphikfähige Rechner gelöst werden können. Lösung. ) Gegeben sind die Mengen

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion

Mehr

VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR

VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR 9.5 Sinus- und Kosinusfuntionen 9.5. Bleib fit in Sinus- und Kosinusfuntionen. a) Die. Koordinate eines Puntes P ann diret in den Graphen übertragen werden. r = b) Die. Koordinate

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Dr. Raimund Horn a Dipl. Chem. Barbara Bliss b Dipl. Phys. Lars Lasogga c a Fritz Haber Institut der Max Planck Gesellschaft

Mehr

Formelsammlung. Folgen und Reihen

Formelsammlung. Folgen und Reihen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Klausur Analysis II (SS 2005)

Klausur Analysis II (SS 2005) Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK WS 11/12 Einführung in die Informatik II Übungsblatt 2 Univ.-Prof. Dr. Andrey Rybalchenko, M.Sc. Ruslán Ledesma Garza 8.11.2011 Dieses Blatt behandelt

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker Funktionen von mehreren Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit Betrachtet werden Funktionen f : D f

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Abitur 2011, Analysis I

Abitur 2011, Analysis I Abitur, Analysis I Teil. f(x) = x + 4x + 5 Maximale Definitionsmenge: D = R \ {,5} Ableitung: f (4x + 5) (x + ) 4 8x + 8x (x) = (4x + 5) = (4x + 5) = (4x + 5). F(x) = 4 x (ln x ); D F = R + F (x) = 4 x

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Selbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt. 2011 / R. Balestra

Selbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt. 2011 / R. Balestra Selbständiges Arbeiten Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra Klasse 6bw Okt. 2011 / R. Balestra Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 freeware GeoGebra - Der Download 3 3 Die Eingabe von Funktionen 4 3.1 Bearbeitungsmöglichkeiten......................

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/04 Fach (A) Prüfungstag 9. Mai 04 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine Kurzeinführung im Rahmen der Vorlesung Mathematik und Statistik für Molekularbiologen Stefan Boresch stefan @ mdy.univie.ac.at, http://www.mdy.univie.ac.at/en/sbhome.html

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

1. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester 2013

1. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester 2013 O. Alaya, R. Bauer K. Sanei Kashani, F. Kissling, B. Krinn, J. Schmid, T. Vassias. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

Übergang Klasse 10/E1 (G9) und Klasse 9/E1 (G8) Mathematik. Übungsaufgaben zum Mittelstufenstoff im Fach Mathematik

Übergang Klasse 10/E1 (G9) und Klasse 9/E1 (G8) Mathematik. Übungsaufgaben zum Mittelstufenstoff im Fach Mathematik Fachberatung Mathematik Hilde Zirkler Goethe-Gymnasium Bensheim Bensheim, im Juni 0 Übergang Klasse 0/E (G9) und Klasse 9/E (G8) Mathematik Übungsaufgaben zum Mittelstufenstoff im Fach Mathematik. Lineare

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieure. Aufgaben und Lösungsvorschläge

Vorkurs Mathematik für Ingenieure. Aufgaben und Lösungsvorschläge Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg herausgegeben von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mathematik für Ingenieure Aufgaben und Lösungsvorschläge Wintersemester 0/03 von Wolfgang

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2015

Erfolg im Mathe-Abi 2015 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2015 Übungsbuch Hilfsmittelfreier Teil mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Vorwort... 5 Der hilfsmittelfreie Teil der Abiturprüfung... 7 Die Anforderungsbereiche

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Optik II (Beugungsphänomene)

Optik II (Beugungsphänomene) Optik II (Beugungsphänomene) 1 Wellenoptik 2 1 Interferenz von Wellen, Interferenzversuche 3 Überlagerung von Wellen 4 2 Konstruktive und destruktive Interferenz 5 Beugungsphänomene 6 Bei der Interferenz

Mehr

Thomas Benkert L A TEX-Stammtisch. Diagramme in L A TEX. Gnuplot und TikZ. 16. November 2008. Freiberg

Thomas Benkert L A TEX-Stammtisch. Diagramme in L A TEX. Gnuplot und TikZ. 16. November 2008. Freiberg Thomas Benkert L A TEX-Stammtisch Diagramme in L A TEX Gnuplot und TikZ 16. November 2008 Freiberg Inhalt Einleitung Die Daten Diagrammtypen Gnuplot Einleitung Befehlssyntax Zwei kleine Beispiele Beispiele

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe

Signale und Systeme. A1 A2 A3 Summe Signale und Systeme - Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................... Vorname:.......................... Matr.Nr:.............................. Ergebnis im Web mit verkürzter Matr.Nr?

