Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme. Frank-Olaf Schreyer Mathematik und Informatik Universität des Saarlandes

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1 Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme Frank-Olaf Schreyer Mathematik und Informatik Universität des Saarlandes

2 Einleitung Ziel des Vortrags : mit Computeralgebra die Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme entscheiden Strukturaussagen über die Lösungsmenge Dimension des Lösungsraums? Anzahl der Lösungen? (wenn endlich) Parametrisierung der Lösungen, wenn möglich.

3 Beispiele Das Gleichungssystem x 2 +2y 2 =1 2x 2 +y 2 =1 hat die 4 Lösungen : (x,y)) = ± 3 ± 3 (, ) 3 3

4 Beispiele Das Gleichungssystem x 2 +y 2 =1 x - y =2 hat keine reelle Lösungen, aber zwei komplexe: (1+i ½ 2, 1 i ½ 2) oder (1 i ½ 2, 1+i ½ 2).

5 Beispiele Das Gleichungssystem y = x 2 z = x 3 hat eine Kurve als Lösungsmenge V = {(t,t 2,t 3 ) : t C}

6 Beispiele Das Gleichungssystem y = x 2 z = x 3 hat eine Kurve als Lösungsmenge V = {(t,t 2,t 3 ) : t C}

7 Beispiele Das Gleichungssystem y = x 2 z = x 3 hat eine Kurve als Lösungsmenge V = {(t,t 2,t 3 ) : t C}

8 Das Gleichungssystem x 2 +y 2 =1 x 2 +y 2 =2 hat gar keine Lösungen, da die Differenz der Gleichungen eine nicht lösbare Gleichung liefert: 0=1. Beispiele

9 Allgemeine Aufgabenstellung Gegeben sind endlich viele Polynome f 1,,f r Q[x 1,,x,x n ] in endlich vielen Variablen. Hat das Gleichungssystem f 1 (x 1,,x n )=0 f r (x 1,,x n )=0 eine Lösung a=(a 1, a n ) C n?

10 Eine notwendige Bedingung Ist a = (a 1,,a n ) C eine Lösung, L dann löst es auch jede Gleichung f(x 1,,x,x n )=0 mit f (f 1,,f,f r ) = {g 1 f g r f r : g j Q[x] [x]} dem von f 1,,f,f r erzeugten Ideal im Polynomring Q[x] = Q[x 1,,x n ].

11 Hilbertscher Nullstellensatz Sei k ein Körper, k K ein algebraisch abgeschlossener Oberkörper und f 1,, f r k[x 1,,x,x n ] Polynome. Das Gleichungssystem f 1 =0,, f r =0 hat eine Lösung a K n genau dann, wenn 1 ( f 1,, f r ).

12 Wegen dem Nullstellensatz untersucht man die Lösungsmengen algebraischer Gleichungssysteme zunächst über dem algebraisch abgeschlossenen Körper V = V(f 1,,f r ) = {a K n : f j (a) ) = 0} 0 und untersucht die zweite Frage, wie V(k) ) = V k n aussieht erst anschließend. end. V heißt t Nullstellengebilde des Ideals und V(k) die Menge der k-rationalen Punkte von V.

13 Ideal membership Wie entscheidet man 1 ( f 1,, f r ), oder allgemeiner f ( f 1,, f r )? Methode: Gröbner-Basen! Der Gröbner-Basen Algorithmus verallgemeinert 1. Euklidischen Algorithmus in einer Variable 2. Gauß Algorithmus für lineare Gleichungssysteme.

14 Division mit Rest Beispiel: Betrachten f 1 = x 2 +xy. Jedes Polynom f lässt sich in der Form f = gf 1 + h darstellen, wobei kein Term von h durch x 2 teilbar ist. Genauso kann man f 2 = y 2 +xy benutzen, um jeden durch y 2 teilbaren Term zu entfernen. Frage: Geht dies gleichzeitig, d.h. hat jedes f eine Darstellung f = g 1 f 1 + g 2 f 2 + h, wobei kein Term von h durch x 2 oder y 2 teilbar ist?

15 Frage: Geht dies gleichzeitig, d.h. hat jedes f eine Darstellung f = g 1 f 1 + g 2 f 2 + h, wobei h nur aus den Monomen 1, x, y und xy gebildet ist? Antwort: : Nein, denn die Lösungsmenge V(x 2 +xy, y 2 +xy) V(x+y) ist nicht endlich!

