Computeralgebra. Udo Hebisch WS 2002

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1 Computeralgebra Udo Hebisch WS 2002 Dieses Skript enthält nur den roten Faden der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses Skript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern nur als Erinnerungsstütze. 1

2 0 Zur Motivation Viele mathematische Probleme lassen sich so formulieren, daß zu ihrer Beantwortung eine Gleichung der Form (1) f(x) = 0 mit einer geeigneten Funktion f(x) zu lösen ist. Dabei sind in der Regel systematische Verfahren gesucht, die für eine ganze Klasse gleichartiger Funktionen das Auffinden derartiger Nullstellen gestatten. So liefert etwa im Fall der quadratischen Gleichung f(x) = x 2 + px + q = 0 die bekannte Formel x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q ein Verfahren, die gesuchten Nullstellen exakt (oder, mit geeigneten numerischen Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel, näherungsweise mit beliebiger Genauigkeit) zu finden, bzw. die Formel gibt an, ob innerhalb des zulässigen Zahlenbereiches (etwa Z, Q oder R) überhaupt eine solche Nullstelle existiert. Das Newtonsche Iterationsverfahren gestattet es, auch für Funktionen, bei denen eine Nullstelle nicht exakt durch Wurzelausdrücke angebbar ist, vorgegeben genaue numerische Näherungen zu finden, falls f(x) gewisse analytische Eigenschaften hat. Wiederum bei anderen Funktionen, etwa bei f(x) = cos(x), gibt man sich damit zufrieden, die Nullstellen x k = π 2 + k π k Z mit Hilfe symbolischer Zahlen, hier also π, auszudrücken. Die Werte der Variablen x in der Funktion f(x) liegen bei vielen Problemen aber nicht nur in geeigneten Zahlenbereichen (ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen, komplexe Zahlen), sondern es darf sich dabei beispielsweise auch um Vektoren (im Falle linearer Gleichungssysteme) oder Funktionen (im Falle von Differentialgleichungen) handeln. 2

3 In der Algebra beschäftigt man sich nun hauptsächlich mit der Lösung solcher Gleichungen (1), bei denen die Funktion ein Polynom (in eventuell mehreren Unbestimmten) ist. Man verallgemeinert dann aber insofern, als man gleichzeitige Nullstellen von endlich vielen Polynomen betrachtet, also anstelle einer einzelnen Gleichung (1) ein Gleichungssystem der Form (2) f 1 (x) = 0,..., f m (x) = 0. Dabei ist natürlich zunächst einmal der Begriff des Polynoms präzis zu definieren, wobei auch die Rechenregeln für solche Polynome anzugeben sind. (Darf man etwa Polynome durcheinander dividieren, und wenn ja, wie geschieht das?) Weiterhin ist jeweils genau anzugeben, in welchen Rechenbereichen die Nullstellen dieser Polynome zu suchen sind, bevor man beantworten kann, ob ein Polynom überhaupt eine Nullstelle hat, und wenn ja, mit welchem Verfahren man sie berechnen kann. In der Computeralgebra kommen dann noch die Fragen hinzu, wie man die Funktionen f i (x) und die Werte x im Computer darstellt, um die Verfahren zur Nullstellenberechnung auch effektiv zu machen. In der Vorlesung werden daher zunächst allgemein Ringe (speziell Polynomringe in mehreren Unbestimmten) betrachtet, zusammen mit Konstruktionsverfahren zur Gewinnung weiterer Nullstellen von Polynomen (wie etwa beim Übergang von Z nach Q oder von R nach C) sowie mit Zerlegungsverfahren von komplizierteren Polynomen in einfache (etwa die Division mit Rest oder die Primfaktorzerlegung für Polynome). Danach wird dann auf die Frage eingegangen, wie Polynome in Computeralgebrasystemen dargestellt und behandelt werden, um ihre Nullstellen effektiv berechnen zu können. Zum Abschluß dieser Einführung sollen noch einige bereits aus den Grundvorlesungen bekannte Methoden angesprochen werden, bei denen es sich im wesentlichen um die (simultane) Nullstellenbestimmung von Polynomen in mehreren Unbestimmten gehandelt hat. Betrachtet man zunächst ein einzelnes Polynom f(x) in einer Unbestimmten x, so kann man die Schwierigkeit des Problems der Nullstellenfindung nach dem Grad des Polynoms einordnen. Für ein lineares Polynom f(x) = ax + b mit a 0 lernt man die Berechnung der Lösung x = b bereits in der Mittelschule, wobei man gleichzeitig den Übergang a von dem natürlichen Rechenbereich der natürlichen Zahlen zu dem Rechenbereich der rationalen Zahlen vollzieht. 3

4 Für ein quadratisches Polynom wurde die Lösung oben bereits angegeben, wobei man zur Berechnung von beliebigen Quadratwurzeln den Übergang von den rationalen zu den reellen (oder gar den komplexen) Zahlen vollziehen muß. Für Polynome dritten und vierten Grades kann man innerhalb der komplexen Zahlen noch allgemeine Lösungsformeln angeben, für Polynome ab dem Grad fünf konnte man schließlich zeigen, daß keine allgemeine Formel existieren kann, obwohl andererseits durch den Fundamentalsatz der Algebra gesichert ist, daß für ein beliebiges reelles Polynom n-ten Grades innerhalb der komplexen Zahlen (bei geeigneter Zählung) stets n Nullstellen existieren. (In der klassischen Algebra überträgt man dieses Ergebnis auf Polynome über viel allgemeinere Rechenbereiche, als es die reellen Zahlen darstellen.) Betrachtet man ein einzelnes Polynom in n > 1 Unbestimmten, so kann man zunächst wiederum nach dem Grad des Polynoms klassifizieren. Kommen alle Unbestimmte nur einzeln und in höchstens erster Potenz vor, so handelt es sich um eine lineare Gleichung in n Unbestimmten und aus der Linearen Algebra ist bekannt, daß die Nullstellen eine Hyperebene bilden (für n = 2 eine Gerade in der Ebene, für n = 3 eine Ebene im Raum). Kommen alle Unbestimmte in höchstens zweiter Potenz vor, so handelt es sich um eine Quadrik, die ebenfalls in der Linearen Algebra untersucht wurden. (Bei n = 2 handelt es sich um Kegelschnitte in der Ebene, bei n = 3 um Flächen zweiter Ordnung im Raum.) Für höhere Grade k und n = 2 oder n = 3 erhält man viele interessante und (unter Einsatz analytischer Methoden) gut untersuchte Kurven und Flächen höherer Ordnung (von denen einige in den Übungen behandelt werden sollen). Der Fall mehrerer Polynome in einer Unbestimmten ist uninteressant, da jedes einzelne Polynom nur endlich viele Nullstellen hat und man unter diesen nur diejenigen identifizieren muß, die allen Polynomen gemeinsam sind. Es bleibt der allgemeine Fall mehrerer Polynome in n > 1 Unbestimmten. Dabei wird wiederum der Spezialfall, daß es sich ausschließlich um lineare Polynome handelt, in der Linearen Algebra mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens umfassend gelöst. Der Fall schließlich, daß auch nichtlineare Gleichungen vorkommen, wird in einem besonderen Teilgebiet der Algebra, der Algebraischen Geometrie ausführlich untersucht. Literatur 4

