7 Faktorielle Ringe (ZPE-Ringe)

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1 7 Faktorielle inge (ZPE-inge) Bemerkung: ZPE... Zerlegung Primfaktoren Eindeutig, engl.: UFD...unique factorization domain. 7.1 Primfaktorzerlegung In diesem Abschnitt sei ein kommutativer ing und Integritätsbereich mit 1 Element. Definition: (1) Seien x, y. x teilt y x y z mit z x = y y x = x y x y x. (2) x assoziiert zu y x y und y x u PS mit y = ux x = y x = y x y. (3) y ist trivialer Teiler von x y (y 1) oder y x. (x = u 1 y) (4) Seien x 1,...,x n, d. d heißt ein größter gemeinsamer Teiler von x 1,...,x n (a) d x i i, (b) d x i i d d. PS d ist das kleinste Hauptideal, das alle x 1,...,x n enthällt d ist das kleinstes Hauptideal mit d x 1,...,x n. (5) p \ heißt irreduzibel oder unzerlegbar p hat nur triviale Teiler PS 0 p \ und (p = xy x p oder y p). (6) p prim p = p Primideal p \,p 0 und (p xy p x oder p y). (Oder: xy p x p oder y p.) Bemerkung: Es gilt: p prim p irreduzibel. Umkehrung gilt nicht (vergleiche Beispiel später). Satz: Seien noethersch und Integritätsbereich, 0 a \. Dann existiert eine Darstellung a = q i q m mit m 1, q i irreduzibel. Beweis: Heuristisch: (a) a irreduzibel: fertig. (b) a nicht irreduzibel: Zerlege a = a 1 a 2, wobei a 1,a 2 echte Teiler. Zerlege nun a 1 und a 2 weiter in Produkte von echten Teilern solange wie möglich. Genauer: Setze E := { a = a, 0 a \, a hat keine Produktzerlegung mit irreduziblen Faktoren}. Zeige: E =. Annahme: E ( noethersch) E besitzt ein bzgl. der Inklusion maximales Ideal, etwa a = a, für ein a \, a 0. Dann ist a nicht irreduzibel, also a = bc mit b, c echte Teiler. Daraus folgt: b a, c a. 71

2 Also b, c / E und damit b = q 1,...,q m,c= p 1,...,p n mit q i,p j irreduzibel. Zusammen: a = q 1 q m p 1 p n also a / E, Widerspruch. Beispiele: Z, Z[x], K[x] (K Körper), Z[i] erfüllen den Satz. Satz (Faktorielle inge): Sei Integritätsbereich. Annahme: Für alle 0 a \ existiere eine Produktzerlegung mit m 1, q i irreduzibel. Dann sind äquivalent: ( ) a = q 1 q m (1) ( ) ist eindeutig bis auf eihenfolge und Assoziiertheit. (Ist a = q 1 q m = p 1 p n mit q i,p i irreduzibel, dann ist m = n und nach Umnummerierung q i p i i.) (2) Jedes irreduzible Element von ist prim. Definition: Ein ing mit ( ) und(1)bzw.(2)heißt faktoriell oder ZPE-ing. Beweis: (1) (2): Z.z.: Aus p irreduzibel folgt bereits p prim, d.h. (p ab p a oder p b). (i) a = 0 oder b = 0: Klar. (ii) a oder b : Klar. (iii) 0 a, b \ : Aus p ab folgt: c mit pc = ab. Schreibe a = q 1 q m,b= p 1 p n mit q i,p j irreduzibel. Also pc = q 1 q m p 1 p n (p irreduzibel, hat also nur triviale Teiler) c \,c 0. Also c = s 1 s k mit s l irreduzibel. Damit: pc = ps 1 s k = q 1 q m p 1 p n. Wegen (1) ist Darstellung eindeutig, also p q i oder p p j für ein i oder ein j. Damit: p a oder p b. (2) (1): Sei a \,a 0, a = p 1 p m = q 1 q n mit p i,q i irreduzibel. Z.z.: m = n und p i q i nach Umordnung. Induktion über n: (!) n =1:q 1 = p 1 p m q 1 p 1 p m (q 1 prim, p i irreduzibel) j mit q 1 p j, also p j = uq 1 mit u. Einsetzen liefert: q 1 = p 1 p m = uq 1 p 1 ˆp j p m (Kürzen, da Integritätsbereich) 1 = up 1 ˆp j p m m =1 q 1 = p 1. n>1: q 1 prim und q 1 p 1 p m q 1 p j für ein j, o.b.d.a.:j =1. Also q 1 p 1 (q 1,p 1 irreduzibel, also q 1 p 1 ) u mit p 1 = uq 1. Wir erhalten: uq 1 p 2 p m = q 1 q 2 q n (Kürzen) up 2 p m = q 2 q n (Induktions-Annahme) m = n und p i q i nach Umordnung. Folgerung: Ist Hauptidealring, Integritätsbereich, so ist ein ZPE-ing. Beweis: Siehe PS. Beispiele: (1) Z, K[x] (K Körper), Z[i] sindzpe-inge. (2) Z[ 3] = ist kein ZPE-ing, denn: 72