16 Was lief falsch? Wir haben die Leitterme x 2 und y 2 von x 2 +xy und y 2 +xy nicht kompatibel gewählt!

17 Monomordnungen Definition Ein Monom ist ein Ausdruck [ ] 1 2 x α α α α = x, 1 x2... xn n k x1,..., xn ein Term von der Gestalt c x α mit c k. Eine (globale) Monomordnung ist eine vollständige Anordnung > der Monome,, die 1) x α > x β x α x γ > x β x γ und 2) x j >1 für alle j erfüllt.

18 Beispiele für Monomordnungen Stets sei x 1 > x 2 > > x n. Lexikographisch x α > x β x α = x 1 x 1 x 2 x 2 x n x n kommt α 1 -mal α 2 -mal α n mal vor x β = x 1 x 1 x n x n im Lexikon. β 1 -mal β n -mal Also x 2 >xy>xz>y 3 >y 2 >z>1.

19 Beispiele für Monomordnungen Gewichtsordnungen w 1,,w n R >0 Q-linear unabhängige ngige Gewichte. x α > w x β w j α j > w j β j

20 Beispiele für Monomordnungen Grad rückwr ckwärts lexikographisch x α > rlx x β deg x α > deg x β oder deg x α = deg x β und der letzte Exponent von x α-β ist negativ. Also x 2 > rlx xy > rlx y 2 > rlx xz. Anders als bei lexikographisch: x 2 > lex xy > lex xz > lex y 2.

21 Leitterm Gegeben eine Monomordnung > und ein Polynom f = α c α x α, dann ist der Leitterm der Term L(f) ) = c β x β 0 mit dem größ ößten Monom.

22 Divisionssatz Seien f 1,,f r Polynome und > eine Monomordnung auf k[x 1,,x n ]. Für jedes weitere Polynom f k[x 1,,x n ], gibt es eindeutig bestimmte Faktoren g 1,,g r k[x 1,,x n ] und einen eindeutigen Rest h k[x 1,,x n ],, so dass folgendes gilt: 1) f = g 1 f 1 + g r f r +h, 2) kein Term von g i L(f i ) lässt sich durch L(f j ) für ein j<i teilen, 3) kein Term von h lässt sich durch ein L(f j ) teilen.

23 Beweis des Divisionssatzes Die Aussage ist klar, wenn f 1,,f r Monome sind:! g a 1,,g,g a r und h a mit 2) und 3), so dass f = g a 1 L(f 1 )+ + g a r L(f r ) + h a. f b = f (gf a 1 f g a r f r + h a ) hat dann einen Leitterm L(f b ) < L(f)! Mit Induktion nach L(f) dürfen wir annehmen, dass Darstellung f b = g b 1 f g b r f r +h b. g 1 = g a 1 +g b 1,,g,g r = g a r +g b r und h = h a +h b.

24 f 1 =x 3 -xy 2, f 2 =xy-y und Beispiel f=x 5 -xy 2 =x 2 x 3 -yxy. f=(x 2 f 1 -yf 2 )+x 3 y 2 -y 2 x 3 y 2 -y 2 =y 2 f 1 +xy 4 -y 2 xy 4 -y 2 =y 3 f 2 +y 4 -y 2 Also f=(x 2 +y 2 )f 1 +(-y+y 3 )f 2 +y 4 -y 2 und g 1 =x 2 +y 2, g 2 =y 3 -y sowie h=y 4 -y 2

25 Gleiches Beispiel, andere Reihenfolge f 1 =xy-y, y, f 2 =x 3 -xy 2, und f=x 5 -xy 2 =x 2 x 3 -yxy. f=(x 2 f 1 -yf 2 )+x 3 y 2 -y 2 x 3 y 2 -y 2 =x 2 yf 1 +x 2 y 2 -y 2 x 2 y 2 -y 2 =xyf 1 +xy 2 -y 2 xy 2 -y 2 =yf 1 + y 2 -y 2 =yf 1 Also f=x 2 f 2 +(-y+x 2 y+xy+y)f 1 und g 2 =x 2, g 1 =x 2 y+xy sowie h=0.

26 Vergleich Im Allgemeinen hängt der Rest bei Division von der Reihenfolge der Polynome ab. Vorläufige Definition: Ein System von Polynome f 1,,f r, bei denen die Reste nicht von der Reihenfolge abhängen, heißt Gröbner-Basis Basis.

27 Ideal der Leitformen Sei I ein Ideal im Polynomring R=k[x 1,,x n ],, d.h. 1. f 1, f 2 I f 1 +f 2 I, 2. g R, f I g f I, und > eine Monomordnung. Dann heißt L(I )=({ L( f ) f I }) das Ideal der Leitformen von I bzgl. >. L(I ) ist ein monomiales Ideal also viel einfacher als I.