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Skript

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Skript Vorkurs Mathematik Vorbereitung auf das Studium der Mathematik Skript Dr. Johanna Dettweiler Institut für Analysis 20. Oktober 2009 Inhaltsverzeichnis Einleitung 7 1 Aussagen und Mengen 9 1.1 Aussagen:

Mehr

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl

Mehr

Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber dem Computereinsatz im Mathematikunterricht

Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber dem Computereinsatz im Mathematikunterricht Hans-Georg Weigand Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber dem Computereinsatz im Mathematikunterricht *) und mancher Lehrerin Vorbemerkungen 1 Hauptteil 1. (möglicher) Einwand 1. Einwand Minderwertigkeitsgefühl

Mehr

08 Aufgaben zur Wellenoptik

08 Aufgaben zur Wellenoptik 1Profilkurs Physik ÜA 08 Aufgaben zur Wellenoptik 2011 Seite 1 A Überlagerung zweier Kreiswellen Aufgabe A 1 08 Aufgaben zur Wellenoptik Zwei Lautsprecher schwingen mit f = 15 khz und befinden sich im

Mehr

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Vorbemerkung: Bei einem Buchprojekt dauert meist alles etwas länger als geplant. So ging es mir mit dem Erscheinungdatum des zweiten Bandes, der sich

Mehr

Übungen Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Aufgabensammlung. Roland Schwänzl

Übungen Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Aufgabensammlung. Roland Schwänzl Übungen Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Aufgabensammlung Roland Schwänzl SS 999 Inhaltsverzeichnis Mengenlehre 5 Ungleichungen 7 Graphen 4 Induktion 5 5 Endliche Summen 9 6 Folgen 7 Differenzengleichungen

Mehr

Der schwingende Dipol (Hertzscher Dipol): Experimentalphysik I/II für Studierende der Biologie und Zahnmedizin Caren Hagner V6 17.01.

Der schwingende Dipol (Hertzscher Dipol): Experimentalphysik I/II für Studierende der Biologie und Zahnmedizin Caren Hagner V6 17.01. Der schwingende Dipol (Hertzscher Dipol): 1 Dipolachse Ablösung der elektromagnetischen Wellen vom Dipol 2 Dipolachse KEINE Abstrahlung in Richtung der Dipolachse Maximale Abstrahlung senkrecht zur Dipolachse

Mehr

Stabwerkslehre - WS 11/12 Prof. Dr. Colling

Stabwerkslehre - WS 11/12 Prof. Dr. Colling Fachhochschule Augsburg Studiengang Bauingenieurwesen Stabwerkslehre - WS 11/12 Name: Prof. Dr. Colling Arbeitszeit: Hilfsmittel: 90 min. alle, außer Rechenprogrammen 1. Aufgabe (ca. 5 min) Gegeben: Statisches

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus dem Buch Mathematik für Biologen

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus dem Buch Mathematik für Biologen Dirk Horstmann Lösungen zu den Übungsaufgaben aus dem Buch Mathematik für Biologen (1. Auflage) 1. Auflage März 009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer.

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen

Mehr

Sage Tutorium 1. Computermathematik Informatik WS 2009 18. November 2009

Sage Tutorium 1. Computermathematik Informatik WS 2009 18. November 2009 Sage Tutorium 1 Computermathematik Informatik WS 2009 18. November 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Sage als Taschenrechner 1 1.1 Exponentation.......................................... 2 1.2 Langzahlarithmetik........................................

