(H-LDE) dann haben wir folgendes Resultat.

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1 Lineare Systeme allgemein Wronski-Determinante Als explizite lineare Differentialgleichung erster Ordnung bezeichneten wir also nach dem Gesagten eine explizite Differentialgleichung erster Ordnung der Form ẋ(t) F(t)x(t) + h(t), wobei x C ([,τ],r n ), x C 1 (],τ[,r n ) und F C ([,τ],r n n ), sowie h C ([,τ],r n ), n N >. Wir verwenden hier der Transparenz 1 halber einen endlichen Zeithorizont [,τ]. Wir hatten insbesondere auf die triviale Übertragbarkeit der Lösungstheorie auf matrix-wertige Lösungen, sowie die besondere Bedeutung des Falles quadratischer atrizen hingewiesen. Sei X C ([,τ],r n n ), X C 1 (],τ[,r n n ), eine Lösung der entsprechenden sogenannten homogenen Gleichung Ẋ(t) F(t)X(t), (H-LDE) dann haben wir folgendes Resultat. Satz Eine Lösung X C ([,τ],r n n ) C 1 (],τ[,r n n ) von (H-LDE) ist entweder stets regulär oder stets singulär, also _ det(x(t)) ^ det(x(t)). t [,τ] t [,τ] Dieses Resultat wird unterstrichen durch die für die sogenannte Wronski-Determinante 2 t det(x(t)) geltende Differentialgleichung für t [,τ], aus der folgt ( Z t det X(t) det X() exp Hier ist (det X) (t) spurf(t) det X(t) (1) spurf(t) : F kk (t) ) spurf(s) ds. (2) 1 So sparen wir uns bei der Lösungstheorie die Beschränktheitsbedingung. 2 Bei 1-dimensionalen expliziten linearen Differentialgleichungen wird als Wronski-Determinante die Wronski- Determinante des entsprechenden Systems 1-ter Ordnung verstanden. Bei einer expliziten 1-dimensionalen linearen Differentialgleichungen L-ter Ordnung ergibt sich für die L linear unabhängigen Lösungen (u,...,u L 1 ) die Wronski-Determinante als u u L 1 u det u L u (L 1) u (L 1) L 1 25

2 die sogenannte Spur von F(t), t [,τ]. Wir wollen zeigen, dass (2) gilt, hierzu beweisen wir die Gültigkeit von (1). Beweis. Zunächst gilt mit Z X det Z det X. Die Spalten Z i (Z ji ) j,..., der atrix Z entspechen den Zeilen Z i (X i j ) j,..., von X (X i j ) i, j,...,, i,...,n 1. Die Spalten X i der atrix X erfüllen die Differentialgleichung X i (t) (X ji(t)) j,..., (F jk (t)) j,,..., (X ki (t)),..., i,...,n 1. Da Z i j X ji für i, j,...,n 1, folgt or Z i j(t) Z j(t) it der Differentiationsregel für Determinanten (det Z) (t) und mit (3) folgt weiter F jk (t)z ik (t) F jk (t)z k (t). (3) det(z 1 (t),...,z k 1 (t),z k(t), Z k+1 (t),...,z (t)). (4) (det Z) (t) det(z 1(t),...,Z k 1 (t), j F k j(t)z j (t), Z k+1 (t),...,z (t)), det(z 1(t),...,Z k 1 (t), F kk (t)z k (t), Z k+1 (t),...,z (t))+ + det(z 1(t),...,Z k 1 (t), k 1 j F k j(t)z j (t), Z k+1 (t),...,z (t))+ + det(z 1(t),...,Z k 1 (t), jk+1 F k j(t)z j (t), Z k+1 (t),...,z (t)), F kk(t) det(z 1 (t),...,z k 1 (t), Z k (t), Z k+1 (t),...,z (t)), F kk(t) det Z(t). ethode der Variation der Konstanten Aus der Kenntnis der Grundlösung G zur homogenen Gleichung Ġ(t) F(t)G(t) 26

3 für t [,τ], (G() 1 (n n) ), kann man eine Lösung der inhomogenen Gleichung finden (partikuläre Lösung). Die ethode der Variation der Konstanten liefert einen systematischen Weg eine solche Lösung zu finden. it dem Ansatz U(t) G(t)C(t) folgt also Also ist U(t) Ġ(t)C(t) + G(t)Ċ(t) F(t)G(t)C(t) + h(t) C(t) Damit erhält man, wie man leicht nachprüft, G(t)Ċ(t) h(t). Z t G(s) 1 h(s)ds. Z t V (t) : G(t) G(s) 1 h(s)ds für t [, τ] als Lösung. Zur Anpassung der Anfangsbedingungen ergänzen wir eine passende homogene Lösung, also ist Lösung der Anfangswertaufgabe U(t) G(t)U + G(t) Z t ẋ(t) F(t)x(t) + h(t), x() U. G(s) 1 h(s)ds Hierbei ist das Anfangsdatum U R n s und h C ([,τ],r n s ), s N > beliebig Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Eine formale ethode Wir wollen nun eine ethode behandeln, die die Berechnung einer Grundlösung erlaubt. Sie beruht auf der Betrachtung der Ableitung als formaler Operation, die wir in Entsprechung zur Symbolik der partiellen Ableitungen mit (als Zeit -Ableitung auf R > oder R) bezeichnen wollen. Eine Differentialgleichung des genannten Typs ist dann von der Form P( )U F (ODE) wobei P( ) N A k k 27