28 Definition: Gröbner-Basis Seien f 1,,f r Monomordnung. f 1,,f r wenn k[x 1,,x n ] Polynome, > eine sind eine Gröbner-Basis von I=( f 1,,f r ), L(I)=( L( f 1 ),,L( f r ) ).)

29 Berechnung von Gröbner-Basen Basen? f i, f j I.. Betrachten das Monom m ij ij =ggt(l( ( f i ), L( f j )). In dem S-Polynom Spol( ( f i, f j ):=( L( f j )/m ij ) f i - (L( f i )/m ij ) f j hebt sich der Leitterm weg!

30 Buchbergers Kriterium f 1,,f r k[x 1,,x n ] sind eine Gröbner-Basis genau dann, wenn für alle j<i das S-PolynomS Spol( ( f i, f j )=( L( f j )/m ij ) f i - (L( f i )/m ij ) f j eine Divisionsdarstellung mit Rest h=0 besitzt.

31 Buchbergers Algorithmus Input: Output: B={f 1,,f r } k[x 1,,x n ]. Gröbner-Basis Basis. 1. Initialisiere S:={(i,j) ) i>j}. 2. while S Ø do ( wähle (i,j) S; S=S\{(i,j {(i,j)}; berechne den Rest h von Spol( ( f i, f j ) dividiert nach B; if h 0 then ( f r+1 =h ; B=B {f r+1 }; S=S {(r+1,i) i=1,..,r}; r=r+1)); 3. Return B. Der Algorithmus terminiert, da jedes monomiale Ideal endlich erzeugt ist.

32 Bemerkung Es reicht solche S-Paare S (i,j) zu betrachten, so dass im S-Polynom Spol( ( f i, f j )=m f i - n f j das Monom m ein Erzeuger von J i =( (L(f 1 ),, L( f i-1 )) : L ( f i ) ) ist. Dabei bezeichnet (A : B )={g R gbg A } das Quotientenideal von A und B. Auch geschickte Anordnung von f 1,,f r kann helfen.

33 Beispiel Gegeben f 1 =x 3 -xy 2, f 2 =xy-y y und I=( f 1, f 2 ). 1) J 1 =(0), J 2 =(x 2 ). 2) Spol( ( f 2, f 1 ) = x 2 f 2 -y y f 1 =xy 3 -x 2 y=(y 2 -x-1) f 2 +y 3 -y f 3 =y 3 -y y und J 3 =(x). 3. Spol( ( f 3, f 2 ) = x f 3 -y 2 f 2 =y 3 -xy= f 3 - f f 1, f 2, f 3 sind eine Gröbner-Basis und L(I)=(x 3, xy,y 3 ).

34 Beweis von Buchbergers Kriterium Notwendigkeit ist klar. Hinreichend: Seien alle Reste von S-Polynomen S Null und f (f 1,,f r ),, etwa f=a 1 f a r f r. Wir müssen L(f) (L(f 1 ),,L(f r )) zeigen. Erfüllen die a i die Bedingung, 2) kein Term von a i L(f i ) lässt sich durch L(f j ) für r ein j<i teilen, dann ist dies klar. Wir wollen die Darstellung von f in diese Form bringen.

35 Beweis von Buchbergers Kriterium Dazu betrachten wir Polynomvektoren k[x 1,,x,x n ] r und die Abbildung ϕ: k[x 1,,x,x n ] r k[x 1,,x,x n ], e i f i. Terme in k[x 1,,x,x n ] r haben die Gestalt x α e i, e i =(0,..,1,..0) Monomordnungen und Division mit Rest gibt es auch in k[x 1,,x,x n ] r. Zum Beispiel können k wir die induzierte Monomordnung betrachten x α e i > x β e k x α L(f i ) > x β L(f k ) oder x α L(f i ) = x β L(f k ) und i> k. Die Divisionsdarstellung der S-Polynome S gibt uns Elemente G ij :=( L( f j )/m ij ) e i - (L( f i )/m ij ) e j + g ijk e k

36 Beweis von Buchbergers Kriterium G ij :=( L( f j )/m ij ) e i - (L( f i )/m ij ) e j + g ijk e k ker ϕ, da nach Vorausetzung die Division von Spol(f i,f j ) aufgeht, ϕ: k[x 1,,x,x n ] r k[x 1,,x,x n ], e i f i. Außerdem gilt L(G ij )=( L( f j )/m ij ) e i. Wir betrachten nun den Rest g i e i von a i e i dividiert nach den G ij s. Wegen G ij ker ϕ ist f=a 1 f 1 + +a+a r f r =g 1 f 1 + +g+g r f r Die Koeffizienten g 1,,g,g r genügen 2) und die Behauptung L(f) (L(f 1 ),,L(f r )) folgt.

