Mathematischer Vorkurs

Transkript

1 Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 150

2 Organisatorisches Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 150

3 Vorkurs Mathematik für Mathematik und Statistik für die Studiengänge Mathematik Technomathematik Wirtschaftsmathematik Lehramt Mathematik für Gymnasien Lehramt Mathematik für Berufskollegs Statistik Datenanalyse und Datenmanagement Studiengang nicht dabei allg. Vorkursseite Vorlesung: , 10:15 11:45 Uhr, Audimax Übungen: , 8:15-9:45, 12:15-13:45, 14:15-15:45 Uhr Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 3 / 150

4 Informationen zur Vorlesung und Übung Die Homepage zum Vorkurs MATH lautet: vorkurs-mathematik-2015/vorkurs-2-math Das Skript und die Übungszettel sind hier herunterzuladen: vorkurs-mathematik-2015/files Jeder angemeldete Vorkursteilnehmer hat seine Übungsgruppennummer per bekommen (Nachmeldungen zum Vorkurs sind noch möglich). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 4 / 150

5 Allgemeine Informationen Es besteht keine Anwesenheitspicht für den Vorkurs. Zum Vorkurs MATH gibt es eine Pinnwand, auf der sich Teilnehmer austauschen können: nr=_vk_15_2 (Benutzer und Passwort sind jeweils "hm".) Weitere Hinweise sind am schwarzen Brett vor dem Hörsaal E29 sowie hier zu nden: studieninteressierte/vorkurs.html Bei noch oenen Fragen bietet sich die Vorkurs- Adresse an: Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 5 / 150

6 Weitere Informationen Es gibt ein Vorkurs-Ticket vom Verkehrsverbund Rhein-Ruhr. Weitere Informationen zum Vorkurs-Ticket gibt es auf der allgemeinen Vorkursseite. Den VRR-Berechtigungsnachweis für den Erwerb des Tickets können Sie beim AStA unterschreiben lassen. Das Vorkurs-Ticket kann in der Mensa vorgelegt werden, um schon im September zum Studierendentarif essen zu können. Es wird eine Einweisung in die Nutzung der Universitätsbibliothek angeboten. Näheres dazu in den Übungsgruppen. Die Orientierungsphasen der einzelnen Fachschaften sind zu empfehlen (s. allgemeine Vorkursseite). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 6 / 150

7 Themenübersicht 1. Mengen 10. Aussagenlogik 2. Zahlen 11. Aussageformen 3. Ordnung und Betrag 12. Beweisführung 4. Abbildungen und Funktionen 13. Vollständige Induktion 5. Trigonometrie 14. Lineare Gleichungssysteme 6. Dierenzierbarkeit 15. Vektoren 7. Anwendungen der Dierentialrechnung 16. Skalar- und Vektorprodukt 8. Integralrechnung 17. Geraden und Ebenen 9. Logarithmus- und Exponentialfunktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 7 / 150

8 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 8 / 150

9 Mengen 1.1 Denition: Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heiÿen dann Elemente der Menge. Beschreibung von Mengen durch Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {...}.... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt: {x x hat die Eigenschaft E} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 150

10 Mengen Beispiele: Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3,...}. Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null N 0 := {0, 1, 2, 3,...}. Für alle natürlichen Zahlen k > 0 denieren wir N k := {k, k + 1, k + 2,...}. Die Menge der ganzen Zahlen: Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Die Menge { der rationalen Zahlen als Menge der Brüche: a } Q := a, b ganze Zahlen und b > 0. b Die Menge der reellen Zahlen: R. Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen: R + = {x R x > 0}. Die Menge der komplexen Zahlen: C. Die leere Menge (auch { }) ist die Menge, die kein Element enthält. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 10 / 150

11 Mengen Schreibweisen: Ist a ein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Ist a kein Element der Menge M, so schreiben wir kurz a M. Beispiel: 1 N, 2 Z aber 3 N. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 11 / 150

12 Mengen 1.2 Denition: Mengenoperationen Es seien M und N Mengen. 1. Die Vereinigungsmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M oder in N enthalten sind. Also M N = {x x M oder x N}. 2. Die Schnittmenge M N ist die Menge der Elemente, die in M und in N enthalten sind. Also M N = {x x M und x N}. 3. M heiÿt Teilmenge von N, wenn alle Elemente die in M enthalten sind auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M N oder N M. 4. Die Dierenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N enthalten sind, aber nicht in M, also N \ M := {x x N und x M}. 5. Ist M N so ist das Komplement von M (bezüglich N) durch M c := {x x N und x M} deniert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 12 / 150

13 Mengen 1.3 Bemerkung Es gilt in jedem Fall M M. In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel M N =, so ist N \ M = N und M \ N = M. Ist aber M N so ist N \ M = M c und M \ N =. Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M N und N M. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 150

14 Mengen Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen darstellen: M N M N N M M N M N M N M N M \ N Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 150

15 Mengen 1.4 Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen 1. M N = N M und M N = N M. 2. (M N) P = M (N P ) und (M N) P = M (N P ). 3. M (N P ) = (M N) (M P ). 4. M (N P ) = (M N) (M P ). 5. (M c ) c = M. 6. (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 150

16 Mengen 1.5 Denition: Kartesisches Produkt 1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M N bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit m M und n N. Also: M N = {(m, n) m M und n N}. Ist M G 1 und N G 2 so kann man das kartesische Produkt wie folgt darstellen: G 2 N M x N M G 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 16 / 150