3 4=2 2=(1+ 3)(1 3), wobei alle Faktoren irreduzibel sind. Beweis: (a) Z[ 3] = Z Z 3=Z[x]/ x 2 +3 a + b 3mita, b Z. (b) Betrachte folgende Norm N : Z[ 3] N, a+ b 3 (a + b 3)(a b 3) = a 2 +3b 2 ( mißt die Größe von a + b 3 ). N ist multiplikativ und unitär (!). (c) Sei u Z[ 3] mit u v =1für ein v Z[ 3], also N(uv) =N(u)N(v) = 1. Daher: N(u) =N(v) =1. Aber: a 2 +3b 2 =1 a = ±1, b=0. Z[ 3] = {±1}; insbesondere sind also 2, 1 ± 3 nicht invertierbar. Denn: (N(2) = 4, N(1 ± 3) = 4.) (d) 2 irreduzibel: Vergleiche PS. (e) irreduzibel: Sei etwa = (a + b 3)(c + d 3) = (ac 3bd)+(ad + bc) 3), wobei a, b, c Z. Koeffizientenvergleich liefert: ac 3bd = 1, ad + bc = 1. N((ac 3bd)+(ad+bc) 3) = a 2 c 2 +3a 2 d 2 +3b 2 c 2 +9b 2 d 2 =4=N(1+! 3). Daraus folgt: b = 0 oder d =0,alsoo.B.d.A.:b =0,d 0. Damit: 1 + 3=ac + ad 3, also ac =1, ad = 1. Somit: a, c, d = ±1, also 1+ 3 irreduzibel. (f) , 1 3: Vergleiche PS. Definition (epräsentantensystem): Sei ein ZPE-ing. Ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente (= Primelemente) von ist eine Teilmenge P mit (a) alle p P sind irreduzibel = prim, (b) q irreduzibel p P mit q p, (c) aus p, p P,p p folgt p p. Beispiele: (1) In = Z ist P = {p N, pprim} ein epräsentantensystem. (2) In = K[x] (K Körper) ist P = {normierte, irreduzible Polynome} ein epräsentantensystem. Satz: Seien ein ZPE-ing und P ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente von. Dann existiert für jedes a, a 0,genaueineDarstellung a = u p np ( ) p P mit u, n p N, n p =0für fast alle p P. (n p =ord p a = Ordnung von a bzgl. p). Bemerkung: Die Berechnung von ( ) kann sehr aufwendig sein. Seien p, q Z prim mit 300 Stellen und a = p q. Dannsindp und q aus a praktisch nicht ausrechenbar (vergleiche Kryptographie). 73