37 Anwendungen Algorithmus, um 1 (f 1,,f r )? und damit die Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme zu entscheiden. Kriterium, das entscheidet, ob es nur endlich viele Lösungen gibt, mit Schranke für f r die Anzahl. Elimination von Variablen. Berechnungsmethode für f r die Lösungen. L Methode, um die Dimension zu bestimmen.

38 Kriterium für endliche Lösungsmengen I =(f 1,,f r ) k[x 1,,x n ] ein Ideal und k K ein algebraisch abgeschlossener Oberkörper von k. V(I)={a K n f(a)=0 f I } ist genau dann endlich, wenn die Menge der Monome m L(I ) endlich ist. Genauer: Deren Anzahl ist eine obere Schranke für f die Anzahl der Lösungen. L

39 Beispiel Im Fall f 1 =x 3 -xy 2, f 2 =xy-y und I=( f 1, f 2 ) ist L(I)=(x 3, xy,y 3 ), also {m L(I )}={1,x,y, x 2, y 2 }. Es gibt also maximal 5 Lösungen. In der Tat gibt es nur 3: V(I )={(0,0),(1,1),(1,-1)} 1)}. Grund: Die Lösung im Nullpunkt zählt dreifach.

40 Elimination von Variablen Sei I= (f 1,,f r ) k[x 1,,x,x n, y 1,,y,y m ]. Wir wollen die Variablen x 1,,x,x n von dem Gleichungssystem eliminieren. Dazu betrachten wir > lex und berechnen eine Gröbner bner-basis f 1,,f t von I. Dann gilt: I k[y 1,,y,y m ] = ( f j L( f j ) k[y 1,,y,y m ] ).) Grund: L( f ) k[y 1,,y,y m ] f k[y 1,,y,y m ]

41 Beispiel Eliminieren x von y-xy 2 =z-x 3 =0. 1. f 1 = x 2 -y y ; J 1 =(0) ; 2. f 2 =x 3 -z z ; J 2 =(1) ; f 2 -xf 1 =xy-z z ; 3. f 3 =xy-z z ; J 3 =(x) ; xf 3 -yf 1 =xz-y 2 ; 4. f 4 =xz-y2; J 4 =(x,y); xf 4 -zf 1 +yf 3 =0; yf 4 -zf 3 =-y 3 +z 2 ; 5. f 5 =y 3 -z 2 ; J 5 =(x); xf 5 -y 2 f 3 +zf 4 =0. (y-x 2,z-x 3 ) k[y,z]=(y 3 -z 2 )

42 Geometrische Interpretation (y-x 2,z-x 3 ) k[y,z] =(y 3 -z 2 ) Die Raumkurve V(y-x 2,z-x 3 ) wird auf die ebene Kurve V(y 3 -z 2 ) projeziert.

43 Berechnung von endlich vielen Lösungen Seien n Polynome f 1,,f Q[x n 1,,x n ] in n Variablen gegeben. In der Regel ist dann V(f 1,,f n ) C n endlich. Berechnen wir eine lexikographische Gröbner bner-basis, so hat diese in der Regel Dreiecksgestalt. x 1 -h 1 (x 2,,x,x n ), x 2 -h 2 (x 3,,x,x n ),, x n-1 -h n-1 (x n ), f(x n ). f(x n )=0 können wir dann etwa numerisch oder symbolisch lösen, und sukzessives Einsetzen gibt die Lösungsmenge. L

44 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0

45 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Ellipsoid

46 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Hyperboloid

47 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Kegel

48 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Lexikographische Gröbner-Basis ist x-2yz, y+18/17z 7-147/17z /136z /272z, z 8-49/6 z /144 z /144 z /576.

49 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Lexikographische Gröbner-Basis ist x-2yz, y+18/17z 7-147/17z /136z /272z, z 8-49/6 z /144 z /144 z /576. Die letzte Gleichung hat 8 Nullstellen.