17 Mengen 1.5 Denition: Kartesisches Produkt[cont.] 2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M 1,..., M k wird analog deniert. Z.B. ist R 3 = R R R = {(x, y, z) x, y, z R} Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 17 / 150

18 Mengen 1.6 Denition: Quantoren Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so schreiben wir x M : A(x), wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat in Worten: für alle x M gilt A(x) und x M : A(x), wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat in Worten: es gibt ein x M mit A(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 18 / 150

19 Zahlen Kapitel 2 Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 19 / 150

20 Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind N Z Q R ( C) }{{} später. 2.1 Denition: Rationale und irrationale Zahlen 1. R ist die Menge der Dezimalbrüche. 2. Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche. Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die Zahl n, a 1 a 2... a k 1 a k 9 mit der Zahl n, a 1 a 2... a k 1 b k identiziert mit b k = a k + 1. Dabei ist n N 0, a 1, a 2,..., a k 1 {0, 1,..., 9}, a k {0, 1,..., 8}. 3. Die Elemente der Menge R \ Q, also die nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbrüche, heiÿen irrationale Zahlen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 20 / 150

21 Zahlen Beispiele irrationaler Zahlen: 1. Die Länge der Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 ist irrational. Diese Länge ist 2 = 1, Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese Länge ist π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, ist irrational. 2.2 Denition: Rechenoperationen Sind x, y R so sind die Rechenoperationen x + y, x y, xy und für y 0 auch x y erklärt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 21 / 150

22 Zahlen 2.3 Satz: Rechenregeln 1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze) 2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze) 3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz) Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln 4. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 und (a + b)(a b) = a 2 b 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 22 / 150

23 Zahlen 2.4 Denition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte Sind m, n N 0 mit m n und a m, a m+1,..., a n R so schreiben wir n 1. a k = a m + a m a n und 2. k=m n a k = a m a m+1... a n k=m Dabei kann der Laundex eine beliebige Variable sein, etwa n n a k = a j. k=m j=m Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist n a k = 0 k=m und n a k = 1 k=m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 23 / 150

24 Zahlen Rechenregeln und Beispiele: a n a k = k=m n a k + k=m n a k k=m n (a a k ) k=m n b k = k=m n b k = k=m Indexverschiebung: n (a k + b k ) und k=m n (a k b k ). k=m n a k = k=m Arithmetische Summenformel: geometrische Summenformel: q 1. n+t k=m+t a k t. n k = k=1 n k=0 n(n + 1). 2 q k = 1 qn+1 1 q für eine reelle Zahl Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 24 / 150

25 Zahlen 2.5 Denition: Potenzen Für a R und n N 0 setzen wir a n := n a. k=1 Insbesondere gilt also a 0 = 1 und 0 0 = 1 aber 0 n = 0 für n > 0. Für a R \ {0} und n N 0 setzen wir a n := 1 a n. a R heiÿt die Basis und n Z der Exponent der Potenz a n. 2.6 Satz: Potenzregeln Für n, m Z gilt: 1. a m a n = a n+m und a n b n = (ab) n sowie 2. (a m ) n = a mn falls die Ausdrücke deniert sind. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 25 / 150

26 Zahlen 2.7 Denition: Quadratwurzel Sind a, b R und b 2 = a so denieren wir {b falls b 0 a := b falls b < 0 Die stets nicht-negative Zahl a heiÿt Quadratwurzel von a. 2.8 Satz: Existenz der Quadratwurzel Die Gleichung x 2 = a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x 1 = a und x 2 = a. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 26 / 150

27 Zahlen Satz 2.8 lässt sich noch verallgemeinern: 2.9 Satz: Höhere Wurzeln 1. Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a. 2. Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 0, dann hat die Gleichung x n = a für a < 0 keine reelle Lösung,... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und... für a > 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x 1 = n a und x 2 = n a bezeichnen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 27 / 150

28 Zahlen 2.10 Bemerkung Wir setzen nun a 1 n m Z, := n a für a 0 und n N, und denieren(!), für a m n := ( a 1 n ) m. Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6 weiterhin gültig bleiben. Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten erweitert. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 28 / 150

29 Zahlen 2.11 Satz: p-q-formel Es sei D := p 2 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung x 2 + px + q = die eindeutige (reelle) Lösung x = p falls D = 0, 2... die zwei (reellen) Lösungen x 1 = p + D und x 2 = p D 2 2 falls D > 0, und... keine reelle Lösung falls D < 0. Die Zahl D heiÿt Diskriminante der quadratischen Gleichung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 29 / 150

30 Zahlen 2.12 Denition: Fakultät und Binominalkoezient 1. Für natürliche Zahlen n N 0 ist die Fakultät deniert als n! := n k. k=1 Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! (n + 1). 2. Für zwei natürliche Zahlen k, n N 0 mit k n ist der Binomialkoezient deniert als ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := = k k!(n k)! k! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 30 / 150

31 Zahlen 2.13 Satz: Eigenschaften der Binomialkoezienten ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = = 1 und =. 0 n k n k ( ) ( ) ( ) n n n = (Additionstheorem). k k + 1 k + 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 31 / 150

32 Zahlen Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoezienten im Pascalschen Dreieck anordnen: ( n k) n Binomischer Lehrsatz Für x, y R und n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k k Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 32 / 150