4 Beweis: Existenz: (a) a : a = a p P p0 mit u = a. (b) a/ :Da ein ZPE-ing ist, folgt a = q 1 q m mit m 1 und q i irreduzibel. P ist epräsentantensystem, daher: i p = p(i) Pmit q i p, also a = u p P pnp. Eindeutigkeit: Sei a = u p P pnp = v p P pmp.dap ein epräsentantensystem ist, folgt daraus: n p = m p p P (!). Folgerung: Sei ein ZPE-ing mit epräsentantensystem P und sei K = Quot(). Dann existiert für alle 0 x K eine eindeutige Darstellung x = u p np mit n p Z, n p =0für fast alle p P. Beweis: Siehe PS. 7.2 Satz von Gauss p P In diesem Abschnitt sei stets ein ZPE-ing. Ziel: Aus ZPE-ing folgt [x] ZPE-ing. Definition (verallgemeinerte Teilbarkeit): Seien ZPE-ing, K = Quot() und x, y K. (a) x teilt y (bzgl. ) x y r mit y = rx. (b) x assoziiert zu y über x y r mit y = rx. (c) Seien x 1,...,x n, d K ist ein ggt von x 1,...,x n bzgl. d x 1,...,x n und jedes d, das x 1,...,x n bzgl. teilt, teilt auch d bzgl.. Folgerung: Seien ZPE-ing, K =Quot(), x,y K, x, y 0und P ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente von. (1) x y p P: ord p (x) ord p (y). (2) x y p P: ord p (x) =ord p (y). (3) ggt (x 1,...,x n ) existiert immer für x 1,...,x n K und für alle p P gilt: ord p (ggt (x 1,...,x n )) = min i {ord p (x i )}. ggt ist eindeutig bis auf Faktor in! Beweis: Nachprüfen (!). Beispiel: ggt Z ( 1 4, 1 5 )=ggt Z( 5 20, 4 20 )= 1 20 ggt Z(5, 4) = 1 20 (!). 74

5 Definition (Inhalt eines Polynoms): Seien ein ZPE-ing, K = Quot() und 0 P = i N p ix i K[x], p i K. (1) v(p )=Inhalt von P (über ) =ggt (p i ) = ggt (p 0,p 1,...,p n )mit n = deg(p ). Dieser ist eindeutig bis auf Assoziiertheit (d.h. bis auf Multiplikation mit Elementen in ). (2) P primitiv v(p ) 1 v(p ) 1=ggT (p 0,...,p n ). Beispiele: (1) Seien P = 1 2 x x Q[x], = Z. Dann: v(p )=ggt Z ( 1 2, 1 3 )= 1 6 / Z = {±1}, alsop nicht primitiv. (2) Sei P =2x 2 +3x Q[x], = Z. Dann ist P primitiv. Bemerkung: Aus P [x] folgtv(p ). Speziell: P K[x] primitiv v(p ) P [x] (!). Satz: Für jedes 0 P K[x] existiert bis auf Assoziiertheit bzgl. (d.h. bis auf Multiplikation mit Elementen in )genaueinedarstellungp = a Q mit a K und Q primitiv. Beweis: (i) Für α K gilt: v(αp )=α v(p ). (ii) Existenz: Aus v(p ) 0folgtc := v(p ) K.Also:P = c c 1 P mit v(c 1 P )=c 1 v(p )=1,alsoc 1 P primitiv. (iii) Eindeutigkeit: Sei P = a Q mit a K und Q primitiv. Wir zeigen: a =v(p ) und Q =v(p ) 1 P (genauer: a v(p ), Q [x] v(p ) 1 P ). (a) v(p )=v(aq) =av(q) mita K.Wegenv(Q) 1, folgt a v(p ). (b) Wegen a = uv(p )mitu,folgtp = aq = uv(p )Q. Daher: Q = u 1 (v(p ) 1 P ), also Q [x] v(p ) 1 P. Beispiel: Sei P = 1 3 x x Q[x]. Dann: P = 1 (2x 2 +3x). }{{} 6 }{{} Q primitiv Lemma (Lemma von Gauß): Sind 0 P 1,P 2 K[x] primitiv, so ist auch P 1 P 2 primitiv. Beweis: (1) P 1,P 2 primitiv P 1,P 2 [x] ( ing) P 1 P 2 [x]. (2) Annahme: P 1 P 2 nicht primitiv, also v(p 1 P 2 ) 1. Daher existiert ein p irreduzibel (= prim) das v(p 1 P 2 )teilt.damit:p teilt alle Koeffizienten von P 1 P 2,alsoP 1 P 2 = 0in/ p [x]. Aber: p prim p Primideal / p Integritätsbereich / p [x] Integritätsbereich. Wegen P 1 P 2 = P 1 P 2 = 0folgtP 1 = 0 oder P 2 =0in/ p [x], also teilt p alle Koeffizienten von P 1 oder von P 2,WiderspruchzuP 1,P 2 primitiv. Folgerung: Für 0 P 1,P 2 K[x] gilt: v(p 1 P 2 ) v(p 1 ) v(p 2 ). Beweis: Setze V 1 := v(p 1 ), V 2 := v(p 2 ). Schreibe P 1 P 2 = V 1 V1 1 P 1 V 2 V2 1 P 2 = (V 1 V }{{ 2 } K ) (V1 1 P 1 V2 1 P 2 ) }{{} primitiv nach Lemma von Gauß 75