5 William W. Adams, Philippe Loustaunau, An Introduction to Gröbner Bases, AMS Graduate Studies in Mathematics Vol. 3, Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, Maurice Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer, Attila Pethö, Algebraische Algorithmen, Vieweg,

6 1 Elementare Konstruktionen für Ringe Definition 1.1 Unter einer Halbgruppe (S, ) versteht man eine nichtleere Menge S zusammen mit einer binären Verknüpfung (der Multiplikation), die also je zwei Elementen a, b S genau ein Produkt a b S zuordnet, so daß das Assoziativgesetz gilt: (3) a (b c) = (a b) c für alle a, b, c S. Besitzt die Halbgruppe ein Einselement e S gemäß (4) e a = a e = a für alle a S, so spricht man von einem Monoid. Besitzt in einem Monoid jedes a S ein Inverses a 1 gemäß (5) a 1 a = e = a a 1, so nennt man das Monoid eine Gruppe. Gilt in (S, ) das Kommutativgesetz (6) a b = b a für alle a, b S, so nennt man die Halbgruppe (das Monoid, die Gruppe) kommutativ. Kommutative Gruppen heißen auch abelsche Gruppen. Definition 1.2 Ein (assoziativer) Ring (R, +, ) besteht aus einer nichtleeren Menge R, auf der zwei binäre Verknüpfungen (eine Addition + und eine Multiplikation ) erklärt sind, so daß die folgende Axiome gelten: (7) (8) (9) (R, +) ist eine kommutative Gruppe mit dem Nullelement o. (R, ) ist eine beliebige Halbgruppe. Die Multiplikation ist distributiv gegenüber der Addition +, d. h. es gelten die Distributivgesetze (10) (11) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c Ist auch (R, ) kommutativ (bzw. ein Monoid (R, )), so heißt (R, +, ) ein kommutativer Ring bzw. ein Ring mit Einselement. 6

7 Bemerkung 1.3 Wie in der Definition schon angedeutet, werden manchmal auch nichtassoziative Ringe betrachtet, bei denen man auf die Forderung (8) verzichtet. Derartige Ringe werden auch Alternativringe genannt. Sie spielen im Rahmen dieser Vorlesung aber keine Rolle. Weiterhin wurde bei der Formulierung der Distributivgesetze davon Gebrauch gemacht, daß die Multiplikation stärker binden soll, als die Addition. Wir werden im folgenden das Multiplikationssymbol oft auch fortlassen und a b einfach als ab schreiben. Beispiel 1.4 Die ganzen Zahlen (Z, +, ) sind, ebenso wie jeder Restklassenring (Z/(n), +, ) modulo n, ein kommutativer Ring mit Einselement, die geraden Zahlen (2Z, +, ) sind, ebenso wie ganz allgemein (nz, +, ) für n = 2, 3,..., ein Beispiel für einen kommutativen Ring ohne Einselement. Die Matrizenringe M n,n (R) für R = Z, R = Q oder R = R sind für n 2 Beispiele für nichtkommutative Ringe mit Einselement. Lemma 1.5 Für alle Elemente x, y eines Ringes (R, +, ) und ihre Entgegengesetzten x, y in der Gruppe (R, +) gelten: (12) (13) (14) o x = o = x o x ( y) = ( x) y = (x y) ( x) ( y) = x y. Besitzt (R, +, ) ein Einselement e, so gilt noch (15) ( e) x = x. Definition 1.6 Ist (R, +, ) ein Ring und S eine nichtleere Teilmenge von R, so daß (S,, ) mit den auf S eingeschränkten Verknüpfungen von + und von selbst ein Ring ist, so heißt (S,, ) ein Unterring von (R, +, ) bzw. (R, +, ) ein Oberring von (S,, ). Man schreibt dann auch einfach wieder + für und für. 7

8 Beispiel 1.7 Es sei R = M 2,2 (Z) der Matrizenring aller 2 2-Matrizen über dem Ring Z der ganzen Zahlen. Dieser Ring hat bekanntlich die 2 2-Einheitsmatrix als Einselement. Nun bilden ( ) ( ) a S 1 = { a Z} und S = { a Z} 0 a Unterringe von R, welche die Matrizen ( ) bzw. ( ) als Einselemente besitzen. Diese drei Ringe mit Einselement haben also verschiedene Einselemente, obwohl S 1 und S 2 Unterringe von R ist. Im Unterschied dazu bilden ( ) ( ) a 0 a 0 S 3 = { a Z} und S 0 a 4 = { a Z, a ist gerade} 0 a ebenfalls Unterringe von R, wobei S 3 dasselbe Einselement besitzt wie R, dagegen S 4 gar keins. Bemerkung 1.8 Der nächste Satz, der hier nicht bewiesen wird, zeigt, daß man sich bei der Untersuchung von Ringen im Prinzip auf Ringe mit Einselement beschränken kann. Wie eben gesehen, kann es dann durchaus Unterringe solcher Ringe geben, die kein Einselement besitzen. Spätestens bei der Betrachtung von Idealen (vgl. Definition 1.19) lassen sich derartige Unterringe nicht vermeiden. Satz 1.9 Zu jedem Ring (R, +, ) existiert ein Oberring (R, +, ), der ein Einselement besitzt. Ist (R, +, ) kommutativ, so existiert auch ein kommutativer Oberring mit Einselement. Definition 1.10 Elemente a o b eines Ringes (R, +, ) heißen Nullteiler (genauer: a heißt linker und b rechter Nullteiler), wenn a b = o gilt. Einen kommutativen Ring mit Einselement e o ohne Nullteiler nennt man Integritätsbereich. Ein (kommutativer) Ring (R, +, ), für den (R \ {o}, ) eine Gruppe ist, heißt (Körper) Schiefkörper. Lemma 1.11 Jeder Körper ist ein Integritätsbereich, jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper. 8

