Methode der unbestimmten Koeffizienten für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
|
|
|
- Ute Wetzel
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Für bestimmte rechte Seiten f kann eine partikuläre Lösung u der Differentialgleichung u (t) + pu (t) + qu(t) = f (t) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden. Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-1
2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Für bestimmte rechte Seiten f kann eine partikuläre Lösung u der Differentialgleichung u (t) + pu (t) + qu(t) = f (t) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden. Einige gebräuchliche Fälle sind Polynome: f (t) = n c j t j u(t) = j=0 n u j t j, falls q 0. j=0 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-2
3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Für bestimmte rechte Seiten f kann eine partikuläre Lösung u der Differentialgleichung u (t) + pu (t) + qu(t) = f (t) durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten bestimmt werden. Einige gebräuchliche Fälle sind Polynome: f (t) = n c j t j u(t) = j=0 n u j t j, falls q 0. Falls q = 0, muss u mit t multipliziert werden. Ist zusätzlich p = 0, so ist eine weitere Multiplikation mit t erforderlich. j=0 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-3
4 Exponentialfunktionen: falls λ 2 + pλ + q 0. f (t) = exp(λt) u(t) = c exp(λt), Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-4
5 Exponentialfunktionen: f (t) = exp(λt) u(t) = c exp(λt), falls λ 2 + pλ + q 0. Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct 2 ) ersetzt werden. Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-5
6 Exponentialfunktionen: f (t) = exp(λt) u(t) = c exp(λt), falls λ 2 + pλ + q 0. Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct 2 ) ersetzt werden. Trigonometrische Funktionen: f (t) = exp(αt)(c 1 sin(ωt) + c 2 cos(ωt)) u(t) = exp(αt)(a sin(ωt) + b cos(ωt)) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-6
7 Exponentialfunktionen: f (t) = exp(λt) u(t) = c exp(λt), falls λ 2 + pλ + q 0. Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct 2 ) ersetzt werden. Trigonometrische Funktionen: f (t) = exp(αt)(c 1 sin(ωt) + c 2 cos(ωt)) u(t) = exp(αt)(a sin(ωt) + b cos(ωt)) Sind α ± iω Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss u mit t multipliziert werden. Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-7
8 Exponentialfunktionen: f (t) = exp(λt) u(t) = c exp(λt), falls λ 2 + pλ + q 0. Ist λ eine einfache (doppelte) Nullstelle des charakteristischen Polynoms, muss c durch ct (ct 2 ) ersetzt werden. Trigonometrische Funktionen: f (t) = exp(αt)(c 1 sin(ωt) + c 2 cos(ωt)) u(t) = exp(αt)(a sin(ωt) + b cos(ωt)) Sind α ± iω Nullstellen des charakteristischen Polynoms, muss u mit t multipliziert werden. Treten gemischte Terme auf, so ist die Superposition der entsprechenden Ansätze möglich. Differentialgleichungen zweiter Ordnung 1-8
9 Beispiel: Differentialgleichung u 3u 4u = t + exp(2t) + cos(3t) charakteristisches Polynom λ 2 3λ 4 = (λ + 1)(λ 4) mit den Nullstellen λ 1 = 1 und λ 2 = 4 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-1
10 Beispiel: Differentialgleichung u 3u 4u = t + exp(2t) + cos(3t) charakteristisches Polynom λ 2 3λ 4 = (λ + 1)(λ 4) mit den Nullstellen λ 1 = 1 und λ 2 = 4 keine Sonderfälle, da λ k 0, 2, ±3i Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-2
11 Beispiel: Differentialgleichung u 3u 4u = t + exp(2t) + cos(3t) charakteristisches Polynom λ 2 3λ 4 = (λ + 1)(λ 4) mit den Nullstellen λ 1 = 1 und λ 2 = 4 keine Sonderfälle, da λ k 0, 2, ±3i Standardansatz u(t) = [a + bt] + [c exp(2t)] + [e cos(3t) + f sin(3t)] Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-3