6 (Darstellung eindeutig nach Satz oben) v(p 1 P 2 ) V 1 V 2. Folgerung: Sei P [x] mit deg(p ) > 0 und P nicht irreduzibel in K[x]. Dann existiert eine Zerlegung P = P 1 P 2 mit P i [x] und deg(p i ) < deg(p ). Beweis: Nach Voraussetzung ist P nicht irreduzibel in K[x], also P = P 1 P2 mit P i K[x], deg( P i ) < deg(p ). Setze V 1 := v( P 1 ), V 2 := v( P 2 ). Schreibe: P =(V 1 V 2 V1 1 1 P 1 ) (V2 P 2 ). }{{}}{{} =:P 1 =:P 2 Aus P 2 primitiv, V1 1 P 1 primitiv und V 1 V 2, folgtp 1,P 2 [x] und deg(p i ) = deg( P i ) < deg(p ). Folgerung: Sei 0 P K[x] normiert, P = P 1 P 2 mit P 1,P 2 K[x] normiert. Dann sind P 1,P 2 [x]. Beweis: Z.z.: v(p i ). Aber: v(p 1 P 2 ) v(p 1 )v(p 2 ) v(p ).Also u mit v(p )=uv(p 1 )v(p 2 ). Aber: P 1 normiert v(p 1 ) 1 r mit 1 = v(p 1 ) r v(p 1 ) 1. Wir erhalten: v(p 2 )=v(p) u 1 v(p 1 ) 1 P 2 [x]. Analoger Beweis liefert: P 1 [x]. Satz: Sei 0 P [x]. Dannsindäquivalent: (1) P ist irreduzibel in [x]. (2) Entweder: P ist konstant, also P, und dort prim. Oder: P ist primitiv und irreduzibel als Polynom in K[x]. Beweis: (2) (1): Klar, nach Sätzen vorher. (1) (2): (a) deg(p )=0:AlsoP konstant und da P irreduzibel in [x] istp auch irreduzibel, also prim, in. (b) deg(p ) > 0: Klar: P primitiv. Weiters: Wäre P in K[x] reduzibel Folgerung P reduzibel in [x], Widerspruch. Folgerung: Sei P ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente von, und sei F ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente von K[x]. Dann folgt: P {v(p ) 1 P, P F}ist ein epräsentantensystem der irreduziblen Elemente von [x]. Beweis: Nach letztem Satz (!). Beispiel: Z[x] Q[x]. Satz von Gauß: Ist ein ZPE-ing, dann ist auch [x] ein ZPE-ing. Speziell: Jedes Polynom in Z[x] hat bis auf Assoziiertheit eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Beweis: Seien P und F epräsentantensysteme wie in der letzten Folgerung. 76

7 Z.z.: Für alle 0 Q [x] existiert eine eindeutige Darstellung Q = u p mp n f f, p P wobei u ([x]) =,m p,n f N, fastallegleichnull. Für f Fsetze f := v(f) 1 f. f ist primitiv (da v( f ) 1) und irreduzibel. Existenz: Betrachte [x] alsunterringvonk[x], K = Quot(). Wissen: K[x] istzpe-ing.daherexistiertfaktorisierung Q = a f n f mit a K,n f N, fastallegleichnull. Damit: Q = a v(f) n f } {{ } v(q) n f f. }{{} primitiv nach Lemma von Gauss v(q) a v(f)n f =: r mit r = n p P mit n (da ZPE- pmp ing). Zusammen: Q = n p mp n f f. Eindeutigkeit: Sei weiters p P Q = u p P p m p n f f. Ausreichend z.z.: u u und m p = m p,n f = n f p P f F. Es genügt: n f = n f f F ( u p m p = u p m p ( ZPE ing) m p = m p p P, und u u). Aber: Q = a f n f = a f n f in K[x]. Da K[x] ein ZPE-ing ist, folgt daraus: n f = n f f F. Folgerung: Ist ein ZPE-ing, so auch [x 1,...,x n ]. Beweis: Induktion über n: [x 1...,x n ]= [x 1...,x n 1 ] }{{} ZPE ing nach Induktion [x n ]ZPE-ingnachSatzvonGauß. 7.3 Irreduzibilitätskriterien Ziel: Feststellen ob ein Polynom irreduzibel ist (im allgemeinen schwierig). Lemma: Sei ein kommutativer ing, A ein Ideal. Sei weiters P = P 1 P 2 [x] mit deg P i < deg P und Leitkoeffizient(P ) / A. Dann gilt: 77