50 Beispiel Betrachten 4(x-1) 2 +4y 2 +2z 2-25=0 x-2yz=0 (x-1) 2 -y 2 -z 2 =0 Lexikographische Gröbner-Basis ist x-2yz, y+18/17z 7-147/17z /136z /272z, z 8-49/6 z /144 z /144 z /576. Die letzte Gleichung hat 8 Nullstellen.

51 Satz von Bezout Die Anzahl der Lösungen von n Gleichungen vom Grad d 1,,d n in n Unbestimmten ist falls endlich höchstens d 1 d 2 d n. Im Beispiel: 3 Quadriken,, 2 3 =8 Lösungen.

52 Dimension Sei I=(f 1,,f r ) Q[x 1,,x,x n ]. Wenn 1. L(I) die Potenzen x N j für j=1,,n-d enthält, und 2. L(I) Q[x n-d+1,,x n ] =(0), gilt, dann ist V(I) d-dimensional dimensional und die Projektion V(I) C d, a=(a 1,,a,a n ) (a n-d+1,,a n ) endlich und surjektiv. Nach einem genügend gend allgemeinen Koordinatenwechsel wird diese Situation stets erreicht.

53 Parametrisierungen Gelegentlich lassen sich Lösungsmengen rational parametrisieren. Beispiel : der Kreis Projektion vom Nordpol liefert R V(x 2 +y 2-1), t (2t/(t 2 +1),(t 2-1)/(t 2 +1))

54 Parametrisierungen Sei V=V(f 1,..,f r ) eine d-dimensionale d dimensionale Lösungsmenge. Frage: Können wir V parametrisieren? D.h. Gibt es eine (rationale) Abbildung ϕ: K d V mit dichten Bild? Antwort: Im allgemeinen nicht, es gibt schon topologische Hindernisse!

55 Parametrisierbarkeitsbedingung Notwendig und hinreichend für die Parametrisierbarkeit einer ebenen Kurve C vom Grad d ist g=0.. Dabei ist g :=: (d-1)(d 1)(d-2)/2 - p C r p (r p -1)/2 wobei r p = die Multiplizität von C in p ist und die Summe p C über alle Punkte von C läuft, z.b. auch solche im Unendlichen,, d.h. am Horizont.

56 Beispiel Frage: Lässt sich x 5 +10x 4 y+20x 3 y xy 3-20xy 4 +20y 5-2x 4-40x 3 y -150x 2 y 2-90xy 3-40y 4 +x 3 +30x 2 y+110xy 2 +20y 3 =0 parametrisieren? Antwort: Ja, denn g = (d-1)(d 1)(d-2)/2 - r p (r p -1)/2 = = 0

57 Beispiel Wir wollen x 5 +10x 4 y+20x 3 y xy 3-20xy 4 +20y 5-2x 4-40x 3 y-150x 2 y 2-90xy 3-40y 4 +x 3 +30x 2 y+110xy 2 +20y 3 =0 parametrisieren. Wie? Idee: Betrachten Quadriken durch die singulären Punkte: 5* = 1 Ein beweglichen Punkt nach Bezout.

58 Beispiel Wir wollen x 5 +10x 4 y+20x 3 y xy 3-20xy 4 +20y 5-2x 4-40x 3 y-150x 2 y 2-90xy 3-40y 4 +x 3 +30x 2 y+110xy 2 +20y 3 =0 parametrisieren. Wie? Idee: Betrachten Quadriken durch die singulären Punkte: 5* = 1 Ein beweglicher Punkt nach Bezout.

59 Beispiel Elimination liefert die Position des zusätzlichen Punkt in Abhängigkeit vom Parameter t der Quadriken. )= t5 +12t /4t /20t 2 +43/40 t 5 +12t /4t 3 +28/5t 2 +3/20t-1/400 x(t)= y(t)= 43/40t+1/40t+1/40 )= t5 +9/2t 4-81/20t 3-69/40t 2-1/8t- 1/400 t 5 +12t /4t 3 +28/5t 2 +3/20t-1/400

60 Zusammenfassung Wir haben gesehen, wie man mit Computeralgebra die Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme entscheidet, Dimension und Anzahl der Lösungen bestimmt, eventuell eine Parametrisierung der Lösungsmenge berechnen kann. Hilfsmittel waren Gröbner-Basen Basen,, deren Berechnung den Euklidischen und Gaußschen Algorithmus verallgemeinert.

61 Computeralgebra Systeme Maple Macaulay2 Singular (Links auf meiner Homepage). Literatur Cox, Little, O`Shea : Ideals, Varieties and Algorithms Undergraduate Text in Mathematics,, Springer Verlag 1991