12 Einsetzen in die Differentialgleichung u 3u 4u = [ 3b 4a 4bt] + [(4c 6c 4c) exp(2t)] +[( 9e 9f 4e) cos(3t) + ( 9f + 9e 4f ) sin(3t)] = [ 3b 4a 4bt] + [ 6c exp(2t)] +[( 13e 9f ) cos(3t) + (9e 13f ) sin(3t)] Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-4
13 Einsetzen in die Differentialgleichung u 3u 4u = [ 3b 4a 4bt] + [(4c 6c 4c) exp(2t)] +[( 9e 9f 4e) cos(3t) + ( 9f + 9e 4f ) sin(3t)] = [ 3b 4a 4bt] + [ 6c exp(2t)] +[( 13e 9f ) cos(3t) + (9e 13f ) sin(3t)] Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite t + exp(2t) + cos(3t) 4a 3b = 0 4b = 1 6c = 1 13e 9f = 1 9e 13f = 0 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-5
14 Einsetzen in die Differentialgleichung u 3u 4u = [ 3b 4a 4bt] + [(4c 6c 4c) exp(2t)] +[( 9e 9f 4e) cos(3t) + ( 9f + 9e 4f ) sin(3t)] = [ 3b 4a 4bt] + [ 6c exp(2t)] +[( 13e 9f ) cos(3t) + (9e 13f ) sin(3t)] Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite t + exp(2t) + cos(3t) 4a 3b = 0 4b = 1 6c = 1 13e 9f = 1 9e 13f = 0 = b = 1/4, a = 3/16, c = 1/6, e = 13/250, f = 9/250 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-6
15 partikuläre Lösung u p (t) = t 1 6 exp(2t) cos(3t) sin(3t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-7
16 partikuläre Lösung u p (t) = t 1 6 Lösung der homogenen Differentialgleichung exp(2t) cos(3t) sin(3t) u h (t) = α exp( t) + β exp(4t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-8
17 partikuläre Lösung u p (t) = t 1 6 Lösung der homogenen Differentialgleichung allgemeine Lösung u = u p + u h exp(2t) cos(3t) sin(3t) u h (t) = α exp( t) + β exp(4t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 2-9
18 Beispiel: Anfangswertproblem u 2u + u = exp(t), u(0) = 0, u (0) = 3 charakteristisches Polynom mit der doppelten Nullstelle λ = 1 λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-1
19 Beispiel: Anfangswertproblem u 2u + u = exp(t), u(0) = 0, u (0) = 3 charakteristisches Polynom mit der doppelten Nullstelle λ = 1 Sonderfall Ansatz λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2 u(t) = (a + bt + ct 2 ) exp(t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-2
20 Beispiel: Anfangswertproblem u 2u + u = exp(t), u(0) = 0, u (0) = 3 charakteristisches Polynom mit der doppelten Nullstelle λ = 1 Sonderfall Ansatz λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2 u(t) = (a + bt + ct 2 ) exp(t) Einbeziehung der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung durch die Koeffizienten a und b Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-3
21 Anfangsbedingungen u(0) = 0 = a, u (0) = 3 = a + b, d.h. a = 0, b = 3 und u(t) = (3t + ct 2 ) exp(t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-4
22 Anfangsbedingungen u(0) = 0 = a, u (0) = 3 = a + b, d.h. a = 0, b = 3 und u(t) = (3t + ct 2 ) exp(t) Einsetzen in die Differentialgleichung exp(t) = ( [2c + 2(3 + 2ct) + (3t + ct 2 )] 2[(3 + 2ct) + (3t + ct 2 )] + [3t + ct 2 ] ) exp(t) = 2c exp(t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-5
23 Anfangsbedingungen u(0) = 0 = a, u (0) = 3 = a + b, d.h. a = 0, b = 3 und u(t) = (3t + ct 2 ) exp(t) Einsetzen in die Differentialgleichung exp(t) = ( [2c + 2(3 + 2ct) + (3t + ct 2 )] 2[(3 + 2ct) + (3t + ct 2 )] + [3t + ct 2 ] ) exp(t) = 2c exp(t) = c = 1/2, d.h. löst das Anfangswertproblem u(t) = (3t + t 2 /2) exp(t) Differentialgleichungen zweiter Ordnung 3-6
Höhere Mathematik III für Physik
8..8 PD Dr. Peer Kunstmann M.Sc. Michael Ullmann Höhere Mathematik III für Physik 5. Übungsblatt - Lösungsvorschläge Aufgabe (Homogene Anfangswertprobleme) Lösen Sie erst die folgenden Differentialgleichungssysteme
Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analsis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 07.05.07 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Gedämpfte harmonische Schwingung
Gedämpfte harmonische Schwingung Die Differentialgleichung u + 2ru + ω 2 0u = c cos(ωt) mit r > 0 modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis. Gedämpfte harmonische