8 P = P 1 P 2 in / A [x] mit deg P i < deg P. In Worten: Eine echte Zerlegung in [x] liefert eine echte Zerlegung in / A [x] falls lk(p ) / A. Beweis: Aus lk(p ) / Afolgt lk(p )=lk(p ). Damit ist deg P = deg P. Somit: deg P i deg P i < deg P = deg P. Satz (eduktion modulo p): Seien ein ZPE-ing, K =Quot() und p ein Primideal. Für 0 P [x] mit deg P>0und lk(p ) / p gilt: Ist P irreduzibel in /p[x], dannistp auch irreduzibel in K[x] (und damit insbesondere auch in [x]). Beweis: Annahme: P reduzibel in K[x]. Daraus folgt, mit dem Lemma von Gauß: P = P 1 P 2 mit P i [x] und deg P i < deg P.MitvorherigemLemma folgt: P ist reduzibel in /p[x]. Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes. Beispiel: Sei = Z K =Quot(Z) =Q. Weiters sei P = x 5 + x 3 +1 Z[x], v(p )=1,alsoP primitiv. Ist P irreduzibel in Q[x] oder Z[x]? Idee: Betrachte P modulo p Z prim, z.b.: p =2. Behauptung: P ist irreduzibel in Q[x]. Nach vorigem Satz ist es ausreichend zu zeigen: P = x 5 + x Z/ pz [x] irreduzibel. (1) Faktoren vom Grad 1: Diese sind gegeben durch die Nullstellen von P in Z/ 2Z, aber P (0) = 1, P (1) = 1+1+1=1. Also hat P keine linearen Faktoren. (2) Faktoren vom Grad 2: Unbestimmter Ansatz Q = x 2 +ax+b mit a, b Z/ 2Z ergibt: Wäre b = 0, dann könnte man aus Q den Faktor x herausfaktorisieren und man erhält einen linearen Faktor x von P. Damit muss b = 1sein.Wäre a = 0, dann wäre 1 eine Nullstelle von Q, unddaherauchvonp.damitist a = 1 und Q = x 2 + x + 1. (3) Dividiere P euklidisch durch Q: (x 5 + x 3 + 1) = (x 2 + x + 1) (x 3 + x 2 + x)+(x +1).AlsoistQ kein Teiler P. }{{} est 0 Satz (Eisenstein s Irreduzibilitätskriterium): K =Quot() und P = n a i x i [x] ein Polynom i=0 Seien ein ZPE-ing, mit deg P = n 1, also a n 0. Gegeben sei weiters p prim mit: p a n, p a n 1,...,a 0, p 2 a 0.DannistP K[x] irreduzibel. Bemerkung: Der letzte Satz ist unkonstruktiv, denn er gibt nicht an, wie man ein geeignetes p findet. Beweis: Indirekt: Angenommen: P ist in K[x] reduzibel. Daraus folgt nach Lemma von Gauß: Darstellung P = P 1 P 2 mit P i [x] und deg P i < deg P. Damit: P = P 1 P 2 in / p [x]. 78