9 Beispiel 1.12 Im Restklassenring Z/(n) sind genau die Elemente x 0 Nullteiler, für die ggt(x, n) 1 gilt. Also ist Z/(n) genau dann ein Integritätsbereich und damit ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Es gibt aber weitere endliche Körper, z. B. auf R = {0, 1, α, α + 1} mit folgenden Strukturtafeln: α α α α α + 1 α α α α α + 1 α + 1 α α α α α + 1 α 0 α α α α α Bezüglich der Kommutativität endlicher Körper gilt der folgende Satz. Satz 1.13 (Wedderburn) Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper. Ähnlich wie man den Ring der ganzen Zahlen Z zum Körper Q der rationalen Zahlen erweitern kann, geht dies auch bei einer größeren Klasse von Ringen. Es gilt nämlich der folgende Satz, der hier ebenfalls nicht bewiesen wird. Satz 1.14 Ist (R, +, ) ein kommutativer Ring mit Einselement, dann gibt es einen Obering Q = Q(R) von R mit Einselement, der Q(R) = {p q 1 p R, q N} mit N = {q R q o ist kein Nullteiler von R} erfüllt. Bemerkung 1.15 Der Oberring Q(R) von R ist (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt. Man nennt ihn auch den (vollen) Quotientenring von R. Offensichtlich ist dieser genau dann ein Körper, der Quotientenkörper von R, wenn R ein Integritätsbereich ist. Definition 1.16 Es sei (R, +, ) ein Ring. Eine Äquivalenzrelation κ auf R heißt eine Kongruenzrelation von (R, +, ), wenn für alle a, a, b, b R gelten (16) (17) a κ a und b κ b = a + b κ a + b sowie a κ a und b κ b = ab κ a b. 9

10 Bemerkung 1.17 a) Für jeden Ring (R, +, ) sind die identische Relation und die Allrelation Kongruenzen auf (R, +, ), die sogenannten trivialen Kongruenzen. b) Die Bedingung (17) ist gleichwertig zu (18) a κ a und c R = ac κ a c und ca κ ca. Satz 1.18 Es seien (R, +, ) ein Ring, κ eine Kongruenzrelation auf (R, +, ) und R/κ = {[a] κ a R} die Menge aller Äquivalenzklassen (auch: Restklassen) [a] κ = {b R a κ b}. Dann werden durch (19) (20) [a] κ + [b] κ = [a + b] κ und [a] κ [b] κ = [ab] κ zwei Verknüpfungen auf R/κ definiert, so daß (R/κ, +, ) ein Ring ist, der Restklassenring oder Faktorring von R nach κ. Definition 1.19 Eine nichtleere Teilmenge I eines Ringes (R, +, ) heißt ein Ideal von R, wenn gelten (21) (22) a, b I = a b I, d. h. (I, +) ist Untergruppe von (R, +), a I, x R = ax, xa I. Lemma 1.20 Für jedes Ideal I eines Ringes (R, +, ) wird durch (23) x y mod I x y I für alle x, y R eine Kongruenzrelation mod I auf (R, +, ) definiert. Umgekehrt bestimmt jede Kongruenz κ von (R, +, ) ein Ideal I = [o] κ. Hierbei gilt für alle x, y R (24) x κ y x y mod I. 10

11 Bemerkung 1.21 a) Die Ideale eines Ringes (R, +, ) bilden ebenso wie seine Kongruenzen einen vollständigen Verband. Zu jeder Teilmenge A von R existiert daher (A) = {I I Ideal von R mit A I}, das von A in R erzeugte Ideal. Gilt I = (A) für ein Ideal eines Ringes, so heißt die Menge A auch eine Basis von I. Speziell für A = {a} schreibt man (a) für dieses Ideal und nennt (a) ein Hauptideal von R. Ein Integritätsbereich (R, +, ), in dem sich jedes Ideal I als Hauptideal I = (a) mit einem geeigneten a I schreiben läßt, heißt ein Hauptidealring. b) Jeder Ring (R, +, ) besitzt die trivialen Ideale R und {o} = (o). Besitzt R ein Einselement e, so ist auch R = (e) ein Hauptideal. Ein Ring heißt einfach, wenn er nur diese trivialen Ideale besitzt. Insbesondere gilt dies für jeden Schiefkörper, der damit auch ein Hauptidealring ist. Lemma 1.22 Für ein Element a eines kommutativen Ringes (R, +, ) mit Einselement gilt (a) = Ra = {ra r R}. Beispiel 1.23 Für den Ring (Z, +, ) sind die Unterringe I = nz aus Beispiel 1.4 für n = 0, 1, 2,... Ideale von (Z, +, ) und zwar die Hauptideale I = (n). Die gemäß (23) zugehörigen Kongruenzrelationen sind gerade die bekannten Kongruenzen modulo n, und Satz 1.18 liefert die Restklassenringe Z/(n). Definition 1.24 Es seien (R, +, ) und (R, +, ) Ringe. Eine Abbildung ϕ : R R mit (25) (26) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) für alle a, b R heißt ein Homomorphismus von R in R. Ein injektiver (surjektiver, bijektiver) Homomorphismus heißt Monomorphismus (Epimorphismus, Isomorphismus). Lemma 1.25 Es seien (R, +, ) und (R, +, ) Ringe und ϕ : R R ein Homomorphismus. Dann ist das homomorphe Bild ϕ(r) = {ϕ(a) a R} ein Unterring von (R, +, ). Mit (R, +, ) ist auch (ϕ(r), +, ) kommutativ. Besitzt (R, +, ) ein Einselement e, so ist ϕ(e) Einselement von (ϕ(r), +, ) (aber nicht notwendig auch von (R, +, ), wie man aus dem Beispiel 1.4 leicht sehen kann). Ist U Unterring von R, so ist ϕ(u) Unterring von ϕ(r) und damit auch von R. 11