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine
Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik. Bachelor-Modulprüfung. Lösungsvorschläge
Institut für Analysis SS 5 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.9.5 Silvana Avramska-Lukarska Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Bachelor-Modulprüfung Lösungsvorschläge
Teil 9. Differentialgleichungen
Teil 9 Differentialgleichungen 129 130 9.1 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichung erster Ordnung y = f(x, y), y = y(x) Anfangsbedingung y(x 0 ) = y 0 Festlegung der Integrationskonstante
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche
Serie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4
anu donat.adams@fhnw.ch www.adams-science.com Serie 9, Musterlösung Klasse: Ub Semester: Datum: 3. Mai 17 1. Die komplee Zahlenebene Stelle die Zahlen als Punkte in der kompleen Zahlenebene dar. Berechne
Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Seite 1 von 5 Partikuläre Lösung inhomogener DGLen 2. Ordnung konstanten Koeffizienten Tabelle: Lösungsansatz für eine partikuläre
Lineare Differenzengleichungen
Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung
Rückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1 Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme Ausblick auf die heutige Vorlesung
Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,
Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung.
Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Ist das Funktionensystem (y 1,..., y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix Y(t) = y (0) 1... y n (0). y (n 1) 1... y n (n 1) eine Fundamentalmatrix
Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik
Systemtheorie. Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesung 6: Lösung linearer Differentialgleichungen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Einführung Viele technischen Anwendungen lassen sich zumindest näherungsweise
4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen
7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen,
Hausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung
Höhere Mathematik II für den Studiengang BAP Hausaufgabe 2 04.11.2008 1 Hausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Lösungen 1. Geben Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichungen
D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 10. y(x) = Ae ( 3+2i)x + Be ( 3 2i)x. λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. y(x) = Ae x + Bxe x.
D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi Musterlösung 10 1. a) Das charakteristische Polynom ist λ 2 + λ 2 = (λ + 2)(λ 1) mit den beiden verschiedenen Nullstellen λ = 2 λ = 1. Die allgemeine Lösung
FESTSTELLUNGSPRÜFUNG in HM2
FESTSTELLUNGSPRÜFUNG in HM2 FDIBA - TU, WS 27/8 INFORMATIK Name: Immatrikulationsnummer: Aufgabe : Zu lösen sei, durch Anwendung der Transformation von Laplace, das Anfangswertproblem 9P. u () (t) u(t)
Lösung - Schnellübung 13
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 7 Dr. Andreas Steiger Lösung - Schnellübung 3. Gegeben sei die Differentialgleichung y + λ 4 y + λ y = 0. Für welche Werte des reellen Parameters λ gibt es eine von Null verschiedene
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen Eine einfache Differentialgleichung löst man bereits beim Integrieren in der Oberstufe. Sie hat die Form y (x) = f(x) und y wird gesucht. Beispiel: y (x) = 6x² - 4x + 1 fl y(x)
Übungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik
Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen
Lösung - Serie 25. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 25 1. Wie lautet die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y + 2y + y = 0? (a) λ 3 + 2λ + 1 = 0 (b) λ 3 + 2λ = 0 (c)
Spezieller Ansatz bei spezieller Inhomogenität.