9 Schreibe: P 1 = b l x l + + b 0, b i, b l 0, P 2 = c m x m + + c 0, c i, c m 0mitl, m < deg P = n. Wegen P = P 1 P 2 gilt: a 0 = b 0 c 0.Wegenp a 0 und p 2 a 0 folgt o.b.d.a. p b 0 und p c 0, d.h. b 0 = 0 und c 0 0in/ p. Weiters: Aus a n = b l c m,n= l + m folgt: 0 a n = b l c m in / p (da / p Integritätsbereich). Damit: b l 0in / p. Zusammen: P 1 = b l x l + + b k x k mit k 1, k l, b k 0, P 2 = c m x m + + c 0 mit c 0 0. Damit: P = a n x n =(...)+b k c }{{} 0 x k. Widerspruch zur Voraussetzung P = a n x n. 0 Beispiel: Sei = Z und a = ± p np Z. p>0 prim Wähle p prim mit n p = 1. Dann ist x m a für alle m N, m 1, in Z[x] irreduzibel. Beweis: } p 1=lk(x m a) p a, p 2 (Eisenstein) x a m a irreduzibel. 7.4 Kongruenzen und Chinesischer estsatz Ziel: Gegeben seien p 1,...,p n Z verschiedene Primzahlen und b 1,...,b m Z. Finde konstruktiv a Z mit a b i mod p i i =1,...,n, d.h. p i (a b i ) i. Beispiel: Seien p 1 =5, p 2 = 7 und b 1 =2, b 2 =4. Finde a Z mit: a 2 mod 5 a 4 mod 7 (Lösung: a =32.) Definition (fremde Ideale): Sei ein kommutativer ing. Zwei Ideale a 1,a 2 heißen fremd a 1 + a 2 =. Beispiel: Seien = Z, a 1 = Za, a 2 = Zb mit a, b Z. Danngilt: a 1,a 2 fremd Za + Zb = Z k, l Z mit ka + lb =1 ggt(a, b) =1. Satz (Chinesischer estsatz, 1. Version): Seien ein kommutativer ing und A 1,...,A n paarweise fremde Ideale. Dann gilt: Für alle b 1,...,b n existiert ein a mit (d.h.: a b i A i ). a b i mod A i i =1,...,n. Satz (Chinesischer estsatz, 2. Version): Seien ein kommutativer ing, A 1,...,A n Ideale und n A = A i. 79

10 (1) Sei α : / A1 / An, x (x,..., x) die kanonische estklassenabbildung. Dann: gilt α surjektiv A i paarweise fremd. (2) Weiters gilt: A i paarweise fremd A = n A i = n A i. (3) Weiters gilt: A i paarweise fremd α induziert -Algebrenisomorphismus α : / A1 A n / A1 / An. Speziell: Seien = Z, A i = Zm i und A = Zm i = Z kgv(m i ). Dann gilt (1) m i paarweise teilerfremd die kanonische Abbildung Z Z/ Zm1 Z/ Zmn ist surjektiv. (2) m i paarweise teilerfremd kgv(m i )= n m i. (3) m i paarweise teilerfremd Z/ Πmi = Z/Zm1 Z/ Zmn. Beweis: (2) Z.z.: n A i = n A i. Induktion über n: n =1:A 1 = A 1.Fertig. n>1: Setze B i = A 1 Âi A n. Da die A i paarweise fremd sind, sind auch A i und B i fremd. Daher: A i + B i =, also a i A i,b i B i mit a i + b i =1. Z.z.: A i B i = A i B i (denn nach Induktionsannahme ist B i = j i A i). (i) A i B i A i B i :Giltimmerfür Ideale. (ii) A i B i A i B i : Sei x A i B i. Schreibe x = x 1 =x (a i +b i )=xa i +xb i A i B i (nach Definition des Produktes von Idealen). Damit: A i B i A i B i. Zusammen: A 1 A n = A i B i = A i ( j i A j)=a i ( j i A j)= i A i. (3) Folgt aus (1) und Homomorphiesatz. (1) : Ausreichendz.z.:e i := (0,...,0, 1, 0,...,0) liegt im Bild von α (da kan -linear und -Erzeugendensystem von / A1 / An ). Nach (2) existieren a i A i,b i B i = A 1 Âi A n mit a i + b i =1. Behauptung: α(b i )=e i. Aber: Für α =(α 1,...,α n )gilt: j = i: α i (b i )=b i modulo A i = a i + b i = 1. j i: α j (b i )=b i modulo A j.wegenb i A j j i gilt: b i = 0. : Sei α surjektiv, d.h. i b i mit α(b i )=e i. Damit: i b i mit b i 1 mod A i, b i 0 mod A j für j i. Also: b i A j j i und a i A i mit a i +b i = 1. Daher: A i +A j = j i. 80