12 Satz 1.26 (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R R ein surjektiver Ringhomomorphismus, dann gibt es eine Kongruenzrelation κ auf (R, +, ), so daß R zum Faktorring R/κ isomorph ist. Dabei gilt x κ y ϕ(x) = ϕ(y) ϕ(x y) = o x y Kern(ϕ) = {a R ϕ(a) = o} für alle x, y R. Bemerkung 1.27 a) Ist I Ideal eines Ringes R und κ die Kongruenzrelation mod I, dann schreibt man auch R/I für den Faktorring R/κ. Die Elemente von R/I sind also die Kongruenzklassen von R modulo I und lassen sich in der Form a + I für a R schreiben. Dabei gilt a + I = b + I a b I. b) Ist ϕ : R R ein Ringhomomorphismus, dann ist I = Kern(ϕ) = {a R ϕ(a) = o} ein Ideal von (R, +, ) und R/I ist isomorph zum homomorphen Bild ϕ(r). Definition 1.28 Ein Ideal I eines Ringes (R, +, ) heißt maximal, wenn I R gilt und es kein Ideal J I von (R, +, ) mit J R gibt. Definition 1.29 Ein Ideal I R eines kommutativen Ringes (R, +, ) heißt Primideal, wenn für alle a, b R aus a b I stets a I oder b I folgt. Satz 1.30 Es sei (R, +, ) ein kommutativer Ring mit Einselement und I R ein Ideal von R. Genau dann ist R/I ein Körper (Integritätsbereich), wenn I ein maximales Ideal (Primideal) ist. Folgerung 1.31 a) Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann ein Körper, wenn er nur die trivialen Ideale besitzt. b) In einem kommutativen Ring mit Einselement ist jedes maximale Ideal auch ein Primideal. Aufgabe 1.32 Beweisen Sie, daß das Einselement in einem Monoid stets eindeutig bestimmt ist und daß in einer Gruppe das Inverse a 1 zu jedem Element a ebenfalls eindeutig bestimmt ist. 12

13 Aufgabe 1.33 Beweisen Sie Lemma 1.5. Aufgabe 1.34 Beweisen Sie die in Bemerkung 1.17 enthaltenen Behauptungen. Aufgabe 1.35 Beweisen Sie Lemma Aufgabe 1.36 Beweisen Sie Lemma Aufgabe 1.37 Beweisen Sie Lemma Aufgabe 1.38 Es sei ϕ : R R ein Epimorphismus. Zeigen Sie, daß für jedes Ideal I von R das homomorphe Bild ϕ(i) ein Ideal von R ist. Umgekehrt ist das vollständige Original ϕ 1 (I ) ein Ideal von R für jedes Ideal I von R. 13

14 2 Polynomringe Definition 2.1 Es sei (R, +, ) ein Ring mit Einselement e. Ein Element x eines Oberringes (R, +, ) von R heißt eine Unbestimmte über R, wenn es folgende Eigenschaften hat: a) Es gilt ax = xa für alle a R und ex = x. b) x ist transzendent über R, d. h. für alle a ν R gilt (27) a 0 + a 1 x a n x n = o = a 0 =... = a n = o. Jedes Element der Form (28) n f(x) = a 0 + a 1 x a n x n = a ν x ν (mit x 0 = e) ν=0 aus R heißt dann ein Polynom in x mit Koeffizienten aus R. Dabei nennt man n den formalen Grad und den höchsten Index ν mit a ν o den Grad von f(x), in Zeichen: grad(f(x)). Für das Nullpolynom f(x) = o werde grad(f(x)) = gesetzt. Mit R[x] werde die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus R bezeichnet. Beispiel 2.2 Für R = Z oder R = Q ist x = π aus R = R (ebenso wie jede andere transzendente Zahl) Unbestimmte über R. Mit x ist stets auch jede Potenz x k für k = 2, 3,... Unbestimmte über R. Bemerkung 2.3 a) Wir werden im folgenden oft davon Gebrauch machen, daß man zwei Polynome aus R[x] durch geeignete Addition von Summanden der Form ox ν stets mit demselben formalen Grad schreiben kann. b) Stets ist R in Form der konstanten Polynome f(x) = a 0 R in R[x] enthalten. c) Mit R ist auch R[x] abzählbar, da man dann alle Polynome mit demselben festen Grad n abzählen kann. 14

15 Satz 2.4 Es sei (R, +, ) ein Ring mit Einselement und R ein Oberring von R, der eine Unbestimmte x über R enthält. Dann bildet R[x] einen R umfassenden Unterring von R, in dem folgende Rechenregeln gelten. a) Koeffizientenvergleich: n n a ν x ν = b ν x ν a ν = b ν für ν = 0,..., n, ν=0 ν=0 b) Polynomaddition: n n n a ν x ν + b ν x ν = (a ν + b ν )x ν, ν=0 ν=0 ν=0 n m m+n c) Cauchy-Produkt: ( a ν x ν ) ( b µ x µ ) = ( ν=0 µ=0 λ=0 ν+µ=λ a ν b µ )x λ. Insbesondere ist das Einselement e von R auch Einselement von R[x] und mit R ist auch R[x] kommutativ. Definition 2.5 Der Ring (R[x], +, ) aus Satz 2.4 heißt ein Polynomring in einer Unbestimmten über R. Satz 2.6 Zu jedem Ring (R, +, ) mit Einselement existiert ein Polynomring in einer Unbestimmten über R. Lemma 2.7 Es seien R[x] und R[y] jeweils Polynomringe in einer Unbestimmten (x bzw. y) über dem Ring R. Dann sind R[x] und R[y] isomorph. Man spricht daher von dem Polynomring in einer Unbestimmten über R. Bemerkung 2.8 Man sagt auch, der Polynomring R[x] entstehe durch Adjunktion der Unbestimmten x zum Ring R. Da mit R auch R[x] ein Ring mit Einselement ist, existiert auch über R[x] der Polynomring (R[x])[y] in einer (von x unabhängigen) Unbestimmten y, welcher ebenfalls wieder ein Ring mit Einselement ist. Daher kann man auf diese Weise fortfahren und gelangt zu dem folgenden Satz über Polynomringe in endlich vielen voneinander unabhängigen Unbestimmten x 1,..., x n. Dabei heißen diese Unbestimmte voneinander unabhängig, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. a) ex i = x i und ax i = x i a für alle a R sowie x i x j = x j x i für alle i, j = 1,..., n. b) Aus ν 1,...,ν n a ν1...ν n x ν x νn n = o folgt a ν1...ν n = o für alle Indices ν 1,..., ν n. 15