Mehr

Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber g dem Computereinsatz im Mathematikunterricht. Urheberrechten entfernt werden)

Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber g dem Computereinsatz im Mathematikunterricht. Urheberrechten entfernt werden) Hans-Georg Weigand Zehn Bedenken eines fiktiven Lehrers *) gegenüber g dem Computereinsatz im Mathematikunterricht (Manche Bilder mussten aufgrund von Urheberrechten entfernt werden) *) und mancher Lehrerin

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Einführung in MATLAB zur Veranstaltung Einführung in die Numerik

Einführung in MATLAB zur Veranstaltung Einführung in die Numerik Einführung in MATLAB zur Veranstaltung Einführung in die Numerik Christian Stohrer Mathematisches Institut der Universität Basel FS 2011 MATLAB Einführung zur Veranstaltung Einführung in die Numerik Bitte

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Mathe-Übungsbeispiele für ein fixes Honorar rechnen Freie Zeiteinteilung + Heimarbeit Vergleichbar mit Nachhilfe, aber ohne Schülerkontakt

Mathe-Übungsbeispiele für ein fixes Honorar rechnen Freie Zeiteinteilung + Heimarbeit Vergleichbar mit Nachhilfe, aber ohne Schülerkontakt Mathe-Übungsbeispiele für ein fixes Honorar rechnen Freie Zeiteinteilung + Heimarbeit Vergleichbar mit Nachhilfe, aber ohne Schülerkontakt Gesucht Stuenten, ie minestens ie Vorlesungen aus en ersten 2

Mehr

Fourier - Transformation

Fourier - Transformation Fourier - Transformation Kurzversion 2. Sem. Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65 75175 Pforzheim Überblick / Anwendungen / Motivation: Die Fourier-Transformation

Mehr

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist

Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei

Mehr

Polarimetrie. I p I u. teilweise polarisiert. Polarimetrie

Polarimetrie. I p I u. teilweise polarisiert. Polarimetrie E B z I I p I u I I p 2 I u teilweise polarisiert unpolarisiertes Licht: Licht transversale, elektromagnetische Welle Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung elektr. Feldstärke E und magnet. Feldstärke

Mehr

Mathematik-Klausur vom 16.4.2004

Mathematik-Klausur vom 16.4.2004 Mathematik-Klausur vom 16..200 Aufgabe 1 Die Wucher-Kredit GmbH verleiht Kapital zu einem nominellen Jahreszinsfuß von 20%, wobei sie die anfallenden Kreditzinsen am Ende eines jeden Vierteljahres der

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen

Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen Prof. Dr. J. Dorfmeister Vorkurs Mathematik Intensiv TU München Robert Lang WS 06/07 Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen Technische Universität München Wintersemester 2006/2007 1 Funktionen

Mehr

Abiturprüfung Leistungskurs 1994/95 und 1995/96

Abiturprüfung Leistungskurs 1994/95 und 1995/96 Mathematik Abiturprüfung Leistungskurs 994/95 und 995/96 Gymnasium Sachsen Sachsen - Anhalt Thüringen Mecklenburg - Vorpommern Berlin paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbh Berlin Autoren für

Mehr

Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife

Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife Mathematik Berufskolleg zur Erlangung der Fachhochschulreife INHALTSVERZEICHNIS. GRUNDLAGEN. DAS KOORDINATENSYSTEM. DARSTELLUNG VON GERADEN. SEITENVERHÄLTNISSE IM RECHTWINKLIGEN DREIECK 4. WEITERE GERADENGLEICHUNGEN

Mehr

Mathematik für ChemikerInnen I

Mathematik für ChemikerInnen I Mathematik für ChemikerInnen I Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Winter 26 unkorrigiertes Vorlesungsskript Inhaltsverzeichnis Motivation 3 2 Grundbegriffe

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Aufgabe 1 Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden.

Aufgabe 1 Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. Analysis A Aufgabe 1 Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut

Mehr

Fachhochschule Augsburg. Ingenieurinformatik SS05 Seite 1/8

Fachhochschule Augsburg. Ingenieurinformatik SS05 Seite 1/8 Fachhochschule Augsburg Name: FB Maschinenbau Vorname: Ingenieurinformatik SS05 Seite 1/8 Prüfungstermin: 6.7.2005 Prüfer: Prof. Thalhofer Erstprüfer: Hilfsmittel: alle Unterlagen, keine Rechner Prüfungsdauer:

Mehr

Zusätzliche Unterlagen

Zusätzliche Unterlagen Programmieren 1 & 2 Zusätzliche Unterlagen Zusätzliche Unterlagen Inhaltsverzeichnis 1 Hilfe- und Dokumentationsseiten unter UNIX (man pages) 1 2 Plotten unter UNIX (gnuplot) 3 3 Detect Unintended Memory

Mehr

NAE Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik

NAE Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik Forelsalung Inhaltsverzeichnis: hea Unterpunkt Seite Modulation allgeein Deinition 7- Frequenzultiplex 7- Zeitultiplex 7- Übersicht Modulationsverahren Aplitudenodulation (AM) 7-3 Winkelodulation (WM)

Mehr

Bei Aufgaben, die mit einem * gekennzeichnet sind, können Sie neu ansetzen.