11 Lösen von Kongruenzen in Z Seien m 1,...,m n Z paarweise teilerfremd. Gegeben seien beliebige b 1,...,b m Z. Findeallex Z mit ( ) x b i mod m i i =1,...,n, d.h. m i teilt x b i i. Satz: Ist a eine partikuläre Lösung von ( ), dannistdiegesamtelösungsmenge von der Gestalt n L = a + Z m i Z. Beweis: Betrachte α : Z Z/ Zm1 Z/ Zmn. α ist surjektiv mit ker α = Z n m i. Damit: L = α 1 (b 1,...,b n )=a + ker α = a + Z n m i. Satz: Betrachte wieder das Kongruenzensystem x b i a i Z Lösungen des Kongruenzensystems mod m i.weitersseien Dann ist ( i ) eine partikuläre Lösung von ( ). x 1 mod m i x 0 mod m j j i. a := n a i b i Beweis: Z.z.: m j teilt a b j für alle j =1,...,n. Aber: n a b j = a i b i b j = a i b i + a j b j b j = i j i j Nach Definition der a i gilt für alle j i: Daraus folgt: m j teilt a b j j. m j teilt a i, m j teilt a j 1. a i b i +(a j 1)b j. Bemerkung: Damit genügt es, partikuläre Lösungen der Systeme ( i )für alle i zu konstruieren. Satz: Zu gegebenen teilerfremden m 1,...,m n Z und zu jedem i n existiert ein Konstruktionsverfahren, das eine Lösung des Gleichungssystems berechnet. x 0 mod m j j i, x 1 mod m i Beweis: Sei 1 i n fix gewählt. Da m 1,...,m n teilerfremd sind, sind auch 81

12 m i und m := j i m j teilerfremd. Euklidischer Algorithmus liefert s, t Z mit sm + tm i =ggt(m, m i ) = 1. Das Produkt sm = s j i m j wird von allen m j,j i, geteiltundhatmodulom i den est 1. Das heißt: sm 0 mod m j j i, sm 1 mod m i. Beispiel: Finde x Z mit: Löse dazu die 3 Systeme: x 1 mod 2, x 2 mod 3, x 3 mod 5. x 1 mod 2 x 0 mod 2 x 0 mod 2 x 0 mod 3 x 1 mod 3 x 0 mod 3 x 0 mod 5 x 0 mod 5 x 1 mod 5 Lösung: a 1 a 2 a 3 Gesamte partikuläre Lösung: a =1 a 1 +2 a 2 +3 a 3 =23. Alle Lösungen: L =23+Z 30. Dazu eine Anwendung: echnen im Computer Idee: Seien m 1,...,m n Z teilerfremd. Betrachte α : Z Z/ Zm1 Z/ Zmn.AnstattinZ zu rechnen, rechne in Z/ Zm1 Z/ Zmn mit relativ kleinen Zahlen und schließe aus dem Ergebnis auf das tatsächliche Ergebnis in Z zurück. Wissen: Z/ Zm = Z/Zm1 Z/ Zmn mit m = n m i. Damit muss man das Ergebnis in Z/ Zm noch richtig liften. Aber Z/ Zm = {c, c +1,...,c + m 1} für jedes c Z. BestimmedurchÜberschlagsrechnung ein geeignetes c Z mit Lösung in {c, c +1,...,c+ m 1} = C. Dannliefert die Lösung in Z/ Zm schon die Lösung in C und damit in Z. Beispiel: Berechne in Z. Wähle etwa m 1 =20, m 2 =21, m = m 1 m 2 = Lösung: x =17+23liegtin{0, 1, 2,...,m 1} = C. (c =0) Betrachte α : Z Z 20 Z ( 3, 4) 23 (3, 2) Also: ( 3, 4) + (3, 2) = (0, 2). Finde nun α 1 (0, 2) in C, d.h. löse die Kongruenz x 0 mod 20 x 2 mod 21 82

13 in C. Ergebnis: x =40. 83