16 Satz 2.9 Es sei R ein Ring mit Einselement. Dann gibt es zu jedem n N den Polynomring R[x 1,..., x n ] in n voneinander unabhängigen Unbestimmten x 1,..., x n über R, dessen Elemente alle Polynome (29) f(x 1,..., x n ) = a ν1...ν n x ν x νn n ν 1,...,ν n mit Koeffizienten aus R sind. Definition 2.10 Es sei f(x 1,..., x n ) R[x 1,..., x n ] wie in (29). Dann heißt ein einzelner (nicht verschwindender) Summand (30) a ν1...ν n x ν x νn n o ein Monom und ν ν n dessen Grad. Unter dem (totalen) Grad von f(x 1,..., x n ) o versteht man dann das Maximum der Grade seiner Monome und schreibt hierfür grad(f(x 1,..., x n )). Besitzen alle Monome eines Polynoms denselben Grad m, so heißt das Polynom homogen oder eine n-äre Form m-ten Grades. Unter dem Grad von f(x 1,..., x n ) relativ zu x j grad j (f(x 1,..., x n )) versteht man das Maximum von {ν j a ν1...ν n o}. Folgerung 2.11 In beliebigen Polynomringen gelten die Aussagen: a) Der Grad der Summe f + g von Polynomen f und g ist höchstens so groß wie das Maximum der Grade der Summanden. b) Der Grad des Produktes f g von Polynomen f und g ist höchstens so groß wie die Summe der Grade der Faktoren. Für nullteilerfreie Ringe gilt in b) sogar stets die Gleichheit und ebenso grad j (f g) = grad j (f) + grad j (g) für alle x j. Satz 2.12 Der Polynomring R[x 1,..., x n ] ist genau dann kommutativ bzw. nullteilerfrei, wenn dies für den Ring R gilt. Insbesondere ist also jeder Polynomring K[x 1,..., x n ] über einem Körper K ein Integritätsbereich. 16

17 Beispiel 2.13 Da der Polynomring K[x 1,..., x n ] für jeden Körper K ein Integritätsbereich ist, existiert der Quotientenkörper Q(K[x 1,..., x n ]) = K(x 1,..., x n ). Dieser rationale Funktionenkörper in den Unbestimmten x 1,..., x n über K besteht aus den rationalen Funktionen f(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) mit f(x 1,..., x n ), g(x 1,..., x n ) K[x 1,..., x n ], g(x 1,..., x n ) o. Definition 2.14 Es sei f(x) = a 0 + a 1 x a n x n R[x], a n o Polynom in einer Unbestimmten über dem Ring R. Dann heißt a n der Leitkoeffizient von f(x). Im Fall a n = e nennt man f(x) ein normiertes Polynom. Satz 2.15 (Einsetzungsprinzip) Es sei R ein Ring mit Einselement e und R ein Oberring von R. Dann vermittelt jedes Polynom f(x 1,..., x n ) = a ν1...ν n x ν x νn n ν 1...ν n aus R[x 1,..., x n ] durch Einsetzen von Elementen α 1,..., α n aus R anstelle von x 1,..., x n eine eindeutige Abbildung ϕ f : R n R gemäß ϕ f (α 1,..., α n ) = a ν1...ν n α ν αn νn = f(α 1,..., α n ). ν 1...ν n Falls dabei die Elemente α ν untereinander und mit allen Elementen aus R vertauschbar sind sowie eα ν = α ν erfüllen, so gelten die folgenden Aussagen. a) Aus f(x 1,..., x n ) = g(x 1,..., x n ) folgt f(α 1,..., α n ) = g(α 1,..., α n ). b) Aus f(x 1,..., x n ) + g(x 1,..., x n ) = h(x 1,..., x n ) folgt f(α 1,..., α n ) + g(α 1,..., α n ) = h(α 1,..., α n ). c) Aus f(x 1,..., x n ) g(x 1,..., x n ) = h(x 1,..., x n ) folgt f(α 1,..., α n ) g(α 1,..., α n ) = h(α 1,..., α n ). Ist insbesondere R ein Integritätsbereich, so gelten diese Aussagen für sämtliche Elemente α ν R. 17

18 Definition 2.16 Es sei R Ring mit Einselement und f(x) = f(x 1,..., x n ) aus R[x 1,..., x n ]. Ein Element α = (α 1,..., α n ) R n für einen Oberring R von R heißt Nullstelle von f(x), wenn f(α) = f(α 1,..., α n ) = o gilt. Definition 2.17 Es sei R = K[x 1,..., x n ] der Polynomring in n Unbestimmten über einem Körper K und I = (A) das von der endlichen Teilmenge A = {f 1,..., f m } von R erzeugte Ideal. Dann heißt die Varietät von I. V (I) = {α K n f(α) = 0 für alle f I} Bemerkung 2.18 Wichtige Fragen für I und V (I) aus Definition 2.17 sind: a) Wie entscheidet man f I für ein beliebiges f R? b) Gilt bereits I = R? c) Gilt V (I)? d) Wie groß ist V (I)? Die allgemeine Untersuchung der Struktur derartiger Varietäten geschieht in der Algebraischen Geometrie, in der Computeralgebra ist man mehr an der Praxis der Beantwortung dieser Fragen interessiert. Dazu benötigt man Kenntnisse über geeignete spezielle Basen eines Ideals I aus R, die wir uns verschaffen werden, nachdem wir einiges über Teilbarkeit in Integritätsbereichen gelernt haben. Aufgabe 2.19 Beweisen Sie Lemma 2.7. Aufgabe 2.20 Ist f(x) R[x] ein normiertes Polynom und g(x) o aus R[x] beliebig, so gilt grad(f g) = grad(f) + grad(g). Aufgabe 2.21 Beweisen Sie Satz