4 also t P(t) ein Polynom mit (n n) atrizen A k, k,...,n, als Koeffizienten, n N >. Hierbei sei der Einfachheit halber A N 1 (n n) die (n n) Einheitsmatrix. Betrachten wir nun als Unbestimmte so können wir nun algebraische Ideen der atrixtheorie in s Spiel bringen. Insbesondere können wir die Determinante sowie das charakteristische (1 1) Polynom berechnen. det(p( )) λ det(p( ) λ1 n n ) Satz 5.2. (Satz von Cayley-Hamilton) Sei A C n n dann gilt mit dem charakteristischen Polynom p gegeben durch t det(a t), dass für A die atrixgleichung erfüllt ist. p(a) (n n) Beweis. Laut Cramer scher Regel gilt 3 mit adj(b) : (cof(b)) (der sogenannten Adjunkten- 3 Die Cramer sche Regel ist vermutlich eher in der Form bekannt, dass die Lösung x (x,...,x ) der linearen Gleichung mit det(b) komponentenweise durch Bx b x k det(b,...,b k 1,b,B k+1,...,b n ) det(b) für k,...,n 1, gegeben ist. Hierbei ist B (B,...B ) die Spalten-Blockdarstellung der atrix B. Entwicklung der Determinante im Zähler nach der k-ten Spalte ergibt (nach dem Determinanten-Entwicklungssatz oder (in Spaltendarstellung) det(b) x k s b s (cof(b)) s,k für k,...,n 1, det(b) x adj(b) b. Beachtet man nun noch, dass die n n-einheitsmatrix 1 n n durch die kanonischen Einheitsvektoren als Spaltenmatrizen ausgedrückt werden kann in der Form 1 n n (e e ) und dass gilt, so ergibt sich B e k B k für k,...,n 1 det(b) 1 n n det(b) (e e ), adj(b) (B,...,B n ), adj(b) B. 28

5 matrix) und der Kofaktorenmatrix cof(b) : ( ( (B ( 1) r+s ) )) i det j (i, j) (n\{r}) (n\{s}), (r,s) n n mit B (B,...,B n ) und den Spaltenmatrizen B k ( B i ) k, k,...,n 1, dass,i n adj(b) B B adj(b) det(b) 1 n n. it B (A λ1 n n ) folgt also adj(a λ1 n n ) (A λ1 n n ) (A λ1 n n ) adj(a λ1 n n ), det(a λ1 n n ) 1 n n, p(λ) 1 n n. Hierbei wissen wir ferner, dass adj(a λ1 n n ) ein matrixwertiges Polynom ist, so dass hier eine Gleichung zwischen solchen Polynomen vorliegt. Zur Fortführung des Beweises benötigen wir ein Hilfsresultat. Also ist B 1 1 det(b) adj(b) und so auch adj(b) B B adj(b). Die Cramer sche Regel selbst folgt aus der äquivalenten atrixgleichung B(e e k 1 x e k e ) (Be Be k 1 Bx Be k+1 Be ) (B B k 1 b B k+1 B ) mit dem Determinantenmultiplikationssatz det((b B k 1 b B k+1 B )) det(b(e e k 1 x e k e )) det(b)det((e e k 1 x e k e )) det(b) x k für k,...,n 1. 29

6 Lemma. Seien P, Q n n-matrixwertige Polynome und es gelte P(λ) Q(λ)(A λ1 n n ) dann folgt P(A). Beweis. Sei Q(λ) A k λ k, dann ist P(λ) Q(λ)(A λ1 n n ), ( A k λ k ) +1 A k Aλ k A k Aλ k (A λ1 n n ), +1 k1 A k λ k+1, A k 1 λ k, (A k A A k 1 ) λ k, wobei wir A 1 A +1 n n gesetzt haben. Demnach ist P(A) (A k A A k 1 ) A k, A k A k+1 +1 A k 1 A k, A k A k+1 +1 A k A k+1 k1 A k 1 A k, A k A k+1, it diesem Hilfssatz folgt nun das Gewünschte mit Q(λ) adj(a λ1 n n ) und P(λ) p(λ) 1 n n. Damit ist der Satz von Cayley-Hamilton bewiesen. Bemerkung Der Satz bleibt richtig, wenn p durch das inimal-polynom von A ersetzt wird, welches dieselben Wurzeln wie p aber in möglicherweise geringerer Vielfachheit besitzt. 3