Spezieller Ansatz bei spezieller Inhomogenität. Bei Inhomogenitäten der Form h(t) = e µt kann man spezielle Ansätze zur Bestimmung von y p (t) verwenden: Ist µ keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung
Differentialgleichungen
Differentialgleichungen Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite vhm.mathematik.uni-stuttgart.de für Erläuterungen zur Nutzung und
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 26. ẋ 1 = x 1 + 2x ẋ 2 = 2x 1 + x 2
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6. Es ist das folgende autonome System ẋ = x + x + 3 ẋ = x + x von linearen Differenzialgleichungen. Ordung gegeben. Welche der folgenden
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe 1 8 Punkte Es seien eine Kurve K R mit Parametrisierung C : [ π, π] R und ein Vektorfeld g : R R gegeben durch cos t 4y Ct :, gx, y : sin t 1 05 K 05 05 1 15 05 a 3 Punkte Berechnen Sie die Zirkulation
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten nun Lu = u (n) + a n 1 u (n 1) +... + a 1 u + a 0 u = b(t) wobei a 0, a 1,..., a n 1 R. Um ein FS für die homogene
2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,
Tutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 4. Juni 203 *Aufgabe. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen (a) y 2y + y2 = (b) y + ( 2 y)y = 0 Lösung: (a) Bei dieser Differentialgleichung
13 Differentialgleichungen
3 Differentialgleichungen 282 3. Einführung Unter einer Differentialgleichung (=: DGL) versteht man eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion, in der die Funktion selbst und ihre Ableitungen
Institut für Analysis WS 2014/15 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets
Institut für Analsis WS 0/5 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 05..0 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Phsik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 6: a Es handelt
Lösungsskizzen zur Nachklausur
sskizzen zur Nachklausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie und Chemie Sommersemester 22 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren 2 v = 2, v 2 = und v 3 = 2 im R 3 gegeben. (a) Zeigen Sie, dass
Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 7. Juni 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung Wenn
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 partielle Differentialgleichungen (Klausuraufgaben) Marcel Bliem Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Herbst 2010 Bliem/Boßle/Hörner (MO) PV-Kurs HM 3
Tutorium Mathematik II M WM
Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung I. Grundlegendes Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung besitzt die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) +... + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 Eine
Methoden zum Lösen von ODEs
Methoden zum Lösen von ODEs 7. Januar 203 Inhaltsverzeichnis ODEs erster Ordnung 2. Einfache Probleme........................................ 2.2 Variation der Konstanten....................................
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
KAPITEL 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 1 Veränderliche Koeffizienten Analog zu den linearen Dierentialgleichungen 2 Ordnung gilt: 75 76 5 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN n-ter ORDNUNG
MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof.
Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael
Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( )
TU München Prof. P. Vogl Beispiel 1: Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 (26.08.11) Nach Gompertz (1825) wird die Ausbreitung von Rostfraß auf einem Werkstück aus Stahl durch eine lineare
Institut für Analysis SS 2015 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets
Institut für Analysis SS 25 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 7.9.25 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfung Aufgabe :
Analysis I. 14. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I 4. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching June 6, 207 Erinnerung Die Reihe a k konvergiert falls, lim S n = lim n n n a k =: a k existiert. Satz (Majoranten/Minorantenkriterium)
Aufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme
Technische Universität Chemnitz 3. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni (in Übung
Institut für Analysis WS 2017/18 PD Dr. Peer Christian Kunstmann Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Tobias Ried, M.Sc.