19 3 Teilbarkeitslehre In diesem Abschnitt bezeichne R stets einen kommutativen Ring mit Einselement e o. Definition 3.1 Gilt b = ca für Elemente a, b, c R, so sagt man a teilt b oder a ist ein Teiler von b, in Zeichen: a b. Gilt a b und b a, so heißen a und b assoziert zueinander, in Zeichen: a b. Unter einer Einheit ε von R versteht man ein in dem Monoid (R,, e) invertierbares Element. Man bezeichnet die Menge aller Einheiten von R auch mit R. Ein Teiler a von b heißt echter Teiler von b, wenn a weder Einheit von R noch zu b assoziiert ist. Lemma 3.2 a) Für Elemente a, b, c, d R gelten: (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) a b (b) (a), a a, a b und b c = a c, e a und a o, a b und c d = ac bd, a b und a c = a b + c, ε e ε ist Einheit, a b (a) = (b). Die Assoziiertheit ist also eine Äquivalenzrelation auf R. b) Ist R sogar ein Integritätsbereich, so gilt außerdem für alle c o (39) ac bc = a b, und a b gilt genau dann, wenn es ein ε R mit b = εa gibt. Beispiel 3.3 a) Für jeden Körper K ist K = K \ {o}. b) Ist R ein Integritätsbereich, so gilt (R[x]) = R. 19

20 Definition 3.4 Es sei A eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element d R heißt ein größter gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind: (i) d ist gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, d. h. d a für alle a A, (ii) für jeden gemeinsamen Teiler t von A gilt t d. Man schreibt dafür auch d = ggt(a) und nennt A teilerfremd, wenn e = ggt (A) gilt. Analog wird das kleinste gemeinsame Vielfache k = kgv (A) von A definiert. Lemma 3.5 Es sei d R ein größter gemeinsamer Teiler von A. Genau dann ist auch d R ein größter gemeinsamer Teiler von A, wenn d d gilt. Entsprechendes gilt für kleinste gemeinsame Vielfache von A. Lemma 3.6 Für endlich viele Ideale I 1,..., I n von R ist auch I I n = {a 1 + +a n a ν I ν } ein Ideal von R und zwar das kleinste Ideal von R, welches jedes I ν enthält, also gerade das von der Vereinigung I ν erzeugte Ideal. Bemerkung 3.7 Im Falle von Hauptidealen I ν = (a ν ) schreibt man kurz (a 1,..., a n ) = (a 1 ) + + (a n ). Lemma 3.8 Ist R ein Hauptidealring, so existiert zu beliebigen Elementen a 1,..., a n von R stets ein größter gemeinsamer Teiler. Ist d ein solcher größter gemeinsamer Teiler, so gibt es x 1,..., x n R mit (40) d = x 1 a x n a n. Definition 3.9 Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, wenn es eine Grad-Funktion d : R \ {o} N o gibt, so daß für a und b o aus R stets Elemente q, r R existieren mit (41) a = qb + r und r = o oder d(r) < d(b). Man nennt (41) auch Division mit Rest ( a/b = q Rest r ). 20

21 Beispiel 3.10 a) Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(k) = 1 für alle k o aus K. b) Der Ring der ganzen Zahlen (Z, +, ) ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(a) = a für alle a 0 aus Z. c) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring R = K[x] ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(f) = grad(f) für jedes Polynom f o aus R. Satz 3.11 Es sei R ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d. Für a, b o aus R liefert der folgende euklidische Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler a n von a und b und Elemente x, y R mit xa + yb = a n. Setze a 0 = a und a 1 = b und bilde mittels (41) die Kette a 0 = q 1 a 1 + a 2 mit (a 2 = o oder) d(a 2 ) < d(a 1 ) a 1 = q 2 a 2 + a 3 mit (a 3 = o oder) d(a 3 ) < d(a 2 ). a n 2 = q n 1 a n 1 + a n mit (a n = o oder) d(a n ) < d(a n 1 ) a n 1 = q n a n. Satz 3.12 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, also speziell der Ring der ganzen Zahlen Z und jeder Polynomring K[x] über einem Körper K. Definition 3.13 Ein Element p o von R, das keine Einheit von R ist, heißt irreduzibel oder unzerlegbar, wenn (42) p = ab = a R oder b R gilt. Dagegen nennt man p prim oder ein Primelement von R, wenn gilt (43) p ab = p a oder p b. 21

22 Bemerkung 3.14 In einem Integritätsbereich R ist p o also genau dann irreduzibel, wenn p keine Einheit ist und keine echten Teiler besitzt. Insbesondere ist also jedes prime Element auch irreduzibel. Die Umkehrung hiervon gilt nicht, denn in dem Integritätsbereich R = Z + Z 5 C gilt 2 3 = 6 = (1 + 5) (1 5), aber das auch in R irreduzible Element 2 ist weder Teiler von noch von 1 5. Folgerung 3.15 Genau dann ist p o aus R prim, wenn das Hauptideal (p) ein Primideal ist. Folgerung 3.16 Ist p irreduzibles Element eines Hauptidealringes R, so ist R/(p) ein Körper. Insbesondere ist p also prim. Folgerung 3.17 Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Hauptidealring, wenn R ein Körper ist. Definition 3.18 Ein Element a R besitzt eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung der Form (44) a = εp 1 p n mit ε R und irreduziblen p ν besitzt. Man sagt a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Zerlegung gemäß (44) besitzt und für jede andere derartige Zerlegung (45) a = ε p 1 p m bereits n = m und nach geeigneter Umnumerierung p ν p ν für ν = 1,..., n gilt. Ein Integritätsbereich, in dem jedes a o eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt, heißt faktoriell oder ZPE-Ring oder Gaußscher Ring. Lemma 3.19 Es sei R ein Integritätsbereich, in dem jedes a o eine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Dann sind äquivalent: a) R ist faktoriell. b) Jedes irreduzible Element von R ist prim. 22

23 Definition 3.20 Der Ring R erfüllt die Teilerkettenbedingung oder aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale, wenn jede Kette (a 1 ) (a 2 )... (a n ) (a n+1 )... von Hauptidealen stationär ist, d. h. es gibt ein n N mit (a j ) = (a n ) für alle j n. Satz 3.21 Ein Integritätsbereich R ist genau dann faktoriell, wenn er die Teilerkettenbedingung erfüllt und jedes irreduzible Element von R prim ist. Folgerung 3.22 Jeder Hauptidealring ist faktoriell. Aufgabe 3.23 Beweisen Sie Lemma 3.5. Aufgabe 3.24 Beweisen Sie Lemma