Bei Aufgaben, die mit einem * gekennzeichnet sind, können Sie neu ansetzen. Name: Elektrotechnik Mechatronik Abschlussprüfung E/ME-BAC/DIPL Elektronische Bauelemente SS2012 Prüfungstermin: Prüfer: Hilfsmittel: 18.7.2012 (90 Minuten) Prof. Dr.-Ing. Großmann, Prof. Dr. Frey Taschenrechner

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi. H. Gruber, R. Neumann. Prüfungsaufgaben Hessen

Erfolg im Mathe-Abi. H. Gruber, R. Neumann. Prüfungsaufgaben Hessen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Prüfungsaufgaben Hessen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen - plus Aufgaben für GTR und CAS Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Ganzrationale

Mehr

Qualitätsmerkmal: Spezifische intra-/postoperative Komplikationen bei TUR

Qualitätsmerkmal: Spezifische intra-/postoperative Komplikationen bei TUR Qualitätsmerkmal: Spezifische intra-/postoperative Komplikationen bei TUR Qualitätsziel: Selten spezifische intra-/postoperative Komplikationen bei TUR Grundgesamtheit: Patienten mit TUR (OPS-301 5-601.0,.1)

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

PO Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht

PO Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht PO Doppelbrechung und elliptisch polarisiertes Licht Blockpraktikum Herbst 27 (Gruppe 2b) 24. Oktober 27 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Polarisation.................................. 2 1.2 Brechung...................................

Mehr

BACHELORSTUDIENGANG BILDUNG AN GRUNDSCHULEN PO 2015 AMTLICHES MITTEILUNGSBLATT 22/2015 Lehrveranstaltungsnachweis/Deutsch

BACHELORSTUDIENGANG BILDUNG AN GRUNDSCHULEN PO 2015 AMTLICHES MITTEILUNGSBLATT 22/2015 Lehrveranstaltungsnachweis/Deutsch MODUL 1 Grundlagen und Konzeptionen der Didaktik des Lernbereichs Deutsch in der Grundschule (POS: 2130) Obligatorische POS- LV-, LV-Typ Bezeichnung der Lehrveranstaltung WS o. SS Einführung in die VL

Mehr

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II

Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Arbeitsblätter zum Thema Papierfalten und Algebra für den Unterricht Hochbegabter in der Sekundarstufe II Robert Geretschläger Graz, Österreich, 2009 Blatt 1 Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik

Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik Grundzustand und erster angeregter Zustand des Heliumatoms Studienprojekt Molekül- und Festkörperphysik Manuel Zingl 83433 WS 2/2 Einleitung Helium (in stabiler Form) setzt sich aus zwei Protonen, ein

Mehr

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen

Hans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn

Mehr

ARBEITSHEFT. Mathematik mit CAS. Lösungen für TI-Geräte C.C.BUCHNER

ARBEITSHEFT. Mathematik mit CAS. Lösungen für TI-Geräte C.C.BUCHNER ARBEITSHEFT Mathematik mit CAS Lösungen für TI-Geräte C.C.BUCHNER 2 Inhaltsverzeichnnis 2 Einführung in die Arbeit mit einem CAS 3 Kreis und Kugel 5 Kreis und Kugel Kann ich das? 8 Sinus- und Kosinusfunktion

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) I Autor: Harald Höller letzte Änderung: 17.03.10 Lizenz: Creative Commons Lizenz by-nc-sa 3.0 at Differentialgleichungen lösen und plotten in Mathematica Grundlegendes

Mehr

Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen

Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen Niedersachsen 11./1. Schuljahr Grundlegendes und erhöhtes Niveau Herausgegeben von Heinz Griesel, Andreas Gundlach, Helmut Postel, Friedrich Suhr Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen Vorbereitung

Mehr