Institut für Analysis WS 07/8 PD Dr. Peer Christian Kunstmann 0..07 Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Tobias Ried, M.Sc. Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt
Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine. Funktionsgleichung, Die allgemeine Differentialgleichung n-ter Ornung für eine Funktion y = y (x) :
Gewöhnliche Differentialgleichung. Einleitung und Grundbegriffe Def.: Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Funktionsgleichung, die eine unbekannte Funktion = () sowie deren Ableitungen nach
Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen
Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen Übersicht 1 Beispiele Anwendung auf Fragen der dynamischen
Modulprüfung Mathematik IV Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik, Wirtschaftsinformatik SS
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik IV Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik,
7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung
Lineare DGL. Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3
Lineare DGL Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3 Die zugehörige homogene Gleichung ist dann 2x+y = 0 Alle Lösungen (allgemeine Lösung)
5 Gewöhnliche Differentialgleichungen
5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 5.1 Einleitung & Begriffsbildung Slide 223 Natürliches Wachstum Eine Population bestehe zur Zeit t aus N(t) Individuen. Die Population habe konstante Geburts- und
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Höhere Mathematik III Musterlösung , 120min
Aufgabe (9 Punkte) Es sei die Fläche S R 3 gegeben durch S : { } (x, y, z) R 3 : 4z x + y 4, z. (a) ( Punkte) Geben Sie eine Parametrisierung für S an. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte
6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung
HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die
Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 0 Dozentin Dr Penn-Karras Assistentin Dr C Papenfuß Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli Rechenteil Aufgabe 8
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................
Übungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4. Umkehrbarkeit I Man betrachte die durch g(s, t = (e s cos(t, e s sin(t gegebene Funktion g : R R. Zeigen Sie, dass
Lösung der harmonischen Oszillator-Gleichung
Lösung der harmonischen Oszillator-Gleichung Lucas Kunz 8. Dezember 016 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Herleitung 1.1 Gravitation................................... 1. Reibung.....................................
11.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Bei vielen geometrischen, physikalischen und technischen Problemen hat man nicht nur eine Funktion (in einer Variablen) und ihre Ableitung zueinander in
1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
16 Kapitel 1. Differentialgleichungen 1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x), wobei a 1,a 0,b:I
Bachelor Modulprüfung. Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Peer Kunstmann Markus Antoni WS 22/23 Bachelor Modulprüfung Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge
Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme
Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für
Hörsaalübung 2 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2018/2019 Dr. Hanna Peywand Kiani Hörsaalübung 2 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Separierbare und lineare Differentialgleichungen
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die
Aufgabe 69 Wir wenden die Laplacetransformation auf das System von Differentialgleichungen an. Schreibe. Y 1, y 2. (1 s 2 )Y 2 (s) = 1.
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 7.7.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.
Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x
Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2012/2013 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zum Mathe-Test Aufgabe 1: Bruchrechnung Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf (a) x x 2 1
Differenzengleichungen, Z - Transformation
Differenengleichungen, Z - Transformation In diesem Kapitel wollen wir eine weitere Transformation, die Z-Transformation behandeln. Mit Hilfe der Z-Transformation können lineare Differenengleichungen (DFG
10 Stabilität und steife Systeme
Numerik II 34 Stabilität und steife Systeme Inhalt. Absolute Stabilität. Was sind steife Differentialgleichungen?.3 Weitere Stabilitätsbegriffe Stabilität und steife Systeme TU Bergakademie Freiberg, SS
14 Lineare Differenzengleichungen
308 14 Lineare Differenzengleichungen 14.1 Definitionen In Abschnitt 6.3 haben wir bereits eine Differenzengleichung kennengelernt, nämlich die Gleichung K n+1 = K n q m + R, die die Kapitalveränderung
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 5/6..6 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe
MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer)
TU DRESDEN Dresden, 16. Februar 4 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) Name: Matrikel-Nr.:
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
Dierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07
Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 3. Vorlesung Michael Karow Themen heute: 1. Gewöhnliche Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (a) Definition (b) Beispiele (c) der skalare Fall Fragen
(H-LDE) dann haben wir folgendes Resultat.
5.7.1.1 Lineare Systeme allgemein Wronski-Determinante Als explizite lineare Differentialgleichung erster Ordnung bezeichneten wir also nach dem Gesagten eine explizite Differentialgleichung erster Ordnung
Kapitel 15. Kontrolltheorie. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 15 Kontrolltheorie 1 / 19. T (1 s(t)) f (k(t)) dt
Kapitel 15 Kontrolltheorie Josef Leydold Mathematik für VW WS 217/18 15 Kontrolltheorie 1 / 19 Wirtschaftswachstum Aufgabe: Maximiere Konsum im Zeitraum [, T]: max s(t) 1 (1 s(t)) f (k(t)) dt f (k)...
, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3
![, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3](/thumbs/63/50250433.jpg ", r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3")
Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen
Lineare Differentialgleichungen mit festen Koeffizienten
Lineare Differentialgleichungen mit festen Koeffizienten Wir fangen mit folgender Definition an: Definition: Linear abhängige (unabhängige) Funktionen. Seien u i (x), i = 1,, n Funktionen, vorgegeben auf
7. Übungsblatt Physik I für MWWT Komplexe Zahlen, gewöhnliche Differentialgleichungen
Prof. Dr. Walter Arnold Lehrstuhl für Materialsimulation Universität des Saarlandes 5. Januar 2016 7. Übungsblatt Physik I für MWWT Komplexe Zahlen, gewöhnliche Differentialgleichungen Abgabe des Übungsblattes
2. Elementare Lösungsmethoden
H.J. Oberle Differentialgleichungen I WiSe 2012/13 2. Elementare Lösungsmethoden A. Separierbare Differentialgleichungen. Eine DGL der Form y (t) = f(t) g(y(t)) (2.1) mit stetigen Funktionen f : R D f
Lösungsvorschläge zur Klausur
Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, IuI, mach, tema, umw, verf Aufgabe : (6 Punkte Rotiert man die Menge { (y,z R 2 y 2π,z cosy } um die z-achse, so ensteht die Fläche F R 3. Bestimmen Sie
Kapitel 19 Partialbruchzerlegung
Kapitel 19 Partialbruchzerlegung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 15 Zur Erinnerung wiederholen wir Definition 4.5 [part] Es sei n N 0 und a 0, a 1,..., a n R mit a n 0. Dann heißt die Funktion
Analysis I Lösung von Serie 14. Um die Inhomogene DGl zu lösen, müssen wir partikuläre Lösungen finden. (a) Wir machen den Ansatz:
d-infk Lösung von Serie 4 FS 07 4.. Inhomogene Lineare Differentialgleichungen Das charakteristische Polynom der homogenen DGl y (4) + y + y = 0 ist λ 4 + λ + = (λ + ). Seine Wurzeln sind ±i und jede hat
Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 9
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 214 Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 9 Aufgabe 34: Steinerscher Satz für den Trägheitstensor Der Schwerpunkt liege im Ursprung des Koordinatensystems.
Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.
9 Lineare Differentialgleichungen
Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 $Id: linear.tex,v.4 2/2/ :7:45 hk Exp hk $ 9 Lineare Differentialgleichungen 9.3 Differentialgleichungen mionstanten Koeffizienten Während sich allgemeine
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht
6.6 Lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koezienten
6.6 Lineare Dierentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koezienten Dieser Abschnitt ist ein Einschub. Gewöhnliche DGL werden im nächsten Semester behandelt. Unter einer linearen gewöhnlichen DGL
Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07
Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 6. Vorlesung Michael Karow Themen heute: 1. Die geschlossene Lösungsformel für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. 2. Die Matrixexponentialfunktion
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben
B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben B.. Lösungen zum Kapitel B... Tutoraufgaben Lösungsskizze Wir gehen zuerst nach dem Lösungsverfahren vor. Schritt : Bestimmung der Lösung des homogenen DGL-Systems
Lösungsvorschläge zur Klausur für mach, umw, fmt, bau, immo, tema, und zugehörige Technikpädagogik
Prüfung in Höhere Mathematik III. September 8 Lösungsvorschläge zur Klausur für mach, umw, fmt, bau, immo, tema, und zugehörige Technikpädagogik Aufgabe : 8 Punkte Gegeben ist A : v : Bestimmen Sie die
Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Übungsaufgaben Mathematik 3 ASW Blatt 8 Lineare Differentialgleichungen und Ordnung mit konstanten Koeffizienten Prof Dr BGrabowski Lösung linearer Dgl Ordnung mittels Zerlegungssatz Aufgabe ) Lösen Sie