24 4 Der Hilbertsche Basissatz Satz 4.1 Für einen kommutativen Ring (R, +, ) sind die folgenden Bedingungen äquivalent. (i) Zu jedem Ideal I von R gibt es endlich viele Elemente a 1,..., a n in R, die I erzeugen, also mit I = (a 1,..., a n ). (ii) Für jede aufsteigende Kette von Idealen I 1 I 2... I k... aus R gibt es einen Index n, so daß I n = I n+1 =... gilt, d. h. die Kette wird stationär. Definition 4.2 Die Bedingung (ii) nennt man aufsteigende Kettenbedingung für Ideale und ein kommutativer Ring, in dem die aufsteigende Kettenbedingung für Ideale erfüllt ist, heißt ein Noetherscher Ring. Ein Ideal I wie in (i) heißt endlich erzeugt. Bemerkung 4.3 Der Satz 4.1 besagt also gerade, daß ein kommutativer Ring genau dann noethersch ist, wenn jedes seiner Ideale endlich erzeugt wird. Satz 4.4 Ist R ein noetherscher Ring mit Einselement, so auch der Polynomring R[x]. Da in jedem Körper K die beiden einzigen Ideale I = (o) und I = K von einem Element, nämlich a 1 = o bzw. a 1 = e erzeugt werden, ist K stets noethersch. Dann folgt aber sofort durch mehrfache Anwendung von Satz 4.4 der folgende Satz. Satz 4.5 (Hilbertscher Basissatz) Ist K ein Körper und I ein Ideal des Polynomringes K[x 1,..., x n ], so ist I endlich erzeugt. 24

25 5 Termordnungen und Reduktionen In diesem Abschnitt sei K[x 1,..., x n ] ein Polynomring in den n voneinander unabhängigen Unbestimmten x 1,..., x n über einem Körper K. Die Menge der Unbestimmten sei gemäß x 1 > x 2 >... > x n total geordnet. Definition 5.1 Die Teilmenge T = {x α x αn n α i N 0 für i = 1,..., n} von K[x 1,..., x n ] heißt die Menge der Terme von K[x 1,..., x n ]. Der Term x α x αn n wird im folgenden kurz als X α mit α = (α 1,..., α n ) notiert. Eine totale Ordnung < auf T heißt Termordnung, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. (i) e < X α für alle X α e aus T. (ii) X α < X β impliziert X α X γ < X β X γ für alle X γ aus T. Beispiel 5.2 a) Die lexikographische Ordnung wird definiert durch X α < X β α 1 = β 1,..., α i 1 = β i 1, α i < β i für ein i {1,..., n}. Offensichtlich sind (i) und (ii) erfüllt. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man e < x 2 < x 2 2 <... < x 1 < x 2 x 1 < x 2 2x 1 <... < x 2 1 <... b) Die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung wird definiert durch ni=1 α i < n i=1 β i oder X α < X β ni=1 α i = n i=1 β i und X α < X β bezüglich der lexikographischen Ordnung. Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfüllt, (ii) prüft man leicht nach. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man also e < x 2 < x 1 < x 2 2 < x 2 x 1 < x 2 1 < x 3 2 <... c) Die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung wird definiert durch X α < X β ni=1 α i < n i=1 β i oder ni=1 α i = n i=1 β i und α n = β n,..., α i+1 = β i+1, α i > β i für ein i {1,..., n}. Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfüllt, (ii) prüft man leicht nach. Im Falle von zwei Unbestimmten stimmen die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung und die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung überein. 25

26 Folgerung 5.3 Ist < eine Termordnung auf T und gilt X α X β für zwei Elemente aus T, so folgt X α X β. Satz 5.4 Jede Termordnung < ist eine Wohlordnung auf T, d. h. jede nichtleere Teilmenge von T besitzt ein bezüglich < kleinstes Element. Definition 5.5 Es sei < eine Termordnung auf T. Ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f = f(x 1,..., x n ) K[x 1,..., x n ] werde als Summe seiner Monome geschrieben gemäß f(x 1,..., x n ) = a 1 X α 1 + a 2 X α a r X αr mit Koeffizienten a i o und Termen X α i, die erfüllen. Dann heißt Lt(f) = X α 1 der Leitterm von f, Lk(f) = a 1 der Leitkoeffizient von f, Lm(f) = a 1 X α 1 das Leitmonom von f. X α 1 > X α 2 >... > X αr Für das Nullpolynom werde Lt(o) = Lk(o) = Lm(o) = o gesetzt. Definition 5.6 a) Es seien f, g, h K[x 1,..., x n ] und f o. Dann läßt sich f modulo g zu h reduzieren, in Zeichen: f g h, wenn Lt(g) ein von o verschiedenes Monom a α X α von f teilt und h = f a αx α Lm(g) g gilt. b) Es seien f, h und f 1 o,..., f k o Polynome aus K[x 1,..., x n ] sowie F = {f 1,..., f k }. Dann läßt sich f modulo F zu h reduzieren, in Zeichen: f F h, + wenn eine Folge von Indizes i 1,..., i s aus {1,..., k} existiert sowie eine Folge von Polynomen h 1,..., h s 1 mit f i2 f i3 f is f f i 1 h 1 h 2... f i s 1 h s 1 h. 26

27 Definition 5.7 a) Ein Polynom r heißt reduziert bezüglich einer Menge nichtverschwindender Polynome F = {f 1,..., f k }, wenn r = o gilt oder wenn sich r nicht mehr modulo F reduzieren läßt. b) Gilt f F F. + r und ist r modulo F reduziert, dann heißt r ein Rest von f bezüglich Satz 5.8 Es seien f, f 1 o,..., f k o aus K[x 1,..., x n ]. Dann berechnet der folgende Algorithmus q 1,..., q k, r aus K[x 1,..., x n ], so daß r bezüglich {f 1,..., f k } reduziert ist, f = q 1 f q k f k + r gilt sowie max{lt(q 1 )Lt(f 1 ),..., Lt(q k )Lt(f k ), Lt(r)} = Lt(f). 1. Setze q 1 = o,..., q k = o, r = o und h = f. 2. Solange h o gilt, wiederhole: Wenn ein i mit Lt(f i ) Lt(h) existiert, dann wähle das kleinste i mit dieser Eigenschaft und setze q i = q i + Lm(h) Lm(f i ), h = h Lm(h) Lm(f i ) f i sonst setze r = r + Lm(h), h = h Lm(h). 27

28 6 Gröbner-Basen In diesem Abschnitt sei K[x 1,..., x n ] ein Polynomring in den n voneinander unabhängigen Unbestimmten x 1,..., x n über einem Körper K und < sei eine Termordnung auf T. Für eine Teilmenge F von K[x 1,..., x n ] sei Lm(F ) = ({Lm(f) f F }). Definition 6.1 a) Eine Menge G = {g 1,..., g k } nicht-verschwindender Polynome, die in einem Ideal I von K[x 1,..., x n ] enthalten ist, heißt eine Gröbner- Basis von I, wenn für alle f o aus I ein Index i {1,..., k} existiert, so daß Lt(g i ) Lt(f) gilt. b) G heißt Gröbner-Basis, wenn G eine Gröbner-Basis des Ideals (G) ist. Satz 6.2 Es sei I (o) Ideal von K[x 1,..., x n ] und G = {g 1,..., g k } I eine Teilmenge nicht-verschwindender Polynome. Dann sind gleichwertig: (i) G ist eine Gröbner-Basis von I. (ii) f I f G + o. (iii) f I f = k i=1 q i g i mit Lm(f) = max{lm(q i )Lm(g i )}. (iv) Lm(G) = Lm(I). Folgerung 6.3 Ist G eine Gröbner-Basis von I, dann gilt I = (G). Satz 6.4 Das Ideal I werde von einer Menge G nicht-verschwindender Monome erzeugt. Ein Polynom f K[x 1,..., x n ] liegt genau dann in I, wenn zu jedem Monom a α X α von f ein Monom a β X β G existiert mit X β X α. Weiterhin existiert eine endliche Teilmenge G 0 von G mit I = (G 0 ). Folgerung 6.5 Jedes Ideal I (o) besitzt eine Gröbner-Basis. Satz 6.6 Es sei G eine endliche Menge nicht-verschwindender Polynome aus K[x 1,..., x n ]. Genau dann ist G eine Gröbner-Basis, wenn für alle f aus K[x 1,..., x n ] der Rest der Division von f durch G eindeutig ist. 28

29 7 Der Buchberger-Algorithmus In diesem Abschnitt sei K[x 1,..., x n ] ein Polynomring in den n voneinander unabhängigen Unbestimmten x 1,..., x n über einem Körper K und < sei eine Termordnung auf T. Definition 7.1 Es seien f o und g o Polynome aus K[x 1,..., x n ] und X α = kgv (Lt(f), Lt(g)). Dann heißt das S-Polynom von f und g. S(f, g) = Xα Lm(f) f Xα Lm(g) g Lemma 7.2 Es seien f 1,..., f k K[x 1,..., x n ] mit Lt(f i ) = X α o für i = 1,..., k und f = c i f i mit c i K. Gilt dann Lt(f) < X α, so ist f eine Linearkombination von S(f i, f j ) für 1 i < j k mit Koeffizienten aus K. Satz 7.3 (Buchberger) Eine Menge G = {g 1,..., g k } nicht-verschwindender Polynome aus K[x 1,..., x n ] ist genau dann eine Gröbner-Basis von I = G, wenn für alle i j gilt S(g i, g j ) G o. + Folgerung 7.4 Es sei G = {g 1,..., g k } nit g i o für i = 1,..., k. Genau dann ist G eine Gröbner-Basis, wenn für alle i j gilt k S(g i, g j ) = h ijν g ν mit Lt(S(g i, g j )) = max{lt(h ijν )Lt(g ν )}. ν=1 Satz 7.5 Zu einer gegebenen Menge F = {f 1,..., f l } nicht-verschwindender Polynome aus K[x 1,..., x n ] berechnet der folgende Algorithmus eine Gröbner-Basis G = {g 1,..., g k } von I = F. 1. Setze G = F und G = {{f i, f j } f i f j G} 2. Solange G ist, wiederhole: 29

30 Wähle {f, g} G, setze G = G \ {f, g} und berechne S(f, g) G h, wobei h bezüglich G reduziert ist. + Wenn h o ist, setze G = G {{u, h} u G}, G = G {h}. Lemma 7.6 Ist {g 1,..., g k } Gröbner-Basis des Ideals I mit Lt(g 2 ) Lt(g 1 ), so ist auch {g 2,..., g k } eine Gröbner-Basis von I. Definition 7.7 Eine Gröbner-Basis {g 1,..., g k } heißt minimal, wenn für alle i = 1,..., k gilt: Lk(g i ) = e und Lt(g i ) ist kein Teiler von Lt(g j ) für j i. Satz 7.8 Sind G = {g 1,..., g k } und F = {f 1,..., f l } minimale Gröbner-Basen desselben Ideals I, so gilt k = l und (bei geeigneter Numerierung) Lm(f i ) = Lm(g i ) für i = 1,..., k. Definition 7.9 Eine Gröbner-Bais G = {g 1,..., g k } heißt reduziert, wenn für i = 1,..., k gilt: Lk(g i ) = e und g i ist reduziert bezüglich G \ {g i }. Lemma 7.10 Es sei G = {g 1,..., g k } eine minimale Gröbner-Basis für ein Ideal I. Dann liefern die folgenden Reduktionsschritte eine reduzierte Gröbner-Basis H = {h 1,..., h k } von I. Es sei g 1 H 1 h 1, wobei h 1 reduziert bezüglich H 1 = {g 2, g 3..., g k } ist, g 2 H 2 h 2, wobei h 2 reduziert bezüglich H 2 = {h 1, g 3,..., g k } ist,. g k H k h k, wobei h k reduziert bezüglich H k = {h 1,..., h k 1 } ist. Satz 7.11 (Buchberger) Jedes Ideal I (o) besitzt bezüglich jeder Termordnung eine eindeutig bestimmte reduzierte Gröbner-Basis 30